24.1.2垂径定理及其推论教学设计
【教材分析】
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。
【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：
知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
方法与过程目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度与价值观目标:
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
【重点与难点】
重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。【学生分析】
九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。
【教学方法】
鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
【设计理念】
在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。
【教师准备】
《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》
A O
B C
D
E
【教学过程的设计】
问题情境师生活动设计意图
创设情境，导入新课
1.将你手中的圆沿圆心对折，你会
发现圆是一个什么图形？
2.将手中的圆沿直径向上折，你会
发现折痕是圆的一条弦，这条弦
被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到
它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
合作交流，探究新知
1.圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2.垂径定理
（思考）如图：
AB是⊙O的一条
弦，作直径CD，
使C D⊥AB，垂足E。
①这个图形是对
称图形吗
②你能发现图中有哪些相等的线段
和弧？请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。
④你能用几何方法证明这些结论
吗？
⑤你能用符号语言表达这个结论吗？上课之前先检查学生对《问题导
读评价单》的完成情况
将学生分组，然后由小组长发放
《问题生成评价单》，然后小组
根据评价单中的问题进行讨论，
交流。然后由组长进行汇总，选
出小组代表进行发言
我们一起来完成这个结论的证
明
教师出示问题，前两个问题可以
由学生动手操作，并观察结果，
得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发
学生学习兴趣，引导学生进一步
的学习。
圆的对称性由学生发现并总结，
教师进行板书。
教师出示问题
学生小组讨论，发现垂径定理的
证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语
言，用几何符号表达定理的逻辑
关系。教师更正。
教师明确定理中的条件和结论，
初步理解“知二得三”口诀的含
义。
教师循序渐进地将
一个个的问题抛
出，引导学生一步
步地进行思考和总
结，调动学生的学
习积极性，培养学
生的学习习惯。
培养学生的观察能
力，概括能力，分
析能力，从而调动
学生学习积极性，
使学生主动的获得
知识
让学生进一步熟悉
垂径定理的条件与
结论，并为探索垂
径定理的推论打基
础
3．垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
①直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
②你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
例题示范，变式练习
例1.如图。在⊙O中弦AB的长为
8cm，圆心O到AB
的距离OD=3cm，则
⊙O的半径为
cm
（1）连结什么可
得到一个直角三形？
（2）利用什么知识可以解得半
径。
（3）从中你可总结出利用垂径定
理计算的什么技巧？
例2.如图，是赵州桥的几何示意图，若其中
AB是桥
的跨度
为37.4
米,桥拱
高CD为
7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗? 教师提出问题，引导学生进行思
考和讨论。
学生尝试得出垂径定理和推论，
教师规范并板书。
教师提醒学生此中的弦一定不
能是直径。
在例1中教师可通过问题设置,
引导学生联系弦、半径、弦心距
或者拱高等因素，从而构成直角
三角形，利用勾股定理解决问
题。这也是解决计算问题的主要
方法，教师一定要重点重申。
此题是垂径定理计算题中另一
种题型，主要利用将垂径定理、
勾股定理、方程的知识进行综合
应用。
教师在提示后让学生进行小组
讨论，然后进行总结，得出结论，
让学生做好笔记，养成良好的学
习习惯。
让学生亲自探索出
各条推论，以使学
生以后在应用中可
明明白白不加怀疑
的应用知二推三，
并培养学生的团队
意识及资源共享的
意识
垂径定理的应用，
了解圆中辅助线的
添法，并规范论证
书写过程，能利用
图形迅速获取信
息，并找出垂径定
理所需的条件，巩
固并熟练垂径定理
的使用方法
O
A B
D
D
C
B
O
A
灵活应用，提高能力
1.已知：如图,AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，BF ⊥CD. 求证：EC ＝DF
2、已知：如图，⊙O 中 AB 为弦C 为AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD=1cm. 求⊙O 的半径OA.
轻松过关
发放《问题训练评价单》，让学生独立完成其练习题
归纳总结，形成体系
通过这堂课的学习你有什么收获?知道了哪些新知识？学会了做什么
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”．
生独立完成问题评价单中的练习题，老师进行讲评，主要培养学生独立解题能力
学生畅所欲言，从知识、方法、情感态度等方面谈收获，谈体会，并结合本节教学目标，发现在学习中学会了什么，还存在哪些问题。
综合应用，巩固提高课本例题涉及的问题，因此设计该分层推进的补充题，巩固本节所学知识。
鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价，培养学生归纳和语言表达能力。使学生的知识更加完整和清晰，形成知识体系。
.
