10.3组合与组合数公式及性质 达标要求 1．理解组合的概念． 2．掌握组合数公式． 3．理解排列与组合的区别和联系。 4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题． 基础回顾 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．． 3．组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!! m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质： （1）m n m n n C C -= （2）111m m m n n n C C C ++++= 典型例题 例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。 (1) 共有多少种选法？ (2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？ (3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？ 解：(1) 共有310120C =种。 (2) 共有3984C =种 (3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女， 分别有34C ，2146C C ，12 46C C ， 所以一共有3211244646100C C C C C ++= 种方法． 解法二：（间接法）33106100C C -= 例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1) 都不是次品的取法有多少种？ (2) 至少有1件次品的取法有多少种？
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
组合数的两个性质 作者：万连飞 教学目的： 1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。 教学过程： 一、复习提问： 1． 组合数公式的两种形式是什么： 2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下： （1） 组合数公式： )! (!!! )1()1(m n m n m m n n n c p p c m n m m m n m n -= --???-= = } (n,m ∈N,且m ≤N) 二、新课讲授： 1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。 （1） 利用组合数的公式，考察： c 9 11与 c 2 11， c 7 10与 c 3 10， c 67 与c 1 7 的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书） ∵ !210 11!2!9!119 11?== c ， 又 !210112 11 ?=c ， ∴ c 9 11 = c 2 11 ； ∵! 38 910!3!7!107 10??==c 又!389103 10 ??=c ∴ c c 3 10 710=； ∵ !1!6!76 7= c
又 !171 7= c ∴c 6 7=c 1 7。 由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。即 定理1：c m n = c m n n -，(n,m ∈N,且m ≤N) (2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。 我们知道， )!(!! m n m n c m n -= ， !)!(! )]!([)!(!m m n n m n n m n n c m n n -= ---= - 显然， !)!(!m m n n -等于!)!(! m m n n -。于是可得下面的证明。 证明：∵)!(!! m n m n c m n -= ， 又!)!(! )]!([)!(!m m n n m n n m n n c m n n -= ---= -， ∴ c m n =c m n n -。 （3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c m n 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数 c m n n -，即c m n =c m n n -。 （4）当 2 n m > 时，利用这个公式，可是 c m n 的计算简化。如： 36218 92 97 997 9=??= ==-c c c ，
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序，组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m) 或P(n,m)表示. A(n,m)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。 以上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该
2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
排列组合和排列组合计算公式 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P--_-和顺序有关 组合C一不牵涉到顺序的问题. 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法. "排列” 把5本书分给3个人，有几种分法 ”组合” 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n, m)表示. . p (n, m)=n(n-1) (n2) ..... (n-m+1)= n!/(n-m)!规定0!=1). 2.组合及计算公式. 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成-一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号
c(n,m)表示. c (n, m)=p (n, m)/m!=n!/((n- m)!*m!} c(n,m)=c(n, n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n, r)/r=n!/r (n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1, n2.... nk 这n个元 素的全排列数为n!/ (n1 !*n2!*. .. *nk!).k类元素,每类 的个数无限从中取出m个元素的组合数为c (m+k-1, m). 排列(Pnm(n为下标， m为上标)) Pnm=nX (n-1) .... (n-m+1) ; Pnm=n! / (n-m) ! (注: !是 阶乘符号) ; Pnn (两个n分别为上标和下标) =n! ; 0! =1;Pn1 (n 为下标1为上标) =n组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm; Cnm=n! /m! (n-m) ! ; Cnn (两个n分别为上 标和下标) =1 ; Cn1 (n 为下标1为上标) =n; Cnm=Cnn-m 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘，如 9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n* (n-1)*(n-2).. (n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为
