《平方根(第1课时)》教学设计
一、内容和内容解析
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已学的数的平方运算基础上，通过逆向思维得出算术平方根的定义、意义和求法。
算术平方根是后面学习平方根、二次根式、一元一次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。学生在七年级上册中已经学习了有理数，而算术平方根的学习，第一次在学生面前展示了无理数的形式，将数的范围由有理数扩充到了实数。因此，本节课内容在整个数学学科的学习中起到承上启下的重要作用，使得学生对于数的认识进行了一次质的飞跃！
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1、经历从实际问题情境中抽象出代数模型，让学生体会其中模型化思想，进一步了解建模思想。
2、通过实际问题抽象为数学问题中让学生体会互逆运算，培养学生的逆向思维。
3、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根并理解根号的意义。
4、会利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。
（二）目标解析
1.学生目前的学习对象已经由具体的数发展为抽象的数学符号，而学生对于思想方法的理解和掌握又是循序渐进的，通过本节的教学，利用“问题情境——建立模型——求解与解释——应用与拓展——回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得相应概念和解决问题的方法，为本章平方根、立方根的学习奠定基础。
2.逆向思维的运用在数学中处处可见，通过该目标消除学生对算术平方根的模糊认识，真正理解该定义，使学生能透过现象看本质，激活思维，学会思考。
3.数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段，而不是复制和一味的灌输，教学中，让学生理解算术平方根的定义，并运用定义分析算术平方根的意义、根号的意义，从而熟练的归纳、概括出求某些数算术平方根的方法。
三、教学问题诊断分析
本课内容由实际问题引入，利用逆向思维，得出算术平方根的定义，学生对于这种抽象思想的理解和体会并不深刻，如果仅停留在模仿和生搬硬套的水平上，方法本身并不难，绝大部分学生能掌握，但是直接以根号的形式出现时，学生会感到茫然、不知所措，这样对于学生思维的发展和能力的提高毫无益处。
因此教学的难点在于理解算术平方根的概念，特别是符号语言与文字叙述之间的转换和联系，能形成抽象的概念。突破这一难点的关键是：给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们在探索和交流中体会概念，体验根号的意义，悟出求算术平方根的方法。
教学难点：算术平方根概念的理解，并能熟练运用。
四、教学支持条件分析
根据本节课教学特点，为更好实现教学目标，可借助计算机辅助教学，借助多媒体高效、便捷的优势，借助幻灯片把一些文字性的内容快速、清晰地呈现，易于在学生脑海中留下深刻印象。
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1：同学们，好消息！
学校要给我们教室装一个正方形屏幕的液晶电视，不过呢校长要考考我们，什么时候过关什么时候就来安装啦！大家有信心吗？
【设计意图】通过从实际生活的切入，引起学生的共鸣，调动课堂活跃气氛，同时又为后面的问题提出做好铺垫。
（二）观察探究、形成新知
问题2：正方形屏幕的边长是100cm，你能知道这屏幕的面积吗？
问题3：正方形屏幕的面积是1m2，你能算出它的边长吗？
师生活动：教师提问，学生快速回答抢答。
【设计意图】先利用直接思维方式，再逆向考虑问题，所选数据便于计算，体会已知面积求边长的方法，同时又为问题4的出现做铺垫。
问题4：若正方形屏幕面积为2m 2，它的边长怎么表示呢？
师生活动：教师引导，即求一个正数的平方等于2。教师提问：你知道哪个正数的平方等于2吗？观察学生反应，提示大家，通过本节课的学习，这个问题便能迎刃而解。
【设计意图】抓住学生好奇的心理，让学生带着疑问去学习，激发他们的求知欲，从而带领学生引入本课知识点中。
问题5：帮一帮：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，他想裁出一块面积为
25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？若面积换成表格中数据呢？
系。
【设计意图】再次熟悉找一个正数的平方等于已知数的方法，让学生自主探索，得出算术平方根的定义。
定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
即：x 2=a （x>0）,x 叫做a 的算术平方根,记作：特殊：0的算术平方根是0a ≥0 师生活动：由学生总结表格中的数据关系，教师给出新名词：算术平方根，得出定义。讲解根号的符号表示和其意义。
【设计意图】由具体到抽象，得出算术平方根否认概念，学生便于理
解并接受，对问题的认识上升到理性的高度。
（三）巩固提高，应用新知
思考：下列各式哪些有意义，哪些没有意义？
（1）（2）（3）（4
师生活动：学生自主思考，自由回答，无意义的说明理由，最后教师引导总结，考察知识点：被开方数应为非负数。
【设计意图】通过实例，a≥0这句话的含义，加强只有非负数才有算术平方根的理解。
例1：求下列各数的算术平方根
（1）100（23）0.0001
师生活动：教师对于第一小题的答题过程进行板书，让学生依葫芦画瓢，再次体验算术平方根的求法。
【设计意图】该例子是对算术平方根定义的直接运用，是对概念理解的加深与巩固。所选数据又兼顾到整数、分数、小数等类型，同时锻炼学生较为薄弱的书写、总结能力。
练习：求下列各数的算术平方根
（1（2）22
师生活动：让学生先动手做，遇到问题小组讨论解决，最后学生总结解题方法，不到位处教师引导、补充。
【设计意图】对于带分数在不少问题中都需要转换为假分数来解决，但是受小学里学习的影响，不少学生没有这种习惯，从而影响解题。另外，被开方数以平方的形式出现，学生习惯先求值再开方，这里可以对后面探究做铺垫。
__________________
师生活动：让学生独立思考，有不少学生以为结果为4，不忙给出结果，打出：16的算术平方根是__________，然后再次让学生讨论，比较16与区别和联系，引导学生先去化简再进行求值。
【设计意图】关键考查学生对于根号的理解程度，为下一题的讲解做准备。通过对比学习法帮助学生分析、理解，数学学习中，不少代数问题上都涉及到先化简再进行解题的一般思路。