A O
B
E C
D
F
D C
B
A
O
《24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题导读——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度与价值观目标:
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
【重点与难点】
重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。
1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 2．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米
3.半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.
4.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长
等于 cm
5.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是
通过预习本节内容你未解决的问题有：
自我评价： 小组评价： 教师评价：
O
图 4
E D
C
B
A
《24.1.2垂径定理及推论教学设计问题生成——评价单》
请同学们在预习的基础上，将生成的问题充分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备多元化展示.
带着问题走进丰富多彩的数学世界
1.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
分析通过上述问题，学生自己动手操作可以得出圆是轴对称图形，而且对称轴是过直径的直线，由此我们可以得出垂径定理及推论
归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意在推论里，平分的这条弦一定不能为直径，否则推论不成立。
例1.如图在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为
cm
（1）连结什么可得到一个直角三形？
（2）利用什么知识可以解得半径。
（3）从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
例2.如图，是赵州桥的几何示意图，若
其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高
CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主
桥拱半径吗?
小组评价：教师评价：
O
A B
D
D
C
B O
A
《24.1.2垂径定理及推论教学设计问题训练——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
3．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 4.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A ．5米
B ．8米
C ．7米
D ．53米
5．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或
7cm
6.如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是
7、已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm. 求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小
B
A
P
O
y
x
《24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题导读——评价单》答案1、5 cm 2、63 cm 3、63 cm 4、5 5、6
《24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题训练——评价单》答案【夯实基础】
1、D
2、B
3、D
4、B
5、D
【拓展提升】
60
6、(6，0)
7、（1）253（2）0
27.3(1) 垂径定理 崇明县三乐学校秦健 一、教学内容分析 学情分析：学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系。（即“四等定理”）本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明； 教材分析：垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性. 二、教学目标 1、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 三、教学重点及难点 重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 难点：垂径定理的探索和证明. 四、教学过程 （一）情景引入 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣
52D C B A O 1、观察与思考： 圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？ （二）学习新课 1、思考 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为 M ，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？ （学生观察，猜想，并得出以下结论） ①CO=DO （同圆的半径相等） ②AM=BM,弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC （如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 联结OA 、OB ，则OA=OB. ∵ AB ⊥CD, ∴ AM=BM （等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD, ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC. 2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧. 结合图形写成符号语言： ∵直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ∴ AM=BM ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等）. 弧AC=弧BC. 3、抢答题：如图：已知⊙O 的半径OC 垂直于弦AB,垂足为点D ， AD 长2厘米，弧AB 长5厘米，则AB= 弧 AC= . 4、例题分析 例1、 已知：如图，以点O 为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 两点，
垂径定理 一、教学目标 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入： 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？ （3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） （二）知识探究： 【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到： 1.垂径定理_____________________________________________________ 2.注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 ③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言 如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,? AC =______,? BD =________ 4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ 1.，作一条平分AB 于点M . （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例： 4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,? AC =____? BD =____ (2)如果? AC =? BC 那么CD____AB ，AE______BE ，? BD =____ （3）如果? AD =? BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，? AC =______ （三）典例讲解： 1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m. 求 这段弯路的半径． 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ （四）巩固训练： 题组一 1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。 2.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，求圆心O 到这条弦AB 的距离。 D
