第八章 多元函数微分学
第3节全微分及其应用
全微分在近似计算中的应用
都较小时，有近似等式
连续，且个偏导数的两在点当二元函数y x y x f y x f y x P y x f z y x ??=,),(),,(),(),(d (,)(,).
x y z z f x y x f x y y ?≈=?+?也可写成
.
),(),(),()
,(y y x f x y x f y x f y y x x f y x ?+?+≈?+?+
例5 计算02.2)
04.1(的近似值.解.
),(y x y x f =设函数.
02.0,04.0,2,1=?=?==y x y x 取,
1)2,1(=f ,),(1-=y x yx y x f ,
ln ),(x x y x f y y =,
2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2?+?+≈.
08.1=
解设黄铜的密度为8.93
cm g 圆柱体的体积为2πV R H
=.
,2.0,1.0,20,4,V H R H R ?=?=?==要求时依题意22π,πV V RH R R H
??==??由于?
,1.04,206少黄铜问需要准备多的黄铜均匀地镀上一层厚度为的圆柱体表面半径要在高为例cm cm R cm H ==
160π0.116π0.2=?+?3
19.2πcm =19.2π8.9.
g ?从而所需准备的黄铜为d V V V V R H R H
???≈=??+????于是
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第三节 全微分及其应用 分布图示 ★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用 ★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8—3 ★ 返回 例题选讲 例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分. 解 因为 ,3012,1045 2263y x xy y z xy y x z +=??+=?? .)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++= 例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解 ,xy ye x z =??,xy xe y z =?? ,2)1,2(e x z =??,2 2) 1,2(e y z =?? 所求全微分 .222dy e dx e dz += 例3 求函数 yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解 由 ,1=??x u ,2cos 21 yz ze y y u +=?? ,yz ye z u =?? 故所求全微分
.)2 cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++= 例4 (E03) 求函数z y x u =的偏导数和全微分. 解 z z y z y z x x y x y x u ?=?=??-1 z z y z z y x y x y z x y z x y u ??=???=??-ln ln 1 y x y x y y x x z u z y z y z z ln ln ln ln ???=??=?? dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=.ln ln ln ??? ? ???+?+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z 例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值. 解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=?=?==y x y x ,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f 由二元函数全微分近似计算公式得 02.0004.021)04.1(02.2?+?+≈.08.1= 例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差. 解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z V dy y V dx x V dV ??+??+??=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤?x ,2.0||≤?y ,2.0||≤?z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得 dV V ≈?2.060752.040752.04060??+??+??=,1980= 即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm 例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42 2T l g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少? 解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ?与|,|T ?则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增的绝对值.||g ?由于||||T l ??、都很小，因此可用dg 近似的
数值微分的计算方法 内容摘要 求解数值微分问题,就是通过测量函数在一些离散点上的值,求得函数的近似导数。本文就所学知识，归纳性地介绍了几种常用的数值微分计算方法。并举例说明计算，实验结果表明了方法的有效性。 关键词 数值微分 Taylor 展开式 Lagrange 插值 三对角矩阵 引言：数值微分即根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。常见的可以用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值，由此也可导出多点数值微分计算公式。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。 1.Taylor 展开式方法 理论基础：Taylor 展开式 ()()()() ()() ()()()00000002 2! ! n n x x x x f x f x x x f x f x f x n --'''=+-+ ++ + 我们借助Taylor 展开式，可以构造函数()f x 在点0x x =的一阶导数和二阶导数的数值微分公式。