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研究函数零点的常用三法

函数零点是函数应用的一个重要方面，根据函数的零点可以研究方程的近似解，了解函数的变化趋势等．在高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法、单调性分析法．

一、零点定理法

定理：连续函数y=f(x)满足f(a)f(b) <0，则函数在区间(a,b)内存在零点．

例1 设函数)0(ln 31)(>-=

x x x x f ，则y=f(x)（） A ．在区间(e

1，1)，(1,e)内均有零点 B ．在区间(e

1，1)，(1,e)均无零点 C ．在区间(e

1，1)有零点，在区间(1,e)内无零点 D ．在区间(e

1，1)内无零点，在区间(1,e)内有零点【分析】根据函数性质分析函数在(e

1，1)上的变化,再根据零点定理验证区间(1,e)．【解析】根据对数函数性质，当0＜x ＜1时,lnx ＜0，故0ln 3

1)(>-=x x x f ，因此函数y=f(x)在区间(e 1，1)内没有零点，而03

313)(,031)1(<-=-=>=e e e f f ，根据函数零点的存在性定理可知，函数y=f(x)在区间(1,e)内有零点．故选D ．

【知识小结】函数零点的存在性定理是解决函数零点问题的主要根据，这个定理能判断函数零点的存在，并且能找到函数零点所在的区间．在使用函数零点定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数的单调性如何，这个函数在该区间上都不会有零点；二是函数的零点定理只能断定函数在一个区间上零点的存在性，而不能断定在这个区间上零点的个数．

二、数形结合法

函数y=f(x)的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法．例2 函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为（）

A ． 1

B ． 2

C ． 0

D ．不能确定

【分析】构造函数g(x)＝lnx,h(x)=x-2,作出函数的图象,观察两函数图象交点个数．

【解析】如图所示，分别作出g(x)＝lnx,h(x)=x-2的图象，可知函f(x)有两个零点．故选B ．

【知识小结】数形结合法的要点是把函数分成两个函数的差，分拆的基本思想是分拆后的函数图象比较好作，函数的性质是我们较为熟悉的，这样就把要解决的问题转化到我们熟悉的环境下进行解决，在作函数图象时要注意函数性质的指导作用（如单调性、奇偶性），注意函数图象上的一些特殊点等．

三、单调性分析法

当函数在一个区间上单调时，这个函数在该区间上最多只有一个零点，如果有零点，那么函数值在这个零点左右区间内取不同的符号，这种解决函数零点问题的方法称为单调性分析法．

例3 已知函数x x f x 2log )31()(-=，若实数x 0是函数f(x)的零点，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值（）

A ．恒为正值

B ．等于0

C ．恒为负值

D ．不大于0

【分析】函数x x f x 2log )31()(-=是由指数函数与对数函数复合而成,由函数的单调性确定函数的零点个数及函数值的符号．

【解析】根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数x x f x 2log )31()(-=在(0,+∞)上单调递减，这样函数f(x)就至多有一个零点．若有零点的话，函数在零点左侧的函数值恒正、右侧函数值恒负．当0＜x 1＜x 0时，结合函数的图象可知f(x)的值恒为正值．答案选A ．

【知识小结】利用单调性分析法解决函数零点问题的基本思想实际上就是数形结合的思想，其要点是“在指定区间上的单调函数至多有一个零点，如果有零点，那么函数就有唯一的一个零点”，这是解决函数在指定的区间上零点唯一性问题的主要思想方法．

高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-, 则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0, 得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. 6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是 f(x),g(x)的零点,则( A )

高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数()

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-

零点问题的讲解版

零点问题的求解策略（讲课版） 2018.7.9 函数零点问题的定性判定： 1、二次函数零点：由二次函数的判别式来决定零点的个数；若是区间上的问题，还应考虑区间上的最值问题； 2、超越函数的零点问题：由于零点不能直接通过方程求出，从而采用一种“试根法”；即为《零点存在性定理》。定理内容：（请填空）已知函数()f x 在闭区间[],a b 上__________________，并且()f a 与()f b 中_____________，则在该区间内__________________个零点。函数零点问题的定量问题： 1、二分法（此处不做介绍） 2、导数引入：超越函数较难解决方程的直接求解，那么不得不引入导函数这一个工具，，导数可以研究函数的_________________，_____________________。并且零点与上述两个因素密不可分。 3、优先考虑的方法：分离参数法，研究不带参数的函数，通过参数变化以及图像直接求解，但是计算较为繁杂； 4、分类讨论，讨论含有参数的函数。【答案】单调性，最值与极值，/3、、判断零点个数，零点存在性定理与单调性的结合就体现了出来哦！下面一起来探究几个问题吧！（1）()f x 是R 上的连续函数，且在[] ,a b 上单调，那么函数的零点个数为几个？（2）若上述函数不单调，存在一个极值点，那么函数的零点个数如何判定？（3）若函数存在两个极值点（三次函数为例，后期将专题讲解）则零点个数又该如何判定呢？通过上述的三个思考，如何深入这类问题？ 1、零点问题与函数的极值，最值，单调性有着密不可分的关系； 2、零点存在性定理与单调性结合形成既定性又定量的关系； 3、单调函数不一定有零点，取决于它的极限值。 4、（难点）超越函数的试根方法，涉及取点，隐零点，极限问题。那么如何取点，也是一个问题；隐零点又如何确定？（答：设而不求，过渡）涉及的命题点： 1、函数的最值又是一个以参数为主元的函数，决定零点的个数，对含参数函数的研究； 2、求导数以后导函数是一个超越函数，不便于求零点，那么构造这个函数研究其零点问题； 3、涉及函数的极限问题，单调函数是否只有一个零点？它有没有渐近线？预测结果，可以

