3.1.1空间向量加减法习题
一、选择题
1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；
(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
(4)向量a ，b 相等的充要条件是?
??
??
|a |＝|b |，a ∥b ；
(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD →
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] C
[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC →
∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在?ABCD 中，AB →＝DC →
. (3)正确．∵a ＝b ，
∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c .
(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ?|a |＝|b |，|a |＝|b |?/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →
同向． 故选C.
2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) ＋BC →＝AC → ＋BC →＋CA →＝0 －AC →＝CB → ＝－BA →
[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.
3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →
，则下列结论正确的是( ) ＝BC →＋CD → －DC →＋BC →＝AD → ＝AB →＋BC →＋DC → ＝BD →－DC → [答案] B
[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．
4．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→
)的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案] C
[解析] 利用向量相等的定义求解．
5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.
6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c ，则下列向量中与B 1M →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2
b ＋c
a ＋12
b ＋
c a －12
b ＋c
D ．－12a －1
2b ＋c
[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →
＝A 1A →＋12
BD →
＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)
＝－12a ＋1
2
b ＋
c .∴应选A.
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中 (1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.
运算的结果为向量AC 1→
的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] D 8．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] D
[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；
③真命题．向量的相等满足递推规律；
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
9．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )
＋BF →＋EH →＋GH →＝0 ＋FC →＋EH →＋GE →＝0 ＋FG →＋EH →＋GH →＝0 －FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B
[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →
， EH →
＋GE →＝GH →
，
易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →
＝0， 故选B.
10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →
＝b ，则BC →
＝( )
A ．－a －b
B ．a ＋b
a －b
D ．2(a －b )
[答案] A
[解析] BC →＝BO →＋OC →＝BO →－OA →
＝－b －a ，故选A. 二、填空题
11．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
＝________.
[答案] b －c －a
[解析] A 1B →＝CB →－CA →＝CB →－(CA →＋CC 1→
)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .
12．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →
＝________.
[答案] OD →
[解析] ∵D 为BC 中点， ∴OB →＋OC →＝2OD →， 又OB →＋OC →＝－2OA →
∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →.
13．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →
、AD →
表示的结果为______________________．
[答案] 12
(AD →－AB →
)
[解析] MN →＝12BD →＝12
(AD →－AB →
)
14．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →
；
②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；
④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是________．
[答案] ①②③
[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→
，②
正确；③显然正确．
三、解答题
15．如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．
(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.
[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→
(2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →) ＝DD 1→－DB →＝BD 1→
16．如图所示的是平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列各式．
(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.
[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →
(2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →
.
17．若G 为△ABC 的重心，求证GA →＋GB →＋GC →
＝0.
[解析] 证明：延长AG 交BC 于D ，在AD 延长线上取点E ，使DE ＝GD ，则四边形BGCE 为平行四边形，所以GE →＝GB →＋GC →，又由重心知GE →＝－GA →，故GA →＋GB →＋GC →
＝0.
18．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证EF →＝12
(AB →＋DC →
)．
[解析] 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →
，① EF →
＝ED →＋DC →＋CF →
，②
①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →
， ∴EF →＝12
(AB →＋DC →)．
《向量的加法》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义． （2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和． 2.过程与方法 通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些量，渗透研究新问题的思想和方法，培养学生自主探究知识形成过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。 3. 情感态度与价值观 通过创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲，并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，养成学生规范的作图习惯，激发学生学习数学的兴趣与积极性。通过引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．【教学重点】 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，求任意两个向量的和向量． 【教学难点】 向量加法定义的理解． 【教学方法】 启发式教学、讲练结合 【课时】 一课时 【教学过程】 [复习引入] 1、向量的定义： 2、向量的表示： 3、零向量： 4、单位向量： 5、相等向量： 6、共线向量： 7、三角形的边角关系： 8、平行四边形的性质与判定： 我们都知道，数能够进行四则运算，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢有了刚才所复习的这些知识作基础，接下来就可以进一步的探讨向量的运算了。数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。 [问题情境] 某人从A地经B地到C地两次位移,的结果与从A地直接到C地的位移，有什么关系用式子表示出来。 结论：动点A直接位移到点C与从A地经B地到C地连续位移的效果相同。 即：+= 举实例：学生甲从宿舍到操场，再从操场到教室，学生乙从宿舍到教室。 结论：两个学生位移的效果相同。
3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b； →→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； ，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个 个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC. ，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c. (4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反． b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6) 故选C. 2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是() →→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0. →→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确． →→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是() A．1个B．2个 4个D．．C3个 答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件 ．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B [解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. →→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11． 11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11 1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有 ()1A．1个B．2个 个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为
§3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用
四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;
《向量的减法》教案 英德中学黄小玲 教学目标： 〈一〉知识目标 1、掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。 2、理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。 〈二〉能力目标 1、向量的运算能反映出一些物理规律，从而加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。 2、培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。 〈三〉德育目标 理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想。 〈四〉美育目标 通过学习体会数学的内在美及向量证明方法的逻辑美。 教学重点：向量减法的运算及其几何意义。 教学难点：向量减法定义的理解。 学法引导：类比向量加法运算与数的运算，培养学生的观察力，提高学习兴趣及探究精神。 教学过程： 一、创设情境 如图,已知a、b，求作向量c,使c =a ＋b。 (学生板演后，保留图形，方便后面对比) 向量是否有减法？如何理解向量的减法？ 我们知道，减法是加法的逆运算，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入？二、展示目标 三、自主探究 阅读课本p94---p96 2.2.2向量减法运算及其几何意义，回答下列问题： 1、小东从A地走10米到B地，又再从B地走10米到A地，他的位移是多少？ 2、什么叫做相反向量？相关性质？ 3、你如何理解向量减法的定义？ 4、已知两个向量a，b，如何作出两个向量的差？ 小试牛刀： （1）设b是a相反向量，则下列说法错误的是（ C ） A、a与b的长度必相等 B、a∥b C、a与b一定不相等 D、a是b的相反向量 （2）下列等式，①a + 0 =a ②、b +a = a +b ③、-(-a)= a ④、a +(-a)=0 ⑤、a +(-b)=a-b正确的有( )个？ A、2 B、3 C、4 D、5 （3）已知向量a, b怎样作出向量m，使m =a-b？ 四、共同探导 1、从上面习题（3）中，引导从之前的加法作图法中，归纳出作两向量差的方法。 三角形法则：①起点重合，连接两向量终点，箭头指向被减数（几何意义） ②、利用a－b＝a ＋（－b）(板书演示作图过程) 2、改变a、b的位置（如下图），该怎样作出 a－b？ 3、上题中，向量a、b不共线，若a、b共线时，怎样作a－b？（指名板演，师生共同评议）引导归纳作两共线向量差的方法：利用向量减法的几何意义。并与怎样作a +b比较。5、再展牛刀 a b a b a b a b