排列组合计算公式 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式 右式．
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与 二项式系数的性质教案 教学目标：掌握二项式系数的四个性质。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 一，复习1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式： 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 课本32页探 究： ，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性： ，
。 （2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++， 令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练 （1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。 注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。 （4）=++++77372717C C C C 。 三、讲解范例： 例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C
下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释） 【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝ 当n=5及n=6时，分别作出其图象 图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质 据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________；
“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标： 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2）. 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论 对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 41二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式 系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两 项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 二、讲解范例： 例1．设， 当时，求的值 解：令得： ， ∴， 点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例2．求证：． 证（法一）倒序相加：设① 又∵② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即． （法二）：左边各组合数的通项为 ，
∴． 例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，． （1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，， （2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴， 即展开式中第项系数最大，． 例4．已知， 求证：当为偶数时，能被整除 分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵， ∴，∵为偶数，∴设（）， ∴ （）， 当=时，显然能被整除， 当时，（）式能被整除， 所以，当为偶数时，能被整除
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 重庆育才中学熊庆林 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
第92课时 排列数与组合数的性质与运算 【教学目标】 1．理解排列与组合数的概念； 2．能将排列与组合实际问题按排列的定义进行抽象，运用框图进行概括； 3．能运用乘法原理推导排列与组合公式； 4．掌握排列与组合数公式，运用排列与组合公式解决简单的排列问题。 【教学重点】理解排列与组合的概念及排列与组合公式的推导与运用。 【教学难点】能用排列与组合的定义正确地鉴定实际问题是否为排列与组合问题。 【教学过程】 一．知识整理 1.排列数定义：从n 个不同元素中，每次取出m (m ≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示；当m = n 时，叫做n 个元素的全排列数，用符号n n P 表示，也可以用符号n P 表示。 2．排列数公式： ) , ( )1()2)(1( n m N m n m n n n n P m n ≤∈+---=且其中 注意：从公式的特点分析，右边第一个因数最大n ，后面的每次因数都比它前面一个因数少1（递减），最后一个因数为n –m+1，共有m 个因数（连续自然数）相乘。（公式的特征） （1） 全排列数： n 123)2n )(1n (n P n =??--= ! （n 个连续的自然数的乘积，常用记号n!表示，读作n 阶乘）。 （2） 排列数公式：（解决了一般性的计算问题，介绍计算器的使用） )! m n (! n P m n -= （规定： 0！= 1） 说明：排列数有二个公式：
个数 m )1()2)(1(+---=m n n n n P m n 常用于计算。 )! m n (! n P m n -= 常用于有关恒等式证明，解方程时。 3. 组合数的公式： (1）组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． (2）组合数公式的推导： !)1()2)(1(m m n n n n P P C m m m n m n +---= = 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 (3）组合数的性质 ①C n m =C n n-m ②r n r n r n C C C 11 +-=+ ③rC n r =n ·C n-1r-1 ④C n 0 +C n 1 +…+C n n =2n ⑤C n 0 -C n 1 +…+(-1)n C n n =0 即 C n 0 +C n 2 +C n 4 +…=C n 1 +C n 3 +…=2n-1 二．例题精析 【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，解决问题能力 【题目】解方程：3 213113-+=x x C C ； 【解答】由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =， 又由1113 12313x x x N *?≤+≤?≤-≤??∈? 得28x ≤≤且x N * ∈，∴原方程的解为4x =或5x =．