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案课题：3.1.1 方程的根与函数的零点教材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

求函数零点的几种方法

求函数零点的几种方法 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

函数零点一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。注意：（1）零点不是点；（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围．

高中数学人教A版必修1函数的零点及二分法(无答案)学案

优质资料---欢迎下载函数的零点及二分法 1、引入：已知函数26y x x =-- （1）当x 取何值时，0y =；（2）当x 取何值时，0,0y y >< 2、零点：如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α＝，则α叫做这个函数的零点。 3、二次函数()20y ax bx c a =++≠ （1）方程的根与函数的零点: （2）二次函数零点的性质：注： ①任意的图像是连续不间断的函数，上述性质成立。 ②通过奇数重零点时，函数值变号，这样的零点叫变号零点；通过偶数重零点时，函数值不变号。 ③相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 4、二分法： (1)原理：若函数()y f x =在区间[],a b 上连续不间断，且()()0f a f b ?<，则在[],a b 内至少有一个零点α，使()0f α=。 (2) 定义：对于在区间[],a b 上连续不断，且()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 (3)变号零点：曲线通过零点时变号，此零点叫变号零点；曲线通过零点时不变号，此零点叫不变号零点。 (4)二分法的步骤：见教材P73 三、例题：例1：已知函数3222y x x x =--+（1）求此函数的零点；（2）解不等式y>0 小结：形如：()()()()1200n x x x x x x ---><数轴标根。（系数为1）例2、解不等式：（1）()()()2110x x x --+<3（2）()()()21210x x x --+>

求函数零点的几种方法

函数零点一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。注意：（1）零点不是点；（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是例2若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<<

高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

3．1.1方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根． 2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根?□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?□3函数y＝f(x)有零点． 3．零点的存在性定理 □4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． (2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．() (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．() (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有

f(a)·f(b)<0.() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________． (2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________． (3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5) 『释疑解难』 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c. (2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函

函数零点教学设计

《函数零点》教学设计一、教学目标： 1.函数零点理解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系； 2.理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题； 3.通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识。二、教学重点：函数零点存在性的判断。三、教学难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用。四、教学方法：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务，尝试指导与自主学习相结合。五、教学过程： 1、实例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x．意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．

问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备． 3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫 4、函数零点．概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（D ）A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4 设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根． 5、归纳函数的零点与方程的根的关系．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根； ②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础． 6、零点存在性定理的探索．探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象： ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？，2]；（2）f(x)=e x-1+4x-4，x∈[0，1]．（1）f(x)=log2x，x∈[1 2

考点1零点的求法及零点的个数

考点1 零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---= ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数 222 3+--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222 ,如果函数

函数零点的教学设计

函数的零点教案设计 ※教案背景（1）、课题：函数的零点（2）、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点（3）、课时：1课时 ※教材分析（1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。（2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。 ※教学目标： 1、知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。（2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。（2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。 ※教学重点：是函数零点的概念及求法 ※教学难点：是利用函数的零点作图教学方法： ※教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。 ※教学环节（一）、课前延伸 1、知识链接，温故知新求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。通过学生熟悉一元二次方程入手，观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系，让学生建立数型结合的思想。（用投影仪展示函数图象）【百度搜索】https://www.doczj.com/doc/cf441252.html,/testdetail/26588/

三次函数零点存在性探讨

三次函数零点存在性探讨利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。一.知识准备三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的导函数c bx ax x f ++='23)(2，记ac b 1242-=?，设0)(='x f 的两根为21,x x ，则可以得出下面结论：结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论：性质若三次曲线与x 轴有三个交点，则0>?且0)()(21?且0)()(21=?x f x f ；若三次曲线与x 轴有一个交点，则0>?且0)()(21>?x f x f 或0≤?。二．链接高考题一（2014年高考课标1理科卷第11题）

已知函数32()31,f x ax x =-+若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（） .(2,)A +∞ .(1,)B +∞ .(,2)C -∞ .(,1) D -∞- 分析该题的核心条件是“在唯一的零点0x ，且00x >”，作以下分析：第一步 0=a 时显然不符合题意；第二步 0≠a 时，求导x ax x f 63)(2-='，令0)(='x f ，解得a x x 2,021==。由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为0>?且0)()(21>?x f x f ，即 0)2()0(>?a f f 。结合该三次函数图象以及特殊点（0,1）分析可得0?<0)2()0(0a f f a 可得2-时， ()f x 在2,3a ??-∞- ???，()0,+∞上单调递增，在2,03a ??- ??? 上单调