第1讲数学与系统科学学院
优化理论第1讲凸集与凸函数
凸集与凸函数
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凸集
称中的集合C 是凸的(convex)，如果对每个个
，点.
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称集合C 是锥(cone)，如果蕴含着对所有有. 若锥C 还是凸的，称为凸锥(convex cone).
一些重要的凸集
有限个闭半空间的交集
超平面(hyperplane):数学与系统科学学院
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推
广
平面上：多边形
注：线性规划问题的可行集是多面集！
几何上：数学与系统科学学院
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极点即不能位于连接该集合中其它两点的开线段上的点
定义称凸集C 中的点x 是C 的极点，如果存在C 中的点y, z 和某，有则必有y=z.
重要应用：线性规划的基本性质！
线性规划解的几何特征
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可以在极点取到极值！
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无(下)界
无解(-1, -1)一条边( 1, 0)一条边
( 0, 1)
惟一的顶点
( 1, 1)解的几何特征
x*
c 11(,0), 0
≥x x (0, 0)
22(0, ),
[0, 1]∈x x 点与闭凸集的分离定理及应用
给定中的向量
令分离定理.存在超平面
分离闭凸集C 和非零向量.
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Farkas 引理.集合
是空集当且仅当存在
使得
给定中的向量
.
推论.集合
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是空集当且仅当存在使得
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定
义定义
相关定义：严格凸函数、凹函数/严格凹函数
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Jensen 不等式：见作业1.10
命题. 若f i (x), i =1,…,m ，是凸集K 上的凸函数，则它们的非
负线性组合仍然是K 上的凸函数.定理1. 凸函数在凸集上的局部极小点是全局极小点.
f 是凸集K 上的可微实值函数，对所有的，有定理f f 可微凸，则f 的稳定点是它的全局极小点数学与系统科学学院
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设f 是开凸集K 上的二次连续可微实值函数，则f 凸当且仅当对K 中的每个x 而言，是半正定的.
例子
既凸又凹！
凸当且仅当G 半正定
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G 是对称矩阵, b 是常向量, c 是常数任一范数！
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?凸函数在任意的x 沿任意方向的方向导数都存在! ?设f 在x 点可微，则有
凸函数产生的凸集
推论.设I 是任意的指标集，且对每个
是
上的凹函数是任意的实数则集合定理.设f 是凸集K 上的凸函数，则对任意的，
水平集(level set)是凸集.数学与系统科学学院
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是凸的.
上的凹函数，是任意的实数，则集合
凸规划(convex programming)
凸规划(convex programming)：凸集K 上极小化凸函数
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注1. 凸规划的所有局部解也是全局解。
注2. 线性规划是凸规划；二次规划中目标函数的海森矩阵半正定时，也是凸规划.
注3 二阶锥规划(SOCP)、半定规划(SDP)都是凸规划!
多元凸函数的判定 1 引言 凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便. 2 定义及引理 本节主要介绍本文用到的定义及引理. 定义2.1[2] 设n R D ?，如果D 中的任意两点的连线也在D 内，则称D 为n R 中的凸集. 即对任意21,P P ，数)1,0(∈λ，总有 D P P ∈-+21)1(λλ. 定义 2.2[1] 设n R D ?为非空凸集,f 为定义在D 上的函数,若对任意 )1,0(,,21∈∈λD P P ，总有 )()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≤-+， (1) 则称f 为D 上的凸函数. 反之，如果总有 )()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≥-+， (2) 则f 为D 上的凹函数. 若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 定义]2[3.2 )(P f 是定义在n R D ?上的多元函数，若在点),,,(210n x x x P ???存在对所有自变量的偏导数，则称向量))(,),(),((00021P f P f P f n x x x ???为函数)(P f 在点0P 的梯度，记作
函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增 加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图 形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性， 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.
