离散数学期末复习要点与重点大纲
(复习以课本和笔记为主。文中标红为需重点掌握的,祝大家都
能取得好成绩!)
第1章命题逻辑
复习要点
1.理解命题概念,会判别语句是不是命题.理解五个基本联结词:否定P、析取、合取、条件、和双条件及其真值表,理解其他联结词的定义及基本等价式,会将简单命题符号化.具有确定真假意义的陈述句称为命题.
命题必须具备:其一,语句是陈述句;其二,语句有唯一确定的真假意义.
2.理解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法.能熟练地作公式真值表.理解永真式和永假式概念,掌握其判别方法.
判定命题公式类型的方法:其一是真值表法,其二是等价演算法.
3.了解公式等价概念,掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法:等价演算法、列真值表法和主范式方法.4.理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念,熟练掌握它们的求法(真值表法和等价推导法).
命题公式的范式不惟一,但主范式是惟一的.
命题公式A有n个命题变元,A的主析取范式有k个小项,有m个大项,则
n
=
+
k2
m
于是有
(1) A是永真式k=2n(m=0);(2) A是永假式m=2n(k=0);5.了解C是前提集合{A1,A2,…,A m}的有效结论或由A1, A2, …, A m 逻辑地推出C的概念.要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式,掌握命题公式的证明方法:真值表法、直接证法、间接证法.
重点:命题与联结词,真值表,主析取(合取)范式,命题演算
的推理理论.
第2章 谓词逻辑
复习要点
1.理解谓词、量词、个体词、个体域,会将简单命题符号化. 原子命题分成个体词和谓词,个体词可以是具体事物或抽象的概念,分个体常项和个体变项.谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系.
量词分全称量词,存在量词.
命题符号化注意:使用全称量词,特性谓词后用;使用存在量词,特性谓词后用.
2.了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念.掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法.
由原子公式、联结词和量词构成谓词公式.谓词公式具有真值时,才是命题. 在谓词公式xA 或xA 中,x 是指导变元,A 是量词的辖域.会区分约束变元和自由变元.
在非空集合D (个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件.
在任何解释下,谓词公式A 取真值1,A 为逻辑有效式(永真式);公式A 取真值0,A 为永假式;至少有一个解释使公式A 取真值1,A 称为可满足式.
在有限个体域下,消除量词的规则为:设D ={a 1, a 2, …, a n },则
)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧??
)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨??
会求谓词公式的真值,量词的辖域,自由变元、约束变元,以及换名规则、代入规则等.
掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式.并进行谓词公式的等价演算.
3.理解前束范式的概念,掌握求公式的前束范式的方法.
若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211,那么
B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式,其中Q 1,Q 2,…,Q k 只能是或,而x 1, x 2, …, x k 是个体变元,B 是不含量词的谓词公式.前束范式仍然是谓词公式.
重点:翻译;前束范式.
第3章 集合与关系
复习要点
1.理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法.
集合的表示方法:列举法和描述法.
注意:集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分.
掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念. 注意:元素与集合,集合与子集,子集与幂集,与(),空集与所有集合等的关系. 空集,是惟一的,它是任何集合的子集.
集合A 的幂集P (A )=}{A x x , A 的所有子集构成的集合.若A =n ,则P (A )=2n . 2.熟练掌握集合A 和B 的并A B ,交A B ,补集A (A 补集总相对于一个全集).差集A -B ,对称差,A B =(A -B )(B -A ),或A B =(A B )-(A B )等运算. 掌握集合运算律(运算的性质).
3.掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法.
集合的运算问题:其一是进行集合运算;其二是运算式的化简;其三是恒等式证明.
证明方法有二:(1)要证明A =B ,只需证明A B ,又A B ;
(2)通过运算律进行等式推导.
4.了解有序对和笛卡尔积的概念,掌握笛卡尔积的运算. 有序对就是有顺序二元组,如
5.理解关系的概念:二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图,掌握关系的集合运算及复合关系、逆关系的性质与求法.
二元关系是一个有序对集合,},{B y A x y x R ∈∧∈><=,记作xRy . 设A 、B 是两个集合,且|A|=m ,|B|=n ,则从A 到B 可产生的不同的二元关系个
数为nm 2。
关系的表示方法有三种:集合表示法,
关系矩阵:R A ×B ,R 的矩阵
???
