前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数
3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数
命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数
X为任意无理数
则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题1成立
命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数
X为任意无理数
则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题2成立
命题3：√2为无理数
证明：假设命题不成立
则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2=(p*p)/(q*q)
则p必须是偶数
∵p/q是既约分数
∴q是奇数
∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)
∵2*q*q=p*p
∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n
∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n而m,n∈Z时本式不能成立
故假设不成立，命题3成立
命题4：任何有限小数都是有理数
证明：显而易见~~
下面进入本证明的关键部分
首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）
f(x)= 1(x为有理数)
0(x为无理数)
命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数
证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设 p/q＜m/n 则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数
设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)
则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)
p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n
根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数
∴命题5成立
命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y
将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数
直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y
去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z
显而易见X＜Z＜Y
Z为有理数，命题6成立
根据命题5、6，
任意有理数都不连续，
任意无理数也都不连续，
根据前提3，
则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续
狄利克雷定理的证明https://www.doczj.com/doc/cf4236007.html,work Information Technology Company.2020YEAR
为证明定理本身，我先证明几个引理。 引理1(Bessel 不等式)：若函数()f x 在[,]ππ-上可积，则有 2222011 ()()2n n n a a b f x dx π π π∞=-++≤∑? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 显然：2 2 2[()()]()2()()()m m m f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π π π π π ππ π-- -- -= -+ ???? (*) 其中， 1 ()()()(()cos ()sin )2 m m n n n a f x S x dx f x dx a f x nxdx b f x nxdx π π ππ π πππ=- - - - =++∑???? 由傅立叶级数系数公式可以知道： 2 2201 ()()()2 m m n n n f x S x dx a a b π ππ π=- = ++∑? 2 2 2 222 0011()[(cos sin )]()22m m m n n n n n n a S x dx a nx b nx dx a a b π π ππ ππ==--=++=++∑∑?? 以上各式代入(*)式，可以得到： 2 2 2 2201 0[()()]()()2 m m n n n f x S x dx f x dx a a b π π π π π π=--≤ -= - -+∑?? 另 2 2 2 201()()2m n n n a a b f x dx π π π π=-++≤ ∑? 这个结果对于m N ?∈均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据 此可知“2 2201 ()2m n n n a a b ππ=++∑”这个级数的部分和有界，则引理1成立。 引理2：若函数()f x 是2T π=的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级 数部分和()m S x 可改写为：1 sin()12()() 2sin 2 m m u S x f x u du u ππ π-+=+? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 111()[(()cos )cos (()sin )sin ]2m n f x dx f x nxdx nx f x nxdx nx ππππππ ππ=---=++∑??? 111 sin()1 1111 2()[cos ()]()[cos ]() 222sin 2 x m m n n x m u f u n u x du f x t nt dt f x u du u π ππ π ππ π ππ-==----+=+-=++=+∑∑? ??我在下边给出一个比楼主强的结论！ 收敛定理：设()f x 是[,]a b 的按段光滑函数,如果它满足:
§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-
