§2 无穷积分的性质与收敛判别法
教学目的与要求：
掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点：
无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
教学内容：
本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质
由定义知道，无穷积分
()dx x f a
?
+∞
收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u
a
?在u →+∞时是否存在
极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 &
定理 无穷积分
()dx x f a
?
+∞
收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有
()()()2
1
2
1
u u u a
a
u f x dx f x dx f x dx ε-=
??
。
证明: 由于
()lim a
u f x dx +∞
→+∞
=?
()dx x f u
a
?=(),lim u F u →+∞
所以
()dx x f a
?
+∞
收敛?()lim u F u →+∞
存在?0,G ε?>?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有
()()()2
2
1
1
21|()()|.u u u u a
a
f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-
??
此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。 性质1 (线性性质) 若
()dx x f a
?
+∞
1与()dx x f a
?
+∞
2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则
()()[]dx x f k x f k a
?+∞
+2
2
11 也收敛，且
()()[]dx x f k x f k a ?+∞
+2211=()()dx x f k dx x f k a
a
?
?+∞
+∞
+2211。 （1）
证明: 记()()111lim u a
a
u J f x dx f x dx +∞
→+∞
=
=?
?, ()()222lim u
a
a
u J f x dx f x dx +∞→+∞
==?
?,
!
则()()[]dx x f k x f k a ?+∞
+2211=()()11
22lim u
a u k f x k f x dx →+∞
+?????
=
1122[()()]lim u
u
a
a
u k f x dx k f x dx →+∞
+?? =1
122()()lim lim u u
a
a
u u k f x dx k f x dx →+∞
→+∞
+?
?
=1122k J k J +=1
122()().a
a
k f x dx k f x dx +∞
+∞
+?
?
□
性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dx x f a
?
+∞
与()dx x f b
?
+∞同敛态（即同时收
敛或同时发散），且有
()()()dx x f dx x f dx x f b
b a
a
?
??
+∞
+∞
+=， （2）
其中右边第一项是定积分。 证明: 由于()dx x f a
?
+∞
收敛? ()lim u
a
u f x dx →+∞
?存在.
又
()lim u
a
u f x dx →+∞
?=()()()lim b
u
a
b
u f x dx f x dx →+∞
+??
=()()lim b
u
a
b
u f x dx f x dx →+∞
+?
?, 其中右边第一项是定积分。
所以
()dx x f a
?
+∞
与()dx x f b
?
+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
'
()()()dx x f dx x f dx x f b
b
a
a
?
??
+∞
+∞
+=. □
说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性;
(2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出()dx x f a
?
+∞
收敛的另一充要条件: 任给ε＞0，存在G
≥a ，当u ＞G 时，总有
()u
f x dx ε+∞
。
事实上，
()dx x f a
?
+∞
收敛?J=()lim u a
u f x dx →+∞
?存在
?0,,G a ε?>?≥ 当u G >时,()u
a
f x dx J
ε-
?0,,G a ε?>?≥ 当u G >时,()()()()u
u
a
a
u
f x dx f x dx f x dx ε+∞
-+
?0,,G a ε?>?≥ 当u G >时,
()u
f x dx ε+∞
性质3 若f 在任何有限区间[a ，u] 上可积，且有()dx x f a
?
+∞
收敛，则()dx x f a
?
+∞
亦必收敛，并
有
()dx x f a
?
+∞
≤()dx x f a
?
+∞
。 （3）
证明: 由()dx x f a
?
+∞
收敛，根据柯西准则（必要性），任给ε＞0，存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，
总有
、
()()2
2
1
1
||,u u u u f x dx f x dx ε=
?
利用定积分的绝对值不等式，又有
()2
1
u u f x dx ≤
?
()2
1u u f x dx ε
.
再由柯西准则（充分性），证得
()dx x f a
?
+∞
收敛
又因()()()u
u
a
a
f x dx f x dx u a ≤>??，令u →+∞取极限，立刻得到不等式(3). □
当
()dx x f a
?
+∞
收敛时，称()dx x f a
?
+∞
为绝对收敛, 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。
性质3指出：绝对收敛?收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p ≤1时
dx x
x
p ?
