(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时)

学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观

1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.

2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质

●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n r n r r n n

n

n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r

n n

n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n

T C a b -+= 二、引入

通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时，

n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1

此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究

观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】

?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中

?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1

②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）

【提示】设这一数为r

C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知：

1

1

01C C 02

C 12

C 2

2C 03

C

13

C

23

C

33

C

1

4C 0

4

C 3

4C 2

4C 4

4C 0

5C 1

5C 2

5C 35

C 4

5C 55

C

③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点

n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n .

从函数角度看，r

n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝

当n=5及n=6时，分别作出其图象

图1 图2

据图可分析出函数r

n C r f =)(，图象的对称轴是2

n

r =

3、二项式系数的性质

据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m

n n C C -=）．

直线2

n

r =

是图象的对称轴．

[典型问题]

e.g1.已知5

15C =a ，9

15C =b ，那么10

16C =__________；

【2】增减性与最大值

∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k

----+-+=

=?

L ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，11

12

n k n k k -++>?<

， Ⅰ.当21

+≤n k 时，二项式系数逐渐增大．

当2

1+≥n k 时，二项式系数逐渐增大

根据对称性可知，在中间取得最大值； Ⅱ.当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项1

2n n

C -，12n n

C

+取得最大值．

[典型问题]

e.g 2．在9)(b a +的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____ e.g 3.若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___=n e.g 4n

x

x )1(23+

展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416

【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．

∵1(1)1n r r n

n n x C x C x x +=+++++L L ，

令1x =，则0122n r n

n n n n n C C C C C =++++++L L [组合数公式]

[典型问题]

e.g 5.111C

+

3

11C

+…+

1111

C

=____ e.g 6.=+++++++++++++1

1

211101210n n n n n n n

n n n C C C C C C C C ΛΛ____；

四、经典例题

例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n

n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-L ，

即0213

0()()n

n n n C C C C =++-++L L ， ∴0213

n

n n n C C C C ++=++L L ， 即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知0213

12n n

n n n C C C C -++=++=L L .

五、拓展训练

1.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L

求：（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； 2.若n x

x )21(4+

展开式中前三项系数成等差数列

求（1）展开式中含x 的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项；

（3）展开式中系数最大的项。 六、小结

①通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：

即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和. 注意灵活利用.

②数学思想：函数思想（a单调性；b图象；c最值）

③数学方法：赋值法、递推法、

七、讨论

? 1.中国古代数学的成就和地位

? 2.东西方数学发展比较

? 3.历史人物[1.杨辉2.帕斯卡]

? 4.中国当代数学大师及其成就

八、课后作业：完成《课时作业九.1.3.2杨辉三角》

九、教学反思

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.

高中数学_杨辉三角“与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 授课人： 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 【教学任务分析】 (1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和 才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感. (2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩 固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位. 【教学目标】 （1）知识和技能：

掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题. (2) 过程和方法： 通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养. (3) 情感态度和价值观： 通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让 学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感. 【教学重点、难点】 重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景. 难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质. 【教法、学法】 教法：问题引导、合作探究． 学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想, ①从课上交流展示中感知规律； ②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质； ③在探究证明性质中理解知识. 【教学流程】 例题及练习

【教学过程】 环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项” 【师生活动】教师提出问题，学生复习回答. 【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备 环节2: 创设情境 引入新课 “计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史 【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角. 【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质 之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自 豪感和探索新知识的欲望. 环节3：合作探究 发现规律 【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。 环节4：演绎推理 证明性质 （1） 结合组合数性质证明： 性质1 除1外的每个数都等于它“肩上”的两个数的和。 利用性质求7 )(b a + 性质2 对称性 （2） 从函数角度分析证明：二项式系数的单调性与最大值； ①借助7,6==n n 时r n C r f =)(的图像，直观感知二项式系数的对称性及单调性与最大值. ②证明r n C r f =)(的单调性，并确定最大值位置； 【师生活动】学生画图，证明结论 【设计意图】引导学生结合函数图象，理解增减性与最大值，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；学生从函数图像角度认识二项式系数的增减性与最值体会函数思想，数学结合思想。 ③巩固练习 【设计意图】及时巩固对称性与增减性最值，应用二项式系数性质，加深理解。

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，

杨辉三角与二项式系数的性质教学反思07

杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.

