双曲线测试题（1）
一．选择题（70）
1.设双曲线
2216
9
1y x -
=上的点P 到点(5,0)的距离为15,则P 点到(-5,0)的距离是( )
A.7
B.23
C.5或23
D.7或23
解析:设另一焦点为2F , ∵a=4,∴||2PF |-15|=8. ∴|2PF |=7或23. 答案:D
2．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线 解：D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
3.方程x =
( )
A.双曲线
B.椭圆
C.双曲线的一部分
D.椭圆的一部分
解析: 答案:C 由x =
2231(0)x y x =-≥, ∴2231(0)y x x -=≥.
∴该曲线表示的是焦点在y 轴上的双曲线的一部分
4．双曲线x 216－y 2
9
＝1的焦点坐标是( )
A ．(－7，0)，(7，0)
B ．(0，－7)，(0，7)
C ．(－4,0)，(4,0)
D ．(－5,0)，(5,0)
解析：选D.双曲线焦点在x 轴上，且c ＝16＋9＝5，所以焦点为(±5,0)．
5. 若双曲线12
22=-y a
x 的一个焦点为(2,0)，则该双曲线的离心率为C
A
B C D ．3
6．与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13
322=-y x D ．1222
=-y x
解：A 2
41c c =-=，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为22
22
13x y a a
-=-过点(2,1)Q 得22
222
4112,132
x a y a a -=?=-=- 7.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是( )
A.35
B.4
5
C.53
D.54
解析:由已知得2b=a+c,∴21b c
a a =+.
∴1e +.∴53e =. 答案:C 8.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±
x
B.y=±
x C.y=±x
D.y=±2x
【解析】选A.由
得
所以a==, 因此双曲线的方程为
-y 2
=1, 所以渐近线方程为y=±
x.
9.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆22
25
16
1y x +
=的长轴端点、焦点,则双曲线C
的渐近线方程为 ( )
A.430x y ±=
B.340x y ±=
C.450x y ±=
D.540x y ±= 解析:由已知得,双曲线焦点在x 轴上,且c=5,a=3, ∴双曲线方程为2
2
1y x -=.
∴渐近线方程为4
3b a y x x
=±=±. 答案:A 10.设P 是双曲线
22
2
9
1y x a -
=上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,点1F 、2F 分别是双曲
线的左、右焦点.若1
PF 则|2PF |等于( )
A.1或5
B.6
C.7
D.9
解析:由已知得渐近线方程32y x =,且b=3,a=2,据定义有||2PF |-|1PF ||=4,|2PF |=7或-1(舍去负值
答案:C
11.已知双曲线
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线
渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ( ) A.
-=1
B.
-=1 C.
-=1 D.-=1
【解析】选A.以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2
+y 2
=c 2
,点(3,4)在圆上,可得c 2
=25,又双曲线的
渐近线方程为y=±x,又过点(3,4),所以有=,结合a 2+b 2=c 2=25,得a 2=9,b 2
=16,所以双曲
线的方程为
-=1.
12. 过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶
点M ，若MAB ?是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （B ）
A ．
3
2
B ．2
C
D 13．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2
b
2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，若
△F 1PF 2的面积是2，则b 的值为( )
A. 2
B.52
C ．2 2
D. 5
解析：选A.由????
?
||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝
＋b 2
，
得|PF 1|2|PF 2|＝2b 2
.
因此，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2
＝2.故b ＝ 2.
14.已知双曲线
226
3
1y x -
=的焦点为1F 、2F ,点M 在双曲线上,且1MF x ⊥轴,则1F 到直线
2F M 的距离为 ( )
C.65
D.56
解析:不妨设点1(30)F -,, 容易计算得出
|
1MF |==
|2MF |-1
MF
解得|2MF |=
而|12F F |=6,在直角三角形12MF F 中,
由12|1MF |?|12F F |1
2=|2MF |d ?, 求得1F 到直线2F M 的距离d 为65.
答案:C
二．填空题（20）
15．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
解：
22
1205
x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，
2
2
1,25,204
4
x y λ
λλλ
λ
-
=+
==；
当0λ<时，
2
21,()25,2044
y x λλλλλ-=-+-==--- 16．若曲线
22
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。 解：(,4)
(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或
17．若直线1y kx =-与双曲线2
2
4x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。
解：1,±222224,(1)4,(1)2501
x y x kx k x kx y kx ?-=--=-+-=?=-?
