3.1.1空间向量加减法习题
一、选择题
1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；
(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； `
(4)向量a ，b 相等的充要条件是?
??
??
|a |＝|b |，
a ∥
b ；
(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD →
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] C
[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC →
- ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在?ABCD 中，AB →＝DC →
. (3)正确．∵a ＝b ，
∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c . ！
(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ?|a |＝|b |，|a |＝|b |?/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →
同向． 故选C.
2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) ＋BC →＝AC → ＋BC →＋CA →＝0
－AC →＝CB → ＝－BA →
[答案] B 。
[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.
3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →
，则下列结论正确的是( ) ＝BC →＋CD → －DC →＋BC →＝AD → ＝AB →＋BC →＋DC → ＝BD →－DC → [答案] B
[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确． |
4．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→
)的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案] C
[解析] 利用向量相等的定义求解．
5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 ?
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.
6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c ，则下列向量中与B 1M →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2
b ＋c
a ＋12
b ＋c
a －12
b ＋c
|
D ．－12a －1
2b ＋c
[答案] A
[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →
＝A 1A →＋12
BD →
＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)
＝－12a ＋1
2
b ＋
c .∴应选A.
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中 /
(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.
运算的结果为向量AC 1→
的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
[答案] D [
8．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( )
A ．1
B ．2 \
C ．3
D ．4
[答案] D
[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；
③真命题．向量的相等满足递推规律；
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
9．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( ) 【
＋BF →＋EH →＋GH →＝0
＋FC →＋EH →＋GE →＝0 ＋FG →＋EH →＋GH →＝0 －FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B
[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →
， EH →
＋GE →＝GH →
，
!
易证四边形EFGH 为平行四边形，
故EF →＋GH →
＝0， 故选B.
10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →
＝b ，则BC →
＝( )
A ．－a －b
B ．a ＋b
a －b
D ．2(a －b )
[答案] A
[解析] BC →＝BO →＋OC →＝BO →－OA →
＝－b －a ，故选A. !
二、填空题
11．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
＝________. [答案] b －c －a
[解析] A 1B →＝CB →－CA →＝CB →－(CA →＋CC 1→
)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .
12．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →
＝________.
[答案] OD →
[解析] ∵D 为BC 中点， ∴OB →＋OC →＝2OD →， （
又OB →＋OC →＝－2OA →
∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →.
13．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →
、AD →
表示的结果为______________________．
[答案] 12
(AD →－AB →
)
[解析] MN →＝12BD →＝12
(AD →－AB →
)
14．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中：
"
①AB →－CB →＝AC →；
②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；
④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是________．
[答案] ①②③
[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→
，②正确；③显然正确．
？
三、解答题
15．如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．
(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.
[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→
(2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)
＝DD 1→－DB →＝BD 1→ —
16．如图所示的是平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列各式．
(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.
[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →
(2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →
.
17．若G 为△ABC 的重心，求证GA →＋GB →＋GC →
＝0.
[解析] 证明：延长AG 交BC 于D ，在AD 延长线上取点E ，使DE ＝GD ，则四边形BGCE
为平行四边形，所以GE →＝GB →＋GC →，又由重心知GE →＝－GA →，故GA →＋GB →＋GC →
＝0.
18．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证EF →＝12
(AB →＋DC →
)．
[解析] 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →
，① EF →
＝ED →＋DC →＋CF →
，②
①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →
， ∴EF →＝12
(AB →＋DC →)．