(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)

二项式定理 知识要点 （一）探究 3 4 a b a b ++,（）（）的展开式 问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？ 思考一：合并同类项后，为什么2 a b 的系数是3？ 问题3： 4 a b +（）的展开式又是什么呢？ 结论： 404132223344 44444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）； （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4： n a b +（）的展开式又是什么呢？ 思考二： （1） 将 n a b +（）展开有多少项？ （2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？ （3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定,a b 的系数？ 二项式定理： 0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ()n *∈N ； （三）归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_______； （2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______； （3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____； （4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______； （5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做n a b +（）的二项展开式。

概率、组合、二项式定理和杨辉三角

概率 2.1离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。 例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。 1、 随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是 随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y …表示。 例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。 例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。设X 是一个随机变量，X={ }。 练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值： （1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）抛掷一个骰子得到的点数； （3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； 练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。 2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。 二、离散型随机变量的分布列 1、 离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列） 概率分布表需要列出： （1） X 所有可能的值； （2） X 取每一个值的概率。如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质： （1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ； （2） p 1+p 2+…+p n =1. 3、 两点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0

杨辉三角与二项式定理教学设计

1．3．2“杨辉三角”与二项式定理 昌邑一中吴福顺 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2） . 2 ．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： （首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉） 1 二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数 定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，， 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则

（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数） 三、讲解范例： 例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． （搜索赋值法，了解什么是赋值法） 说明：由性质（3）及例1知 . 例2．已知，求： （1）；（2）；（3） . 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴， 当时，，∴， （2）令，① 令，② ①②得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+②得：， ∴， ∴ 例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解： =，

杨辉三角与二项式定理导学案

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城 【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1

1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律： 从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？ 【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。 问题1：二项式展开式是： 试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：

杨辉三角的规律以与推导公式-杨辉三角规律

杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b) 2＝ a 2+2ab+b 2 此代数式的系数为： 1 2 1 则 (a+b) 3 的展开式是什么呢？答案为： a 3+3a 2b+3a b 2+b 3 由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1 但 似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b) 4 的展开式。 展开式为： a 4 +4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4641 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11 ) 1 1 (11 1 ) 1 2 1 (11 2 ) 1 3 3 1 (11 3 ) 1 4 6 4 1 (11 4 ) 1 5 10 10 5 1 (11 5 ) 1 6 15 20 15 6 1 (11 6) 杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（ 1,3,3,1 ）,（ 1,4,6,4,1 ）（ 1,5,10,10,5,1 ）,（ 1,6,15,20,15,6,1 ）, （ 1,7,21,35,35,21,7,1）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。 由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2?n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2?n 次方。系数是 杨辉三角里的系数。 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1=2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ?? 相加得到的数是 1， 2， 4， 8， 16， 32， 64，?刚好是 2 的 0， 1，2， 3， 4， 5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

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2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.

二项式定理系数的性质

二项式系数的性质及应用 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质 2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】 1. 已知c bx ax x f ++=2)( （1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f 2. =+n b a )( ，其中二项式系数分别是 =+n x )1( 【活动方案】 活动一：理解二项式系数的性质 1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角 2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n a b +展开式的二项式系数填入下表．

将上表改成三角形几何排列 3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什 么特点？ 4. 从函数的角度看，r n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{} n r N r r ≤∈,， 分别画出r C r f 6 )(=)61,0( =r 以及r C r f 7)(=)71,0( =r 的图像． 5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性 2. 增减性与最大值 3. 二项式系数的和

活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法 例1证明：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 小结： 例2已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+- 变式训练：（1）求2 53126420()(）a a a a a a a ---+++ （2）求72172a a a +++ （3）求7 722 1222a a a +++

江苏省苏州市高中数学 第一章 计数原理 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质教学反思 新人教A版选修2-3

杨辉三角与二项式系数的性质 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 3．呈现合作交流

人教版数学高二A版选修2-31.3.2“杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 一、选择题 1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )． A ．2n ＋1 B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋ 1－2 2 ．在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 3．(2 )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 4 ．已知1n x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )． A ．第19项 B ．第17项 C ．第17项或第19项 D ．第18项或第19项 5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )． A ．1 B ．－1 C ．36 D ．26 二、填空题 6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________． 7．(2012安徽安庆模拟，理14)设 (1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________． 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶ 3. 三、解答题 9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5 2165 x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .

高考数学总复习 杨辉三角与二项式系数的性质教案

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与 二项式系数的性质教案 教学目标：掌握二项式系数的四个性质。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 一，复习1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式： 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 课本32页探 究： ，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性： ，

。 （2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++， 令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练 （1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。 注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。 （4）=++++77372717C C C C 。 三、讲解范例： 例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：

教学案例.杨辉三角与二项式系数性质

二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释） 【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝ 当n=5及n=6时，分别作出其图象 图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质 据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________；

杨辉三角与二项式系数的性质教学点评

杨辉三角与二项式系数的性质教学点评 本节课有以下几点值得一提: 一、目标定位准确 本节课,教师在充分挖掘教学内容的内在联系,了解学生已有知识基础,充分分析学情后,确定的教学目标:理解、领悟二项式系数性质;渗透数形结合和分类讨论思想;灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确,科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实,并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”,以递进的形式呈现:观察分析、归纳猜想、抽象概括,提炼上升;特殊——一般——特殊到一般…,课堂实践表明,这些目标,在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1.放手发动学生 把课堂还给学生,一直是课改的大方向,也是新课标的原动力之一.还给学生什么呢?教师作了很好的诠释: 一是给“问题”,当然问题有预设的,也有生成的,符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”,这体现了教师的先进教学理念,即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试.当然,n=6,7时,离散型函数的图象起了直观引领,奠基的重要作用.不为完成任务所累,不为主宰课堂所困. 三是给“机会”,让学生展示自主探索,合作交流的成果,极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性,参与程度和激情得到了空前的提高. 2.彰显理性数学 本节课,无论是对称性,增减性(最大值,及二项式系数和的逐步生成,学生都能从“特殊到一般”的认识规律,归纳猜想到结论.但数形结合的函数思想,组合数两个性质的运用,两个计数原理的巧妙“会师”,奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,反馈升华例示中赋值法再现.这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华,让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维,更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去.