一、 ③AE=BE ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥ AB ②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） 连接OA ，OB ∵⌒AD = ⌒BD ∴∠AOD=∠BOD 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB ∠AOE=∠BOE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SAS ） ∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 二、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB ③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：连接OA ，OB 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB AE=BE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90° ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） ∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 21 21
三、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD⊥AB ③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 四、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径） 证明：连接OA，OB ∵CD⊥AB ∴∠AEO=∠BEO=90° 在Rt△AOE和Rt△BOE中 OA=OB OE=OE ∴Rt△AOE≌Rt△BOE（HL） ∴∠AOE=∠BOE，AE=∠BE ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD ∴⌒ CAD= ⌒ CBD = 圆周 ∴CD过圆心（即CD是直径） 五、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 六、②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）④CD⊥AB 2 1
圆部分知识点总结 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1:(1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （２)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 2:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9０°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O 的半径是ｒ，点Ｐ到圆心O 的距离为ｄ,则有： d
《垂径定理》教案 教学目标 知识与技能 1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证. 2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算. 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力. 情感态度 通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点 垂径定理及运用. 教学难点 用垂径定理解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下: ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？ (在纸片上对折操作) 【教学说明】 (1)是轴对称图形，对称轴是直线CD. (2)AM=BM，AC BC AD BD ，. == 二、思考探究，获取新知 探究1垂径定理及其推论的证明. 1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程. 已知:直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M. 求证:AM=BM，AC BC AD BD ， == 【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得AC BC AD BD ，. == 2.得出垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.学生讨论写出已知、求证，并说明. 学生回答: 【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O)，CD为⊙O的直径，AB交CD 于点M，MA=MB. 示证:CD⊥AB，AC BC AD BD ，. == 证明:在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径，∴ == ，. AC BC AD BD 4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？ 学生回答: 【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直. 探究2垂径定理在计算方面的应用. 例1如课本图，弦AB=8cm，CD是圆O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求圆O的直径CD的长. 例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD间的距离. 解:(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、 OC.∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm，OM12cm.在 Rt△OCN中，CN=12cm，ON5cm.∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由(1)可知OM= 12cm，ON=5cm，MN=OM+ ON，∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm. 【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去. 2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD 在O点的两侧. 探究3与垂径定理有关的证明. 例3证明：圆的两条平行线所夹的弧相等.已知：如课本图，在圆O中，弦AB与弦CD平行.证明：弧AC等于弧BD.
2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
E A B C O 1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连 结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）215 （B ）8 （C ）210 （D ）213 答案：D 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则 下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）? ?AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°
答案：C 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 C A D B
增城市实验中学九年级数学备课组 2012年9月21日在增城二中进行了《垂径定理》两节全市公开课，两位老师的上课模式都是以生本教育理念为基础，充分发挥学生的主体作用，采用自主探究、合作交流的学习方式，让学生积极参与到学习中，构成积极、欢乐、高效的课堂。 我们的课堂教学应该是有效的教学，有效备课，备好学生，两为老师的备课是非常充分的，从教师的教案来看，老师对教材的难点重点把握很到位，练习能结合学生的学习特点和掌握情况进行评讲。在教学过程中，两位老师的课堂是有效的上课，教师让学生体验到教育给他带来的无穷快乐，两位老师在课堂上给学生充足的空间，让孩子们自主交流、展示成果、互相质疑，在合作、交流、质疑中主动学习，获取知识和解决问题的能力，经过自己的实践获得知识，他们特别有成就感，自信心增强，在这种氛围中学习，学生们很放松，他们得到了释放，在课堂上很放的开，对学习更加有兴趣了。 用生本教育模式上课，对我们教师的要求更高，在生本高效课堂中，更要突出教师的主导地位，也就是说教师主要起引导作用。如何引导学生参与课堂，成了我们要思考的问题。我们要适当的引领，对于展示的好的地方要给予鼓励，对于展示不到位的要及时给予提示，尽量使得环节完整。在学生展示的过程中还要及时点拨，尤其是重难点知识。点拨尽量做到语言精简、方法恰当、并列举恰当的实例进行补充。这样便于我们的学生在以后的展示过程中抓住重难点。对于学生的语言表达能力、知识归纳的能力的提高会有很大的帮助。这些都是我们在今后的教学中要注意的地方。
小楼中学九年级备课组 听了增城二中赖金佑老师上完一节成功的生本课后，再对比自己备组设置的教案与上课方式给予我们备组很大的启发。赖老师上课方式与教学内容的设置都充分体现她的严谨教学风格。首先从教学内容的设置上看，他设置的教学内容非常严谨，井井有条。特别是习题的设置，层次分明，层层递进，题型各异，而且每道题目都是围绕中考的类型设置。让学生不但熟练掌握本节的内容，而且熟悉中考的题型。整节的内容含量恰当。从教法上看，赖老师的生本教育理念，注重引导学生自己去发现问题，在重点内容的讲解上细致又严谨，时间把握得非常恰当。赖老师能给学生建立一个民主平等的平台，营造一种自觉学习、合作探究的氛围，从而使学生的个性得到张扬，生命得以激扬，综合能力得到提升。