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
，，
师生活动：学生自主解题，总结归纳本题的出题本意。
【设计意图】本题主要是对算术平方根概念和根号意义的双重考查，是学生向数学符号语言的一步大的跨越，既是本课重点，又是学生掌握的难点。
练习：求下列各式的值。
（1）（2）（3）
【设计意图】既是对“想一想”知识的巩固，又是再次体验先化简再求值的重要性。
（四）归纳反思，深化新知
课堂反馈：
1. 81的算术平方根是______,
算术平方根是3的数是____________
2.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是______
3.下列各式中，正确的是（）
A B
C D
4.判断
（1）5是25的算术平方根（）
（2）36的算术平方根是-6 （）
（3）0.001是0.1的算术平方根（）
（4）-25的算术平方根是-5 （）
5.若，则求
师生活动：在规定的时间内让学生独立完成，由学生来对题目进行讲解，说明理由，必要时，教师加以引导、补充。
【设计意图】及时的课堂反馈，可以看出学生对于本节课内容的理解和掌握情况，及时发现问题，有助课后进行有针对性的加强训练。
提问：回顾问题4：现在知道面积为2m2的正方形边长了吗？
【设计意图】前后呼应，对于本课知识的再次肯定，又为下节课无理数的讲解做铺垫。
提问：今天你有什么收获？
师生活动：自由发言，概括本节课主要内容，教师梳理，并强调本课重点。
【设计意图】教师引导学生归纳本课知识要点，使学生对算术平方根的概念及其应用有一个较为整体、全面的认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。
作业：
必做题：课本75页习题13.1第1、2题.
选做题：（1）3x-4为25的算术平方根，求x的值。
（2）2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，求a,b的值。
【设计意图】必做题中的作业既是对算术平方根的概念及其应用的一次练习，又是学生对该内容掌握情况的反映。选做题中的作业有一定的难度，可以让有能力的学生有一个知识的提高。
平方根(第1课时)》教后感
通州区先锋初级中学黄孝培
上完本节课之后，本人有以下几点看法：
1.导入切合实际，能引起学生共鸣，激发学生求知欲。问题情境的创设将学生带入到问题情景之中，将学生的注意力吸引过来，当我再次提问时，学生的思维就开始集中，好奇心和好胜心的驱使下，学生的参与变得有效。
2.调动出课堂气氛，用亲和、平等的态度融入到学生中。让学生畅所欲言，没有约束。
3.概念的引入贴切，能加强学生的理解。通过从已知正方形边长求面积，到已知面积求边长的转换下，学生便于接受理解，同时，已知的正方形面积的数据从能直接开平方的出发，由熟悉的知识开道，避免了学生的厌烦、排斥心理。
4.带着问题的学习，能使学生在求知欲的驱使下集中精力听课。因此当正方形面积换为2时，学生顺畅的思维出现了停顿，疑问产生的同时，引导进入今天的主题内容，时刻抓住学生的眼球。
5.讲解细致，抓基础、讲方法，突出本课重点，力求让每位学生带着问题上课，解决好问题下课。每位学生对待题目时思考方式、方法都是不同的，对于他们出现的问题，当场解决，使得对数学的学习产生信心。
6.把课堂留给学生、把时间让学生去分配。通过小组讨论等方式，留给学生充裕的时间自己去探究，这样得到的知识才是有效的。教师只是课堂的引导者，不能为了课时计划而追求速度，放弃对学生的关注。这样的课堂只是教师的课堂，而不是学生的舞台。
在教学中，我也发现有不少地方处理不是很恰当，方法运用不是很到位，考虑问题不是很全面，存在着不足之处有待改进：
1.在引入之后，又把课本上的引言放了进来，本来目的是可以通过表格上下数据间的关系直观的反映得出概念。但是这样的处理给人感觉有种重复，二次引入的错觉。
2.引入上花的时间相对较多，整堂课在时间分配上的处理有些不妥。
3.学生对于根号的理解不是很好，当解决“想一想”时同样是求算术平方根，但是用根号的形式给出，不少学生的反应不是很理想。在讲解概念时，这方面的强调少了一些。
4.课堂上因为时间有限，所练题目数量较少，所讲题目类型不全，课后还应多加训练、巩固，多提供一些不同类型的题目让他们去做，慢慢强化学生对算术平方根概念的理解。
5.整个课堂的设计还是受到了传统教学的影响，在实际教学的进行中，学生的主体性没有完全的体现出来，因为考虑到时间因素，给他们讨论、探究的时间不够，不能满足于每个学生的需求。
6.在课堂反馈的讲解中，只能反映出部分学生完成情况，如果分小组后，进行交换评讲，最后再统计学生完成的情况，这样对于整体学生的掌握情况就能心中有数了。在今后的课堂中要注意学生学习结果的反馈。
在最后的小结中，学生的总结只能说到算术平方根的概念，对于本课的系统性还有待加强，在今后的小结中，注意其时效性，不能只流于形式。
通过本堂课的教学，本人有以下心得体会：
1.俗话说一日之计在于晨，在我看来，一个课堂更需要好的开始，气氛的调动很重要，如果整堂课下来，一直是以学生沉默开始再以学生的沉默告终，那么课堂就只属于教师，真正的主体——学生，却只是看戏的观众。本节课中，我以贴近学生生活的例子出发，唤出学生学习的乐趣和积极性。在平时的教学中，我也十分注重课堂开头的设计，注重去调动学生活跃的劲头，这样的师生才是整体融洽的。
2.放低姿态，用平等的态度对待学生。一直以来，教师在课堂上以施教者的优越感来对待学生，学生的想法必须按照教师的思路进行，若是出现异议，全盘否定。学生是一个独立的人，我们常说三人行必有我师，对于一些问题的看法，学生的想法自有他的道理，适当的引导比一味的打压要强的多。如果学生因此而失去了思考问题的兴趣，那么他们就只是一个个学习的机器而已。本节课在练习
中，有一题是让求的值，原计划是让学生先化简再求值，最后提第二种
解法，但让学生做时，直接利用得出了结果。我极大的肯定了他，同时讲解方法让其他学生理解。对于实在不能理解的学生告知他们用一般解题步骤去做。在平时的教学中，我也注意自己处理的方式、方法。我们班上有个学生喜欢坐在位置上发表他的观点，可是真正喊他站起来时，头低着说话的声音像蚊子一般，我以后索性让他坐着回答所有问题，声音响亮有底气，我和班上学生戏称这是对他的“特别待遇”。
3.教师讲述多遍不如学生一次动手来得深刻。在本次课堂上我让学生自己动手的机会太少，对于知识的理解缺少熟悉感。平日里一些概念、定理的记忆几天后，大部分学生就开始遗忘，特别是几天不用的知识，有些基础较差的学生真的是忘得一干二净。但是我在讲正方体平面展开图时，花了大半课的时间让他们自己动手寻找结果，学生参与的积极性很高，平时上课开小差、等下课的学生都踊