+∞
1
sin 条件收敛)。 二 比较判别法
这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。 由于
()?u a
dx x f 关于上限u 是单调递增的，因此()dx x f a
?
+∞
收敛的充要条件是()?u
a
dx x f 存在上
界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：
定理（比较法则）设定义在[a ，+∞]上的两个函数f 和g 都在任何有限区G(u)间[a ，u] ：
可积，且满足
()()),[,+∞∈≤a x x g x f ，
则当
()a
g x dx +∞
?
收敛时()dx x f a
?
+∞
必收敛（或者，当()dx x f a
?
+∞
发散时，()a
g x dx +∞
?
发散）。
证明 法一[ 根据P 55 习题2结论: 设f 为定义在[,)a +∞上的增(减)函数. 则()lim x f x →+∞
存在的充要条件为f 在[,)a +∞上有上(下)界 ]. 当
()a
g x dx +∞
?
收敛时,
()()lim lim u
a
u u g x dx G u →+∞→+∞
=?
存在. 又G(u)单增, 从而存在M>0, 使得
F(u)=()()(),[,),u
u a
a
f x dx
g x dx G u M u a ≤=≤?∈+∞?
?即F(u)有上界M. 又显然F(u)单增.
故
|()|()lim lim u a
u u f x dx F u →+∞
→+∞
=?
存在, 从而()dx x f a
?
+∞
必收敛.
法二 由于()a
g x dx +∞?
收敛, 根据柯西准则（必要性）, 对任意0,ε>存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，
总有
()2
1
.u u g x dx ε
又()||(),[,).f x g x x a ≤?∈+∞ 因此有
()()2
2
1
1
||.u u u u f x dx g x dx ε≤
?
根据柯西准则（充分性）,
|()|a
f x dx +∞
?
收敛. □
（
例1 讨论
dx x
x
?
+∞
+0
2
1sin 的收敛性。 解 由于21sin x x +≤2
11x +，x ∈[0,)+∞，以及2102π
=+?+∞x dx 为收敛（§1例4）
，根据比较法则，dx x
x
?
+∞
+0
2
1sin 为绝对收敛。 □ 上述比较法极限形式如下：
推论1若f 和g 都在任何[a ，u]上可积，g(x)＞0, 且
()
()
,lim x f x c g x →+∞
=，则有
（ⅰ）当0＜c ＜+∞时，()dx x f a
?
+∞
与()a
g x dx +∞
?
同敛态；
（ⅱ）当c=0时，由
()a
g x dx +∞
?
收敛可推知()dx x f a
?
+∞也收敛； （ⅲ）当c=+∞时，由
()a
g x dx +∞
?
发散可推知()dx x f a
?
+∞
也发散。
证明 (i)
()
,(0,).lim
x f x c c g x →+∞
=∈+∞ 对0,,2
c
M a ε=?>当x M >时, |()||
|,()2f x c c g x -< 即|()|3,2()2
c f x c
g x << 从而由比较法则结合性质2知,
()dx x f a
?
+∞
与()a
g x dx +∞
?
同敛态.
(ii) 由
()
()
0,lim x f x g x →+∞
=对0,,M a ε?>?>当x M >时,
|()|
,()
f x
g x ε<从而|()|(),f x g x ε< 从而由比较法则结合性质2知, 由
()a
g x dx +∞
?
收敛可推知()dx x f a
?
+∞
也收敛.
?
(iii) 由
()
,lim x f x g x →+∞
=+∞对0,,G M a ?>?≥当x M >时,
|()|
,()
f x G
g x ≥从而|()|(),f x Gg x ≥
从而由比较法则结合性质2知, 由
()a
g x dx +∞
?
发散可推知()dx x f a
?
+∞
也发散. □
当选用
p
a
dx
x +∞
?
作为比较对象()a g x dx +∞?时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判
别法）。
推论2 设f 定义于[,)a +∞(a ＞0)，且在任何有限区间[a ，u]上可积，则有：
（ⅰ）当()p x
x f 1
≤，x ∈[,)a +∞，且p ＞1时()dx x f a ?+∞收敛；
（ⅱ）当()p x
x f 1
≥
，x ∈[,)a +∞，且p ≤1时()dx x f a ?+∞发散。 推论3 设f 定义于[,)a +∞，在任何有限区间[a ，u]上可积，且
()lim p
x x
f x λ→+∞
=,
则有：
（ⅰ）当p ＞1，0≤λ＜+∞时，()dx x f a ?+∞
收敛； （ⅱ）当p ≤1，0＜λ≤+∞时，
()dx x f a
?