杨辉三角与二项式系数的性质 说课稿 教案 教学设计

“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标： 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2）. 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论 对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 41二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式 系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两 项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 二、讲解范例： 例1．设， 当时，求的值 解：令得： ， ∴， 点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例2．求证：． 证（法一）倒序相加：设① 又∵② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即． （法二）：左边各组合数的通项为 ，

∴． 例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，． （1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，， （2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴， 即展开式中第项系数最大，． 例4．已知， 求证：当为偶数时，能被整除 分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵， ∴，∵为偶数，∴设（）， ∴ （）， 当=时，显然能被整除， 当时，（）式能被整除， 所以，当为偶数时，能被整除

杨辉三角和二项式系数的性质

班级：姓名：填写日期： 杨辉三角和二项式系数的性质一．课题导入 复习二项式定理 二．学习目标（2分钟） 1.能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题。 2.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用解决相关问题. 3.会用赋值法求展开式系数的和. 三.预习指导 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数___________________. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__________，即 __________________. 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“_____________”的两个二项式系数相等(即___________). (2)增减性与最大值：当k<_____________时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部 分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n是偶数时，中间一项______________取得最大值； 当n是奇数时，中间两项_______________相等，同时取得最大值. 四.引导探究 探究一二项式展开 （观察二项式系数，观察其系数的特点） 总结：杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的系数 探究２杨辉三角的主要性质 (观察杨辉三角，是总结出如下性质） (1)基本性质：___________________________________ (2)对称性：________________________________ (3)最值：______________________________________________ 探究三:杨辉三角各行数字和有何特点? 总结____________________________ 探究四与左斜边平行的直线所经过的数字之和？ 总结：__________________________________________________________________________ 例1、（04上海，春）在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_________________行中从左至右第14与第15个数的比为2：3.

《1.5.2 二项式系数的性质及应用》教案

《1.5.2 二项式系数的性质及应用》教案 教学目标: 1.掌握二项式系数的三个性质; 2.让学生经历“杨辉三角”性质的探索过程,培养其特殊到一般的推理习惯; 3.在函数观点下研究二项式系数性质的过程中渗透数形结合的思想方法; 4.介绍杨辉和“杨辉三角”并和西方对应成就作比较,增强学生的民族自豪感? 教学重点: 体会用函数知识研究问题的方法,理解二项式系数的性质. 教学难点: 结合函数图象,理解增减性与最大值时,根据n 的奇偶性确定相应的分界点;利用赋值法证明二项式系数的性质. 教学过程: 1?引入 [师] 今天我们学习“杨辉三角”与二项式系数的性质,首先我们来欣赏一幅图片?这个图片大家熟悉吧?对,这是我们班的的创意“心愿贴”下面请心愿贴设计者分享她的创意? [生]介绍创意 [师]学习本节内容之后我们可以将“心愿贴”设计得更具有数学特色,加进去一些数学元素 设计意图:从学生的生活中选材引入,提高学生的探索兴趣 2?知识回顾 (1) (2) 通项(第r+1项是 (3) 二项式系数是 设计意图:为探索本节课新知识做必要准备 3?新课探索 3.1 活动设计一:观察二项式系数的性质 (1)根据()n a b +(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数表(第7行暂时不填) 46?C =26?C =m n m n n C C -=()n a b +=

[师] 为了方便同学们观察规律我们把这些二项式系数写为三角形形状 (2)角形数并思考以下问题: ① 同行系数有什么规律? ② 上下两行系数有什么关系? ③ 你能预测出(a+b)7展开式的二项式系数吗? 活动实施步骤:第一步学生自主填写表格,第二步小组讨论三角形数的规律,第三步小组发言人分享讨论结果 设计意图:让学生能更加熟悉组合数运算,在规律的探究过程中培养从一般到特殊的推理习惯 3.2 介绍杨辉和杨辉三角 让学生阅读课本中给出的材料了解杨辉和杨辉三角,教师再通过百度百科做一些补充? 设计意图:让学生感受我国古代数学成就及其数学美,激发学生的民族自豪感. 3.3 活动设计二:函数观点下的二项式系数 (1)引导学生从函数的角度去认识二项式系数(n 固定的情形) [师] ()n a b 展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C ,对于固定的n,这些二项式系数有什么不同? [生]肩上的数不同 [师]如果把肩上的数记作r ,则一个r 就有一个二项式系数与之对应,也就是满足下面的过程: