第六章 散射
1．粒子受到势能为
2)(r a
r U =
的场的散射，求S 分波的微分散射截面。
[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在
∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。
矢径的波动方程是：
0))1()((12
2
22
=+--+??? ??l l
R r l l r V k dr
dR r dr d r
其中l R 是波函数的径向部分，而
E k r U r V 2222),(2)(ηη
μμ
=
=
令
r r x R l l )
(=
，不难把矢径波动方程化为
02)1(222
2=??? ??
-+-+''l l x r r l l k x ημα
再作变换 )(r f r x l =
，得
0)(221)(1)(2
2
2
2=????
???
?
?+??? ?
?+-+'+''r f r e k r f r r f η
μα
这是一个贝塞尔方程，它的解是
)
()()(kr BN kr AJ r f p p +=
其中
2
2
2
221ημα+??? ??+=l p 注意到
)
(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数
∞
→=
r
N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B
故
)(1
kr J r A
R p l =
现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求
得相角位移l δ，由于：
)
2sin(1)42sin(1)(l l
kr r p kr r r R δπππ+-=+-→∞→
???
?
????????? ??+-+??? ??
+-=++-=∴21221224222
l d l l p l ημππ
ππδ
当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到
????
?
?????+-=2122l l ημαπδ
又因
l i i e l δδ212=- 故 ∑∞=-+=0
2)(cos )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ
∑∞
=?????? ??
+-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπη
∑∞
=-
=0
2
)
(cos l l P k θπμα
η
注意到 ???????≤????
??≥???? ??=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222
112)(cos 1)(cos 1cos 21
1l l l l l l
r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθρ
如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有
∑∞
==
=-0
2sin
21
)(cos )cos 1(21l l P θθθ
故
2sin
21
)(2
θ
πμα
θηk f -
=
微分散射截面为
θ
θ
αμπθθ
αμπθθd E
d k d f 2
csc 82
sin
41)(2
22
22
4
22
22ηη=
=
由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。
2．慢速粒子受到势能为
???><=a r a r U r U 当当,0,)(0
的场的散射，若0,00>
[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。
在a r >处，方程为
2210l l l(l )x k x r +??''+-=????
其中
222ηE k μ=
在a r <处，则有
2210l l l(l )x k x r +?
?'''-+=????
其中
202)(2ηE U k -=
'μ 而波函数是
r x R l l =
在a >>λ的情况下，只故虑S 分波，即0=l 的情况，上面两个方程变为
0020
=+''>x k x a
r
0020
=-'' r 其解分别为 当a r >时， )sin(00δ+=kr B x 当a r <时， 0x Ashk r A c hk r '''=+ 由于在0→r 时， r x R 0 0= 有限，但 1cos 0 ??→?'→r r k 当η 故 0='A 即 )(0a r r k Ash x <'= 在a r =处，波函数0R 及其微商必须连续，因此得出 )sin(0δ+='ka B a k Ash )sin()cot(0202δδ+-+='-''ka a B ka k a B a k sh a A a k ch k a A 用前式除后式可得 )cot(coth 0δ+=''ka k a k k 即 )(0δ+' = 'ka tg k k a k tg η ka a k tg k k tg -??? ??''=∴ -η10δ 因此S 分波的辐射截面是 ??????-??? ??''== -ka a k tg k k tg k k Q η1220220sin 4sin 4πδπ 当速度较小时，0→k ，可以近似地认为 2002ηU k k μ= =' 这时有 0tghka tghk a = 000 k tghk a ka k δ∴ = - 2 0022020144???? ??-==a k a k tg a k Q ηπδπ 假如∞→0U ，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于 121)(10002 20202 00???→???????-+=???? ??-∞→k a k a k tg a k a k tg a k a k tg 当ηηη 204Q a π∴= 3．只考虑S 分波，求慢速粒子受到势能 4)(r r U α = 的场散射时的散射截面。 [解] 当只考虑0=l ，即S 分波时，令 r R α = ，则x 满足的方程是： 024 2=- ''r x x ημα 为了解此方程，作如下代换，令)()(r f r r x =，由于 )(1 21)(r f r r f r x +'=' 23 )(41)()(-?-'+ ''=''r r f r r f r f r x 可将原方程化为 0411223272=???? ??+-'+ ''r r d f r f f r ημ 即 0411 2242=??? ??+-'+ ''r r d f r f f ημ 为了化简方程，再作变换，令 ξμα1 2ηi r = 注意到 2 2212ξμαξ μαξξξη ηd df i r i d df dr d d df dr df =-== dr d d df i d f d i dr d d df i d d dr f d ξξμαξξ μαξξμαξ ξ222222 222ηηη+=???? ??= 2 32 222 222???? ??+???? ??=μα ξξξμαξηηi d df i d f d 方程可以化为 04111222=???? ??-++ξξξξd df d f d 这是21 阶的贝塞尔方程，它的解是 ???? ??