课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面
C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．
《向量的加法》教案 一、教学目的 1、掌握向量加法的概念，能熟练掌握向量加法，平行四边形法则和三角形法投影，并能作出已知两向量的和向量。 2、理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和， 3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。 二、教学重难点： 重点：向量加法的运算及其几何意义 难点：对向量加法的三角形法则的理解，以及求两共线向量的和。 三、教学过程： 一〉回顾旧知： 1、什么叫向量？如何表示向量？ 2、什么叫相等向量？ 二〉新课讲解： 在数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。 定义：求两个向量和的运算，收做向量的加法。 向量究竟是按怎样的方法相加的呢？ 首先看下面的这个问题。 如图，作用在同一物体上的不共线的两个力和，它们是怎样合成的？ 以、为邻边作□ OACB ，则与、 共起点的 对角线就是与的合力，即 = + 即它们是按平行四边形法则合成的。 力的合成等同于向量的加法。说明向量的加法可以按照平行四边形法 则来进行。 平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量、为邻边作□ OACB ，则以O 为起点的对角线 就是与的和，这种作两个向量的和的方法叫 O C F B C + A O
做向量加法的平行四边形法则，即： = + 。 法则特点：两个已知向量的起点相同。 例1：如图已知向量、，求作向量 + 。 作法：在平面内任取点O ，作 = ，OB = ，以OA 、OB 为邻边作□ OACB ，则 = + 。 练习：P84，2 点评练习：O 点可以任意选取，因此可以的起点作为O 点，将的起点移到点O 作平行四边形。 问题：观察□ OACB 中还有与相等的向量吗？ = ，可见求、之和，可以直接将它们首 尾相连，然后连接OC ，则△OAC 边 就是 + 。 由此可知，求两个向量的和，只需将它们首尾相连，然后由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点就得到两个向量的和，这就是向量加法的： 三角形法则如图，已知非零向量 、 在平面内任取一点A ，作= 、 = ，则向量 叫做 与 的和。记作 + 。 即： + = + = 这种求两个向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则。 大家回想，在物理中哪些矢量的合成通常是按三角形法则来进行的？物移的合成，比如，一个物体从A 点移动到B 点，再由B 点移动到C 点，相当于从A 点直接移动到C 点。所以位移的合成可以看成是向量加法的三角形法则的物理模型。 三角形法则的特点是：首尾相连，方向由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。规定： + = + = C + O A B B C A O + B C A
《2.1.2向量的加法》的教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（B版）)。第二章2．1平面向量的线性运算的第二节“向量的加法”（80--83页）。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的长度、相等的向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学情分析 学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标
2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。 二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。 作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。 变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？ 要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，
《向量的减法运算及其几何意义》教案 高三数学组王运洪 一．教学目标： 1.知识与技能： （1）了解相反向量的概念； （2）掌握向量的减法，会作两个向量的减向量的图示，并理解其几何意义； （3）认识向量的减法运算与向量的加法运算之间的转换方法，并会通过作图加强理解和运用。 2.过程与方法： （1）类比与联想在相反向量定义中的应用； （2）探究法、思考与分析、讨论与交流等方法在向量减法及其几何意义知识形成和实践过程中的有效运用。 3.情感态度与价值观： （1）通过对新知识的探究与形成与实践，培养学生基本的数学素养、科学的思考方法和思维习惯；通过课堂实践，让学生享受成长的喜悦、激发并养成学生学习数学的兴趣； （2）通过类比与联想的方法在课堂教学中的有效运用，培养学生“事物是广泛联系的” 辩证唯物主义认识观和“一切从实际出发”解决问题的实践观； （3）通过探究法、思考与分析、讨论与交流等方法在课堂教学过程中的合理运用，培养学生独立思考、勇于探究和创新的精神、积极上进与合作共进的精神面貌和思想方法；（4）通过与生活实际有关实例的引入，培养学生善于观察、善于思考的良好习惯和积极运用数学的思维习惯。 二．教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 三．教学难点：减法运算时方向的确定及准确表达。 四．教具准备：多媒体辅助教学。 五．教学过程设计 1. 情景导入1： 张华同学早上出门上学，在他离家大约五十米远时突然想起忘了关门（家中无人），为了安全起见，他应该---- 问题1：你能用两个不同的向量来表示张华同学这一去一回的两个运动过程和结果吗？ 问题2：请你描述一下这两个向量的关联特征？
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
A . a + b — c B . — a — b +c C . — a + b + c D . — a + b — c 解析：选 C.由于CD = CB +BA + AD = CB — AB +AD = b — a + c , 所以 C D = — a + b + c . 3.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中，下列选项中化简后为零向量的 A. AB + A I D I + C i A i B .AB —A C+ BE B I C. AB + AD + AA i D .A C +CB 1 解析：选 A.在 A 选项中，AB +A ；D i + CA i = (AB +AD) + CA = AC + CA = 0. 4.设有四边形ABCD,O 为空间任意一点，且AO + O B = D O + OC, 全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） 空间向量及其加减运算专题训练 [A 基础达标] 1.在空间四边形OABC 中，OA +A B — CB 等于（ ） A .OA B .A B C.OC D .A C 解析：选 C.OA + A B — CB= OB — CB = BC — BO = OC. 2.已知空间四边形 ABCD 中，AB = a , CB = b , AD = c ,则CD 等