§24.1.2 《 垂直于弦的直径》教案 教学目标： 1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理及其推论；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。 教学重点：使学生掌握垂径定理及其推论、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。 教学过程： 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称和轴对称） 2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是什么特殊位置？（直径所在的直线） 3、观察并回答： （1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？ （相交，而且两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？ 二、新课 （一）猜想，证明，形成垂径定理 1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证） 2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证： 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M。 求证：AE=BE。 4、思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？(参照数本P81) 5、我们给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论以及探讨垂径定理的推论 1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 ① CD是直径、AB是弦 ① AE=BE ②C D⊥② 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。 例1 看下列图形，是否能直接使用垂径定理？ 3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： ①经过圆心得到（结论）①平分弦 一条直线具有（条件）： AC=BC AD=BD
24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：
24.1.2垂径定理及其推论教学设计 【教材分析】 本节是《圆》这一章的重要容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标： 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。 情感态度与价值观目标: 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。 【重点与难点】 重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。 难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。 【学生分析】 九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。 【教学方法】 鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
3.3垂径定理;; 一、教学目标;; 1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 四、教学难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 五、教学过程 （一）导入新课 引导学生说出点与圆的位置关系： （二）讲授新课 活动内容1： 探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径 1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. ２.连接圆上任意两点的线段叫做弦. ３.经过圆心的弦叫做直径 探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
小明发现图中有: 理由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 和重合和重合 AC BC,AD BD. ∴== AC BC,AD BD. 活动2：探究归纳 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
（三）重难点精讲 例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求 AB. 证明：连接OA ， ∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形. 在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：2 22AO OM AM =+， AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. 例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？
垂径定理（第一课时）教学设计 兰甲明 【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P 76~P 78） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被 誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁 界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4 米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） ⌒
二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （图2） （图3） 2．实验验证： 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图3(a)，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB ⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图3(c)，当AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想—— （板书） ?????===????⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆 5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
垂径定理及其推论 一、 复习旧知 复习前面学习的圆的基本元素，重点复习圆心角、弧、弦之间的关系；强调圆是旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形。 二、 情境导入（出示赵州桥图片） 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？现在同学们不会求，但是学了这节课你们就能把主桥拱的半径求出来了。 三、 出示学习目标 1、 利用圆的轴对称性探究垂径定理 2、 理清垂径定理及其推论的题设和结论。 3、 运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 4、 学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法 四、 自学探究 1、如图,在纸上画⊙O ，AB 是⊙O 的一条弦, 作直径CD ⊥AB, 垂足为E.沿CD 折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧? 你能发现什么结论? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 2、得出猜想 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 D
即如果CD⊥AB，那么AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3、请根据猜想写出命题的已知、求证，并写出证明过程 4、得出结论经过证明，以上命题是真命题。即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧是成立的，我们把这个真命题叫做垂径定理 四、检测 1、（出示图形）检查下列图形是否具备应用垂径定理的条件？ 五、例题讲解 已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙半径 技巧总结：从例题看出圆的半径OA，弦心距OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决问题。 六、练习 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 七、思考 将垂径定理的题设和结论调换，命题还成立吗？ 1、如果圆的一条直径平分弦（不是直径），那么它垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 写出此命题的已知求证，并进行证明。 2、经验证，命题是正确的，由此得出垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
《24.1.2 垂径定理》教学设计柳城县寨隆镇中学覃光洋
