2017年北京大学金秋营数学试题及解答
考试时间：2017年10月13日下午和2017年10月14日上午，每次3小时，分别由四道题目组成。
试卷
参考解答
北大金秋营数学试卷总评
2017年北大博雅——物理 即2017年北京大学博雅计划测试物理学科 1．⑴ 两个一样的乒乓球，一个涂黑，另一个涂白，一盏白炽灯放在两个小球的中间照明一段时间，涂 的球表面更烫。 ⑵两个一样的白炽灯，同样一个涂黑一个涂白，将两个灯同时打开一段时间，涂 的白炽灯表 面更烫。 2．一个带正电的均匀橡皮气球，在不断被吹大的过程中（ ） A 球内电场强度不变 B 球内电势不变 C 球面上一点受其它电荷的作用力不变 D 气球掠过空间中某一点时，该点的电势变化是连续的 3． 如图，一个半径为R 的圆状物体中过圆心的杆上有一质量为m 的物体（忽略形状）固定在离圆心/2R 处，下面正确的是（ ） A ．10θ=?时，有两个稳定平衡位置 B ．20θ=?时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置 C ．30θ=?时，有一个稳定平衡位置 D ．40θ=?时，没有稳定平衡位置 4．质子的质量为2938 Mev c ，电子的质量为20.511Mev c ，其中8310m/s c =×，基态氢原子的能量为13.6eV -，氢原子从第一激发态跃迁回基态，放出光子的频率为1f ，氢原子从基态跃迁到第一激发态，吸收的光子频率为2f 。求： ⑴初始静止的处于第一激发态的氢原子，跃迁回基态后的速度v ；⑵相对偏差 12 1 f f f -。 5．两个质量为m 的斜劈和一个质量为4m ，半径为R 的球在外力作用下保持如图所示的静止状态，忽略所有摩擦，然后某时刻撤去外力，求球掉到平面上所需要的时间。
6．一个通电螺线管，单位长度上的匝数为n ，长度为L 。在螺线管中有一个等腰梯形线框，且OAB ，OCD 各在一条直线上，OB OC BC l ===，1 2 AO OB =，通电螺线管中通有大小为I kt m =+（k ，t 为正的常 数）的电流，某时刻产生的磁场如图。求： ⑴t 时刻螺线管内的磁感应强度的大小； ⑵此时A 、B 、C 、D 各点的涡旋电场的大小和方向； ⑶梯形回路各段（AB 、BC 、CD 、DA ）的感生电动势及整个回路的感生电动势（取逆时针为回路正向）； ⑷t 时刻靠近螺线管内壁r R ≈处的能流密度S 的大小和方向。能流密度的公式为S E H =×。 7．有一顶部开口、横截面积为S 的绝热圆柱形容器，放在水平地面上。容器内有一质量为m 的匀质绝热挡板在下，另一个质量可略的绝热活塞在上，活塞与容器顶端相距甚远。挡板下方容器为0V 的区域内，盛有摩尔质量为1μ、摩擦数为1v 的单原子分子气体；挡板与活塞之间的容积为0V 的区域内，盛有质量为2μ、摩尔数为2v 的双原子分子气体。挡板和活塞与容器内壁之间无间隙，且都可以摩擦地上下滑动。设两种气体均已处于平衡态，而后将挡板非常缓慢、绝热且无漏气地从容器壁朝外抽出，最终形成的混合气体达到热平衡态。设整个过程中双原子分子的振动自由度始终未被激发。将大气压强记为0p ，设0/g m p S =，将1μ、1v 、2μ、2v 、0p 、0V 处理为已知量。 ⑴将末态混合其体内的单原子分子气体和双原子分子气体密度分别记为1ρ和2ρ，试求12:ρρ。 ⑵再求混合气体的体积V 。
2016年北大金秋营试题 1、在ABC ?内部有一点P 满足4 C A PCB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ?的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠. 2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=1 1112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中， ),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值. 3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立. 4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(mod 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价： （1）p 为模q 的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解. 5、记函数∑== 40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值. 6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值. 7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方. 8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.