? ??==?????/==?n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图:R 是集合上的二元关系,若R ,由结点a i 画有向弧到b j 构成的图形.
空关系是唯一、是任何关系的子集的关系;
全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ?≡;
恒等关系},{A a a a I A ∈><=,恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵. 关系的集合运算有并、交、补、差和对称差.
复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈><==ο;
复合关系矩阵:21R R R M M M ?=(按逻辑运算);
有结合律:(R οS )οT =R ο(S οT ),一般不可交换.
逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-;
逆关系矩阵满足:T R R M M =-1
;
复合关系与逆关系存在:(R οS )-1=S -1οR -1.
6.理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示),掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图,充分条件),知道关系闭包(自反,对称,
传递)的定义和求法.
注:(1)关系性质的充分必要条件:
① R 是自反的I A R ;
②R 是反自反的I A R =;
③R 是对称的 R =R -1;
④R 是反对称的R R -1I A ;
⑤R 是传递的R οR R .
(2)I A 具有自反性,对称性、反对称性和传递性.E A 具有自反性,对称性和传递性.具有反自反性、对称性、反对称性和传递性.
重点:集合的运算,笛卡尔积,关系的性质,复合关系和逆关系,关系的闭包.
第4章 函数
复习要点
1.理解函数概念:函数(映射),函数相等,复合函数和反函数.理解单射、满射和双射等概念,掌握其判别方法.
设f 是集合A 到B 的二元关系,a A ,存在惟一b B ,使得f ,且Dom(f )=A ,f 是一个函数(映射).函数是一种特殊的关系(设A 、B 是两个集合,且|A|=m ,|B|=n ,则从A 到B 可产生的不同的函数关系个数为m n ) .
集合A ×B 的任何子集都是关系,但不一定是函数.函数要求对于定义域A 中每一个元素a ,B 中有且仅有一个元素与a 对应,而关系没有这个限制.
二函数相等是指:定义域相同,对应关系相同,且定义域内的每个元素的对应值都相同.
函数有:单射——若)()(2121a f a f a a ≠?≠;
满射——f (A )=B 或,,A x B y ∈?∈?使得y =f (x ); 双射——单射且满射.
复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ο则 即))(()(x f g x f g =ο. 复合成立的条件:)(Dom )(Ran g f ?.一般g f f g οο≠,但f g h f g h οοοο)()(=.
反函数——若f :A
B 是双射,则有反函数f -1:B A , },)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-,f f g f f g ==-----11111)(,)(οο
重点:函数.
第5章 代数结构
复习要点
1.掌握代数系统中运算及其性质(自反,对称,传递,等幂),会判断某代数系统具有哪种性质。
2. 掌握半群,独异点,群,阿贝尔群,循环群的概念及判定方法。
半群:封闭+可结合。
独异点:封闭+可结合+有幺元。
群:封闭+可结合+有幺元+每个元素有逆元。
阿贝尔群:群+可交换。
循环群:群+有生成元。
3. 掌握同态与同构的概念,理解同态的相关性质,并熟练掌握同态与同构的证明方法。
重点:代数系统的运算性质,群与循环群的证明方法,同构与同态的证明方法。
第7章 图的基本概念
复习要点
1.理解图的概念:结点、边、有向图,无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理.
图是一个有序对
掌握无向边与无向图,有向边与有向图,混合图,零图,平凡图、自回路(环),无向平行边,有向平行边等概念. 简单图,不含平行边和环(自回路)的图、
在无向图中,与结点v (V )关联的边数为结点度数deg (v );在有向图中,以v (V )为终点的边的条数为入度deg -(v ),以v (V )
为起点的边的条数为出度deg +(v ),deg(v )=deg +(v ) +deg -(v ). 无向完全图K n 及其边数)1(21-=n n E ;有向完全图及其边数)1(-=n n E .
了解子图、真子图、补图的概念.
知道图的同构概念,更应知道图同构的必要条件,用其判断图不同构.
重要定理:
(1) 握手定理 设G =
v E v 2)deg(;
(2) 在有向图D =
v V v v v )(deg )(deg ;
(3) 奇数度结点的个数为偶数个.
2.了解路与回路概念.会求路和回路的长度.
了解无向图的连通性,会求无向图的连通分支.了解点割集、边割集、割点、割边等概念.了解有向图的强连通强性;会判别其类型.
设图G =
无向图G 中,结点u , v 存在通路,u , v 是连通的,G 中任意结点u , v 连通,G 是连通图.P (G )表示图G 连通分支的个数.