学 案 导 案 （教学流程） 设计意图 2.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段： . 相等的弧： = ； = . 3.你能用一句话概括这些结论吗？ 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 4.你能用几何方法证明这些结论吗？ 5.你能用符号语言表达这个结论吗？ 如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥ ∴ = ； = ； = (三)探究垂径定理的推论 如上图，若直径CD 平分弦AB 则 1.直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证 明？ 2.你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧） ③如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？ 推论： _______________________________________________________________________． 符号语言：∵CD 是⊙O 的直径 又∵AE=BE ∴CD AB ⊥ = ； = . （四）探究：用垂径定理解决问题 已知：⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求弦AB 的长 归纳：圆中常用辅助线---作弦心距，构造Rt △.弦的一半（2 a ）、弦心距（d)、半径（r ）三个量的数量关系为 . 教师出示问题 学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。 学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正。 教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。 学生尝试得出垂径定理和推论，教师规 范并板书。 教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。 学生先独立完成，再小组交流讨论，让一名学生展示。 教师讲评，引导学生联系弦、半径、弦心距等因素，从而构成直角三角形，利用 勾股定理解决问题。 培养学生的观察能力，概括能力，分析能力， 从而调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。 让学生进一步熟悉垂径定理的条件与结论，并为探索垂径定理的推论打基础。 让学生亲自探索出各条推论，以使学生以后在应用中可明明白白的应用。 巩固并熟练垂径定理的使用方法。 总结规律，培养学生的归纳总结能力。 C A B D E O C A B D E O （图2） （图1）
课题：垂径定理的应用 一、引入：简要复习垂径定理及其推论的内容。 二、题组训练： 教学意图：通过题组训练强化学生对垂径定理及其推论的应用，在此过程中逐步渗透用方程思想来解决几何运算的问题，并介绍弓形的高的概念，目的是分解课本上例3“赵州桥问题”的难度，为下面顺利建立数学模型解决此例题做好准备。 1、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，于D ，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求 ⊙O 的半径OA. （直接应用垂径定理） 2、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦， OC 交AB 于D 且D 为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. （应用垂径定理的推论） 3、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC 交 AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 2cm. 求 ⊙O 的半径OA . （应用垂径定理的推论和方程的思想） 4、如图，在弓形ACB 中，AB ＝16cm ，弓形的高CD 为4cm ，求弓形所在的圆的半径。 （强化垂径定理和方程思想的运用，逐步渗透数学建模的思想。） 5、小结：对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高 h ，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： （1）h d r +=；（2）222)2(h a r += 三、解决“赵州桥问题” 例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的 距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）. 教学程序及意图说明： 1、先用图片和文字介绍赵州桥的历史和特点，激发学生学习的兴趣； 2、展示赵州桥的平面示意图，帮助学生理解题意并初步建立数学模型。 3、分析、讲解建模的过程，给出解题过程。 四、建模强化训练： 1、在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面 宽AB = 600mm ，求油的最大深度. 2、如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3 米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。 五、小结和布置作业。 ·A B O C D ·A B O C D A B
垂径定理一知识讲解(提高) 【学习目标】 1. 理解圆的对称性； 2 .掌握垂径定理及其推论； 3 ?学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题. 【要点梳理】知识点一、垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧? 2. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 要点诠释： (1) 垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即 直径1 J平分弦 垂直于弦j n j平分弦所对的弧 (2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： (1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 (4)圆的两条平行弦所夹的弧相等? 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论?(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分 的弦不能是直径) 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 的半径是______________________ O=如图，。O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为 E，且AB=CD ,已知CE=1，ED=3 ,则Θ O
【答案】 【解析】 【点评】 举一反三: .5. 作OM 丄AB 于M 、ON 丄CD 于N ,连结 OA , T AB=CD , CE=1 , ED=3, ??? OM=EN=I , AM=2 , ? OA= . 22+12=,5. Y B 对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算 题? （配合勾股定理）问 【变式1】如图所示，Θ O 两弦AB CD 垂直相交于 H AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点 MO=HN O 分别作OML AB 于M ONL CD 于 N,则四边形 1 =CN -CH CD -CH 2 1 1 (CH DH ) -CH (3 8) -3 = 2.5 , 2 2 1 1 1 BM AB (BH AH ) (4 6) =5 , 2 2 2 在 Rt △ BOM 中 OB =? BM 2 OM 2 = 55 . 2 【高清ID 号： 356965 关联的位置名称(播放点名称) 【变式2】如图，AB 为Θ O 的弦，M 是AB 上一点， C :例2-例3】 OM= 10Cm 求Θ O 的半径.
垂径定理及其推论练习题 1．下面四个命题中正确的一个是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长 的取值范围是（）（A）5 OM 3≤ ≤（B）5 OM 4≤ ≤ （C）5 OM 3< <（D）5 OM 4< < 4、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m， 则DC的长为（）A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm 5过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 . 6、如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为__________ . 7、如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是_________ cm． 8、如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O 作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_____________ ． 9、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为____________． 10、如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离5cm，则弦AB的长为______________ ． 11、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。 12、在弓形ABC中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。 13、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有条。 14、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为。 15．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是 16．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm 17．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那? E O D C B A