北大博雅计划笔试真题 篇一：16年北京大学博雅计划数学试题 XX年北京大学博雅计划数学试题 选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：； A.?3 B.?2 C.?1 D.前三个答案都不对 2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：； （1 （2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在； （3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222 角形一定存在； D.前三个答案都不对 3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：； A B CD.前三个答案都不对 q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，
则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数? 前三个答案都不对 5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242 A.?13 B.?9 C.?5 D.前三个答案都不对 6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：； 111A. B. C. D.前三个答案都不对 234 ?2?10??的值为：； 111111 111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264 XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：； .0 C D.前三个答案都不对 9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：； D.前三个答案都不对 10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点， 已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC
2016年清华大学全国优秀中学生物理体验营笔试题 题一 水平地面上有一门固定大炮，可向任意方向发射初速度大小为v的炮弹，求炮弹可能打到的区域的边界（可以建立坐标系后用函数表达）。已知重力加速度g。 题二 水平地面上放有一高为h、半顶角为α、密度为ρ的均匀刚性圆锥体。其顶点静止不动（无外力限制），整体做定点转动，锥体与地面间无相对滑动。底面圆心绕过圆锥顶点的竖直轴（假想）做匀速圆周运动的速度大小为v。 1．求此锥体的角速度； 2．求此锥体的角动量； 3．求支持力的力矩。 题三 无限长一维弹簧链，所有弹簧均为原长时相邻质点间距为a，弹簧劲度系数均为k，质点质量均为m，所有质点的振动频率相同，激发纵波的波长记为λ。 ?时该纵波为介质中的普通纵波并求出波速与波长的关系； 1．证明当a 2．求该纵波的最小波长。 题四 竖直平面内有一半径为r＝1 cm、带电量为Q＝10－8 C的无限长导体圆柱放置在盐水上方，球心到盐水表面的高度为h＝2 cm。会发现盐水会隆起一小坨，求导体圆柱正下方水面隆起的高度。设盐水密度近似为纯水密度。 题五 平面直角坐标架下，有一圆心位于坐标原点、半径为r的固定绝缘大圆环。圆心处有一固定的电偶极子，电偶极矩的方向沿y轴正方向、大小为p。大圆环上穿有一个带电量为Q的小环，在坐标（r，0）处由静止释放小环，求之后大圆环对小环的弹力与小环位置（用坐标原点到小环的连线矢量与x轴正方向的夹角θ表达）的关系。 题六 真空中有两个非常大的平行平面电极相距d，电势分别为0和＋U0。低电势的电极上有一薄层电子源，在外电场作用下，电子源中的电子从中逸出，以垂直于极板方向的几乎为0的初速度持续地朝两电极之间发射电子。若忽略电子之间的库仑排斥力，则电子应在两极板间匀加速直线运动，直至撞上另一极板而进入极板内部。极板、电源和导线形成一个闭合直流电路，两极板与之间的真空可一同视为一个非欧姆元件：真空管。 当真空管中的电流随着外电场的增强而逐渐增加时，两电极间电子自身产生的电场不可忽略。电子群自身产生的电场对电流的影响称为空间电荷效应。试求外电场极强、且考虑了电子自身产生的电场后，当电子流达到稳定时，流过两极板之间电流密度的大小。忽略相对论效应、电流磁效应以及电磁辐射，忽略电子之间的碰撞，忽略边缘效应（认为板的尺寸远
2017年北京大学博雅计划数学试题分析 选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 51.已知实数,a b 满足：22(4)(1)5(21)a b ab ，则1(b a a 的值为（ ） A.32 B.52 C.72 D.前三个答案都不对 51.解：由22(4)(1)5(21)a b ab ，展开，得222241090.a b b a ab 配方， 得22(3)(2)0ab a b ，从而3ab ， 12b a ，从而117(3.22b b a ab a a 故选C. 52.函数21()|2||||1|2 f x x x x ，[1,2]x 上的最大值与最小值的差所在的区间是（ ） A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.