当2
10,1k k -==±时，显然符合条件；
当2
10k -≠
时，则2
20160,k k ?=-== 18.过双曲线
222
2
1(0y x a b a -
=>,b>0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,
以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为_____.
解析:|MN|2
2b
a =,圆的半径2
b a r a
c ==+,
∴22b a ac =+,即2
2
2
c a a ac -=+. ∴220e e --=,解得e=2或e=-1(舍去). 答案:2
三．解答题（60）
19．双曲线与椭圆
136272
2=+y x
有相同焦点，且经过点，求其方程。 解：椭圆
2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=，设双曲线方程为22
22
19y x a a -=-
过点，则
22161519a a
-=-，得2
4,36a =或，而29a <， 2
4a ∴=，双曲线方程为22
145
y x -=。
20．k 代表实数，讨论方程22
280kx y +-=所表示的曲线
解：当0k <时，曲线
22
184y x k
-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2
280y -=为两条平行的垂直于y 轴的直线；
当02k <<时，曲线22
14x y k
+=为焦点在x 轴的椭圆； 当2k =时，曲线22
4x y +=为一个圆；
当2k >时，曲线
22
184y x k
+=为焦点在y 轴的椭圆。
21.求下列动圆圆心M 的轨迹方程: (1)与C :22(2)2x y ++=内切,且过点A(2,0).
(2)与
1C :22(1)1x y +-=和2C :22(1)4x y ++=都外切
解:设动圆M 的半径为r.
(1)∵C 与M 内切,点A 在C 外,
∴|MC|r =|MA|=r, |MA|-|MC|=
∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支且有22272
2a c b c a =,=-=.
∴双曲线方程为2227
21(y x x -=≤.
(2)∵
M 与1C 、2C 都外切,
∴|1MC |=r+1,|2MC |=r+2. ∴|2MC |-|1MC |=1.
∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支
且有2223
124
1
a c
b
c a =,=,=-=.
∴所求的双曲线的方程为2
2413241()
x
y y -=≥. 22.设双曲线C 的方程为14
22
=-y x ，直线l 的方程是1+=kx y ，当k 为何值时，直线l 与双曲线C
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
解：把1+=kx y 代入1422
=-y x 得：088)41(22=---kx x k ． …………（*） 当0412=-k ，即2
1
±=k 时，方程（*）为一次方程，只有一解．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(2
2>----=?k k ，即2
2
22<
<-
k 且21±≠k 时，方程（*）有两个不等实根．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(2
2=----=?k k ，即2
2
±
=k 时，方程（*）有两个相等实根．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(2
2<----=?k k ，即2
2-
没有实根．
因此，（Ⅰ）当2
222<<-k 且21
±≠k 时，直线l 与双曲线C 有两个公共点；
（Ⅱ）当21±
=k 或2
2±=k 时，直线l 与双曲线C 仅有一个公共点； （Ⅲ）当2
2-
>k 时，直线l 与双曲线C 没有公共点. 23.求两条渐近线为20x y ±=且截直线x-y-3=0 的双曲线方程. 解:设双曲线方程为224(0)x y λλ-=≠. 联立方程组得 22430x y x y λ?-=, ?--=. ? 消去y 得2324(36)0x x λ,-++=, 设直线被双曲线截得的弦长为AB, 且11()A x y ,, 22()B x y , , 那么 1236123282412(36)0x x x x λ λ++=,? ?=,???=-+>,? 那么 ,|AB|= = = = ∴4λ=. 故所求的双曲线方程是2 241x y -=. 姓名：___________ 班级：___________ 一、选择题 1．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．若p q Λ是假命题，则（ ） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题 C.p 、q 至少有一个是假命题 D.p 、q 至少有一个是真命题 3．1F , 2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是 （ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 4． 双曲线22 1169 x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 3 4±= 5．中心在原点的双曲线，一个焦点为， ，则双曲线的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．已知正方形ABCD 的顶点 ,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( ) A 1 B 1 D ．27．椭圆14222=+a y x 与双曲线12 2 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 8．与双曲线14 22 =-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ） （A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18 22 2=-y x 9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ） A ．0 B ．2π C ．π D ．32 π (0F 122 12x y -=2212y x -=221x =221y -= 高二数学选修2－1知识点 第一章 简单逻辑联结词 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命 一．选择题（每小题5分，满分６0分） １.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ２.对于两个命题： ①,1sin 1x R x ?∈-≤≤， ②2 2 ,sin cos 1x R x x ?∈+>， 下列判断正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 ３.与椭圆14 22 =+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222 =-y x B. 1422=-y x C. 122 2=-y x D. 13322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点，则2ABF ?是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 22 B 1 2 C 33 D 13 ５.