取步长0h >则 ),() (2 )()()(0011' '20' 00h x x f h x hf x f h x f +∈++=+ξξ （1） 所以 ),() (2 )()()(0011' '000'h x x f h h x f h x f x f +∈--+= ξξ （2） 同理 ),() (2 )()()(0022' '20' 00x h x f h x hf x f h x f -∈+-=-ξξ （3） ),() (2 )()()(0022' '000'x h x f h h h x f x f x f -∈+--= ξξ （4） 式(2)和式(4)是计算()' 0f x 的数值微分公式，其截断误差为()O h ，为提高精度，将 Taylor 展开式多写几项 ),() (24 )(6)(2)()()(0011) 4(40'''30''20' 00h x x f h x f h x f h x hf x f h x f +∈++++=+ξξ ),() (24 )(6)(2)()()(0022) 4(40'''30''20' 00x h x f h x f h x f h x hf x f h x f -∈+-+-=-ξξ 两式相减得 )()(6 2)()()(40' ''2000' h O x f h h h x f h x f x f +---+= （5） 上式为计算)(0'x f 的微分公式，其截断误差为O(h 2 ),比式（2）和(4)精度高。 两式相加，如果],[)(00) 4(h x h x C x f +-∈，则有
第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 52
53 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限 注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42 20 x cos lim x e x x -→- 在MatLab 的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=-- - →- →-→2 2 222 20 x 3 22 x 4 2 20 x 12cos lim 4) (sin lim cos lim x x e e x x x e x x e x x x x x 12112112)2(2 lim 1211cos lim 222 220x 2 2 22220 x -=--+=--++-- →- - →x x x e x x x x x e e x 方法2 4 42 224420x 4 2 20 x ))(2) 2()2(1()(!421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→- →
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别， 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别， e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别，arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别， 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 应用模块 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用 模块编号 2-12 先行知识 微分的概念 模块编号 2-11 知识内容 教学要求 掌握程度 1、微分的几何意义、误差的相 关定义 1、理解微分的几何意义、误差的相关定义 简单应用 2、简单函数的近似值和误差估计 2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 能力目标 1、培养学生的理解能力 2、培养学生的对比类推能力 时间分配 45分钟 编撰 秦小娜 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。 特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。 二、授课部分 （一）复习回顾 由微分的定义可知： 1、函数值得增量：0()y f x x x α'?=?+? 2、增量的主要部分：0()dy f x x '=? 3、近似相等：y dy ?≈ （二） 微分的几何意义 当?y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|?x |很小时, |?y -dy | 比 |?x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.
由于0()tan dy f x x x α'=?=??，其中α为切线的倾斜角，而?y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量，当|?x |很小时, |?y -d y |比|?x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段. （三）微分在近似计算中的应用 由0()y dy f x x '?≈=?有： f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0). （选讲）例1．利用微分计算sin 30?30'的近似值. 解: 已知30?30'360 6 ππ+=, 6 0π=x , 360 π=?x . sin 30?30'=sin(x 0+?x)≈sin x 0+?x cos x 0 360 6 cos 6 sin πππ?+= 5076.0360 232 1=?+=π. 即 sin 30?30'≈0. 5076. 例2．求05.1的近似值. 解: 已知 x n x n 111+≈+, 故 025.105.02 1105.0105.1=?+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=. 例3．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解: 已知球体体积为33 4R V π=, R 0=1cm , ?R =0. 01cm . 镀层的体积为 ?V =V (R 0+?R )-V (R 0)≈V '(R 0)?R =4πR 02?R =4?3. 14?12 ?0. 01=0. 13(cm 3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 ?8. 9 =1. 16(g ).
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数 的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 22 22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？
例4（07年期末考试 一、2，3分）设2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有