前三个答案都不对 52.B 53.不等式组2||1,3||5,y x y x 所表示的平面区域的面积为（ ） A.6 B. 335 C.365 D.前三个答案都不对 53.C 54.π3π(1cos cos 55 的值为（ ） A.1 B.114 C.1 D.前三个答案都不对 54.解：π 3ππ2ππ2ππ2π(1cos cos )(1cos cos 1cos cos cos cos .55555555 令π2πcos cos 55x ，π2πcos cos 55 y ， 则222π4πcos 1cos 1π2π12ππ155cos cos (cos cos )55222552 xy y ，从而12x ，即π2π1cos cos .552 又因为2π4πsin sin π2π155cos cos π2π554 2sin sin 55 ，从而 原式11111.244 故选B. 55.在圆周上逆时针摆放了4个点A 、B 、C 、D .已知1BA ，2BC ，3BD ，
清华大学2018年金秋营试题精校版 第二天试题 5. 设一个凸多边形和它的内部能被几个半径不相等的圆盘完全覆盖，证明或否定：可以从这些圆盘中选出一些两两不交的圆盘，使得将它们的半径扩大三倍之后，可以覆盖原来的凸多边形. 证明：在这几个圆盘中，必有一个半径最大（若有多个，从中任选一个），设该圆盘为1C ，把圆1C 以及与它有公共点的所有圆盘去掉，同样在剩下的圆盘中必有一个半径最大的圆盘（若有多个，从中任选一个），记该圆盘为2C ，把圆盘2C 以及所有与它有公共点的圆盘去掉，再考虑剩下圆盘中半径最大的圆盘，按照这种方式进行下去，最后一定可以得到K 个两两不交的圆盘K C C C ,...,,21. 将圆盘i C 的半径扩大三倍得到圆盘'i C ),...,2,1(k i =，则圆盘'i C 能覆盖住圆盘i C 以及所有与i C 有公共点的圆盘，故圆盘'i C ),...,2,1(k i =能覆盖住原来的几个圆盘，而这几个圆盘能覆盖住原来的凸多边形. 6. 对前n 个正整数用K 种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设K 的最大值为)(n f ，证明：n n f n 23log 1)(log +≤≤. 证明：若对前若干个正整数分别染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，则称这种染色方式为好染色法. 我们首先证明：对+∈?Z m ，有(2)()1,(21)()1f m f m f m f m ≤++≤+. 设{}1,0∈t ，用)2(t m f +种颜色对前t m +2个正整数染色，可得到一种好染色法，再从中删去数t m m m +++2,...,2,1后，将会得到对前m 个正整数的一种好染色法，且)(1)2(m f a m f ≤-+（否则，至少有两种不同的颜色，他们只对a m m m +++,...,2,1中的某一些数进行染色，分别从这两种颜色的数中取最小的数，设为a m y x y m x m +≤<≤++1,,，考虑数y x m -+2，根据 y x m -+212)(2≥-=+-+≥a a m m ，x m y x m +<-+2 以及y m x m ++,的最小性可知y x m -+2所染的颜色与数y m x m ++,的颜色不同，而y x m -+2，y m x m ++,构成等差数列，矛盾）. 接下来证明：对+∈?Z m 有1)()3(+≥m f m f ，1)1()3(++≥+m f k m f ，其中{ }2,1∈k .
北京大学2017年“博雅计划”试题 1. 如图所示，空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电正方形绝缘平板构成一个正方 体，其中心O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平行.记与z 轴平行的棱中点为A ，正方体与x 轴的交点为B ，则O B A 、、三点的电场( ) A. 全部为0 B. 全部不为0 C. 有两个满足至少在两个方向上的分量不为0 D. 有一个满足恰在一个方向上的分量不为0 2. 如图所示，用轻绳悬挂一带电小球A ，绳长l ，小球质量为m .现将一无穷远处的相同小 球B 移至图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功. 3. 如图有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边方向射入一光束，其折射后在地 面全反射并由另一侧面射出.已知三棱镜材料折射率为2，求θ满足什么条件？
4. 一平行板电容器，极板面积为S ，板间距离为d ，与电动势为U 的稳恒电源串联，现将 一厚度为d ，面积为S 的，相对介电常数为 的电介质推入极板之间，试求该过程做多少功？ 5. 一块平板A ，视为黑体，在单独放置时，其温度为T .现紧贴A 放置一完全相同的黑体 平板B ，假定A 向B 辐射的能量能够完全被B 吸收，B 对A 的辐射也能完全被A 吸收，试求平衡时A 的温度？ 6. 长度分别为1l 和2l 两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为1m 和2m 的两个小球，处于静 止状态，如图所示.中间小球突然受到一个水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的张力.
