零点问题的求解策略（讲课版） 2018.7.9 函数零点问题的定性判定： 1、二次函数零点：由二次函数的判别式来决定零点的个数；若是区间上的问题，还应考虑区间上的最值问题； 2、超越函数的零点问题：由于零点不能直接通过方程求出，从而采用一种“试根法”；即为《零点存在性定理》。 定理内容：（请填空） 已知函数()f x 在闭区间[],a b 上__________________，并且()f a 与()f b 中_____________，则在该区间内__________________个零点。 函数零点问题的定量问题： 1、二分法（此处不做介绍） 2、导数引入：超越函数较难解决方程的直接求解，那么不得不引入导函数这一个工具，，导数可以研究函数的_________________，_____________________。并且零点与上述两个因素密不可分。 3、优先考虑的方法：分离参数法，研究不带参数的函数，通过参数变化以及图像直接求解，但是计算较为繁杂； 4、分类讨论，讨论含有参数的函数。 【答案】单调性，最值与极值，/3、、判断零点个数，零点存在性定理与单调性的结合就体现了出来哦！下面一起来探究几个问题吧！ （1）()f x 是R 上的连续函数，且在[] ,a b 上单调，那么函数的零点个数为几个？ （2）若上述函数不单调，存在一个极值点，那么函数的零点个数如何判定？ （3）若函数存在两个极值点（三次函数为例，后期将专题讲解）则零点个数又该如何判定呢？ 通过上述的三个思考，如何深入这类问题？ 1、零点问题与函数的极值，最值，单调性有着密不可分的关系； 2、零点存在性定理与单调性结合形成既定性又定量的关系； 3、单调函数不一定有零点，取决于它的极限值。 4、（难点）超越函数的试根方法，涉及取点，隐零点，极限问题。那么如何取点，也是一个问题；隐零点又如何确定？（答：设而不求，过渡） 涉及的命题点： 1、函数的最值又是一个以参数为主元的函数，决定零点的个数，对含参数函数的研究； 2、求导数以后导函数是一个超越函数，不便于求零点，那么构造这个函数研究其零点问题； 3、涉及函数的极限问题，单调函数是否只有一个零点？它有没有渐近线？预测结果，可以
考点12：零点定理【思维导图】
【常见考法】 考点一：求零点 1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是。 【答案】9 【解析】∵幂函数()f x x α =的图象过点，∴2α=，解得1=2α，∴()1 2f x x =∴()123g x x =-由()1230g x x =-=，得9x =． 2．函数()2 34f x x x =+-的零点是____________.【答案】1,4 -【解析】令f （x ）=0，即x 2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1. 3．若函数()2,01,0x e x f x x x ?≤=?->? ，则函数()1y f x =-的零点是___________. 【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点,则令()10y f x =-=,即() 1f x =,又因为：()2,01,0 x e x f x x x ?≤=?->?,①当0x ≤时,()x f x e =,1x e =,解得0x =. ②当0x >时,()2 1f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =. 综上所以,函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：04．函数y ＝ 11x -的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于. 【答案】8【解析】
函数y 1=11x -与y 2=2sinπx 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，由图象可知,两个函数在[-2,4上共有8个交点,两两关于点(1,0)对称 设对称的两个点的横坐标分别为m 、n 则m+n=2×1=2，故所求的横坐标之和为8，故答案为8. 考点二：零点区间 1．函数()4 2x x f x -=-的零点所在区间是()A ．(1,0) -B ．1(0,4C ．11(,42D ．1(,1)2 【答案】D 【解析】易知函数()f x 为减函数，又121111(402424f -=-=->，11(1)042f =-<，根据零点存在性原理，可知函数()4 2x x f x -=-的零点所在的区间是1(,1)2,故选D.2．函数()2312x f x x -??=- ???的零点所在的区间为（ ）A ．() 0,1B ．() 1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【解析】∵函数()2312x f x x -??=- ???单调递增，∴f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0， 根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2，故选B ． 3．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．() 0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C 【解析】∵f （x ）=ln x +x -3在（0，+∞）上是增函数 f （1）=-2＜0，f （2）=ln2-1＜0，f （3）=ln3＞0 ∴f （2）?f （3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f （x ）=ln x +x -3的零点所在区间为（2，3）故选：C ． 4．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21x f f x e x e --+=-，则函数()f x 的零 点所在区间为（）
高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ） （A ）)31,0( （B ）)2 1 ,31( （C ）)32,21( （D ）)1,3 2( 4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点 B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点 C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点 D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1， 2）有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ） A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0 B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0 C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， ∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ． 7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ） A ． ﹣1或0 B ． 0 C ． ﹣1或1 D ． 0或1 解答：