过抛物线2 8y x =的焦点作倾斜角为0 45直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是 （ ） A 8 B 16 C 32 D 64 ６.在同一坐标系中，方程)0(012 2 2 2 2 >>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（ ） A ． B ． C ． D ． ７.已知椭圆122 22=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ?的面积 最大值一定是 （ ） A 2 a B a b C 22a b - D 22 b a b - ８.已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(且互相垂直,则实数k 的值是( ) A ．1 B ．51 C ． 53 D ．57 选修2-2第一章单元测试 (一) 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos x C ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos x D ．f ′(x )＝sin x 2x －x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 5.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的 阴影部分的面积，用定积分可表示为( ) A. ???-3 3f (x )d x B.??13f (x )d x ＋??1－3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x －??13f (x )d x 6．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断： ①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x＝2是f(x)的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是() A．①②B．②③C．③④D．①②③④ 7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是() A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7 C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21 8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)() A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元 9．函数f(x)＝－x e x(a 区一中椭圆、双曲线测试题 、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.） 1、下列说法中正确的是（） A、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B、“a”与“ a c b c ”不等价 2 2 2 2 C、“a2?b2=O,则a,b全为0 ”的逆否命题是若a, b全不为0,则a2 b-- 0 ” D、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 2、已知M （—2, 0）, N （2, 0）, |PM| —|PN|=4 ,则动点P 的轨迹是：（） A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 3、已知椭圆 2 2 —1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 25 16 3 ,则P到另一焦点距离为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4、双曲线: 2 2 y 1 x 1 的渐近线方程和离心率分别是 1 厂 3匕心3 D. 5、已知椭圆的中心在原点,焦点在X轴上，且长轴长为12 , 离心率为-,则椭圆的方程 3 2 2 A x y “A. + =1 2 B.Z 36 2 + L=1 20 2 x C. + 2 32 2 2 x y “ D. + =1 32 36 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.） 11 .椭圆x 2 +4y 2 =4的离心率为 ______________ 12 .双曲线的两焦点分别为 F 1（￡,0）, F 2（3,0）,若a=2,则b= _________ 2 2 2 2 13 .对于椭圆 — —=1和双曲线 —=1有下列命题: 16 9 7 9 ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点 ; ③双曲线与椭圆共焦点； ④椭圆与双曲线有两个顶点相同 其中正确命题的序号是 _______________ . 2 2 k 3是方程— L 3 —k k —1 =1表示双曲线的（）条件。 A.充分但不必要 B 充要 C.必要但不充分 D.既不充分也不必要 2 2 7、椭圆x - my =1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ 1 B.- 2 x 2 y 2 & 如图：已知椭圆—+ ；= 1(a >b >0)的焦点分别为 F 1、F ?, b = C . 2 4,离心率为 3 .过F 1的直线交椭圆于 A 、B 两点，则厶ABF 2的周长 5 A . 10 B . 12 C . 16 D . 20 F 1PF 2的面积是（ X 2 v y ) =1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PR PF 2=0,则 A.1 c.、.3 D.2 2 2 10 .双曲线一2 2 a b （a 0 , b 0）的左、右焦点分别是 F , F 2 ,过F 1作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 （） A . .6 .3 C. .. 2 高中新课标数学选修（1-2）综合测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类 2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ??? 的关系（ ） A.在直线上 B.在直线左上方 C. 在直线右下方 D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32 、i 23 、 i 32 ， 则D 点对应的复数是 （ ） A.i 32 B.i 23 C.i 32 D.i 23 4.在复数集C 内分解因式5422 x x 等于 （ ） A.)31)(31(i x i x B.)322)(322(i x i x C.)1)(1(2i x i x D.)1)(1(2i x i x 5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项 6.用数学归纳法证明)5,(22 n N n n n 成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ） A.假设k n 时命题成立 B.假设)( N k k n 时命题成立 C.假设)5( n k n 时命题成立 D.