=r i H r f 12)()1(21 ημα 式中) 1(H 表示第一类汉克尔函数，按定义为 [] ) ()(sin )() 1(ξξπ ξπ p p ip p J J e p i H ---= 当1<<ξ时， )1(2)(+= p J p p P Γξξ 当0,→∞→ξr 时 ??????????? ???? ??-??? ??-??→?--∞→2122322sin )(21 2 1 2121) 1(21ΓξΓξπξi i H r 当 而 πΓΓπΓ21212 123,21= ?? ? ??=?? ? ??=??? ?? ? ??? ??==∴ r x i H r r f r x ημ2)()1(2 1 当r 很大时， ???? ????????? ??-???? ??=41241222ηημαμαr x 常数 ??????+=????????????? ??-???? ??==r c C r r r x R 21412412 212)(常数常数ηημαμα 另一方面 r kr r kr C kr kr C R )sin()0cos()0sin(021 δ-=-+-=常数 当1< ? ?? ? ? +?r C C R 21常数 其中 4 1224 1 2 12, 2? ?? ??-=???? ??=ηημαμαC C 012 02δμαδ=== ∴ k k C C tg η 散射截面 2 2 2 208424k k Q ηηπμαπμαπδ???? ??== 上述解的条件是 ,1< 11 2<<= r i ημαξ 亦即要求 k r 1 2<<<<ημα 4．用玻恩近似法求粒子在势能2 20)(r e U r U α-=场中散射时的散射截面。 [解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式 2 )()(θθf q = 而 ? ∞--=0 2 2 2sin 2)(dr kre r K f r α μ θη [见教材（55-23）式] 其中 2sin 42 22θ k K =，θ为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。 在本题中 2 20)(r e U r U α-= ?∞-- =∴0202 2sin 2)(dr Kre r K U f r αμθη ? ∞--+--=0 2 )(2 22 2dr e e r K U i iKr r iKr r α α μη ? ? ∞∞? ? ? ?? ---? ? ? ?? --- - = 242 242 2 222 22 222 2dr re e K U i dr re e K U i iK r K iK r K ααααααμμη η 注意到 ?? ? ∞∞∞? ? ? ?? --? ? ? ??--? ? ? ?? --+ ?? ? ?? -=0 22 222222 222 2222dr e iK dr e iK r dr re iK r iK r iK r αααααααα ?∞ -+ =+ =0 322421222 2απ ααπαα iK iK dx xe x 又 ??? ∞ ∞∞? ? ? ?? +-??? ??+-? ? ? ?? +-??????? ?-? ?? ? ?+-=-0 00 222222 222 222 2222dr e iK dr e iK r dr re iK r iK r iK r αααααααα 32 421απαiK + - = 2 22 243 20342 22)(ααα π μαπμθK K e U iK e K U i f -- -=? = ∴ηη 而 2sin 42 22θ K K = 2 2 2642022 4)()(ααπμθθK e U f q -==∴ η 5．利用玻恩近似法求粒子在势能 20s Ze r ,r a U(r )r b ,r a ?- =??>? 场中散射的微分散射截面，式中 2 2 s a b Ze = [解] 由势能)(r U 的形状容易看出，计算)(θf 时只需计算由a →0的积分即可。 ????? ??--=a dr b r r ze Kr r K f 022sin 2)(ημθ ??+-= a a Krdr r b K Krdr ze K 002 222sin 2sin 2ηημμ ??? ????-+??=?a Kadr a r Kr b K a Kr K K ze 022222cos 0cos 20cos 1ηημμ ??????-+-+-?=?a Krdr k Ka k a Ka a b K ka K ze 0222222sin 2sin 2cos 2)1(cos ηημμ ? ?????-+---?-=)cos 1(2sin 2cos 2)cos 1(2222222Ka K Ka K a Ka a b K Ka K ze ηημμ 2 )()(θθf q =∴ 2 222442)cos 1(2sin 2cos 1)cos 1(4????????????-+-+-=Ka K Ka K a Ka a b Ka ze K ημ 其中 2sin 2θ k K = 6．用玻恩近似法求在势能00r a U(r )U e (a )-=->场中散射时的微分散射截面，并讨 论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。 [解] （1）求微分散射截面 ? ∞-???? ??--=0 02 sin 2)(dr e U kr r k f a r η μ θ ? ∞---= 2 )(22dr e e e i r k U a r ikr ikr ημ ??????? ? -= ??∞ ∞ ??? ? ? +-??? ? ? -00 1120dr re dr re ik U r a ik r a ik ημ ?? ???? ????? ???? ??+-??? ??-=222 01111ik a ik a ik U ημ ??? ???+--+=22222202)1()1()1(k a ika ika ik U a ημ 2222 03)1(4k a U a +=ημ 422246 2024 22462022 )2sin 41(16)1(16)()(θμμθθk a a U k a a U f q +=+==∴ηη （2）讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是 1)(2 <<θu 。由教材（55-25）式 和（55-26）式 dr e r V k dr e r V k u ikr ikr ?? ∞ ∞ -= -= 220 2)1)(()1)((21)0(ημ 2222 412k a k a k U += ημ 1 )1()0(2 204 2 22 <<--= ∴? ∞ - dr e e U k u ikr a r η μ 即 2 24 20242 224422 024141414k a U a k a k a k U +<<∴<<+?ηημμ 424 42022 44ηηa a U k ->> ∴μ 或 22 2 22022822a a U k E μμμηηη->>= 这就是玻恩近似法的适用条件。 找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比， 即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ?? ? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 第一章绪论 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。 最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ， 电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?. 