跃起来，抢着到前面展示自己的成果。一周之后再问他们正方体平面展开图有哪几种，依然能用震耳欲聋的声音说出结果。
4.课堂反馈的作用十分重要，但没有充分利用好。课堂反馈的题目是我精心挑选的，但是在使用时却没有达到很好的效果，因为担心时间的关系，规定时间内做完后就开始讲解，了解到的情况只是个别学生的掌握的反映，课后细想，如果把握好时间，按小组为单位，让他们自己统计做题情况，去自审、分析错题原因，或许效果更好些。我有一位同事，她每节课课前五到十分钟进行小题反馈，来了解上一堂课的知识掌握情况，值得我借鉴。
5.课堂小结是对整堂课的一次知识梳理，本节课对于小结的处理比较仓促，没有达到预定目标。如何总结才能达到效果，这是每堂课必须的步骤，如果只是教师总结，学生只是听过而已，自己心里是没留什么痕迹，只有让学生自己去回顾，这样对于本课内容如同放电影一般再过一遍，加深印象，才能真正实现小结的目的。
6.课堂应该是学生的天下，教师，这个课堂的引导者，对自身尺度的把握尤为重要，在今后的教学中，应从每堂课中寻得可取之处加以完善，寻得不足之处加以改进，不断提升自身的教育教学水平。
平方根(第1课时)》点评
通州区育才中学徐国新
一、注重引入与学生实际的联系，在活动中，形成对概念的理解
数学中的概念是抽象的，学生的思维活跃性不强，通过教学情境的创设，调动出学生的课堂学习积极性、参与性，让学生从具体向抽象的转化过程中理解概念，提高学生思维水平。本课从学生所感兴趣的事例出发：要更换液晶电视机了，先引起他们的注意力，再次提问能不能通过考验，激发他们的好奇心，然后设计的三个问题，层层递进，引出本课课题，得出算术平方根的概念。
二、注重理论与实际相结合，所选例题由易到难，符合学生的逻辑思维
本课的重点与难点都是对算术平方根概念的理解和运用。在得出概念之后，首先对于“被开方数是非负数”知识点的考查，让学生在自我判断下加深该结论
的印象，然后是直接运用概念求非负数的算术平方根，所给的非负数包括了整数、假分数、带分数、小数等形式，熟悉过程的情况之下，再以根号的形式来代替文字叙述：求下列各式的值，，，这里又是对根号意义的考查了。学生对于一种新事物的接受能力有一定时间过程，需要通过反复的训练，慢慢的形成一种习惯。
三、注重学生行为能力的培养，提高观察力、分析力、辨别能力以及语言表达力
课堂中，不单是知识的学习，而且是对学生各项能力的培养。在例子的讲解中，教师并非全部包办，而是留给学生充裕的时间，让他们自己去解决问题。教师对于例子中第一小题的板书是为了让学生熟悉书写格式，而怎么做应该由学生
完成。在求下列各数的算术平方根（1）（2）22以及求下列各式的值（1）
（2）（3）中，并没有第一时间去讲解如何求，而是让学生自己去尝试，遇到问题先想一想，再议一议，得出方法：先化简再求值。这种方法既锻炼了学生，又能使学生对于方法的掌握更加牢靠。
在求的算术平方根时，就预料到会有不少学生当成求16的算术平方根来做，先不忙着反驳他们，而是询问16的算术平方根是多少，让他们通过比较之后再思考，很明显，与16是不同的两个数，他们的算术平方根自然不同，让学生在对比之下找到错误的原因，和解决的办法。
四、注重学生的当堂反馈，及时掌握学生知识的掌握情况，进行查漏补缺
本节课的知识点学生是否理解、是否掌握，掌握的程度如何，这是教师在一堂课下来首要关注的事情。如何来了解呢，可以通过小结、课堂反馈练习来关注学生是否吃透概念，在反馈练习中所选题目形式较全面，填空、选择、判断、解答，从多角度考查学生的理解情况。所选题目紧紧围绕本课的知识要点：算术平方根的概念及其运用，题目难度符合学生的能力范围。
五、注重学生学习自信心的培养，提高学生对于数学学习的兴趣，
建立良好的师生关系
在教学中，对于一些学生标新立异的回答和想法，不能一味的打压和全盘否定。学生学习兴趣的培养是平时一点一滴中积累的，教师在学生的心目中地位是重要的，教师的一言一行直接影响到学生的心理和行为。适当的肯定和表扬可以拉近教师与学生之间的距离，又能增强学生学习的自信心。数学是严肃的，但是数学问题的解决方法却是不唯一的，相信学生、肯定学生、时刻关注学生才能建立完善的师生关系。
课题6.1.1平方根 教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点、难点教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学环节教学过程师生活动 复习导入自主探究 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,- 1 5 ,-3,3,1, 1 5 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值 说出来吗? 25,0,4, 4 25 , 1 144 ,- 1 4 ,1.69 探究1学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一 块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多少dm？ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问 题。 定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么 这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作 “根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 探究2例1 求下列各数的算术平方根: (1) 100 (2) 1 (3) 49 64 (4) 196 (5) 0.0001 观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应 点算术平方根也越大 练一练 1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;? ()26- 的算术平方根是__________，4的算术平方根是 81的算术平方根是 师生问答 情境引入学生 看课本40页，思 考问题并填表。 教师板书课 题，定义 学生思考，小 组交流，教师 点拨。
