2014年北大数学金秋营
1、三角形ABC ?满足：R R AC AB ,2=+是外接圆半径，A ∠是钝角.A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D .三角形ABD 的内切圆半径为1，求三角形ADC 的内切圆半径.
2、证明：b a ,是正整数，则)3)2)((3)2((2
222b a b a +-++不是完全平方数.3、i i i c b a ,,)4,3,2,1(=i 是实数，已知
.1,1,1412412412===∑∑∑===i i i i i i c b a 0,0,0414141===∑∑∑===i i i i i i i i i a c c b b a .求证：1212121≤++c b a .
4、令1)(-++=n n n n n n n f n
n n .求所有的正整数n ，使得)(n f 是素数.5、对正整数n ，称数组),,,(21s λλλ 为n 的一个（无序的）分拆，如果n s =+++λλλ 21，s λλλ≥≥≥ 21，称每个i λ为分拆的项.记)(n P o 为项全为奇数的n 的分拆的集合，)(n P d 为项两两不等的n 的分拆的集合.试在)(n P o 与)(n P d 之间建立一个双射.
6、d 是一个大于100的整数，M 是所有在10进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，n a 是将M 中的数从小到大排列的第n 个数.求证：存在无穷个n ，使n nd a n >-.
答案
1、引理：ABC ?的内切圆半径与外接圆半径的比
1cos cos cos -++=??C B A R r ABC ABC .2sin 2sin 2sin 41cos cos cos C B A
C B A +=++;2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++.C ab c b a r S sin 21)(21=++=C B R A R C R B R A R r sin sin 2sin 2)sin 2sin 2sin 2(=++?.
由已知条件，1sin sin =+C B .
1)sin(sin cos --++=??C B C B R r ABD
ABD ，1)sin(sin cos ---+=??C B B C R r ADC
ADC .B
C R R ADC AB
D sin sin =??.C
B C B C B C B B C r ADC sin sin 1)sin(sin cos 1)sin(sin cos ?--++---+=?，猜＝1.C C B C C B C B C B B B C B sin )sin(sin sin cos sin sin )sin(sin sin cos sin 22--++=---+?，结论成立.
另证：先证）（1 DC
BD AD AC AD AB =++)
cos(sin sin 2,)cos(sin 2121211θθθθθθθ-=-=R AD AB AD ?)1(11222121121212cos sin cos sin )cos(sin sin sin )cos(sin sin sin θθθθθθθθθθθθθθ===-+-+
??ACD ABD S S DC BD 1
sin sin 21=+θθ
)2(111111111 AD
AB BD AD DK AB BK A I K I A I h A I +====-)3(222222222 AD
AC DC AD DK AC CK A I K I A I h A I +====-由（1）2
2221111A I h A I A I h A I -=-，结论成立.2、证：2222222216)43()3)2)((3)2((a b a b a b a -++=+-++，
2222222222)43(16)43()43(-+>-++>++b a a b a b a ，分7种情况讨论，不定方程的正整数解的问题.
3、证：∑=+++
-++≤4221112212121)()1(0j j j j c c b b a a c b a ＝1
)(2222212121411141114
111412214122141221+++-+++++=∑∑∑∑∑∑======c b a b c b c c a c a b a b a c c
b b
a a j j j j j j j j j j j j j j j 2121211c
b a ++-=.结论成立.
4、证：当n 为奇数时，有)(|2n f ，显然不成立；
当n 为偶数时，111)(++-+-=n n n n n n n f n n n .
222)1()1(1)
(1---=-n n n n n n n n n n n n ，21)2(1121--=--n n n n n n n n n ，上述两式都能被1+n
n 整除，命题成立.另证：当n 为奇数时，有)(|2n f ，显然不成立；
当n 为偶数时，111)(++-+-=n n n n n n n f n n n .任取1+n n 的一个素因子)3(≥p ，有
)(mod 1)(mod 12p n p n n n ≡?-≡，由n 为偶数，故n n n n n n n |2,|2，所以有
)(mod 1),(mod 1p n p n n n n n n ≡≡，即有)(mod 0)(p n f ≡，显然p n f >)(，结论成立.
5、证，令t
t n λλλλλλ+++++++++= 2211t
t n n n λλλ?++?+?= 2211写出二进制表示r m m n 22
11++= ，类似地处理其他的i n .新的n 的分拆λ'就是 +++++='21211212222λλλλλk m m m r n ：.我们需要验证λ'在)(n P d 里面以及λλφ' ：确实是双射，二者都很容易验证：若j b i a λλ22=，则由i λ和j λ都是奇数有b a 22=，从而i λ=j λ。因此λ'属于)(n P d .反之，若l n ωωω+++= 21是各项互异的分拆，可通过合并2的最高幂次相同的所有i ω，再把奇数写上正确的重数，就逆回去了.例：1
1113355525:++++++++=λ被φ映射到1)4(3)2(5)12(25+++='：
λ4
561046510+++=+++=写3
4561230:++++='λ为1)4(3)124(5)1()35(1)3(2)13(430++++=++++=得到分拆:)(1
λφ'-11113333333530+++++++++++=：λ只有奇数项.