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电磁学第七次作业解答
8-21 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定
律可得： )(220R r r
R
I
B ≤π=μ 因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为
???==S B S B d d 1??Φr r R I R
d 2020?π=μπ=40I
μ
在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为
)(20
R r r
I
B >π=μ 因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为
??=S B ??d 2Φr r I R R
d 220?π=μ2ln 20π=I
μ
穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+I
μ
8-22 有一长直导体圆管，内外半径分别为R 1和R 2，如
图，它所载的电流I 1均匀分布在其横截面上．导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流I 2，且在中部绕了一个半径为R 的圆圈．设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d ，
而且它们与导体圆圈共面，求圆心O 点处的磁感强度B ?
．
解：圆电流产生的磁场 )2/(201R I B μ= ⊙
长直导线电流的磁场 )2/(202R I B π=μ ⊙
导体管电流产生的磁场 )](2/[103R d I B +π=μ?
圆心Ｏ点处的磁感强度 321B B B B -+= )
()1)((21
20d R R RI d R I +-π++?
π=μ ⊙
I
S 2R
1 m
d
R
O I 1
I 2 I 2
计算电磁学课程作业(二) 1. 电磁场的线性系统（满足标量亥姆霍兹方程的系统）与一般电 子线性系统有何异同点？ 2. 试阐述格林函数对工程电磁场计算和求解的意义。 3. 任何源函数都可很方便地表示为基本函数（一般为函数）的线 性组合。任何波函数都可很方便地表示为基本函数（各种谐函 数）的线性组合。利用电磁场线性系统的函数和格林函数， 对于矢量磁位的亥姆霍兹方程： ，其在自由空间的解为 试写出两个有关矢量磁位的结论。 4. 对于无源区，电场、磁场、矢量磁位、标量电位、矢量电 位、标量磁位以及德拜位、赫兹矢量位等波函数，在时 域均可以写成矢量达朗伯方程的形式： 或标量达朗伯方程的形式。 对于矢量达朗伯方程，也常常只对标量达朗伯方程进行讨论和求解。这是因为：一方面矢量方程可以通过分离变量法后看做各个坐标分量标量方程的叠加；另一方面不同的波函数（平面波、柱面波、球面波）之间可以相互转换表达或相互展开表示（通过广义傅里叶变换）。 试写出无源区标量达朗伯方程的一个通解形式及其推导过程，并阐述通解的物理含义。 5. 类似地，在无源区，频域中波函数的波动方程可以表达为标量 亥姆霍兹方程（谐方程）： （） 其解在为谐函数（正弦函数、余弦函数、指数函数或柱谐函数、 球谐函数）。 电磁波在无限空间传播与存在的是连续谱；而电磁波在有限空 间传播与存在的是分立谱。试分别写出无源区的标量亥姆霍兹方程在直
角坐标、柱坐标和球坐标下的的一般解（通解）形式。 以下题目需提交作业： 6. 当矢量位为 （1），； （2），； 时，分别推导由矢量位计算电磁场各直角坐标和圆柱坐标分量的关系式，并且讨论其电磁场特点。 7. 对于TEM 波（横电磁波），标量电位函数满足拉普拉斯方 程：，即在横街面上具有静电场的行为特征，这种特征给电磁场 的数值计算带来很大的方便，试证明之。 电场E和磁场H满足此关系吗？ TE波（横电波）和TM 波（横磁波）的情况如何呢？ 8. 电磁场中的标量格林函数满足亥姆霍兹方程： 对于无界空间，标量格林函数是关于源点球对称的，标量格林函数对应的亥姆霍兹方程可以变化为： 其中。其通解为：，试将通解代入上式求出。注意到一般边值问题的特解是将通解代入到边界条件（时域还需知道初始条件）中得到的，此问题的另外一个边界在无限远。能不能利用索莫菲辐射条件求出？为什么？ 下题选做： 9. 试说明准静态场的概念，并分别推导磁准静态场和电准静态场的场波动方程及其通过矢量磁位求解的过程。
一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 没有电荷 B 、面S 没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ- P 3 I
电磁学第八次作业解答 8-24 质子和电子以相同的速度垂直飞入磁感强度为B 的匀强磁场中，试求 质子轨道半径R 1与电子轨道半径R 2的比值． 解：洛伦兹力的大小 B q f v = 对质子： 1211/R m B q v v = 对电子： 2222/R m B q v v = ∵ 21q q = ∴ 2121//m m R R = 8-30 在xOy 平面内有一圆心在O 点的圆线圈，通以顺时针绕向的电流I 1另有一无限长直导线与y 轴重合，通以电流I 2，方向向上，如图所示．求此时圆线圈所受的磁力． 解：设圆半径为R ，选一微分元d l ，它所受磁力大小为 B l I F ?=d d 1 由于对称性，y 轴方向的合力为零。 ∴ θcos d d F F x = θθμθ c o s c o s 2 d 2 01R I R I π= θμd 22 10π= I I ∴ ?π==π 20 210d 2θμI I F F x 210I I μ= 8-32 一平面线圈由半径为0.2 m 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2 A ，把它放在磁感强度为0.5 T 的均匀磁 场中，求： (1) 线圈平面与磁场垂直时(如图)，圆弧AC 段所受的磁力． (2) 线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩． 解：(1) 圆弧AC 所受的磁力：在均匀磁场中AC 电圆弧所受的磁力与通有相同电流的AC 直线所受的磁力相等，故有 F AC =283.02==RB I F AC N 方向：与AC 直线垂直，与OC 夹角45°，如图． (2) 磁力矩：线圈的磁矩为 n n IS p m 2102-?π== I 1 I 1 B ? F
电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大 小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线， 其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的水平