第3章 实数 3.1 平方根 第1课时 平方根、算术平方根 1．能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根． 2．理解开方与乘方两者之间的联系与区别． 3．认识非负数的平方根特点． 自学指导：阅读课本P105-118，完成下列问题. 知识探究 1、算一算： ()23±=9， ()25±=25， 212?? ±???=14， 2 45?? ±???=1625 2.平方根：如果有一个数r ，使得2r =a ，那么我们把r 叫作a 的一个平方根， ()2r ±=a ，所以a 的平方根有且只有两个： r 与-r 算术平方根： 把a 的 正平方根 叫作a 的算术平方根。 3.正数a 的平方根表示为 负平方根表示为 如“５”的平方根记作 ；负平方根记作 4、一个正数的两个平方根的关系是 互为相反数 5、由于()200=，所以零的平方根是 0 ，零的算术平方根是 0 ，记作 6、()2？＝－８ ()2?＝－２５ 因此 负数 没有平方根。 7、()22=± 4 ， 2± ，所以开平方与平方互为 逆 运算。 自学反馈 (1)25的算术平方根是5，3是9的算术平方根是2 (2)切一块面积为16 cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？ 解：4 cm. 3的算术平方根；如果-x 2有平方根，那么x 的值为0. (4)一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8的数是(D)
A.a＋8 B.a-4 C.a2-8 D.a2＋8 (5)=0.18，=900. (6)用计算器求下列各数的算术平方根. ①625; ②101.203 6; ③5(精确到0.01). 活动1 小组讨论 例1求下列各数的平方根： (1)121; (2)0.81; (3) 9 16 ; (4)0. 解：(1)=±11; (2)=±0.9; (3)±34; (4) 求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数. 例2 已知一个正数x的两个平方根是a+1和a-3，则a的值是多少？ 解：依题意，得(a+1)+(a-3)=0,∴a=1. 一个正数的平方根有两个且互为相反数. 活动2 跟踪训练 1.下列说法不正确的是(C) 2的平方根2的平方根 C.2 D.2 一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根. 2.求下列各式的值： (1); (4) 解：(1)±1.7；(2)-16 13 ；(3) 5 4 ；(4)±11. 先弄清题目的实际意义再求值. 活动3 课堂小结 一个正数的平方根是一对相反数，因此求一个正数的平方根，往往只要能求出它的算术平方根，也就可以求出它的平方根. 教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.
平方根（13.1 算术平方根）第一课时 韩友斌山阳县户垣中学 教案依据《平《实数》第一节本节是人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第 十三章方根》第一课时：算术平方根。算术平方根的教育价值不仅因为它初中数学的一个本课教材所处位置是本章的第一节，因为有些正有理数的算术平方根不能重要概念，也是学习二次根式及一元二次方程的基础，2为代表的这由于对于以用有理数来表示，很自然地要推动数的范围扩张——引进新数。类数求近似值的探讨，既能够让学生了解到这类数的本质特征是无限不循环小数，同时也能够通过求其近似值的过程，让学生体验到一种重要的数学思想——“逼近法”思想。由此看来，学生正确合理地建构算术平方根的意义，不仅影响到以后数学知识的学习，也影响到以后在数学思想方法及情感体验方面的发展。 教学课题 算数平方根 设计思想 1、学情分析：学生已掌握一些平方数，能说出一些平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识。 2. 相应的教法：从一些完全平方数入手，引入概念，设置疑问，动手操作，再根据实践需要，教师从方法上指导师生合作探究、小组合作学习。 3. 具体措施：精讲多练，教师担任设计活动、调节气氛、整理归纳的导演作用，学生是表现者、活动者、实践者。运用多媒体提高课堂容量，增加形象感与趣味性。通过声像并茂、动静皆宜的表现形式，生动、形象地展示教学内容，扩大学生视野，有效促进课堂教学的大容量、多信息和高效率，有利于学生开发智能、培养能力和提高素质，将教学引入了一个新的境界。 教学方法． 教学方法动手实践、自主探索与合作交流是学习的重要方式，在教学中我采用先学后教，当堂训练，引导学生思考，探究，交流，学生在这样的学习过程中对知识进行认识、体会和内化。 教学任务分析
《平方根》教学设计（第1课时） 一、内容和内容解析 1．内容 算术平方根的概念，被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 2．内容解析 算术平方根是初中数学中的重要概念，引入算术平方根，是解决实际问题的需要．作为《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，一方面可为后续研究平方根、立方根提供方法上的借鉴，另一方面也是为认识无理数，完成数集的扩充，解决数学内部运算，以及二次根式的学习等作准备． 算术平方根的概念分两个部分，分别是关于一个正数算术平方根的定义和关于0的算术平方根的规定．由算术平方根的概念引出其符号表示、读法及什么是被开方数．根据算术平方根的概念，可以利用互逆关系，求一些数的算术平方根．根据这些数的算术平方根的结果，不难归纳得出“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的结论，其间体现了从特殊到一般的思想方法． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：算术平方根的概念和求法． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根． （2）会求一些数的算术平方根． 2．目标解析 （1）学生能说出正数的算术平方根的定义，记住0的算术平方根是0；会用符号 表示一个非负数的算术平方根，并能正确读出符号，能够说出中数的名称；理解符号中被开方数≥0(即是一个非负数)的条件，了解也是一个非负数．（2）学生能依据算术平方根的定义判断一个数有没有算术平方根；掌握用平方运算求某些数的算术平方根的方法，会求出100以内完全平方数或分子、分母均是这类数的分数的算术平方根，以及上述这类数扩大(或缩小)100倍、10000倍的数的算术平方根；了解被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 三、教学问题诊断分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识．但对于算术平方根为什么只是就正数进行定义，并对0的算术平方根作出规定，大多数学生不习惯．还有就是负数没有算术平方根，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到(0不能作除数除外)；加之算术平方根的符号表示只涉及一个数，这与前面所学都涉及两个数的运算不一样，学生可能难以理解．