《高等数学》课程学习指导与讨论题 第五章多元函数微分学及其应用 在理论研究和实际应用中，经常遇到具有两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多元数量值函数与多元向量值函数，统称为多元函数，本章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包括多元函数的极限与连续性。导数(方向导数，偏导数与梯度)与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多本质上的不同，同学们在学习这部分内容的时候，既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数之后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些差异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高自己分析和解决问题的能力。 本章教学实施方案(总计30学时) 讲课：24学时分 1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性(2学时) 3.多元数量值函数的导数与微分(7学时) 4．多元函数的Taylor公式与极值问题(4学时)；5．多元向量值函数的导数与微分(3学时)；6．多元函数微分学的几何应用(3学时) 7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。 习题课：4学时 1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学时）；2.多元函数的极值与多元微分在几何中的应用（2学时）。 讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系；；多元函数在极值问题中与几何方面的应用。 第一节 n维Enclid空间中点集的初步知识 一、教学内容与重点 n R中点列的极限与点集的初步知识。 二、教学要求 1. 理解n维欧氏空间n R中点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间中
学号 1330101009 毕业论文 对概率积分解法的研究和讨论 院（系）名称：书信学院 专业名称：数学教育 学生姓名：李建鹏 指导教师：杜争光 二○一五年
摘要：文章给出了计算概率积分 2 x e dx ∞- -∞ ?的几种简便的计算方法；对以 后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。 关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量 概率积分 2 x e dx ∞- -∞ ?是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经 常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。
目录 方法一：二重积分法 (1) 方法二：三重积分法 (1) 方法三：线积分法 (2) 方法四:面积分法 (3) 方法五:含参变量的无穷积分法 (4) 方法六：二重积分证明法 (6) 参考文献： (8) 致谢: (9)
对概率积分2 x e dx ∞ --∞ ? 解法的研究和讨论 概率积分 2 x e dx ∞ --∞ ? 是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用 到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。 方法一：二重积分法 现有连续函数 22() (,)x y f x y e -+=在正方形区域:(;)D a x a a y a -≤≤-≤≤； 圆域2 2 2 1:()R x y a +≤；圆域：2 222 :(2)R x y a +≤上的二重积分分别为12,,I I I ， 即： 22 22 2 () () 2 ()a a a x y x y x a a a D I e d x d y d x e d y e d x -+-+----===????? 22 22 1 2() 10 .(1) a x y r a R I e d x d y d r e d r e πθπ-+--===-???? 2222 2 22() 220 .(1) a x y r a R I e dxdy d r e dr e πθπ-+--===-???? （用极坐标） 同时又因：1 2I I I ≤≤,故有 12 lim lim lim a a a I I I →∞ →∞ →∞ ≤≤，即有2 2 lim()a t a a e dt π--→∞ =? ，从而 2 x e dx π ∞ --∞ =? [] 4 方法二：三重积分法 首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ 平面上的曲线2 x Z e -=绕Z 轴旋转一周得到的曲面22() x y Z e -+=与平面XOY 围成 的体V 。显然，一方面，该体的体积 22() 2 2 () x y e x v V dxdydz dx dy dz e dx -+∞ ∞ ∞ --∞ -∞ -∞ ===?????? ? 另一方面，根据旋转体的体积公式有：
【最新整理，下载后即可编辑】 第九章 多元函数微分学及应用 一. 设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求x v x u ?????. 解. y f f x u ''21+=??, )1('y g x v +=??. 所以 )''(')1(21y f f g y v v x u ++=????? 二. 设??? ? ??=+y z y z x ?22, 其中?为可微函数, 求 y z ??. 解. 原式两边对y 求导. 2'2y z y y z y z y y z y z z -????? ? ??+???? ??=????. 所以 ? ?? ? ??-???? ??-???? ??=??y z y yz y z z y z y y z '2'??? 三. 设x u z x t t x y z y x f u ??===，求 ，，又),(),(),,(ψ?. 解. 由上述表达式可知x, z 为自变量, 所以 ()'''''''''''''x t y x y x x t x y x y x f f f f f x y f f x u ψ??ψ??++=++=??+=?? 四. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ，求0),,(=+++; 2. dz y z xz f z ，求，)(-=. 解. 1. 0)1('' '321=??++??+x z f x z f f , 所以''''3231f f f f x z ++-=?? 0)1('''231=??++??+y z f y z f f , 所以''''3221f f f f y z ++-=?? 所以 ' ')''()''(322131f f dy f f dx f f dy y z dx x z dz ++++-=??+??= 2. x z f x z x z f x z ??+??+=??')('21, 所以''1'211f xf zf x z --=?? )1(''21-??+??=??y z f y z x f y z , 所以''1'212f xf f y z ---=??