“凸优化理论与应用”暑期学校学习总结 一、专家介绍 Stephen Boyd：斯坦福大学教授，曾多次来哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心开展学术讲座和交流活动。讲课全部是英文，很开朗。 段广仁：哈尔滨工业大学教授，曾于外国留学，讲了一口流利的英语，和Stephen Boyd教授交流时全部是英语。 谭峰：段广仁的学生，曾去Stephen Boyd教授那里做一年博后，然后回国，现在就职于哈尔滨工业大学，讲师。所以此次由她给大家做辅导。 二、课程安排 7.13上午8:15-9:15 开幕。段广仁老师对于本次暑期学校开展、Stephen Boyd、 谭峰以及幕后的工作人员做了简单的介绍，谈了课程的变 动的原因以及可能给我们加课等事宜。 9:30-11:00讲座1(Lecture 1) Stephen Boyd 教授。 7.14上午8:15-9:15 谭峰博士对于前一天Stephen Boyd 教授讲的知识的一个 回顾。 9:30-11:00讲座2(Lecture 2) Stephen Boyd 教授。 下午14:00-15:00讲座3(Lecture 3)Stephen Boyd 教授。 7.15上午8:15-9:15 谭峰博士。 9:30-11:00讲座4(Lecture 4) Stephen Boyd 教授。 7.16上午8:15-9:15 谭峰博士。 9:15-9:30 所有人一起拍一张照片。 9:30-11:00讲座5(Lecture 5) Stephen Boyd 教授。 三、主要知识 1.凸优化相应理论. 本部分一共有8章，老师只用了两节课共3个小时就讲完了。这部分的内容虽然我很认真的听了，也只能知道一点概况，说实话想学明白还需要以后投入大量的时间精力。 1.1 绪论 此部分介绍了在现实生活中存在的凸优化问题，最小二乘，线性规划，凸优化问题等。 1.2. 凸集 在此部分介绍了凸集里包含的集合的形式，如仿射集、凸集、凸锥、超平面
高等数学教学样板教案 授课次序09 教 学 基 本 指 标 教学课题 函数的单调性与凸性的判别方法 课的类型 新知识课 教学方法 讲授 教学手段 演示 教学重点 掌握函数单调性的判别法、凸性判别方法 教学难点 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 教 学 基 本 内 容 第九节 函数的单调性与凸性的判别方法 一、函数单调性的判别法 1、()[,](,),()[,]()()0(0)f x C a b D a b f x a b f x '∈?≥≤ 在。 证：不妨设()[,]f x a b 在，0 0,0 ()()()lim 0,0 x x f x x f x f x x x ?→≥?>?+?-'=? ≤?，则()f x 在[,]a b ； ⑵如果(,)x a b ?∈，有()0f x '<，则()f x 在[,]a b 。 证:),,(,21b a x x ∈?,21x x <且应用拉氏定理,得 )())(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ ,012>-x x ,0)(),(>'x f b a 内，若在,0)(>'ξf 则).()(12x f x f >∴ .],[)(上单调增加在b a x f y =∴ ,0)(),(<'x f b a 内，若在,0)(<'ξf 则).()(12x f x f <∴.],[)(上单调减少在b a x f y =∴ 注意：①[,]a b I →，结论仍成立； ②,()0(0)x I f x '∈≥≤且只有个别点处()0f x '=，则在I 上()()f x 。 例1、判定sin y x x =-在[0,2]π上的单调性。 备注栏
考点12 函数模型及其应用 1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B ．（p ＋1）（q ＋1）－12 C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1 【答案】D 【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D. 2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋ ])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH － ])的乘积等于常数10 －14 .已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋ ]，健康人体 血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋ ] [OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ) A.12 B ．1 3 C ．16 D ．110 【答案】C 【解析】∵[H ＋ ]·[OH － ]＝10－14 ，∴[H ＋ ][OH －] ＝[H ＋]2× 1014，∵7.35<－lg [H ＋ ]<7.45， ∴10 －7.45 <[H ＋ ]<10 －7.35 ，∴10 －0.9 <[H ＋ ][OH －] ＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9 >110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10 －0.7 <13<12，∴110<[H ＋ ][OH －]<1 3 .故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which
Modeling and Problem Solving ——函数模型及其应用教案 中澳课程部王晓叶 学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。 教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。 2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。 3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。 教学重难点：1.建立合适的函数模型 2.利用得到的函数模型解决实际问题 教学过程 一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟） 案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。” 目前，他正在接受警方调查。 警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。 Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and the Velocity 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Distance 2 10 15 20 27 38 47 60 75 a. Use the calculator to find the relationship between the velocity of a car and the distance after it braking. b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way? 项目罚款扣分超速少于10km/h 163澳元扣2分超速10km/h－20km/h 357澳元扣3分 超速20km/h－30km/h 726澳元扣5分 超速30km/h－40km/h 866澳元扣7分未系安全带341澳元扣3分闯红灯437澳元扣3分开车使用手机315澳元扣3分