则四边形ABCD是（）
全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） A .平行四边形B.空间四边形 C.等腰梯形 解析：选A.由于AO+ A B, D O+O C=D C, 所以AB=DC,从而|AB|=|D C|,且AB与CD不共线, 所以AB DC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 5 .已知平行六面体ABCD-A'B'CD 贝y下列四式中错误的是 ① AB—CB = AC:② A厅 =AB + B B ~C C + CC :③ AT C = CC ;@AB+ BB^ +BC+ C C C = A F . A.① c.③ 解析：选D.AB—CB=AB+BC=AC,①正确; A B+B"C+C C = A B+ B C+ C C=A C ,②正确; ③显然正确；AB+ B B+B C+CC=AB + BC+CC=AC,④错. 6 .式子(AB—CB)+CC I运算的结果是______ . 解析：(AB—CB)+ CC I =(AB+BC) + CC I=AC+CC I = AC I. 答案：A C I 7.给出下列几个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量; ②若|a|= |b|，则a, b的长度相等，方向相同或相反;
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—
《向量的加法运算及其几何意义》教案 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和： AC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C A B C A B C
《向量的减法》教案 教学目标： 〈一〉知识目标 1、 掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。 2、 理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。 〈二〉能力目标 1、向量的运算能反映出一些物理规律，从而加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。 2、培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。 〈三〉德育目标 理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想。 〈四〉美育目标 通过学习体会数学的内在美及向量证明方法的逻辑美。 教学重点：向量减法的运算及其几何意义。 教学难点：向量减法定义的理解。 学法引导：类比向量加法运算与数的运算，培养学生的观察力，提高学习兴趣及探究精神。 教学过程： 一、 创设情境 如图,已知a 、b ，求作向量c ,使c =a ＋b 。 (学生板演后，保留图形，方便后面对比) 向量是否有减法？如何理解向量的减法？ 我们知道，减法是加法的逆运算，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入？ 二、 展示目标 三、 自主探究 a b
阅读课本p94---p96 2.2.2向量减法运算及其几何意义，回答下列问题： 1、 小东从A 地走10米到B 地，又再从B 地走10米到A 地，他的位移是多少？ 2、 什么叫做相反向量？相关性质？ 3、 你如何理解向量减法的定义？ 4、 已知两个向量a ，b ，如何作出两个向量的差？ 小试牛刀： （1）设b 是a 相反向量，则下列说法错误的是（ C ） A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 （2）下列等式，①a + 0 =a ②、b +a = a +b ③、-(-a )= a ④、a +(-a )=0 ⑤、a +(-b )=a -b 正确的有( )个？ A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （3）已知向量a , b 怎样作出向量m ，使m =a -b ？ 四、 共同探导 1、从上面习题（3）中，引导从之前的加法作图法中，归纳出作两向量差的方法。 三角形法则：①起点重合，连接两向量终点，箭头指向被减数（几何意义） ②、利用a －b ＝a ＋（－b ）(板书演示作图过程) 2、改变a 、b 的位置（如下图），该怎样作出 a －b ？ 3、上题中，向量a 、b 不共线，若a 、b 共线时，怎样作a －b ？（指名板演，师生共同评议） 引导归纳 作两共线向量差的方法：利用向量减法的几何意义。并与怎样作a +b 比较。 5、 再展牛刀 (1)课本p95例3 (2)课本p96 第3题 (3) 课本p96 第2题 a b a b a b
教 案 首 页 教学对象 2015秋材料班 授课日期 2016.5.19 教学内容 2.2 平面向量的减法 计划学时 2 教学目的 知识 技能 态度 向量的加减运算原理 正确掌握向量的加法运算与减法运算，掌握作图方法 认真态度，严谨 教学重点 与难点 1.理解向量减法的作图过程和方法 教学资源 教学活动流程 教学步骤与内容 教学目标 教学方法及教具 时间 一、复习导入新课 复习平面向量的加法运算 二、平面向量的减法原理 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 三、推理减法运算 与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即 a ? b = a ＋(?b )． 设a = OA ，b = OB ，则 ()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+= 巩固记忆 理解减法意义 提问 认真讲解 10分钟
． 即 OA OB - =BA 观察下图可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点． 四、引入例子 例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ． 解 如图7－14（2）所示，以平面上任 一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即 BA = a －b ． 五、运用知识 强化练习 1.填空：（1）AB AD - =_______________， （2）BC BA - =______________， （3）OD OA - =______________． 讲解并要求学生会做向量减法图 20分钟 5分钟 a A a -b B b O B b O a A b a （（
3.1.1 空间向量及其加减运算 [目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义． [重点] 空间向量加减运算及其几何意义． [难点] 向量加减运算由平面向空间的推广． 知识点一空间向量的有关概念 [填一填] 1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模． 4．几类特殊向量 [答一答] 1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？ 提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量． 2．如何理解零向量的方向？ 提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以