二次函数的零点：)0(2≠++=a c bx ax y 零点存在性的探索： ① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝） ． ② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象 例1.求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。 例2．求函数y=x 3-x 2-x+2，并画出它的大致图象 二分法求零点： 对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 例1．求函数22)(3 --+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）． ○2 1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2, 2.1,0,4,3,2,1,0 2. 函数2x y -=的单调递增区间为 3. 下列函数是偶函数的是 A. x y = B. 322-=x y C. 21 -=x y D. ]1,0[,2 ∈=x x y 4. 若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（ ）
5.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是 A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 6. 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为 Ａ．(1,2) Ｂ．(2,1)-- Ｃ．(2,1)(1,2)-- Ｄ．(1,1)- 7.若幂函数y =()x f 的图象经过点（9, 13）, 则 8. 函数()()1log 1 43++--=x x x x f 的定义域是 9．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1) D ．一定经过点(1，－1) 10．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0) B ．(2，3) C ．(1，2) D ．(0，1) 11．若log 2 a ＜0，b ?? ? ??21＞1，则( ). A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 11．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x 1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln (x ＋1) 12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). 13．已知函数f (x )＝? ??0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ). 19、已知函数 ()()()1,0,1log ≠>-=a a a x f x a 且， （1）求 ()x f 的定义域； （2）讨论函数()x f 的单调性。 20、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，f(x)=log 2x 求()x f 的解析式
3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2 ()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??，， ， ． 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-， 内公共点的个数为 ． 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5．函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )＝32 , 2,(1),02x x x x ????-<0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取 值范围是________． 答案：[1 2 ，1)∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：
则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2 (一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 三次函数零点存在性探讨 利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。 本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。 一?知识准备 三次函数f(x) ax3 bx2 ex d(a 0)的导函数f (x) 3ax2 2bx c，记 4b2 12ac，设f (x) 0的两根为捲必，则可以得出下面结论： 结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论： 性质若三次曲线与x轴有三个交点，贝U 0且f(xj f(x2) 0 ； 若三次曲线与x轴有两个交点，则0且f(xj f(X2)0 ; 若三次曲线与x轴有一个交点，则0且f(xj f(x2) 0或0 二.链接咼考 题一(2014年高考课标1理科卷第11题) 已知函数f(x) ax 3 3x 2 1,若f(x)存在唯一的零点x o ，且x o 0,则a 的 取值范围是( ) 分析该题的核心条件是“在唯一的零点 x o ，且x o 0 ”，作以下分析： 第一步a 0时显然不符合题意； 第二步 a 0 时，求导 f (x) 3ax 2 6x ，令 f (x) 0，解得 X i 0,X 2 -。 a 由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为 0且f(xj f(X 2)0，即 f(0) f(2) 0。结合该三次函数图象以及特殊点(0,1)分析可得a 0 ； a a 0 第三步解不等式组 2 可得 a 2，选C 。 f(0) f(-) 0 a 总结 本题的切入点即为三次函数有唯一零点，在具体的解题过程中，应该 充分把握函数的特殊点，并结合函数的图像加以分析，可以取得事半功倍的效果。 无独有偶，在2015年的江苏卷中，再次出现了三次函数的零点存在性问题，许 多考生在解题时束手无策，关键还是对三次函数的图象以及零点存在的条件把握 不到位。 题二(2015高考题江苏卷第19题) 已知函数 f (x) x ax b(a,b R). (1)试讨论f (x)的单调性； (2)若b c a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点 时，a 的取值范围恰好是 ，3 (1,|) (|,)，求c 的值. 分析第(1)题是常规题，着重考虑求导以后对参数 a 的讨论。第(2)题 许多学生会感觉参数混乱，事实上把握住三次函数有三个零点的等价条件， 并将 其转化成关于a 的四次不等式问题，结合多项式不等式的解集与对应方程的解的 关系，整个题目就迎刃而解了。 