凸函数判定方法的研究 鸡冠山九年一贯制学校 张岩 2013年12月15日
目录 摘要 (ii) 关键词 (ii) Abstract (ii) Key words (ii) 前言 (iii) 一、凸函数的基本理论 (1) 1、预备知识 (1) 2、凸函数的概念及性质 (2) 二、凸函数的判定方法 (4) （一）一元函数凸性的判定方法 (4) 1、利用作图判断函数凸性 (4) 2、其它判定方法 (5) （二）多元函数凸性的判定方法 (8) 1、多元凸函数的有关概念 (8) 2、多元函数凸性的判定方法 (9) 三、凸函数几个其他判定方法 (12) 四、总结 (14) 参考文献 (14) 致谢 (15)
凸函数判定方法的研究 摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。 关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理 Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given. Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem
2019年高考数学总复习课时作业（12）函数模型及其应用理 基础热身 1.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为() 图K12-1 2.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y=其中x代表拟录用人数, y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司的拟录用人数为() A.15 B.40 C.25 D.70 3.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y=a log3(x+2),观察发现2012年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只,估计到2018年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为 () A.4000只 B.5000只 C.6000只 D.7000只 4.某品牌平板电脑投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是() A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 5.[2017·河北武邑中学调研]“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应 为.(用常数a表示) 能力提升
6.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: 型号小包装大包装 重量100克300克 包装费0.5元0.7元 销售价格3.0元8.4元 则下列说法中正确的是() ①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.[2017·北京丰台区测试]血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图K12-2所示. 图K12-2 根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是 () A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒 8.[2017·南昌二模]某商场2017年1月份到12月份销售额呈现先下降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)=8,f(3)=2的函数为() A.f(x)=20×
[时间：45分钟 分值：100分] 基础热身 1．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度 单位是℃，t ＝0表示中午12时，其后t 值取为正，则上午8时的温度是( ) A ．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃ 2 则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2 ＋b D ．y ＝a ＋b x 3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x ) D ．f (x )>h (x )>g (x ) 4．某工厂生产一种仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器的每台售价P (元)与每月生产量x 台的关系为P ＝500－x .为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器的台数为________．(注：利润＝销售收入－总成本) 能力提升 5．下列所给4 图K12－1 (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(1)(2)(3) D ．(4)(1)(2) 6．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时) 图K12－ 图K12－3 7．有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用材料隔成三个面积相等的矩形(如图K12－3)，则围成的矩形场地的最大面积为( ) A ．1000 m 2 B ．2000 m 2 C ．2500 m 2 D ．3000 m 2 8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用第Ⅰ组：全员必做题 1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为() 2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是() A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是() A．①B．①②C．①③D．①②③ 4.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示 为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时， 治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二 次服药最迟的时间应为() A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是() A．7层B．8层C．9层D．10层 6.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满