假设)5( n k n 时命题成立 7.2020 )1() 1(i i 的值为 （ ） A.0 B.1024 C.1024 D.10241 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2 k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.2 9.已知复数z 满足||z z ，则z 的实部 （ ） A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式； （4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.命题“对于任意角 2cos sin cos ,4 4 ”的证明： 选修2-1知识点小结 第一章《常用逻辑用语》 （1）命题 命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。 （2）复合命题的真值 “非p p 非p 真假 假真 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p q p且q 真真真 真假假 假真假 假假假 “p且q p q P或q 真真真 真假真 假真真 假假假 注：1“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。（3）四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 （4）条件 一般地，如果已知p?q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。 可分为四类：（1）充分不必要条件，即p?q,而q?p；(2)必要不充分条件，即p?q,而q?p；(3)既充分又必要条件，即p?q，又有q?p；(4)既不充分也不必要条件，即p?q，又有q?p。 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作：p?q.“?”叫做等价符号。p?q表示p?q且q?p。 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。 （5）全称命题与特称命题 这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 北师大版高中数学选修21期末考试试题及 答案 晁群彦 一．选择题（每小题5分，满分６0分） １.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ２.关于两个命题： ①,1sin 1x R x ?∈-≤≤， ②2 2 ,sin cos 1x R x x ?∈+>， 下列判定正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 ３.与椭圆14 22 =+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222 =-y x B. 1422=-y x C. 122 2=-y x D. 13 322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点， 则2ABF ?是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 22 B 12 C 3 D 13 ５.过抛物线2 8y x =的焦点作倾斜角为0 45直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点， 则弦AB 的长是（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 ６.在同一坐标系中，方程)0(012 2222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（ ） A ． B ． C ． D ． ７.已知椭圆122 22=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ?的面积 最 大值一定是（ ） A 2 a B a b C 22a a b - D 22b a b - ８.已知向量b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( ) A ．1 B ．51 C ． 53 D ．57 ９.在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则 1A B 与 1D E 所成角的余弦值为 （ ） A ．5 10 B ． 1010 C ． 55 D ． 105 １０.若椭圆 x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(122与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为 2 2，则m n 的值是( ) 2.2 3.22. 29 2 . D C B A １１.过抛物线y x 42 =的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若 621=+y y ，则21P P 的值为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 １２.以1242 2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ） A. 1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 14 162 2=+y x D. 二．填空题（每小题４分） １３．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式： y x 31 ++= 其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___ １４．斜率为1的直线通过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB 等 于___ １５．若命题P ：“?x ＞0，0222 <--x ax ”是真命题 ，则实数a 的取值范畴是___． １６．已知90AOB ∠=?，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=?，则直线OC 与平面 最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班； 高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题一、选择题 1．动点P与点 1(05) F，与点 2(05) F- ，满足 126 PF PF -=，则点P的轨迹方程为（） Ａ． 22 1 916 x y -= Ｂ． 22 1 169 x y -+= Ｃ． 22 1(3) 169 x y y -+=≥ Ｄ． 22 1(3) 169 x y y -+=- ≤ 答案：Ｄ 2．如果双曲线的渐近线方程为 3 4 y x =±，则离心率为（） Ａ．5 3 Ｂ． 5 4 Ｃ． 5 3 或 5 4 Ｄ．3 答案：Ｃ 3．过原点的直线l与双曲线221 y x -=有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为（）Ａ．(11) -， Ｂ．(1)(1) --+ ，， ∞∞ Ｃ．(10)(01) -，， Ｄ． ππ 44??- ??? ， 答案：Ｂ 4．