要知道:强连通??→?必是
单侧连通??→?必是弱连通,反之不成立. 3.掌握邻接矩阵,可达矩阵和距离矩阵的概念,掌握其构造方法及其应用.
4.理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念,掌握欧拉图的判别方法.
通过连通图G 的每条边一次且仅一次的路(回路)是欧拉路(回路).存在欧拉回路的图是欧拉图.
欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复.笔不离开纸,不重复地走完所有的边,走过所有结点,就是所谓的一笔画. 欧拉图或通路的判定定理
(1) 无向连通图G 是欧拉图G 为连通图且G 不含奇数度结
点(即G的所有结点为偶数度);
(2) 非平凡图G含有欧拉路G为连通图且G最多有两个奇数度的结点;
(3) 连通有向图D含有有向欧拉回路D中每个结点的入度=出度.
(4) 连通有向图D含有有向欧拉路D中除两个结点外,其余每个结点的入度=出度,且此两点满足一个结点的入度比出度大1,另一个结点的出度比入度大1.
5.了解汉密尔顿路(回路)、汉密尔顿图的概念,会做简单判断.
通过连通图G的每个结点一次,且仅一次的路(回路),是汉密尔顿路(回路).存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.
汉密尔顿图的充分条件和必要条件
(1) 在无向简单图G=
deg(
)
deg(
,
,,则G是汉密尔顿图.(充分条件)
∈)
u
+
G
v
v
u≥
(2) 有向完全图D=
V,则图D是汉密尔顿图. (充分条件)
(3) 设无向图G=
若此条件不满足,即存在V1V,使得P(G-V!)>V1,则G 一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件).
6.了解树、树叶、生成树和最小生成树等概念,掌握求最小生成树的方法.
连通无回路的无向图是树.树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义).
注意:(1) 树T是连通图;(2)树T满足m=n-1(即边数=顶点数-1).
图G的生成子图是树,该树就是生成树.
每边指定一正数,称为权,每边带权的图称为带权图.G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权,记作W(T).最小生成树是带权最小的生成树.
7.了解有向树、根树等概念.
有向图删去边的方向为树,该图为有向树.
对非平凡有向树,恰有一个结点的入度为0(该结点为树根),其余结点的入度为1,该树为根树.
有关树的求法:
(1)生成树的破圈法和避圈法求法;
(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法;
重点:图的概念,握手定理,路、回路以及图的矩阵表示,欧拉图和哈密顿图的基本概念及判别,树与根树的基本概念,最小生成树的求法.
离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是()
第一章,0命题逻辑 素数 = 质数,合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r),(p∧q)∧┐r,p∧(q∧┐r)等都是合式公式,而pq→r,(p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项,则称A为0层合式 (┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011,其余7个赋值都是成真赋值 第二章,命题逻辑等值演算 (1)双重否定律??A?A (2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A (3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A (4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C);(A∨B)∨C?A∨(B∨C) (5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C);(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C) (6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B ;?(A∧B)??A∨?B (7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A (8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0 (9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A (10)排中律 A∨?A?1 (11)矛盾律 A∧?A?0 (12)蕴涵等值式 A→B??A∨B (13)假言易位 A→B??B→?A (14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A) (15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A (16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A
A i(i=1,2,…,s)为简单合取式,则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真,∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (*) = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下: ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项,它的主析取范式中含了22=4个极小项,故它为重言式, 00,01,10,11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式
《离散数学》试卷(A 卷) 一、 选择题(共5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3,则4+5=9; B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3,则4+5≠9; D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时,下列公式( C )不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质( B )。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是( D )。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题(共 5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设|A|=4,|P(B)|=32,|P(A ?B)|=128,则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?,其中)(x P :x=1, )(x Q :x=2,当论域为{0,1,2}时,其真值为???1???。 4、设A ={1,2,3,4},则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ={a ,b ,c },B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题(对的填T ,错的填F ,共 10 小题,每题 1 分,共计10 分) 1、“这个语句是真的”是真命题。 ( F ) 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 ( F ) 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 ( T ) 4、)(T S R T R S R ??????。 ( F ) 5、恒等关系具有自反性,对称性,反对称性,传递性。 ( T ) 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 ( T ) 7、若g f ?是满射,则g 是满射。 ( F ) 8、若A B ?,则)()(A P B P ?。 ( T ) 9、若R 具有自反性,则1-R 也具有自反性。 ( T ) 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 (F ) 四、计算题(共 3 小题,每题 10 分,共30 分) 1、调查260个大学生,获得如下数据:64人选修数学课程,94人选修计算机课程,58人选修商贸课程,28人同时选修数学课程和商贸课程,26人同时选修数学课程和计算机课程,22人同时选修计算机课程和商贸课程,14人同时选修三门课程。问 (1)三门课程都不选的学生有多少? (2)只选修计算机课程的学生有多少?