三维空间3R 上凸函数的判定 刘 风 （宿州学院 数学系， 2005级数学与应用数学，安徽 宿州 234000） 摘要：本文从凸集入手，着力讨论空间3R 上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定空间 3R 上凸函数的几个充要条件。 关键词：凸集；凸域； 凸函数;上图 1引 言 在数学分析里面，我们已经讨论了平面上凸函数的一些性质，但是对于多元函数却没有给出凸函数的定义及判定凸函数的充要条件。本文以空间3R 为代表，讨论3R 上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定其凸函数的几个充要条件。 2 凸 集 定义2.1 设X 是任意一实线形空间，M 是X 的一个集合，如果对任意的,x y M ∈以及[]0,1λ∈，都有 ()1x y M λλ+-∈， （1） 则称集合是凸集。 例2.1 设X 是任意一实线形空间，则对任意给定的非零向量z X ∈以及实数c ，集合{}|,H x x z c x X =?≥∈是X 上的一个凸集。 证明：12,x x H ?∈显然有12,x z c x z c ?≥?≥。令()[]121,0,1x tx t x t =+-?∈由于 []0,1t ∈，故有()()12,11tx z tc t x z t c ?≥-?≥-，从而有 ()()1211x z tx z t x z tc t c ?=?+-?≥+-。 即得x H ∈，由凸集的定义可知，H 是X 上的一个凸集。 定义2.2 若区域2 D R ?上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸域。即若D 是 2R 上的凸域，则对任意两点()()111222,,,P x y P x y D ∈以及对任意的实数[]0,1λ∈，都有 ()()()1 2 1 2 1,1P x x y y D λλλλ+-+-∈ 。 （2）
第一章凸集 1、仿射集 1.1、定义：任意以及都有； 直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内； 1.2、仿射集的关联子空间： 如果是仿射集，且，则集合是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，，可以是C中任意一点；定义C的维数为子空间V的维数（向量基的个数）; 1.3、线性方程组的解集: 等价于仿射集且其关联的子空间是就是的的零空间即; 1.4、仿射组合： 如果，称为的仿射组合； 如果是仿射集，，且，那么； 集合C是仿射集集合包含其中任意点的仿射组合； 1.5、仿射包： 集合C中的点的所有仿射组合组成的集合记为C的仿射包 ，；仿射包是包含的最小的仿射集合； 1.6、仿射维数： 集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基； 如果集合的仿射维数小于n ，那么这个集合在仿射集合中; 1.7、集合相对内部： 定义为的内部，记为，即; 集合内部：由其内点构成，内点为; 1.8、集合的相对边界： 集合C的相对边界定义为，为C的闭包； 集合C的边界定义为; ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2.凸集： 如果，，，都有； 直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集； 2.1、凸组合： 如果，，，称为的凸组合； 点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，代表混合时所占的份数。 如果点在凸集内，则它们的凸组合仍在凸集内； C是凸集集合包含其中所有点的凸组合； 2.2、集合的凸包： 集合C中所有点的凸组合，; C的凸包是包含C的最小凸集； 2.3、无穷级数的凸组合： 假设，，，并且，，、、，为凸集，
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：凸函数与极值 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名哦哦学号09031432 指导教师啊啊啊职称副教授 2013年月日
毕业论文（设计）评语及成绩
承诺书 本人哦哦，哈尔滨学院理学院数学与应用数学 专业 09—4 班学生，学号： 09031432 。 本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。 承诺人：董春 年月日
目录 摘要 (1) Abstract (2) 前言 (3) 第一章凸函数的定义与性质 (4) 1.1 一元凸函数的定义与性质 (4) 1.1.1一元凸函数的定义 (4) 1.1.2一元凸函数的性质 (4) 1.1.3一元凸函数的判定 (7) 1.2 多元凸函数的定义与性质 (9) 1.2.1多元凸函数的定义 (9) 1.2.2多元凸函数的性质 (10) 1.2.3多元凸函数的判定 (10) 第二章极值的定义与判别法 (14) 2.1一元函数极值 (14) 2.1.1一元函数极值的定义 (14) 2.1.2一元函数极值的判定 (14) 2.1.3可导凸函数极值问题 (15) 2.1.4一般凸函数极值问题 (17) 2.2 多元函数极值 (18) 2.1.1多元函数极值的定义 (18) 2.1.2多元函数极值的判定 (19) 第三章凸函数与极值相关理论 (22) 第四章利用凸函数求解极值问题 (24) 4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24) 4.2弓形面积的最值 (26) 参考文献 (30) 后记 (31)