已知双曲线22 14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ） Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<< 答案：Ｄ 5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线22 22123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） Ａ．152x y =± Ｂ．152y x =± Ｃ．34x y =± Ｄ．34y x =± 答案：Ｃ 6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ） Ａ．22 123x y -= Ｂ．22 132 x y -= Ｃ．2214x y -= Ｄ．2 214 y x -= 答案：Ｃ 二、填空题 7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα??<< ?? ?，其离心率为 ． 答案：sec α 8．双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题 时间：90分钟满分：120分 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是() A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除 4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q 6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题： ①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan ∠A 2＞tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是() A．0个B．1个 C ．2个 D ．3个 7．下面说法正确的是( ) A ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“?x ∈R ，使得x 2 ＋x ＋1≥0” B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件 C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题 D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题 8．已知命题p ：?x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：?x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∨q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9．下列结论错误的是( ) A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1” B ．设α，β∈? ???? －π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题 D ．“?α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题 10．给出下列三个命题： ①若a ≥b ＞－1，则 a 1＋a ≥ b 1＋b ；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切． 其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 第Ⅱ卷(非选择题，共70分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________． 2.2.1双曲线及其标准方程 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 [答案] D 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 高二数学选修2-1期末考试卷 一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分） 1、对抛物线2 4y x =，下列描述正确的是 A 、开口向上，焦点为(0,1) B 、开口向上，焦点为1(0, )16 C 、开口向右，焦点为(1,0) D 、开口向右，焦点为1 (0,)16 2、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ?是B ?的 A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，c A A =1，则下列向 量中与B 1相等的向量是 A 、++- 2121 B 、 ++2121 C 、 +-2121 D 、 +--2 1 21 4、椭圆2 2 55x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为 A 、25- B 、25 C 、1- D 、1 5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A 、平面 B 、直线 C 、圆 D 、线段 6、已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=??? ??-- 53,1,5 1 给出下列等式： ①∣++∣=∣--∣ ②c b a ?+)( =)(c b a +? ③2 )(c b a ++=2 22c b a ++ ④c b a ??)( =)(c b a ?? 其中正确的个数是 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、设[]0,απ∈，则方程2 2 sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、圆 8、已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A 、充分必要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分又不必要条件 9、已知函数f(x)= 347 2+++kx kx kx ，若R x ∈?，则k 的取值范围是 A 、0≤k<43 B 、0 数学选修2-１综合测评 时间：9０分钟满分:1２０分 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共５0分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.与向量ａ＝(1，－３，２)平行的一个向量的坐标是( ） A.错误!?B．(－１，-3,2) C.错误!?Ｄ.(错误!，－3，－２错误!) 解析:向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b≠0,a∥b?a=λb,ａ＝(1,-3,2)＝－1错误!，故选C．答案:C 2.若命题ｐ：?x∈错误!,tａn x＞ｓin ｘ，则命题綈p:() A.?ｘ0∈错误!，tan ｘ0≥sin x0 Ｂ.?x０∈错误!，taｎx0>siｎx0 C．?x０∈错误!,tan x0≤sin x０ D.?x０∈错误!∪错误!,ｔan x0>ｓin x0 解析：?x的否定为?x０,>的否定为≤，所以命题綈p为?x0∈错误!，ｔaｎｘ０≤ｓiｎｘ0． 答案:C 3．设α,β是两个不重合的平面,l，m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是(） Ａ．l?α，m?β且l∥β，m∥α B.ｌ?α,m?β且l∥ｍ C.ｌ⊥α，ｍ⊥β且l∥m Ｄ．l ∥α，m ∥β且l ∥m 解析:由ｌ⊥α,l ∥ｍ得m ⊥α,因为m ⊥β,所以α∥β,故C 选项正确. 答案:C 4．以双曲线错误!－错误!=－１的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ） Ａ.x 2１6＋＼ｆ(y 2，１2）=1 Ｂ.ｘ２1２＋ｙ２１６ =1 C ．x 2１６ +错误!=１ D ．错误!＋错误!=１ 解析：由ｘ24－＼ｆ（y 2,12)=１,得错误!－错误!=１. ∴双曲线的焦点为(０,4),(0，－4）, 顶点坐标为(0,2错误!），（0,－２错误!). ∴椭圆方程为x 24+错误!=1. 答案:D 5．已知菱形ABCD 边长为1，∠ＤAB =60°，将这个菱形沿A Ｃ折成6０°的二面角,则B ，D 两点间的距离为( ） A.错误! Ｂ.错误! C.错误! D.错误! 解析： 选修2-2第一章单元测试（一） 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3 6. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断: ①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数； ②x=—1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a 双曲线 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |21)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程及简单几何性质 3.等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴长相等的双曲线，叫做等轴双曲线.其方程的一般形式λ=-22 y x . (2)性质：①渐近线方程：x y ±=；②离心率2e =. 4.有共同渐近线的双曲线方程 (1)当已知双曲线的渐近线方程x a b y ±=,可设双曲线方程为)0(b y a x 22 22≠λλ=-. (2)与双曲线1b y a x 2222=-有相同的渐近线的双曲线方程可设为)0(b y a x 22 22≠λλ=-. 基础巩固： 1.双曲线216x -2 9y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 在双曲线上,且|PF 1|=2,则|PF 2|等于 ___________. 2.已知点F 1(-4,0)和F 2(4,0),一曲线上的动点P 到F 1,F 2距离之差为6,该曲线方程是________________. 3.已知方程23x k -+2 5y k -=1表示双曲线,则k 的取值范围为____________________. 4.双曲线24x -2 5y =1的离心率e 等于__________. 5.已知双曲线C:22x a - 22 y b =1(a>0,b>0)的离心率为,则C 的渐近线方程为____________. 6.已知双曲线过点),且渐近线方程为y=±1 2x,则该双曲线的标准方程为 . 7.椭圆24x +22y m =1与双曲线22 x m -2 2y =1有相同的焦点,则m 的值是___________. 8.已知双曲线225x -2 9y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2 的距离为18,N 是MF 2的中点,O 为坐标原点,则|NO|等于_________. 例题讲解： 例1 双曲线x 2 +my 2 =1的虚轴长是实轴长的2倍,求双曲线的渐近线方程 变式训练： 设双曲线22x a -22 y b =1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线 与双曲线交于B,C 两点.若A 1B ⊥A 2C,求双曲线的渐近线的斜率 例2 已知中心在原点,x-y=0,求双曲线的离心率. 变式训练： 过双曲线C: 22x a -22 y b =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P.若 点P 的横坐标为2a,则C 的离心率为 . 例3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为(1)求双曲线C 的方程; (2)若直线C 恒有两个不同的交点A 和B,且OA u u u r · OB u u u r >2(其中O 为原点),求k 的取值范围. 变式训练： 新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列语句中是命题的是 ( ) A.周期函数的和是周期函数吗? B.sin45°=1 C.x 2+2x-1>0 D.梯形是不是平面图形呢? 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 ( ) A.y 2=-8x B.y 2=8x C.y 2=-4x D.y 2 =4x 3.已知空间向量b a ,,则0,=b a 是b a ⊥的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.设x,y ∈R,向量)0,4,2(),0,,1(),10,(-===c y b x a 且,//,c b c a ⊥,则|b a +|=( ) A.5 B.10 C.52 D.10 5.若命题p 的逆命题是q,命题q 的否命题是x,则x 是p 的 ( ) A.原命题 B.逆命题 C.否命题 D.逆否命题 6.方程116252 2=++-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.-16 ③“若ac 2>bc 2,则a>b ”的逆命题; ④若“m>2,则不等式x 2 -2x+m>0的解集为R ”. 其中真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.如图,E 为正方体的棱AA 1的中点,F 为棱AB 上的一点,且∠C 1EF=90°,则AF ∶FB= ( ) A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 10.在△ABC 中，AB=2，AC=3，1=?AC AB ，则BC=（ ） (A)3 (B)7 (C)22 (D)23 11.过点P(-4,0)的直线l 与曲线C:x 2+2y 2 =4交于A,B 两点;则AB 中点Q 的轨迹方程为 ( ) A.(x+2)2+2y 2=4 B.(x+2)2+2y 2=4(-1高二数学选修2-1测试题及答案
选修21公式
高中数学选修2-1期末考试试题及答案
(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题
选修1_1_椭圆和双曲线测试题(含答案)
高中数学选修1-2综合测试题(附答案)
选修21知识总结
北师大版高中数学选修21期末考试试题及答案
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案
高中数学人教A版选修2-1双曲线部分测试题.docx
高中数学 选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题(整理含答案)
高二数学选修1、2-2-1双曲线及其标准方程
数学选修2-1期末考试卷及答案
数学选修2-1测试题(含答案)
(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题
选修11选修21双曲线(讲义)
高中数学人教A版选修2-1人教A版选修2-1期末综合测试题.docx
相关主题
文本预览