外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时 的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =3.0cm ．已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) 试画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm ，长4.0cm ，厚1.0×10-3cm 的导体，沿长度 方向载有3.0A 的电流，当磁感应强度大小为B =1.5T 的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10-5V 的横向电压．试求： (1) 载流子的漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目． 8 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U ． 图 9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿 磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的) (2)若存在电流，上述结论是否还对 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点 的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的水平外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =．已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) 试画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽，长，厚×10-3 cm 的导体，沿长度方向载有的电流，当磁 感应强度大小为B =的磁场垂直地通过该导体时，产生×10-5 V 的横向电压．试求： (1) 载流子的漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目． 8 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U ． 图 9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R ．求：感应电流的最大值． 电磁学 一、填空题 1、离无限长均匀带电直线距离为r处的电场强度与r 成比。 半径为R的均匀带电量Q的细圆环环心处的电势为。 2、球形电容器（内外半径分别为R1和R2），充电后与电源断开，若将电容器充满相对电容率为 r ε的各向同性均匀电介质，其电容将，该球形电容器电容的表达式为。 3、平行板电容器充电后与电源断开，然后充满相对电容率为 r ε的各向同性均匀电介质，其电容将，两极板间电势差将。（填减小、增大或不变） 4、半径为R的均匀带电Q的球面，若取无穷远处为零电势点，则球表面处的电势U= ；球面外离球心r处的电势U r= 。 5、静电场的电场线有如下的性质：电场线形成闭合曲线；任何两条电场线相交。 6、在磁场中载流导线上出现横向电势差的现象称为，此电势差与电流强度成比。此电压的测量可以确定载流子的。 7、半径为R的均匀带电球面（电量为Q）内部是一个， 球心处的电势为（ ε已知）。 8、地表附近，晴天大气平均电场强度约为120V/m，大气平均电流密度约为412 10- ?A/m2。则大气电导率是若电离层和地表之间的电势差为45 10 ?V，大气的总电阻是。9、边长为a的正三角形，其三个顶点各放置q，q-和q2-的点电荷，三角形重心上的电势为，将一电量为Q +的点电荷由无限远移到重心上，外力做功为。 10、一半导体薄片在如图所示的磁场中，薄 片中电流的方向向右，则可知是空穴导电， 上、下两侧的霍耳电势满足 a ?< b ?。（填“>” 或“<”） 11、静电场的高斯定理说明静电场是，静电场的场强环路定理说明静电场是。 12、带电粒子垂直射入均匀磁场，电荷受到的洛仑兹力其速度的大小(填“改变或不改变”，电荷所受洛仑兹力做功。 13、电量和符号都相同的三个点电荷q放在等边三角形的顶点上。为了不使它们由于斥力的作用而散开，可在三角形的中心放一符号相反的点电荷q′。则q′的电量应为。14、两平行长直载流直导分别通有电流I1和I2，它们相距为d，导线直径远小于d，则根据定律，可得每根导线单位长度线段受的磁场作用力为。 15、设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为λ，A、B两点分别在线的两侧，它们到线的距离分别为a和b，则根据定义式可得A、B两点间的电势差为。 16、平行板空气电容器极板面积S、间距d，电源充电后两极板带电分别为±Q。断开电源再把两极板距离拉开到2d，外力克服两极板吸引力所作功为；两极板间相互吸引力为。 17、分子的正、负电荷中心重合的电介质叫电介质， 电磁学作业及解答精选 文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线， 其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的 水平外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =．已知B 垂直于 纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) (2) 试画出这电子运动的轨道； (3) (4) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽，长，厚×10-3cm 的导体，沿长度方向载有的电 流，当磁感应强度大小为B =的磁场垂直地通过该导体时，产生×10-5V 的横向电压．试求： (1) (2) 载流子的漂移速度； (3) (4) 每立方米的载流子数目． 第五章 静 电 场 5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 电磁学复习练习题作业(答案) 第一次作业一选择题[ C ]1下列几个说法中哪一个是正确的？(A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向. ???(C) 场强可E?F/q定出，其中q为试验电荷，q可正、可负，F为(B) 在以点电荷为中心的球面上，该点电荷所产生的场强处处相同．试验电荷所受的电场力．(D) 以上说法都不正确．