6.1.1平方根 第一课时 【教学目标】 知识与技能： 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 过程与方法： 通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义． 情感态度与价值观： 通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备． 教学重点：算术平方根的概念和求法． 教学难点：算术平方根的求法． 教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器． 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5． 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、 25 4，那么正方形的边长分别是多少呢？
学生会求出边长分别是1、3、4、6、5 2，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导． 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题． 2.归纳： ⑴算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根． ⑵算术平方根的表示方法： a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数． 三、应用： 例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵6449 ⑶9 71 ⑷0001.0 ⑸0 解：⑴因为,100102=所以100的算术平方根是10，即10100=； ⑵因为6449)87(2=，所以6449的算术平方根是87，即8 76449=； ⑶因为916)34(,9169712==，所以971的算术平方根是34，即3 4916971==； ⑷因为0001.001.02=，所以0001.0的算术平方根是01.0，即01.00001.0=； ⑸因为002=，所以0的算术平方根是0，即00=． 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0的算术平方根是0． 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
13.1平方根（第2课时） [学习目标] 1. 明确平方根与算术平方根的联系与区别 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根和平方根并会用符号表示. 教学过程 一、[学]导P33 7.8 7.填空： （1）0.36的平方根是__________； （2）9的平方根是___________； （3）3的算术平方根是_____________； （4）（-3 1）2的算术平方根是___________. 8.判断下列说法正确是否正确： （1）4的平方根是2； （ ） （2）0的平方根是0； （ ） （3）-1的平方根是-1； （ ） (4)-9没有平方根； （ ） (5)0.9的平方根是±0.3； （ ） （6）49等于7； （ ） （7）5表示5的算术平方根； （ ） （8）6±表示6的平方根. （ ） 二、导导P33 9.10.11 9.请用符号表示下列各数的平方根并写出其结果. （1）0.04； （2）400； （3）25. 10.请用符号表示下列各数的平方根并写出其结果。 （1）0.04； （2） 4 1； （3）0.16.
11.小明要剪一个面积为9cm 2的正方形纸片，则边长是多少呢？如果还想剪一个面积为7cm 2的正方形纸片，则边长又是多少呢？ 三、升导P33 12.13.14.15.16 12.（1）一个数的平方等于它本身，这个数是__________； （2）一个数的平方根等于它本身，这个数是__________； （3）一个数的算术平方根等于它本身，这个数是_________. 13．（1）81的算术平方根是____________； （2）（-2）2的算术平方根为____________. 14.直接写出下列各式中x 的值. （1）若x =2，则x=__________； （2）若2+x =2，则x=___________； （3）x 2-25=0，则x=______________； （4）32+x 2=52，则x=____________. 15.（1）22=______，2)3(-=______，25=______， 2)7(-=______，29=______，20=______； （2）对于任意数α，2a =_________. 16．已知3a-1与13-5a 是x 的两个平方根，求x 的值. 小测本：B15 四、作业 书P47 1.2.3.4
13.1平方根（第一课时） ◆随堂检测 1、一般地，如果一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的 记作 读作 ，a 叫做 2、用计算器计算5（精确到0.0001） 3、41 的算术平方根是 4、若一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 5、下列数没有算术平方根的是（ ） A.0 B.-1 C.10 D.102 ◆典例分析 例题：探究20的大小 分析:由一个数越大，这个数的平方从两个方向逼近，可估算20的值 解: ∵255 2020 164222=== ∴ ４ ＜ 20 ＜ ５ 左边试一个比４大的数，右边试一个比5小的数． ∵ 21.164.6 2020 19.364.4222=== ∴ ４.４ ＜ 20 ＜ ４.６ 19.36比21.16更接近20，可令左边+0.05，右边-0.1 ∵25.204.5 2020 8025.1945.4222=== ∴ 4.45 ＜ 20 ＜ ４.5 依此类推，可得20的近似值。 ◆课下作业 ●拓展提高 1、如果2a-18=0，那么a 的算术平方根是 . 2、0.0625的算术平方根是 ，256的算术平方根是 .