+∞
发散。
-
例2 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1）
1
x
x e dx α+∞
-?
； 2
）20
+∞
?
.
解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。
1）由于对任何实数α都有
2
2
0lim lim x
x x x x x
x e
e
αα+-→+∞
→+∞?==. 因此根据上述推论3（P=2，λ=0），推知1）对任何实数α都是收敛的。 2）由于
122
lim x x
→+∞
=1，
因此根据上述推论3（P=2
1
，λ=1），推知2）是发散的。 对
()dx x f b
?
∞
-的比较判别亦可类似地进行。
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 ！
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。 定理（狄利克雷判别法）若F （u ）=
()dx x f u
a
?在[,)a +∞上有界，g （x ）在[,)a +∞上当x →+∞时
单调趋于0，则()()dx x g x f a
?
+∞
收敛。
证明 由条件设
()dx x f u
a
?≤M ，u ∈[,)a +∞。任给ε＞0，由于()lim x g x →+∞
=0，因此存在G ≥a ，当
x ＞G 时，有()4g x M
ε
<
。又因g 为单调函数，利用积分第二中值定理（定理的推论），对于任
何u 2＞u 1＞G ，存在ξ∈[u 1，u 2]，使得
()()()()()()dx x f u g dx x f u g dx x g x f u u u u ???
+=2
1
2
1
21ξ
ξ
。
于是有
()()()()()()2
2
1
1
12||u u u u f x g x dx g u f x dx g u f x dx ξ
ξ
≤?+??
??
=()()()()()()????-?+-?
2
12
1u a
a
u a
a
dx x f dx x f u g dx x f dx x f u g ξ
ξ
＜
2244M M M
M
ε
ε
ε?+
?=.
根据柯西准则，证得
()()dx x g x f a
?
+∞
收敛。 □
定理（阿贝尔（Abel ）判别法） 若
()dx x f a
?
+∞
收敛，g （x ）在上单调有界，则()()a
f x
g x dx
+∞
?
收敛。
这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题10）。 例3 /
例4
讨论
dx x x
p
?
+∞
1
sin 与1cos p x x +∞?（p ＞0）的收敛性。
解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论： （ⅰ）当p ＞1时
dx x
x p
?
+∞
1
sin 绝对收敛。这是因为 sin 1
,[1,)p p x x x x ≤∈+∞， 而
?
+∞
1
p
x dx
当p ＞1时收敛，故由比较法则推知1sin p x dx x +∞?收敛。 （ⅱ）当0＜p ≤1时
dx x
x
p ?
+∞
1
sin 条件收敛。这是因为对任意u ≥1，有2cos 1cos sin 1
≤-=?
u xdx u
，
而p x 1
当p ＞0时单调趋于0（x →+∞），故由狄利克雷判别法推知dx x x p
?+∞1sin 当p ＞0时总是收敛的。 另一方面，由于2sin sin 1cos 2,[1,)22p x x x x x x x x ≥=-∈+∞，其中??+∞+∞=12cos 2122cos dt t
t
dx x x 满足狄
利克雷判别条件，是收敛的，
而
?
+∞
1
2x
dx
是发散的，因此当0＜p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。 □ 例5 证明下列无穷积分都是条件收敛的：
?
+∞
1
2sin dx x ，?+∞
1
2cos dx x ，?
+∞
1
4sin dx x x 。
证 前两个无穷积分经换元t=x 2
得到?
+∞
1
2sin dx x =dt t
t ?
+∞
1
2sin ，?+∞1
2cos dx x =dt t
t ?
+∞
1
2cos .
由例3已知它们是条件收敛的。
对于第三个无穷积分，经换元t=x 2
而得
?
+∞
1
4sin dx x x =
?+∞12
sin 2
1dt t ，它也是条件收敛的。 从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷
积分仍有可能收敛(P 269 exe 4)。 课后作业题： 3，4（2）、（4），5（2）、（4）