北京大学2017年“博雅计划”试题解析 1. 【答案】D 【考点】电场强度的叠加 【解析】O 点场强为零，A 点电场由x 和y 分量，B 点电场只在x 方向. 2. 【答案】()θcos 13-=+=mgl E E W g e 【考点】静态平衡；电势能计算；功能关系 【解析】 记小球带电量为q ，在平衡时，小球的受力矢量三角形与几何三角形相似即 2sin 22sin 22sin 222 θθθ==??? ??l l mg l kq ， 电势能()2 24sin 21cos 22sin 2e kq E mgl mgl l θθθ ===-， 重力势能()θcos 1-=mgl E g ， 外力做功()θcos 13-=+=mgl E E W g e . 3. 【答案】ο452cos arcsin >+?? ? ??θθ 【考点】折射定律；全反射 【解析】第一次折射，入射角θ-=ο 901i ，出射角1r 满足 () ??? ??=?-=2cos arcsin 90sin sin 211θθr r ο， 全反射，入射角θ+=12r i ，要求全反射条件，1sin 22>l ，即ο452>i 即ο452cos arcsin >+?? ? ??θθ.
2019年北京大学优秀中学生数学金秋营试 题 学科专业能力测试一 第一天 2019年10月14日下午14:00—17:30 1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。证明：BQ平分∠AQC. 2、对于的一个排列{}定义函数 f()=.求所有的排列中，f()的最小值。 3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立. 4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价: （1）p为模q的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解。 学科专业能力测试二 第二天 2019年10月15日上午09:00-12：00
5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。 6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。 7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2019是一个正整数的k次方。 8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？ 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 【部分试题参考解答】 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知
北京大学2018年博雅计划数学试卷 选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。 1. 设n 为正整数，)! (!!k n k n C k n -=为组合数，则2018 20182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ） A. 201822018? B. 2018！ C. 2018 4036C D. 前三个答案都不对 【答案】D 解析： 111 1 1 1 (21)222n n n n n n n k k k k k k k n n n n n n n k k k k k k k k C kC C nC C n C C ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 20182018 2018 1 2201812018 2018 2018 2018 2018 2017 20180 1 35...4037(21)22018k k k k k k C C C C k C C C -===∴++++=+=??+∑∑∑ 20172018201840362220192=?+=?，故选 D 。 2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 23 D. 前三个答案都不对 【答案】B 解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ???? ++-++=++≤+=+ ? ?????，对其求导得到2a =时取 最大值为4。 3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ） A. 55 B. 50 C. 51 D. 前三个答案都不对 【答案】C