31 =的根是． 4、比较大小：15和 4， 21 5- 和 0.5 5、填空找规律（结果精确到0.0001） （1）利用计算器分别求 500 50 5 5.0= = = = （2）由（1）的结果，你能发现什么规律呢? 6、一个正方形的面积是24平方厘米，求这个正方形的周长大约是多少？（精确到0.01） 7、计算下列各数的算术平方根 （1）144 （2）8 10（3）26（4） 225 121 ●体验中考 1、（2009年邵阳市）3最接近的整数是（） A．0 B．2 C．4 D．5 2．（2009年广东省）4的算术平方根是（） A．2 ±B．2 C．D 3、（2009x的取值范围是（）
第二章实数 ２．平方根（二） 西南交大附中田晓红 一．学生起点分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习 中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方 根.本节也为后面学习“立方根”做基础. 二．教学任务分析 《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在 具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及 其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导--- 探索---类比----发现”中发展学习数学的能力. 三．学习目标 知识目标 1.了解平方根、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别和联系. 3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系. 能力目标 1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力. 2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力. 情感目标 1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神. 2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度. 四.教学重点: 1.了解平方根开、平方根的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点: 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算. 3. 五．教学方法
第二章实数 2.平方根（一） 一、学生起点分析 学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性． 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下： ·知识与技能目标 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． ·过程与方法目标 1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力． 2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识． ·情感与态度目标 1．让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲． 教学重点： 了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根． 教学难点： 对算术平方根的概念和性质的理解． 三、教法学法 教学方法：讲授法． 课前准备： 教具：教材，多媒体课件，电脑． 学具：教材，笔，练习本．
四、教学过程： 本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置． 本节课教学流程为： 第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有a 2=2，a = ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2=a ，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习． 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x 2= ，y 2= ，z 2= ，w 2= ． 意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性． 效果：能表示x 2=2，y 2=3，z 2=4，w 2=5；能求得z ＝2，但不能求得x 、y 、w 的值． 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二。 第二环节：初步探究 内容1：情境引出新概念 x 2=2，y 2=3，z 2=4，w 2=5，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性． 效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x 、y 、w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方． 说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？” 内容2：在上面思考的基础上，明晰概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00 ． 意图：对算术平方根概念的认识． 效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容3：简单运用 巩固概念
学科：数学授课教师：张辉贤年级：七总第12课时课题 6.1 平方根（一）课时数 教学目标知识与技能 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方 根，并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算， 过程与方法会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 情感价值观 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实 际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学 生学习数学的兴趣。 教学重点算术平方根的概念。 教学难点根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学方法自主探究 使用媒体多媒体 教学过程 教学 流程 教学活动学生活动设计意图 情境导入 已知一个正方形面积等于25 平方厘米，求他的边长？面积为 36、16、10呢？ 怎样求上面的问题？ 这就要用到平方根的概念， 也就是本章的主要学习内容． 这节课我们先学习有关算术平方 根的概念． 口答引入课题 归纳新知 上面的问题，可以归纳为“已知一个正 数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘 方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个 数． 一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方 归纳得出新知 也可以写 成,读作 “二次根号 a”。 算术平方根的概 念比较抽象，原
归纳新知根．a的算术平方根记为，读作“根号a”， a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式=a (x≥0)中，规定 x =. 思考：这里的数a应该是怎样的数呢？ 试一试：你能根据等式：=144说出 144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出 来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求 出它们的值吗？ 建议：求值时，要按照算术平方根的意义， 写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根 的记法写出对应的值．例如表示25的算 术平方根，因为…… 因之一是学生对 石这个新 的符号的理解要 有一个过程．通 过此问题，使学 生对符号“而” 表示的具体含义 有更具体、更深 刻的认识． 应用新知例．（课本第160页的例1）求下列各数的算 术平方根： （1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001 建议：首先应让学生体验一个数的算术 平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号 来表示它，在此基础上再求出结果，例如求100 的算术平方根，就是求一个数x，使=100， 因为 学生适当模仿，熟练后可 以直接写出结果 例题的解答展示 了求数的算术平 方根的思考过 程．在开始阶段， 宜让学生适当模 仿，熟练后可以 直接写出结果． 探究拓展提出问题：怎样用两个面积为1的小正方形拼 成一个面积为2的大正方形？ 方法1：课本中的方法，略； 方法2： 探究讨论教科书在边空提 出问题“小正方 形的对角线的长 是多少”， 这是为下节介绍 在数轴上画出表 示的点做