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学(上)》考试试卷(A 卷) (时间120分钟) 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题(每小题2分,共20分) 1. 设A={a,b,c},A 上二元关系R={〈a,a 〉,〈b,b 〉,〈a,c 〉},则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系,要使I x ∪{〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉,〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系,R 应取( ) A. {〈c,a 〉,〈a,c 〉} B.{〈c,b 〉,〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉,〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉,〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下:论域D 为实数集,a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为 0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为0 的项为极大项; 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法 (假定前键为真推出后键 为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则, T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取 ^; 3.既有存在又有全称量,先消存在量,再消全称量; 第四章集合 1.N ,表示自然数集, 1,2,3 ??,不包括 0; 2.基:集合 A 中不同元素的个数, |A|; 3.集:定集合 A,以集合 A 的所有子集元素成的集合,P(A) ; 4.若集合 A 有 n 个元素,集 P(A) 有2 n个元素, |P(A)|= 2| A| = 2 n; 5.集合的分划: (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 几个子集相交空,相并全(A); 6.集合的分划与覆盖的比: 分划:每个元素均出且出一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出,没有要求只出一次; 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,笛卡 A×B 的基数mn, A 到 B 上可以定2mn种不同的关系; 2.若集合 A 有 n 个元素, |A ×A|= n2,A 上有2n2个不同的关系; 3.全关系的性:自反性,称性,性; 空关系的性:反自反性,反称性,性; 离散数学笔记(特级教师精心整理) 第一章命题逻辑 内容: 命题及命题联结词、命题公式的基本概念,真值表、基本等价式及永真蕴涵式,命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的: 1.熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2.熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3.熟练掌握(主)析/合取范式的求法及其应用。 4.熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5.熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点: 1.命题的概念及判断 2.联结词,命题的翻译 3.主析(合)取范式的求法 4.逻辑推理 教学难点: 1.主析(合)取范式的求法 2.逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A,B,…,Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i,[10],R等,例如A1:我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。R:我是一名大学生。 1.2命题联结词 (1) P↑P?﹁(P∧P)?﹁P; (2)(P↑Q)↑(P↑Q)?﹁(P↑Q)? P∧Q;(3)(P↑P)↑(Q↑Q)?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 (1)P↓P?﹁(P∨Q)?﹁P; (2)(P↓Q)↓(P↓Q)?﹁(P↓Q)?P∨Q; (3)(P↓P)↓(Q↓Q)?﹁P↓﹁Q?﹁(﹁P∨﹁Q)?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式,简称公式,定义为:(1)单个命题变元是公式;(2)如果P 是公式,则﹁P是公式;(3)如果P、Q是公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式;(4)当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如,下面的符号串都是公式: ((((﹁P)∧Q)→R)∨S) ((P→﹁Q)?(﹁R∧S))(﹁P∨Q)∧R 以下符号串都不是公式: ((P∨Q)?(∧Q))(∧Q) 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句,转变成数理逻辑中的符号形式,称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项: (1)确定所给句子是否为命题。 (2)句子中联结词是否为命题联结词。 (3)要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例:假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。 解:设P:上午下雨;Q:我去看电影;R:我在家里读书;S:我在家里看报。 本例可表示为:(?P→Q)∧(P→(R∨S))。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1,P2,…,P n是出现在命题公式G中的全部命题变元,指定P1,P2,…,P n的一组真值,称这组真值为G的一个解释或赋值,记作I,公式G在I下的真值记作T I(G)。 例如, 是G的一个解释,在这个解释下G的真值为1,即T I(G)=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表,称为G的真值表。 构造真值表的方法如下: (1)找出公式G中的全部命题变元,并按一定的顺序排列成P1,P2,…,P n。 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={ 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明:(完整word版)离散数学必备知识点总结.docx
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大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
离散数学第一章命题逻辑知识点总结