湖南竞赛准备与相关问题 编者按：近期接触了几个竞赛准备的孩子，新高一的和新高三的，二者的状态差距之大让我“震惊”，结合13级那些做竞赛的孩子的成长经历，我觉得家长还是应提前了解相关问题并做适当的干预，这个阶段是孩子专注读书的最好时段，这段时间，一个月可以看往后半年的书，更为关键的是，孩子无需在高一上学期里去找状态和节奏……刚好在网上搜到了一些内容，稍做整理，供各位牛娃爸妈参阅。 一、竞赛到底有什么用？ 当今高考，想进入名校有几个途径 1．高考裸分。 2．竞赛获奖，参加目标高校的自主招生获得一定的加分。 在当前，凭高考裸分进入名校是很难很难的，因为每一所名校在安徽省的招生名额都有限，比如985，在安徽省招生不到1万人。举个例子，北京大学在安徽省的高考裸分招生，文理科各十几人，加起来30人左右，全省那么多有实力的重点高中，分到一个学校也就一两个人，但2015年北京大学在安徽省录取了120人左右（包括竞赛金牌保送的、自主招生录取的、博雅计划录取的、国防生等等）。而且高考是对学生12年苦读的一次决定性的大考，各种压力下，难免不会出现意外。所以通常说，高考是千军万马挤独木桥。而自主招生相当给孩子两条路通往名校，或者说是为高考失误留后路。 补充1：湖南情况差不多，不同之处为湖南是竞赛大省，名额和机会相对较大，但竞赛也更激烈。 现在我们来看看，一般名校需要什么奖项。我们看到尽管很多名校要求的是省一，但仍然有不少名校只需要省三甚至省二。再来看看具体的几所大学需要什么样的奖项。1、清华北大，国家金牌前50名直接保送，51-100名直接获得一本线签约，银牌靠前的少量获得一本线签约，大部分能够获得加分，铜牌可以获得自主招生资格最后争夺少量名额。2、上交复旦，需要省一，或者铜牌。3、科大需要省一，而且基本是数理化省一。4、浙大需要省一。 5、南大，有两个学科的省二就可以，一般来说不难，搞个信息省二再来个其它科目省二。 6、中国人大，省三以上就能通过初审。这些都可以通过今年初审名单来获得这些信息。 了解了这些竞赛情况后，我们要对照我们的孩子自己，问一个问题，你为什么要搞竞赛？ 1．省二省三，取得一些名校的自主招生资格。 2．省一，拿到一流名校自主招生资格。 3．进省队，直接拿到一流名校一本线签约。 想好这个问题再来想后面如何搞竞赛，花多少精力。
2016年北京大学博雅计划数学试题 选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A -3 B -2 C -1 D 前三个答案都不对 2.已知三角形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题： 222,,a b c 为边长的三角形一定存在；⑶以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（） A 2 B 3 C 4 D 前三个答案都不对 3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（） A D 前三个答案都不对 4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ?==∈?=???? ，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对 5.若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ） A -13 B -9 C -5 D 前三个答案都不对 6.已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比是（） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111 πππ 的值为（ ） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程2 0ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） D 前三个答案都不对 9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（） A 34650 B 5940 C 495 D 前三个答案都不对 10. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（ ） A 11 B 12 C 13 D 前三个答案都不对 11. 两个圆内切于点K ,大圆的弦AB 与小圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（ ）
北京大学2018年“博雅计划”试题 1. 一定能量的光子在靠近原子核时可以变成一个电子和一个正电子，假如某光子通过原子核时放出的两个粒子在B =0.05T 的磁场中运动半径为50mm ，则该光子的能量为 MeV ( ) A. 0.75 B. 1.5 C. 2.7 D. 2.9 2. 在水下50米处，温度为C ?4，一体积为36-101m ?的气泡上升至水面，水的温度为C ?17时，气泡体积为( ) A. -636.310m ? B. -632.810m ? C. -639.810m ? D. -6312.610m ? 3. 如图杨氏双缝干涉模型，若光源S 下移一下段距离，那么光屏上的条纹将如何变化( ) A. 条纹距离变大，条纹整体下移 B. 条纹间距不变，条纹整体下移 C. 条纹间距变小，条纹整体上移 D. 条纹间距不变，条纹整体上移 4. 如图A 、B 为两个带正电的点电荷，另有一个不带电导体球壳将电荷B 包围，那么以下说法正确的是( ) A. 将点电荷B 与导体球壳接触，点电荷A 受力变小 B. 将导体球壳接地，点电荷A 受力变小 C. 在球壳内，移动点电荷B 至任意位置，点电荷A 受力不变 D. 将点电荷B 移走，点电荷A 受力不变 5. 车辆在弯道上行驶，已知弯道半径为R ，倾角为θ，若车辆不受沿地面方向的力，规定行驶速度为V ，则=θtan ；若路面结冰，且已知行驶速度h km u /40=， m 200=R ，h V km 60=，则车辆与冰面摩擦因数μ至少为 .