习题6 6.1 试用三种方法导出线性二步方法 122+++=n n n hf y y 6.2 用Taylor 展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法. 6.3 形如 ∑=++=k i k n k j n j f h y 0βα 的k 阶方法称为Gear 方法，试确定一个三步Gear 方法，并给出其截断误差主项。 6.4 试用显式Euler 法及改进的Euler 法 )],(),([2 11n n n n n n n hf y t f y t f h y y +++=++ 6.5 给出线性多步法 ])13()3[(4 )1(212n n n n n f f h y y y +++=--++++αααα 为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的. 6.6 给出题(6.5)题中1=α时的公式的绝对稳定域. 6.7 指出Heun 方法 0 0 0 0 1/3 1/3 0 0 2/3 0 2/3 0 1/4 0 3/4 的相容阶，并给出由该方法以步长h 计算初值问题(6.45)的步骤. 6.8 试述刚性问题的基本特征，并给出s 级Runge-Kutta 方法为A -稳定的条件. 6.9 设有???=='00 )(),(y x y y x f y ，试构造形如 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα 的二阶方法，并推导其局部截断误差首项。
6.10设有常微分方程初值问题???=='00 )(),(y x y y x f y 的单步法)],(2),([3 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ，证明该方法是无条件稳定的。
微分在近似计算中的应用 教学目的：1、理解微分的几何意义 2、掌握微分在近似计算的应用 3、掌握微分在误差估算的应用 教学重点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用 教学难点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用 教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算 2、导入新课 3、讲授新课 （1）1、理解微分的几何意义 （2）微分在近似计算的应用 （3）微分在误差估算的应用 4、例题分析 5、课堂小结 6、布置作业 微分在近似计算中的应用 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。 1．函数增量的近似计算 如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '?=?+?=+?, 当||x ?很小时,有 0()y f x x '?≈? 例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ?=厘米，则 22100.05A dA r r πππ?≈=??=??=（2厘米） 例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)? 解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。 因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ?，所以它就是球体体积343 V R π= 当R 自0R 取得增量R ?时的增量，我们求V 对R 的导数:
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(, )P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用 εδ-定义证明2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的 结论。 例3 设 22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设 2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否 存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数 332 222 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。
初等数学基础知识 一、三角函数 1．公式 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系： tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα ·倒数关系： tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-1/2[ cos(α-β)-cos(α+β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。 3诱导公式： 记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割 即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的） 1 ο45 2 1 ο45 1 2 ο30 ο60 3
§8.3 全微分及其应用 一、全微分的定义 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分: f (x +?x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )?x , f (x +?x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )?x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +?y )-f (x , y )≈f y (x , y )?y , f (x , y +?y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )?y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ). 计算全增量比较复杂, 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ) 可表示为 ) )()(( )(22y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ, 其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ?x +B ?y . 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )=A ?x +B ?y +o (ρ), 于是 0lim 0 =?→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =?+=?+?+→→??ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件: 定理1(必要条件) 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ??、y z ??必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ???+???=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +?x , y +?y ), 有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二 一元函数积分的计算（一） 一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分． 对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。 由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。 借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。 牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。 一、定积分的变量替换法 定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：
(1)Ф’(t)在[α,β]上连续； (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b， 则（1） 注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。 (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。 (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。 几种常用的凑微分形式： （1） （2） （3） （4） （5）
实验报告 课程名称：计算方法 院系：数学科学系 专业班级：数应1001 学号：1031110101 学生姓名：曹信信 指导教师：沈林 开课时间：2012至2013学年第一学期
一、学生撰写要求 按照实验课程培养方案的要求，每门实验课程中的每一个实验项目完成后，每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告，不得抄袭，不得缺交。 学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。字迹工整，文字简练，数据齐全，图表规范，计算正确，分析充分、具体、定量。 二、教师评阅与装订要求 1.实验报告批改要深入细致，批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题，给出评语和实验报告成绩，签名并注明批改日期。实验报告批改完成后，应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。 2.实验报告成绩用百分制评定，并给出成绩评定的依据或评分标准（附于实验报告成绩登记表后）。对迟交实验报告的学生要酌情扣分，对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育，并对该次实验报告的分数以零分处理。对单独设课的实验课程，如学生抄袭或缺交实验报告达该课程全学期实验报告总次数三分之一以上，不得同意其参加本课程的考核。 3.各实验项目的实验报告成绩登记在实验报告成绩登记表中。本学期实验项目全部完成后，给定实验报告综合成绩。 4.实验报告综合成绩应按课程教学大纲规定比例（一般为10-15%）计入实验课总评成绩；实验总评成绩原则上应包括考勤、实验报告、考核（操作、理论）等多方面成绩； 5.实验教师每学期负责对拟存档的学生实验报告按课程、学生收齐并装订，按如下顺序装订成册：实验报告封面、实验报告成绩登记表、实验报告成绩评定依据、实验报告（按教学进度表规定的实验项目顺序排序）。装订时统一靠左侧按“两钉三等分”原则装订。