第二章实数 ２. 平方根（第2课时） 一、学生起点分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习“立方根”做基础． 二、教学任务分析 《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是 ①了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系． ②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系． ③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的 应用能力． 教学重点是 ①了解平方根、开平方的概念． ②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平 方根和平方根． ③了解平方根与算术平方根的区别与联系． 教学难点是 ①平方根与算术平方根的区别和联系． ②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算． 三、教学过程设计: 本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节第一环节复
习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业． 第一环节 复习旧知 引入新知 内容:方法一 复习引入 1．什么叫算术平方根? 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ． 52的平方等于 254 ，那么25 4 的算术平方根就是_____52_________． 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米． 2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？ 乘方有没有逆运算? 平方与算术平方根之间的关系？ 已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____． 方法二 复习引入 问题 平方等于9，254，49的数还有吗？ 目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash 情景引入，增加动画效果． 效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣． 说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望． 第二环节 : 新课学习 内容 （一）探究新知 填空
6.1 平方根（第2课时） 课题 备课日期年月日课型新授 教学目标 知识与技能 了解有的正数的算术平方根开不尽方； 了解无限不循环小数特点； 会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小. 过程与方法 通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，发展学生的形象思维和抽象思 维； 探究2的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想， 学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小. 情感态度 与价值观 认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情. 教学重点初步感受无理数，能进行比较 教学难点探究2大小 教学方法 教学用具多媒体 课时安排 1 教学内容设计与反思 板书设计: 6.1 平方根 一、无限不循环小数二、估算与比较三、计算器的使用
教 学 内 容 设计与反思 一、情境引入 用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长. 二、探究新知 1.拼法： 按下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形. 2．问题： ①拼成的大正方形的边长是多少？ ②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示 为2，那么2是多大呢？ 3.两端逼近法探究2的大小： ∵12=1,22 =4， ∴1<2<4； ∵1.42=1.96，1.52 =2.25， ∴1.4<2<1.5； ∵1.412=1.988,1.422 =2.0164， ∴1.41<2<1.42； ∵1.4142=1.999396,1.4152 =2.002225， ∴1.414<2<1.415； …… 如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？ 得到：小数位数无限且小数部分不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小 数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出() 用计算器计算，并将计算结果填在表中. 0625.0 625.0 25.6 5.62 625 6250 观察上表，你发现什么了吗？ (1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？ (3)直接写出：_____625000;_____62500==. 得到：被开方数增大(或减小)，则算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左（右）移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左（右）移动一位. 5.例题讲解 调动学生思维的积极性，通过拼图活动，经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深，为实现从有理数 到实数的过渡 作好铺垫. 教师设计问题，逐层深入，对学生进行启 发引导，通过对2的大小估 计，再次从数的角度来感受无 理数的存在性. 培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方 法，感受从两端无限逼近的数 学思想. 使学生明白所有开方开不尽 的正数的算术 平方根同圆周率π一样，都 是无限不循环 小数. 发挥计算器的 作用，使学生掌握使用计算 器计算算术平 方根的方法. 培养学生的观
平方根之教学设计 双沟完全中学：马黎明 2018.2.25
平方根之教学设计 教学目标： 知识与技能： 1、能说出平方根概念，会用根号表示一个数的平方根。 2、知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。 过程与方法： 在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系。 情感态度价值观： 在师生互助、生生互助中给学困生学习的空间，增强学困生学习的信心。 教学重难点： 教学重点：平方根的概念及求法。 教学难点：平方根的求法。 教学方法： 观察讨论交流法 教学媒体 多媒体课件 教学过程： 一、问题导入 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如个面积为25平方米的正方形展厅，它的边长应是多少?如果是50呢？解决这个问题就要运用一种新的运算方法，
这种运算叫做开方。这节课我们就来学习平方根。 二、学习新知 (一)平方根概念 1、结合52=25切入平方根。 2、（出示音频文件）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(二次方根)。 用数学语言表达即为：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根。 (二)平方根性质 1、当出示问题，学生连线 X x 2 42，(－4)2； 23()5，23()5 ；(10)2，(-10)2 02 2、说说16、 25 9 、100、0的平方根是哪些数？ 2、讨论问题:（小组合作） (1)．当一个正数和一个负数互为相反数时，它们的平方有什么关系？ (2)．正数有平方根吗？如果有，有几个？它们的有什么关系？ (3)．0有平方根吗？如果有，它是什么数？ (4)．负数有平方根吗？ 3、通过具体实例弄懂上述问题，然后总结出： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 (三)平方根的表示方法 一个正数a 的正的平方根，用符号“ ”表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“-”表示，a 的平方根合起来记作，其中 读作“二次根号”，
砖井镇中学“136”模式导学稿 年级：八（上）科目：数学执笔人：刘利花执教人：上课时间：备课组长签字：高鑫包科领导签字：总第课时 一、课题：2、2平方根（1） 二、学习目标： 1、学会：理解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个数的算术平方根，掌握算术平方根的求法。 2、会学：通过探究算术平方根的过程，体会平方与开平方是互逆运算的思想方法。 3、乐学：训练学生动脑，动手，动口的能力。 三、学习重难点： 1、重点：理解算术平方根的概念、性质，用根号表示一个数的算术平方根。 2、难点：，掌握算术平方根的求法，体会平方与开平方是互逆的运算。 四、教具学具准备：计算器。 五、教学过程： 【解读目标】学生齐读学习目标，明确学习任务。 【预习反馈】三组4号学生课前展示预习题目（1），四组3号学生课前展示预习题目（2），二组2号学生课前展示预习题目（3）。 预习案 1、预习方法：请同学们认真阅读教材P26—27，讨论完成例1、例2中的问题。然后精读课本，用红色笔勾出重点，用“？”标出自己预习中有疑惑的地方。 2、预习内容：无理数的概念、有理数与无理数的区别、乘方的意义、算术平方根。 3、预习题目： （1）、无理数的概念 （2）、有理数和无理数的区别： ①无理数是小数，有理数是小数或小数。 ②任何一个有理数都可以化为的形式，而无理数则不能。 ③有理数常见的形式有、、、。无理数常见的形态是 与π及化简后含π的数。 （3）、在△ABC中，∠C＝90°， ①已知 a＝12，b＝5，则c＝， ②已知c＝3，b＝2，则a＝ 4、预习困惑： 探究案 【依标自学】 x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？ 2、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 =a，那么这个正数x叫做a的，记作a，读作“根号a”，其中a叫做被开方数。 特别地，规定：0的算术平方根是。 3、a中a的取值有什么要求？答: 【合作探究】 教学点1 利用算术平方根的概念求一个数的算术平方根： 求下列各数的算术平方根