[ C ]2 在边长为a的正方体中心处放置一电荷为Q的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为：(A) QQ．(B) ．12??0a26??0a2Q 3??0a2．(D) (C) Q．??0a2 [ B ]3图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋??(x＜0) 和－? (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为y??(0, a)??????i?j?．(A) 0．(B) i．(C) i．(D) 2??0a4??0a4??0a?(sin?2?sin?1) 【提示】根据Ex?4??0a?Ey?(cos?1?cos?2) 4??0a?对＋?均匀带电直线?1?0,?2? 2?对—?均匀带电直线?1?,?2?0 2+?-?Ox 在点的场强是4个场强的矢量和[ A ]4电荷面密度分别为＋?和－?的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图放置，则其周围空间各点电场强度随位置坐标x变化的关 系曲线为：(设场强方向向右为正、向左为负)yE -?+?E ?/?0 ?/2?0(B)(A) -a O +a x -aO+ax-aO a x E(C) E?/2?0-aO+a-?/2?0x(D)?/2?0?/?0+ax -aO??/2?0 1 【提示】依据E??及场强叠加2?0二．填空题--5. 电 P r λ2 λ1 R 1 R 2 1．坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x =+1,y =0)产生的电场强 度为E ρ 。现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么 位置才能使P 点的电场强度等于零？ (A) x 轴上x >1。 (B) x 轴上0 电磁学第七次作业解答 8-21 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得： )(220R r r R I B ≤π=μ 因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为 ???==S B S B d d 1 Φr r R I R d 2020?π=μπ=40I μ 在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为 )(20 R r r I B >π=μ 因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为 ??=S B d 2Φr r I R R d 220?π=μ2ln 20π=I μ 穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+I μ 8-22 有一长直导体圆管，内外半径分别为R 1和R 2，如 图，它所载的电流I 1均匀分布在其横截面上．导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流I 2，且在中部绕了一个半径为R 的圆圈．设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d ， 而且它们与导体圆圈共面，求圆心O 点处的磁感强度B ． 解：圆电流产生的磁场 )2/(201R I B μ= ⊙ 长直导线电流的磁场 )2/(202R I B π=μ ⊙ 导体管电流产生的磁场 )](2/[103R d I B +π=μ ? 圆心Ｏ点处的磁感强度 321B B B B -+= ) ()1)((21 20d R R RI d R I +-π++? π=μ ⊙ 1 m 电磁学第一次作业解答 第六章 真空中的静电场 6-1 在边长为a 的正方形四个顶点上各有相等的同号点电荷－q ．试求：在正方形的中心处应放置多大电荷的异号点电荷q 0，才能使每一电荷都受力为零？ 解：如图所示，由于对称分布，放在中心处的q 0无论电荷多少都能取得平衡.因四个定点上的电荷受力情况相同，因此只需考虑任一顶点上的电荷受力情况．例如考虑D 点处的电荷，顶点A 、B 、C 及中心处的电荷所激发的电场对D 处点电 荷的作用力的大小分别为： ( ) 2 002 0122 /24a qq a qq qE f εεπ=π= = ( ) 2 02 2 2 2824a q a q qE f B εεπ= π= = 2 02 34a q qE f A επ== 2 02 44a q qE f C επ= = 各力方向如图所示，α＝45°．D 处电荷的受力平衡条件为： ∑=0x f , ∑=0y f 用 0c o s c o s 123=-+=∑ ααf f f f x 将f 1，f 2，f 3式代入上式化简得： ()4/2210q q +=＝0.957 q 用∑=0y f 得同样结果． 6-4 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强： L q O () 2 04d d x d L q E -+π= ε() 2 04d x d L L x q -+π= ε 总场强为 ?+π= L x d L x L q E 0 2 ) (d 4－ε() d L d q +π= 04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向． 6-8 两根相同的均匀带电细棒，长为l ，电荷 线密度为λ，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l ，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电 相互作用力． 解：选左棒的左端为坐标原点O ，x 轴沿棒方向向右，在左棒上x 处取线元 d x ，其电荷为d q ＝λd x ，它在右棒的x '处产生的场强为： () 2 04d d x x x E -'π= ελ 整个左棒在x '处产生的场强为： () ? -'π= l x x x E 0 2 04d ελ?? ? ??'--'π= x l x 11 40ελ 右棒x '处的电荷元 d x '在电场中受力为： x x l x x E F '?? ? ??'--'π= '=d 11 4d d 02 ελ λ 整个右棒在电场中受力为： ???'?? ? ??'--'π=l l x x l x F 3202 d 11 4ελ 34ln 402 ελπ=，方向沿x 轴正向． 左棒受力 F F -=' 6-14 一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度． 解： 选取坐标轴Ox 沿半球面的对称轴，如图所示．把半球面分成许多微小宽度的环带，每一环带之面积 θθθθd R R R S s i n 2d s i n 2d 2 π=π= 小环带上带电荷 θθσσd s i n 2d d 2R S q π== 该电荷元在O 点产生的场强 O R d E x d θ θ 电磁学第二章习题答 案 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球 壳内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 大学电磁学习题1 一．选择题（每题3分） 1.如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： (A) E =0，R Q U 04επ= ． (B) E =0，r Q U 04επ= ． (C) 204r Q E επ= ，r Q U 04επ= ． (D) 204r Q E επ= ，R Q U 04επ=． ［ ］ 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍． (C) 4倍． (D) 42倍． ［ ］ 3.在磁感强度为B ?的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在 平面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． ［ ］ 4.一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示．现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于 (A) IB VDS ． (B) DS IBV ． (C) IBD VS ． (D) BD IVS ． (E) IB VD ． ［ ］ 5.两根无限长载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的趋势 ? y z x I 1 I 2 电磁学第七次作业解答-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 2 电磁学第七次作业解答 8-21 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得： )(220R r r R I B ≤π=μ 因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为 ???==S B S B d d 1 Φr r R I R d 2020?π=μπ=40I μ 在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为 )(20 R r r I B >π=μ 因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为 ??=S B d 2Φr r I R R d 220?π=μ2ln 20π=I μ 穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π +I μ 8-22 有一长直导体圆管，内外半径分别为R 1和R 2，如图，它所载的电流I 1均匀分布在其横截面上．导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流I 2，且在中部绕了一个半径 为R 的圆圈．设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d ，而且它们与导体圆 圈共面，求圆心O 点处的磁感强度B ． 解：圆电流产生的磁场 )2/(201R I B μ= ⊙ 长直导线电流的磁场 )2/(202R I B π=μ ⊙ 导体管电流产生的磁场 )] (2/[103R d I B +π=μ? I S 2R 1 m d R O I 1 I 2 I 2 一． 1.对于矢量A，若A＝ e x A＋y e y A＋z e z A， x 则： e?x e＝；z e?z e＝； y e?x e＝；x e?x e＝ z 2.对于某一矢量A，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系 为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁学第六次作业解答-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 电磁学第六次作业解答 第八章 真空中的稳恒磁场 8-2 如图所示，一无限长直导线通有电流I =10 A ，在一处折成夹角＝60°的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r =0.1 cm 的P 点处的磁感强度．(0 =4×10-7 H ·m -1) 解：P 处的B 可以看作是两载流直导线所产生的，1B 与2 B 的方向相同． 21B B B += r I π=40μ+?--?)]90sin(60[sin r I π40μ)]60sin(90[sin ?--? r I π=420μ=?+?)60sin 90(sin 3.73×10-3 T 方向垂直纸面向上． 8-4 将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B 的大小． 解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ= AB 段在D 处的磁感强度 )221 ()]4/([02?π=b I B μ BC 段在D 处的磁感强度 )221 ()]4/([03?π=b I B μ 1B 、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为 )223( 40b a I B + π π= μ 8-12 如图所示，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I ，总匝数为N ，它被限制在半径为R 1和R 2的两个圆周之间．求此螺旋线中心O 处的磁感强度． 解：以O 为圆心，在线圈所在处作一半径为r 的圆．则在r 到r + d r 的圈数为 r R R N d 1 2- 由圆电流公式得 ) (2d d 120R R r r NI B -=μ ?= -= 2 1 ) (2d 12 0R R R R r r NI B μ1 2 120ln ) (2R R R R NI -μ D b A B C a I b O R 1 R 2 I r r P θ大学物理电磁学练习题及答案
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