递减; 简解 (1) f (x) 3x 2 当a 时，f x - 在 当 a 0时，f x 在 3x(x 却 上单调递增; 2a T ，0，上单调递增，在 2a 空,0上单调 3 2ax 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是： 在上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数， 利用已学知识归纳得出：当时(如图1) ，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴 上取得最小值； 当时(图2) ，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴 上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义 2 三次函数的导数 ，把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1： 从最简单的三次函数开始 反思1 ：三次函数的相关性质呢？ 反思2 ：三次函数的相关性质呢？ x y O 反思3 ：三次函数的相关性质呢？ 例题 1.（2012天津理4） 函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究一般三次函数的性质： 先求导 1、单调性： （1 ）若，此时函数() f x在R上是增函数； （2 ）若 ，令两根为 12 ,x x 且， 则 在 上单调递增，在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x 利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 基础梳理 1．确定函数的图像 ①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点； ②．特征线：渐近线，对称轴． 2．函数的零点 ⑵．求函数的零点的知识提示： ①．判别式； ②．介值定理； ③．单调性． 两个注意 ⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域． ⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点． 三个防范 ⑴．． ⑵．． ⑶． 常见函数的图像 ⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像． ⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像． ⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像． ⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像． 双基自测 ⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像． ⑶．画函数x e y x =的图像． ⑷．画函数ln x y x = 的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1 初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像． 指数函数对数函数幂函数性质和基本运算 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 指数.对数.幂函数基本性质和运算 (),0-∞上的单调性 1.求值：（1）33log 5log 15-=____________;(2)2345log 3log 4log 5log 2???=__________ (3)211511336622263a b a b a b ??????-÷-= ??? ???????_____;(4)32 43 16881-??? ???=_________________ 2.比较大小：（1）0.80.73,3；（2）ln1.4,ln1.6（3）32log 2,log 3 （4）372log log 6log 0.8π， ，；（5）0.70.60.6,0.7 3．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4) 4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝ ( ) 5．关于x 的函数y ＝(x －1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，)的图象恒过点________． 6．已知(1)()()1 122432m m --+<-,(2)()()lg 4lg 32m m +>-,求m 的取值范围 7.解不等式：（1）()lg2lg 3x x >-；（2）123142x x +-??≥ ??? ；（3）()12log 242x -≥- 8.函数的定义域（1）x x y --=2) 1(log 2（2）31log (32) y x =-9.已知{}2log ,1A y y x x ==>，1,12x B y y x ??????==>?? ??????? ，求A B 10函数12 log 3,1y x x =+≥的值域 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 幂函数、函数与方程 一、要点回顾： 1.幂函数的定义： 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五 个常用幂函数的图象.并画出图象。 2.观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. （3）幂函数y x α =的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图 象由下至上，指数α . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 3.方程0)(=x f 有实根?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 4.零点定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0)()(≠为常数，且 对数函数模型 ()log (,,,01)a f x b x c a b c a a =+>≠为常数且 幂函数模型 ()(,0)n f x ax b a b a =+≠为常数， 2、解函数应用问题的步骤（四步八字） （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义.。 二、例题分析： 例1、已知函数2 221 (1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式． 练习：若函数2 9 ()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式． 专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上 题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进 而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝? ?? ??－x 3＋3x 2＋t ， x ＜0，x ，x ≥0， t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x ) －1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- 函数零点问题 处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口． 近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大． [典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14 ，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线； (2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数． [思路演示] 解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即????? x 30＋ax 0＋14＝0， 3x 20＋a ＝0， 解得??? x 0＝12 ， a ＝－3 4. 因此，当a ＝－3 4 时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5 4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零 点；若a <－5 4 ，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝1 4，f (1) ＝a ＋5 4 ，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点． ②若－3 三次函数的零点问题1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数 .)(23a x x x x f +--=(Ⅰ)求的极值.)(x f (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.x x f y 与)(=解：(I)=3－2－1'()f x 2x x 若=0，则==－，=1'()f x x 13x 当变化时，，变化情况如下表：x '()f x ()f x x (－∞，－)13－13(－，1)131(1，+∞)'()f x +0－0+ ()f x A 极大值A 极小值A ∴的极大值是，极小值是()f x 15()327f a -=+(1)1f a =-(II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线()f x ()f x =与轴至少有一个交点y ()f x x 结合的单调性可知：()f x 当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线()f x 527a +5(,27a ∈-∞-=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。y ()f x x 当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=()f x a a ∈y 与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。()f x x 13∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点5(,)27a ∈-∞-y ()f x x 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数329()62f x x x x a =-+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34-回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 函数的零点 ■教材：人教版高中数学必修1〖教学设计说明〗 本节课知识点为课程改革后新增内容——通过函数与方程研究进一步探讨函数的性质即函数零点不变性 我所授课的班级为我校普通班学生。班级构成男生较多，思维活跃但落实欠佳，学生的能力一般，属于中等水平。 本节知识在处理过程中主要想通过学生所熟悉的知识入手，引出零点概念——通过功能题组由学生自己总结出1、求函数零点的步骤及2、学生们熟悉的基本初等函数零点情况3、一元高次函数零点的求解方法等——再通过图组引导学生发现并总结出连续函数零点的性质——最后利用零点的性质解决问题。这样的处理方式是想让学生在解决旧问题的过程中收获新知识，并利用新知识解决新问题。在教学中，注意引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念，在这个过程中让学生体会收获知识的快乐，养成学生探求新知的方法和能力。 本节内容希望学生从数、形的双重角度去认识零点，同时还突出零点在作图中的应用。通过PPT 应用，能够使学生在认识上更加直观，同时可以增加课堂的容量。学生热情、活跃，通过多媒体可以使学生增加感性认知。 〖教学设计〗 【教学目标】 （一）知识与技能 理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与 方程根的关系。体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。 （三）情感态度与价值观 让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想，逐步学会用辩证与联系的观点看问题和分析问题。 【教学重点】 【教学难点】 函数零点的应用。 【教学过程】 一、复习引入 请作出函数2 ()23f x x x =--+的草图； 解：解方程得：123,1x x =-= 过与x 轴的交点(3,0),(1,0)-，顶点(1,4)- 函数2 ()23f x x x =--+ (3,0),(1,0)- 令0y = 2230x x --+= 解方程 123,1x x =-= 二、形成概念 零点定义：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点。 三、概念深化及应用 练习1：求下列各函数的零点 请学生总结通过这组练习能得到什么结论？ a 、 求函数零点的步骤。 b 、 不是所有的函数都有零点。例如反比例函数就不存在零点。 辅助作图 2 222 51)2)473)444)235)23 6)(23)(1)7)2y x y x y x x y x x y x x y x x x y = =--=-+=-+=--=---=数 形结合指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
三次函数零点存在性探讨
函数零点问题(讲解)
三次函数性质总结
利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6
指数函数对数函数幂函数性质和基本运算
函数的零点问题
幂函数及函数零点
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
函数的零点问题
【免费下载】三次函数的零点问题
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