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(| |5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλ λ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =???? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 第四章习题解答 4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。 解：? ??'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r p i p p x )??()21()(3 ? ??'--=τπd e zp yp e r p i y z r p i )()21(3 ???'-??-??-=τπd e p p p p i e r p i z y y z r p i ))(()21(3 ? ?'-??-??-=τπd e p p p p i r p p i z y y z ） （3)21)()(( )()(p p p p p p i y z z y '-?? -??= δ ?''=τψψd L x L p x p p p x 2 *2)()( ? ??'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i 23)??()21( ???'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z r p i )??)(??()21(3 ?''-??-??-=τπd e p p p p i p z p y e r p i y z z y y z r p i ))()(??()21(3 ???'--??-??=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z r p i y z z y )??()21)()((3 ??'-??-??-=τπd e p p p p r p p i y z z y ）（322 )21()( )()(22p p p p p p y z z y '-??-??-= δ # 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解：基矢：x a n a x u n π sin 2)(= 能量：2 2 222a n E n μπ = 对角元：2sin 202 a xdx a m x a x a mm ==?π 当时，n m ≠ ???=a mn dx a x x a m a x 0)(sin )(sin 2π 一. 算符 算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用 表示一算符。 二．力学量算符 1.坐标的算符就是坐标本身： 2.动量算符： , , 3.动能算符 4.哈密顿算符： 5.角动量算符： 如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将 换成算符得出 算符和它所表示的力学量的关系？ 一线性算符 满足运算规则的算符称为线性算符。 二单位算符 保持波函数不改变的算符 三算符之和 加法交换律 加法结合律 两个线性算符之和仍为线性算符。 四算符之积 定义: 算符与的积为 注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符 设能唯一解出，则定义的逆算符为： 注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。 ， 六算符的复共轭，转置，厄密共轭 1．两个任意波函数与的标积 2．复共轭算符 算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量 3．转置算符 定义: 算符的转置算符满足： 即： 4．厄密共轭算符 算符的厄密共轭算符定义为 即 算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符 5.厄密算符 厄密算符是满足下列关系的算符 注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符 例：证明是厄密算符 证： 为厄密算符，为厄密算符 第三节力学量算符的本征值与本征函数 一厄密算符的本征值与与本征函数 设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为 如为厄密算符，也是厄密算符 存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下 称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。 二力学量算符的性质 1.力学量算符是厄密算符 量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。 厄密算符的本征值必为实数 证：设 为厄密算符 量子力学(周世勋)课后答案-第一二章 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(|| 5 2 -?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λ ρ 对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1833-=， 及λνc =、λλ νd c d 2-=得 1 185-=kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ=，再由0=λ ρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=?≈==-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010A 63.12m 1063.1232=?≈===-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，123K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 12q p E μωμ+= 可以化为() 122222 22=???? ??+μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμE b E a ==，相空间面积为 ,2,1,0,2=====?n nh E E ab pdq νωππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为量子力学答案完整版周世勋第三版
量子力学教程周世勋_课后答案
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章
量子力学教程(周世勋)课后答案详解-第一二章
量子力学答案-周世勋
量子力学周世勋习题解答第四章
周世勋量子力学教案
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章电子版本
量子力学周世勋第二版课后习题解答第1章
相关主题
文本预览