无穷积分的敛散判别法 摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散 The convergence and divergence method of infinite integral Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言 我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法． 1 无穷积分的定义 定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限 l i m ()u u a f x d x J →∞=? 则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ()a f x dx J +∞ =? 并称()a f x dx +∞? 收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a f x dx +∞? 发散． 类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分： ()()lim b u b u f x dx f x dx →∞-∞=?? 对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义： ()()()b a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞-∞ =+??? ， 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
数学分析第十二章数项级数 阿贝尔判别法狄利克雷判别法 第十四讲
数学分析第十二章数项级数 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法. =,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令 =+++=12(1,2,,), k k v v v k n σ 121232111 ()()().(18) n i i n n n n n i v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立: 证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以 =(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析第十二章数项级数 推论（阿贝尔引理） =12(i),,,max{};n k k εεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有 ≤≤≤=≤∑1 3.(19) n k k k v A ε ε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的. 121232111 ()()()n k k n n n n n k v ε εεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3. A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得
数学分析第十二章数项级数 定理12.15（阿贝尔判别法） 且级数∑n b 收敛, {}n a 0,. n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有 +=<∑. n p k k n b ε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在 正数N ,n n a b ∑则级数收敛. +=≤∑3. n p k k k n a b M ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛. n n a b ∑
无穷积分敛散性的判别法 郑汉彬 摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。 关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。 本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。 1 无穷积分的敛散性 定义1 设函数)(x f 在 ),[+∞a 上有定义,且对)(,x f a b >?在上],[b a 可积,当 ()lim b a b f x dx J →+∞=? 存在,称此极限J 为函数)(x f 在区间),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 ()a J f x dx +∞ =? 这时称积分 ? +∞ a dx x f )(是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分? +∞a dx x f )(发散. 2 无穷积分敛散性的判别法 如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。 柯西收敛准则 因为无穷积分 ? +∞ a dx x f )(的收敛问题即是极限? +∞→A a A dx x f )(lim 的存在问题,所以由极限的柯西收敛
一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 1 2 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ????2 0152等于( ) ＋1 －1 C ．－3－1 D ．－3＋1 3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13
A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2 函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数. 学院 学术论文 论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 【摘要】：本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大 定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x y z +=无解。 【关键字】：费马大定理（FLT ）证明 Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution. Keywords: Proof of FLT (FLT) 引言： 1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。 当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1] 1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。 1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。 据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2] 本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。 为证明定理本身，我先证明几个引理。 引理1(Bessel 不等式)：若函数()f x 在[,]ππ-上可积，则有 2222011 ()()2n n n a a b f x dx π π π∞=-++≤∑? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 显然：2 2 2[()()]()2()()()m m m f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π π ππ π π π π -----= -+ ???? (*) 其中，0 1 ()()()(()cos ()sin )2m m n n n a f x S x dx f x dx a f x nxdx b f x nxdx ππ π π π πππ=-- - - =++∑???? 由傅立叶级数系数公式可以知道：2 2201 ()()()2 m m n n n f x S x dx a a b π ππ π=- = ++∑? 以上各式代入(*)式，可以得到： 2 2 2 2201 0[()()]()()2 m m n n n f x S x dx f x dx a a b π π πππ π=- - ≤ -= - -+∑?? 另 2 2 2 201 ()()2 m n n n a a b f x dx π π π π=-++≤ ∑? 这个结果对于m N ?∈均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据 此可知“2 2201 ()2m n n n a a b ππ=++∑”这个级数的部分和有界，则引理1成立。 引理2：若函数()f x 是2T π=的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级 数部分和()m S x 可改写为：1 sin()12()() 2sin 2 m m u S x f x u du u ππ π-+=+? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 111 sin()1 11112()[cos ()]()[cos ]() 222sin 2 x m m n n x m u f u n u x du f x t nt dt f x u du u π ππ π ππ π ππ-==----+= +-=++=+∑∑? ??我在下边给出一个比楼主强的结论！ 收敛定理：设()f x 是[,]a b 的按段光滑函数,如果它满足: (1)在[,]a b 只有有限个第一类间断点,在补充定义后它可积（应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数）。 [基金项目]长江大学精品课程（概率论与数理统计） Dirichlet 积分的计算方法 赵天玉（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023） [摘要] 著名的Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用．本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分的六种方法． [关键词] Dirichlet 积分；Fourier 变换；Laplace 变换；广义函数 The Calculation Method of Dirichlet Integral ZHAO Tian-yu (School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China) Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of calculation methods for Dirichlet integral is given. Keywords Dirichlet integral ; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function 积分 sin 2 x dx x π +∞ =? 是著名的Dirichlet 积分，在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1] ．因为该积分收敛非绝对收敛，被积 函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿－莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题．文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识．在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题．本文首先综述了计算Dirichlet 积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分四种新方法． 1 含参变量积分方法 我们知道，含参变量积分 sin ()(0)px x F p e dx p x +∞ -= >? （1） 11 000cos cos px px e xydy dx dx e xydy +∞ +∞--??= = ??? ???? 引言 复平面上积分公式及其应用，主要是通过学习Cauchy 积分有关理论的基础上，推导Poisson 积分公式和Schwarz 积分公式，再结合共形映射的相关理论知识，研究不同区域上Dirichlet 问题的解。在一般的教材中，只是单纯的介绍了上半平面和单位圆周上的Poisson 积分公式和Schwarz 积分公式的构造，而对其他常见区域上Dirichlet 问题的解却没有给出推导，缺乏系统性和完善性。我们能否仿照着去推导？其他区域上的Poisson 积分和Schwarz 积分是否亦有类似的结论？本文主要对这些问题加以探究，就是要在深入分析上半平面和单位圆周区域的Dirichlet 问题的解的推导过程中，总结出一般规律和方法，对上半圆周区域，心形区域，两圆所构成的角形区域上的Poisson 积分和Schwarz 积分进行构造，这些成果在理论和应用中很有意义。 1复平面上的积分公式 1.1复平面上的积分公式 本小节内容参考了文献[1]，[2]. 定理1.1.1（Cauchy 积分公式） 设区域D 的边界是周线或复周线C ，()f z 在D 内解析，在=D +C D 上连续，则1() (),()2C f f z d z D i z ζζπζ= ∈-?. 定义1.1.1 设函数()f z 在圆K : z R <内解析，在闭圆上连续，则对于K 内任一点i z re ?=，根据Cauchy 积分公式，有 20 1() 1e ()(R e ) . 22e i i i i R f R f z d f d i z R re θ πθ θ θ ζ ζζθπζπ == = --? ? (1-1) 点z 关于圆周R ζ=的对称点 2 2,i R R e z r z ? * = = §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 & 定理 无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 2 1 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 3 瑕积分的性质与收敛判别 2、写出定理11.6及其推论1的证明。 定理11 .6（比较原则）设定义在[a,b]上的两个函数f 与g ，确定同为,a x =在任何 必发散）。 发散时，必定收敛（或当收敛时，则当上都可积，且满足????∈≤?b a b a b a b a dx x g dx x f dx x f dx x g b a x x g x f b a b u )()()()(] ,(),()(],[],[推论1 又若，则有且c x g x f x g a x =>- →) ()(lim ,0)(： （1） 当0 学年论文 题目：一致收敛判别法总结 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：张学玉 学号：201071010374 指导教师：陶菊春 一致收敛判别法总结 学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春 摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。 Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics. 关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法 Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion 引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。 一、定义 设(){}x S n 是函数项级数()x u n ∑的部分和函数列.若(){}x S n 在数集D 上一致收敛于函数()x S ，则称函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛于函数()x S ，或称函数项级数 ()x u n ∑在D 上一致收敛. 定理：若对?n ，?n a >0使得()()n n a x S x S ≤-()D x ∈?,并且当∞→n 时有 0→n a .则当∞→n 时()x S n 一致收敛于()x S . 例1：若()x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n ，且()x f 与()x g 在[]b a ,上都可积 1.勒贝格积分与黎曼积分的关系的问题？ 我觉得从这个例子来分析最好理解，狄利克雷函数 Q I x D 中的有理数集中的无理数集]1,0[,1]1,0[,0{)(=。对于这个函数在积分区间]1,0[上你试用黎曼积分的定义来积分，步骤如下：将积分区间分割为小区间，然后分别取小区间上函数的上下确界进行求和，然后让小区间无限小，这就存在的问题还是0011)()(10=??=??=?=∑∑?∑i i i i i i i X X X D dx x D ξ?故不能黎曼积分。而勒贝格积分则将积分区间]1,0[分为无理数集和有理数集两部分，)1,0(011010)()()()()(==?+?=?+?=+=+=∑∑???mQ mI mQ mI mQ D mI D dx x D dx x D dx x D i i i i i i Q E I ξξ 这里就存在为什么0,1==mQ mI 的问题，而实变函数中的集合论和测度论就解决这个问题,其实黎曼积分中的mX X =?，因此黎曼积分?勒贝格积分，两者的相同点与不同点就体现在子区间划分和子区间的长度定义，由上面例子可以看出黎曼积分的子区间是一个连着一个构成积分区间整体，而勒贝格积分的子区间不一定一个连着一个，只要可测就行。 2.勒贝格积分能不能计算的问题？ 由黎曼积分?勒贝格积分，你其实一直再求勒贝格积分，对于黎曼可积的函数它的黎曼积分值与勒贝格积分值相同。你之所以觉得没见过求勒贝格积分是因为对于不能够黎曼积分的函数的勒贝格积分没有像数学分析中的牛顿-莱布尼兹 公式?-=b a a F b F dx x f )()()(来直接求该函数的勒贝格积分，而这个不可黎曼积分 函数的勒贝格积分值很多情况下是用一系列可积函数的积分值的极限来求.)(lim )(),(lim )(dx x f dx x f x f x f E n E n n n ??==或者用定义来算。 3.实变的用途问题？ 我个人觉得对于工程问题来说，一般只涉及到黎曼积分，不太可能会涉及勒贝格积分，但对搞理论数学的人来说，它是一个新的概念，新的思想。 4.泛函分析中为什么要定义空间的问题？ 首先阐述三个基本概念(1)函数是数集到数集的映射；(2)泛函是函数集到数集的映射；(3)算子是函数集到函数集的映射。对于为什么要使用空间？我个人觉得定义空间就是为了给数学问题一个分类。比方说给定了一个空间],[b a C ，就在无穷多的函数中挑出了一部分，这些函数就在这个空间上。在偏微分方程中定义空间是为了讨论偏微分方程解的存在性和唯一性，假设你不定义空间，解的存在性和唯一性无法讨论，例如：二阶椭圆方程f u =?它的古典解必须满足二阶偏导数连续，它的解就在空间)(2ΩC 上，而换一个空间)(3ΩC 讨论解的存在性， 一些关于高等数学第一章的思考 高等数学是我们进入大学后接触的第一门课程，也是最基础和重要的课程之一，它会为我们以后的学习提供强有力的工具支持。因此，这也是我们必须学好的一门课程。 高数高数，听上去是很高的，但是有名人曾经说过，高等的并不一定是难得，相反，在高等的观点下，对于许多的问题，我们都会产生一些新的观念和理解，也就会有更多的工具去解决一些问题。但是，这首先需要的是高等数学的理论的严格的建立。历史上牛顿和莱布尼兹首先引入微分的概念，并且成功地用来解决了许多的问题，他们还发现了牛顿-莱布尼兹公式，亦即现在的微积分基本定理。但是，他们当时并不能很好地解释“无穷小”的概念，并且由此引发了数学史上的第二次危机。后来才通过柯西和威尔斯特拉斯的努力才建立起了微积分的严格基础。 既然如此，我想，学习高等数学的首要的原则变一定是严格，每一个定理的证明都必须通过严格的证明，而这一切的基础，我想就是关于实数体系的完备性定理，包括有限覆盖，波尔差诺-威尔斯特拉斯定理，柯西收敛定理，单调有界定理，区间套定理和确界定理。这一个系统建立起了严格的分析的基础，而这是几代人的心血，我们需要怀着虔诚的心来膜拜这些前人的贡献。 现在，刚刚结束了高等数学第一章的学习，由此产生了一些想法，总结了一些经验，在此写下。 一． 关于极限的思考 极限，是我们差不多进入大学以来接触的第一个全新的概念，但是，这，或许也是最难把握的概念之一。 前人的工作就似乎暗示了这一个概念的难以处理，但是，如今我们已经严格地定义了这一个概念，这或许是如今所有自然科学发展的基础。于是，我们认识了N ε-，εδ-语言，这是利用最严格的数学语言来描述的关于极限的定义。下面是我的对定义的一些感想： 1.极限是一种定义在实数集上的一种运算，或者说，实数对于极限运算是完备的，也就是说，利用极限和以前的运算及有 理数，我们可以构造出实数集。为什么要这么说呢，因为，这会让我们对某一些东西有更好地理解。比如： 2121122 2221111 1.lim1...(1)1 2.,1,1 3.lim(1)1114.lim1 (236) n n n n n n n n n n r r r r r x x x x x x x e n n →∞+++→∞→∞++++=<-=+=== +=++++=设则π 等等。这里，有必要提一下狄利克雷定理：1 ,,,c h N N h k Z m k N ∈∈∈-<对于任意的m Q 和存在使得函数项级数一致收敛性的判别法
费马大定理的证明
狄利克雷定理的证明
Dirichlet积分的计算方法
狄利克雷问题的解
无穷积分的性质与收敛判别法
10利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法
一致收敛判别法总结
实变和泛函的一些个人理解
一些关于高等数学第一章的思考
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