第十二节函数模型及其应用 一、基础知识批注——理解深一点 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x (a >0)． (1)形如f (x )＝x ＋a x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增． 2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减 性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大，逐渐表现为与x 轴平行 随n 值变化而各有不 同 值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x 专题12 函数模型及其应用 1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )． 【解析】 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x . 【答案】 D 2．甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v ．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为（ ）． A ．(1) B ．(3) C ．(1)或(4) D. (1)或(2) （1） （2） （3） （4） 【解析】 根据题目描述分析图像可知D 正确 【答案】 D 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )． A．45.606万元B．45.6万元 C．45.56万元D．45.51万元 【答案】 B 4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 ( )． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 C 5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是 ( )． 第十二节函数模型及其应用 一、基础知识批注——理解深一点 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x (a >0)． (1)形如f (x )＝x ＋a x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增． 2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减 性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表 随x 的增大，逐渐表 随n 值变化而各有不 凸函数及其在不等式证明中的应用 摘要:凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。 关键词:凸函数; 性质; 不等式; Jensen不等式 Convex Function and its Application in the proof Inequality Abstract Convex Function is a kind of important Function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed the definition,property, and discriminant method of the convex Function .At the same time,the theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequality and popularized about the Convex Function. Key Words Convex Function; property; Inequality; Jensen Inequality 目录 题目：凸函数及其在不等式证明中的应用 (1) 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 (1) 1凸函数的定义、性质及判定定理 (1) 1.1凸函数的定义 (1) 1.2凸函数的几种等价定义 (2) 1.3凸函数的性质及定理 (3) 2关于凸函数的四个不等式 (4) 2.1 Jensen不等式1 (4) 2.2 Jensen不等式2 (4) 2.3 Holder不等式1 (5) 2.4 Holder不等式2 (6) 3凸函数在不等式证明中的应用 (7) 3.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式 (7) 3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 (9) 3.3凸函数在积分不等式中的应用. (10) 4凸函数的推广 (11) 4.1凸函数的定义推广 (11) 4.2凸函数的性质及定理推广 (12) 4.2.1凸函数的性质推广 (12) 4.2.2凸函数的定理推广 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (16) “凸优化”教学大纲 ?基本目的： 近年来，随着科学与工程的进步，凸优化理论与方法的研究迅猛发展，在科学与工程计算，数据科学，信号和图像处理，管理科学等诸多领域中得到了广泛应用。通过本课程的学习，掌握凸优化的基本概念，对偶理论，典型的几类凸优化问题的判别及其计算方法，熟悉相关计算软件 ?课程对象： 高年级本科生和研究生。 ?教材： (1)Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex optimization, Cambridge University Press, 2004 参考书 (2)Jorge Nocedal and Stephen Wright, Numerical Optimization, Springer, 2006 (3)袁亚湘，孙文瑜，最优化理论与方法，科学出版社，2003 ?内容提要和学时分配： 1. 凸优化简介， 3学时 课程简介，凸优化问题介绍 2. 凸集，凸函数， 3学时 凸集和凸函数的定义和判别 3. 数值代数基础， 3学时 向量，矩阵，范数，子空间，Cholesky分解，QR分解，特征值分解，奇异值分解 4. 凸优化问题， 6学时 典型的凸优化问题，线性规划和半定规划问题 5. 凸优化模型语言和算法软件，3学时 模型语言：AMPL, CVX, YALMIP; 典型算法软件： SDPT3, Mosek, CPLEX, Gruobi 6. 对偶理论， 3学时 对偶问题的转换和对偶理论 7. 梯度法和线搜索算法，3学时 最速下降法及其复杂度分析，线搜索算法，Barzilar-Borwein 方法 8. 近似点梯度法， 3学时高考数学一轮复习专题12函数模型及其应用押题专练文!
(通用版)202x高考数学一轮复习 2.12 函数模型及其应用讲义 文
凸函数及其在不等式证明中的应用
“凸优化”教学大纲
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