6. 一质量为M 的物块两侧由两个劲度系数都为k 的弹簧相连，另一端连在墙上，则物块微扰后简谐周期1T = ；若在物块下加两个质量为m 的轮，此时2T 1T (=<>//) 7. 在一边长为a 正六边形的六个顶点各有+q 的点电荷，六边形的中心有—2q 的点电荷，则对任意顶点，则对任一正点电荷，其他点电荷对其产生的静电能为 ，整个系统静电能为 . 8. 一均匀带电的圆环，半径为R ，总带电量为+Q ，则其中心O 点的电场强度为 ；在对称轴上距O 为x 的A 处有一+q 的点电荷，则该点电荷受力为 . 9. 一封闭导热气缸内有一质量为m 的活塞将同种气体分成左右体积均为0V 的两部分，且压强均为0P ，已知气缸截面积为S .试求活塞发生微扰后的振动周期，假设过程为等温.
2015年北京大学数学金秋营试题 1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。 2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4 3 ]+1组整数解（m,n,r）. 3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。 4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1. 5、设S,T?N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥ un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+?S+T。 6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。 7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px) k =c i mk i=0 x i ， 其中x k =x x?1…(x?k+1) k! 。证明：c j∈Z，且p j?[k p]|c j(j=0,1,…,mk). 8、设k∈Z+, S={(m+1 k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2 k ,n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射 F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
2015年北京大学博雅计划数学试题 一、选择题 选择题共5小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分． 1．已知n 为不超过2015的正整数且n n n n 4321+++的个位数为0，则满足条件的正整数n 的个数为（ ）A．1511 B．1512C．1513D．前三个答案都不对 2．在内切圆半径为1的直角三角形ABC 中， 90=∠C ， 30=∠B ，内切圆与BC 切于D ， 则A 到D 的距离AD 等于（） A．3 24+B．323+C．343+D．前三个答案都不对 3．正方形ABCD 内部一点P 满足3:2:1::=CP BP AP ，则APB ∠等于（） A． 120 B． 135C． 150D．前三个答案都不对4．满足 2015111=+y x ，y x ≤的正整数对()y x ,的个数为（） A．12 B．15C．18D．前三个答案都不对5．已知Z c b a ∈,,，且()()()c b a a c c b b a ++=---，则c b a ++可能为（ ）A．126B．144 C．162D．前三个答案都不对 二、填空题 填空题共5小题，请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分． 6．设α为复数，α表示α的共轭，已知32=-αα且2αα 为纯虚数，则α的值为_______．
7．椭圆122 22=+b y a x 的一条切线与y x ,轴交于B A ,两点，则三角形AOB 的面积的最小值为_______． 8．已知054622=+++-y x y x ，则22y x +的最小值是_______． 9．已知点集(){} xy y x y x M ≥-?-=2211|,，则平面直角坐标系中区域M 的面积为_______． 10．现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有_______种．
2017年北京大学博雅计划数学试题 一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分） 1.正整数99599599 95++++的十进制表示中数字1的个数为（ ） A.2012 B.2013 C.2014 D.前三个答案都不对 2. 将等差数列1,5,9,132017，，排成一个大数159132017 ，则该大数被9除的余数为（ ） A.4 B.1 C.7 D. 前三个答案都不对 3.一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（ ） A.9 B.10 C.11 D. 前三个答案都不对 4. 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的平方和的最大值为（ ） A.15 B.20 C.25 D. 前三个答案都不对 5. 351cos )(1cos )(1cos )777 π ππ +++（的值为（ ） A.9 8 B.7 8 C.34 D. 前三个答案都不对 6. 已知()f x =定义11()(),()(()),1,k k f x f x f x f f x k +==≥则2017(2017)f 的值为（ ） B.2017 D. 前三个答案都不对 7.已知正整数n 满足201720172017n n n ≠，且与有相同的个位数字，则2017-n 的最小值为（ ） A.4 B.6 C.8 D. 前三个答案都不对 8.一个盒子装有红，白，蓝，绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个，从中随机拿出4个玻璃球，这4个球是红色的概率为1p ，恰好有三个红色和一个白色的概率为2p ，恰好有两个红色，一个白色和一个蓝色的概率为3p ，四种颜色各一个的概率为4p ，1234p p p p ===则这个盒子里的玻璃球的个数的最小值等于（ ） A.17个 B.19个 C.21个 D. 前三个答案都不对 9.设111,,)()()a b c a b c b c a ---和（均为正整数，则235a b c ++的最大值与最小值之差（ ） A.8 B.15 C.22 D. 前三个答案都不对 10.将正整数集合N +分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式有（ ） A.0种 B.1种 C.无穷多种 D. 前三个答案都不对 11.O 是凸四边形ABCD 对角线AC BD 和的交点，已知,,,AOB BOC COD DOA ????的周长相同， ,,AOB BOC COD ???的内切圆半径分别为3,4,6，则DOA ?的内切圆半径为（ ） A. 9 2 B.5 C. 112 D. 前三个答案都不对 12.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。已知有100名学生参加了数学考试，50名同学参加了物理考试，48名同学参加了化学考试。学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（ ） A.108名 B.120名 C.125名 D. 前三个答案都不对 13.有多少个平面与正四面体的4个顶点的距离都相等？（ ） A.4个 B.6个 C.8个 D. 前三个答案都不对 14有多少个互补相似的ABC ?满足sin cos tan ?A B C == A.0个 B.1个 C.2个 D. 前三个答案都不对 15.已知存在整数,,a b c 满足+1,)()()100a b c S a bc b ac c ab +==+++>（，则S 的最小值属于（ ） A.(]100,110 B.(]110,120 C.(]120,130 D. 前三个答案都不对 16.已知存在正整数,,407,10,n a b c a b c abc ++=满足则n 的最大值（ ） A.5 B.6 C.7 D. 前三个答案都不对 17.整数2 ,218,+0p q p q x px q +=+=满足有整数根，满足这样条件的整数对（,p q ）的个数为（ ） A.0个 B.2个 C.4个 D. 前三个答案都不对 18.已知2222 22 tan tan sin sin ,1tan tan x y x y x y +=+++则sin sin x y ?的最大值（ ） A.0 B. 1 4 D. 前三个答案都不对
2015北大 一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0, 2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中， BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题6.满足等式120151 11+(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______．7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B +14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1
量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1 121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于
的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用
北京大学2019年博雅计划笔试真题 北京大学2019年博雅计划笔试考试已经结束，据同学回忆，北大博雅整体难度较高，其中物理部分难度最大，计算题都是经典竞赛题，甚至涉及物竞新考纲中的波动光学。 2019年6月11日，北京大学2019年博雅计划笔试部分已经考试结束，本次考试科目为语数外理化。据同学回忆，北大博雅整体难度较高，其中物理部分难度最大，计算题都是经典竞赛题，甚至涉及物竞新考纲中的波动光学，没学过几乎无从下笔。 北京大学2019年博雅计划笔试真题（回忆版） 物理试题分析 选择题 第1题，考察的是弹簧的串并联，这是一个基本题，熟悉知识或者会背公式的都可以秒杀。 第2题，求氢原子轨道在磁场中的变化，用洛伦兹力就可以做。 第3题，由加速电子需要给做的功，是相对论动力学中的常规题目，暴力计算即可。 第4题，求氢原子能级从n等于1到n等于4发出的电磁波以及原子的反冲速度。能级跃迁是基础题，后面的反冲速度只需要利用打出来的光子能量相对于氢原子是一个小量就可以直接近似算出来。 填空题 第1题，求地球同步卫星的高度，以及如果他的高度受到微扰之后的高度差，题目中给定了周期的改变量，它是一个小量，近似成圆轨道后利用竞赛里面基础知识中的小量运算可以秒杀。 第2题，是一道比较新颖的题目，要求同学们对热学理解的比较深入，当然竞赛同学会比较得心应手。求的是在一种新的热力学温标下的理想气体状态方程。按照题意先得出新温标和热力学温标之间的关系，代入即可。 第3题，是一个电流产生磁场的题目，这个题目只学过高考的同学应该是不太能做的出来，学过竞赛的同学做起来会比较容易。先利用对称性得到磁场的方向，直线段产生的磁场可以直接积分，也可以用圆弧等效。