理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的． 3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． (2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同． 知识点二空间向量的加减运算 [填一填] [答一答] 4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？ 提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的． 5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？ 提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线． 1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量． 3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．
3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题 1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (4)向量a ，b 相等的充要条件是? ?? ?? |a |＝|b |，a ∥b ； (5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD → 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC → ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在?ABCD 中，AB →＝DC → . (3)正确．∵a ＝b ， ∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c . (4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ?|a |＝|b |，|a |＝|b |?/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD → 同向． 故选C. 2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) ＋BC →＝AC → ＋BC →＋CA →＝0 －AC →＝CB → ＝－BA →
[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0. 3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD → ，则下列结论正确的是( ) ＝BC →＋CD → －DC →＋BC →＝AD → ＝AB →＋BC →＋DC → ＝BD →－DC → [答案] B [解析] 根据向量加减法运算可得B 正确． 4．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→ )的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] 利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. 6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A → ＝c ，则下列向量中与B 1M → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2 b ＋c a ＋12 b ＋ c a －12 b ＋c D ．－12a －1 2b ＋c
《向量减法的运算及几何意义》教学反思 育英高中胡阁 参加本届教学比武大赛，我十分投入，备课时不但想怎么教，我更多是思考：学生怎么学？怎么能让学生活动起来，参与进来？怎样设计活动？一开始利用动画，引入物理中位移的合成和力的合成与分解，温故向量加法的三角形法则和平行四边形法则。动手与思考结合形成主动学习主动接受，我设计了三个探究，让学生共同合作，共同解决问题。有一点遗憾是在处理小结时由于学生回答问题偏差太大导致太过仓促，显得结束潦草。 教材分析：《向量减法运算及其几何意义》是必修四第二章第二节的教学内容，重点内容是向量减法的三角形法则。本节课是学习平面向量基本慨念之后一节比较重要的课，向量的加减法更是后续学习的铺垫，向量加减法是线性运算中最基本、最重要的运算。加法运算，减法运算，数乘向量运算都可以归结为加法运算，所以本节课在今后的空间向量与立体几何中有着举足轻重的地位。 学情分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量的定义，知道向量可以自由移动，更重要的是已经学习了加法运算及其几何意义，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，但是对于向量的加减法运算，学生可能不明白向量加减的道理，为此，我在案例设计中，首先以动画回顾位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量
加法就是物理中学过的矢量的合成，在此基础上归纳总结向量加法的三角形法则，平行四边形法则。在此之后提出相反向量的定义及向量的减法定义。通过定义，把向量的减法运算转化为加法运算。这样起到了承上启下，轻松引入的作用。 本节课教学环节严谨，学案课前预习——课件动画引入——合作探究（三个探究问题）——个体展示——例题精讲——课堂练习——课堂小结。在整个教学环节中，合作讨论让整个课堂更活跃了，更增加了课堂趣味性。还有课后练习展示答案，可以很清楚的掌握全班同学对本节课所学知识的掌握情况，从而调整课下和下一节的辅导和教学。唯一不足的是，温故知新的三角形法则和平行四边形法则求向量的和让学生上讲台板演可能更好，这里处理的不够细腻。总体说这节课比较成功，主要有以下几个亮点。 1、形式上，黑板与多媒体结合有效防止视觉疲劳，动手与思考结合形成主动学习主动接受，老师给予与书本探究结合有利于课后复习和作业。 2、教学方法采用多媒体教学，动画效果非常逼真，三角形法则和平行四边形法则做差的几何画法让学生得到了感性和理性的认识。
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 邹城市第二中学孙爱青邮编273500 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用
教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学设计： 1、（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（矢量，由大小和方向确定）。 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：通过这个实验，我们发现研究的问题是三个力的问题，但三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其运算”（板书黑板）。 实际上空间向量我们随处可见（同学们可先举）。然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）2、（自主学习）：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么区别和联系？平面向量的运算法则、运算律空