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质（二） 班级 姓名 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，77771221 1---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是 （ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.! 201 23181920!417181920!21920C 0 4?????????+ ???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(12x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设11 2 1 3 1)1 3(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为2001 62007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
课 题： 10．2排列 (一) 教学目的： 1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导； 2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列； 3．能用排列数公式计算教学重点：排列、排列数的概念 教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础 分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性. 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教学过程： 一、复习引入： 1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不
课题：组合数的性质 一． 问题阐述： 根据新课标的要求，组合数的性质是在学习组合后在学习的，人教A 版的教材中把组合数的性质安排在“探索与发现”部分。据了解，大部分教师在处理这一知识点是直接将组合数的两个性质告知学生，让学生记住就好，殊不知，学生是根本记不住的，就算记住也是暂时的，记住了也不会应用，根源还是在于不知道性质的来源。故为了突破这一难点，笔者设计了这一节的教学设计，以问题为载体,目的在于让学生对组合数的两个性质知其然并且知其所以然。 二：教学目标 1．理解并能熟练掌握组合数的两个性质及其应用。 2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，体会数学的实用价值和魅力。 三：教学重难点： 如何理解组合数的两个性质是本节课的重点，也是难点。 四：教学过程设计： （一） 复习引入：请同学们回顾一下组合的定义。 学生答(略) (二)探求新知 1.探寻组合数性质(1) **,(,,)m n m n n C C n N m N m n -=∈∈≤
(1)从高二(1)班107女生宿舍6人中选出2人去参加爱心义卖活动,有多少种选法? (2) 从高二(1)班107女生宿舍6人中选出4人去参加义务劳动,有多少种选法? (3)从高二(1)班的7名班委中选出3名为市级优秀班委,有多少种选法?余下的4名为校级优秀班委,有多少种选法? 学生活动:学生分析后作答. 教师提问1:你能从(1)(2)中发现什么?第(3)问中又发现了什么?谈谈你的看法? 设计意图:让学生从特殊例子中去发现一般的规律,对组合数的第一个性质有初步的认识. 教师提问2:在同一坐标系中,画出函数f（x）= x C(n=1，2，3，4， n 5，6，7，x≤n且x∈N*)的图象，根据图象回答下列问题：(1)函数的图象有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？(2)请从数与形两个方面来分析函数f（x）=的特征。 教师先借助计算机显示在同一直角坐标系中函数f（x）=（n=1，2，3，4，5，6，7，x≤n且x∈N*）的图象，引导学生观察,探究,探寻问题的本质. 设计意图:通过学生个别学习，让学生自己抽象概括，揭示问题的本质。这里教师的任务是：对学生知识上进行适当的补遗，思维上进行恰当的启迪，方法上进行恰当的点拨，鼓励学生积极、主动地探究，
§1.3.3 组合的应用 【使用说明】 1.仔细阅读课本12~17P ，课前完成预习导学稿，牢记基础知识，掌握基本题型；A 完成所 有题目，B 完成除（★★）外所有题目，C 完成不带（★）题目. 2.课前独立完成，书写规范，课上小组合作探究，答疑解惑. 3.科代表按时收交，各组长督促落实，全部达标后及时二次收交. 【学习目标】 1.理解组合和组合数意义，领会先排列再组合的思想方法，会运用组合数的性质进行相关的 计算、化简和证明； 2.自主学习，合作交流，探究解题规律和数学思想方法. 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度,体会数学解题的思想方法. 一．预习导引： 1.知识概要. (1)组合的概念； (2)组合数公式： ① ② (3)组合数的性质---①（剩余元素原理） 即 ②（递进关系原理）即 二．探究交流： 探究一。解含有组合数的方程或不等式；组合数性质应用。 1.已知： 112 311;n n n n n n n n C C C C +--+++=++求 n 。【答：n=4】 2.解不等式： 456 11;m m m m C C C --->+ 【答：{7,8,9,10}m ∈】 探究二。简单的组合应用题。 3.看下面的题目并作答： （1）教室有6盏节能灯，那么一共有多少种照明方案？ （2）有1元、5元、10元、20元、50元、100元纸币各一张，用它们可以组成多少种不同 的币值？
（3）某自考考生欲参加考试报名，要从所开设的6门科目中选报1~6门，则不同的报考方 案有多少？ （4）集合{1236a a a a ，，，…，}的非空子集有多少个？ （5）（★）集合{12321,,,,,.n n n a a a a a a --…，}（n N +∈）的全部子集有多少个？【答：2n 】 （6）由此可否得到一个结论 0121+2r n n n n n n n n n C C C C C C -+++++=…… ？！ 【说明：我们学习了 二项式定理 以后，是能够证明这个结论的正确性的】 4.（★）如图，是一个小区的道路图，小王拟从A 处出发到达B 处，那么不同的 最短行走方案有多少种？ 【答：43347374C C C C 或，即35.】 B A 【拓展题】（★）上图中，一共有多少个不同的矩形？【答：11 106C C =60】 小结： 1. 2. 3. 三．学以致用： 1.已知：34 6;m m A C =则m 的值为（ ） A. 6; B. 7; C. 8 ; D. 9 2.已知：1 1 ;2 3 4 m m m n n n C C C -+= = 求m 与n 的值。