2.2 平方根（第2课时） 精讲案 第一环节 复习旧知 引入新知 1．什么叫算术平方根? 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ． 52的平方等于 254 ，那么25 4 的算术平方根就是_____52 _________． 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米． 2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？ 乘方有没有逆运算? 平方与算术平方根之间的关系？ 已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____． 第二环节 : 新课学习 内容 （一）探究新知 填空 32=(9 ) (－3)2=(9 ) ( )2=9 02=0 (1 2) 2=(14))214= (不存在)2=－4 (1 2-)2=(（二）形成概念(1) 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方
根．而把正的平方根叫做a 的算术平方根． 表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根． 记作 a ±． 例如:(±4)2 =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根． （三）探索平方与开平方的关系: 给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系． （四）概念辨析 平方根与算术平方根的联系与区别 联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种． 2．只有非负数才有平方根和算术平方根． 3． 0的平方根是0，算术平方根也是0． 区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根． 2．表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a ． 第三环节 例题和新知巩固 （一）例题示范 求下列各数的平方根: (1)64；(2)49121 ；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11 解 （1）() 2648=±，648∴±的平方根是，8±=±即； （2）()2 4949771211211111,=∴±±的平方根为，711±=±即； （3）() 20.0004,0.00040.020.02=∴±±的平方根是，0.02=±即； （4）()()()22,25252525=∴±±--2的平方根是， 25=±即； （5）11±的平方根是 （二）巩固练习1．()25-的平方根是 ，_____，49的平方根是_____；
平方根(第1课时) 教学设计 教材分析：平方根是北师大数学教材八年级上册内容，它与乘方互为逆运算，它的引入，从而导出了无理数，使的数的范围扩大到实数，并且它为后面二次根式打下基础，在整个教材中占有很重要的地位。 学情分析：学生对乘方知识的学习不错，开方是乘方的逆运算，学生不难理解，在此基础上老师细心引导，使学生学习更加有兴趣，为学习实数和根式打好基础。 教学目标： 1，了解开平方、平方根和算术平方根的意义及其表示方法．2，理解平方运算与开平方运算是互逆运算的关系． 3，会用平方运算求非负数的平方根与算术平方根。 教学重点：平方根与算术平方根的定义与运算 教学难点：平方根与算术平方根的定义 教具准备：多媒体课件教学流程： 1、情境导入： 教师利用多媒体播放幻灯片1（如图16-1-1所示）．
问题： 要剪出一块面积为25c扩的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 你能用方程表示这个问题吗？试试看． 如果正方形的面积是21c扩，那么它的边长又 是多少呢？ 2.课前热身 根据上述提出的间题，请同学们作如下讨论： （1）这种运算（=25）是已知什么？求什么？ （2）这种运算与平方运算之间存有怎样的关系？ 3、合作探究 （1）整体感知 数学来源于社会生活，并为社会生活服务，为了解决课本开始提出的问题，这节课我们开始学习一种新的运算---开平方运算。 （2）四边互动 互动1： 师：教师利用多媒体演示幻灯片2.
先填空，再观察两种运算的结构特点，回答问题。 平方运算是已知，求；后面的运算是已 知，这节课我们开始学习一种新的运算是。生：先动手操作尝试，再在相互交流的基础上逐个举手回答提出的问题，持续补充完善，达成共识。 师：逐个点击空格，显示答案，验证学生回答的结果。 明确：已知平方的结果，求底数的运算叫做开平方运算，开平方的结果叫做平方根。 若=a(a≥0)，则把求x 的运算叫做开平方运算，开平方运算用符号“”表示（读作“二次根号”或“根号”），其运算结果我们用符号“”表示（读作“正负根号a”），叫做a的平方根，其中非负数平方根“ ”简记为，叫做a的算术平方根。 开平方运算与平方运算是一对互逆的运算。 思考：你知道在中要求a≥0的原因吗？
6 .1平方根（第1课时） 一、教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点 1.重点：算术平方根的概念. 2.难点：算术平方根的概念. （本节课需要的各种图表要提前画好） 三、合作探究 请看下面的例子. 学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （师演示一张面积为25平方分米的纸） （一）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ 答：因为52＝25（板书：因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：所以边长＝5分米）. 这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根. 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 说说6和36这两个数？ ……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正） 说说1和1这两个数？ 同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说） 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根 请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读） （师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生
第六章实数 6.1平方根 第1课时算术平方根 教学目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算用。 3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。 教学重点 算术平方根的意义及其符号表示。 教学难点 求稍复杂数的算术平方根。. 教学过程 一、自学导学 出示下列问题1，并引导学生分析.问题1学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ （1）你算出来的正方形的边长是多少？（2）你是怎样算出来的？ 分析：本题实质是要求一个平方后得25的数，由上面的讨论可知这个数为±5，但考虑正方形的边长不能为负数，所以正方形边长应取5dm。 二、交流协作 归纳出新定义: 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”，a叫作被开方数。 规定:0的算术平方根是0 例1求下列各数的算术平方根： （1）100 （2）49 64 （3）0.0001 从上面的例题可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这个
结论对所有正数都成立。 练习： 1.求下列各数的算术平方根： （1）0.0025 （2）81 （3）32 2.求下列各式的值： （1 （2 （3 误区：忽视算术平方根的意义导致错解 例1 求的算术平方根 分析：正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根。 2222 =9=- - 386415158==11.74949 49781 3.?? ???解：（1）因为3（3），所以（3）的算数平方根是（2）因为，所以的算数平方根是（3）因为0的算数平方根是0,（4的算数平方根是9，而9的算数平方根是3探究:当a 为负数时，a 2有没有算术平方根?其算术平方根与a 有什么关系?举例说明所得结论。 三、展示激励 1.(15分)(1) 式子表示的意思是100的算术平方根，其值为10 （2 表示的意思是（-4）2的算术平方根，其值为4 2.求下列各式的值： （1 （2 ） （2 3.小文房间的面积为10.8m 2，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖边长是多少？ 解：设每块地砖的边长是x m.则120x 2=10.8， x=0.3. 答：每块地砖的边长是0.3m. 4.国际足球比赛的足球场长在100m 到110m 之间，宽在64m 到75m 之间，现有一个长方形足球场，其长是宽的1.5倍，面积是6337.5m 2，问这个足球场是