1)1(≤--=a g 2
1-≥?a a 2
1-2
1a 2
1-
2
1)(x f ax y 2=9
,0(2,)4??
-?+∞????7log 3()2,2
-2()2010f 2
1
15.（1） （2）在[－4，1]上的最大值为13，最小值为－11 16. （1） （2）m=2,n=1
17. （Ⅰ）①设AB 中点为Q ，由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=(rad) ，则 , 故，又OP ＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP =(km) ，则OQ ＝10－，所以OA =OB
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令
得sin ，因为，所以=
.当时，，是的减函数；当时，，
y 是的增函数.所以当=
时，(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB
km 处。
18. ∵)(x f 在R x ∈上存在最大值和最小值，
∴0=b （否则)(x f 值域为R ）， ∴sin ()2cos a x y f x x
+=
=
?
+sin cos 2sin()1x y x y a x φ-=-?-=
22
3410y ay a ?-+-≤，又2
4120a ?=+>，由题意有
m in m ax 426803
y y a +=
=，
∴2010
=a
；
19. （1）当
而当，函数单调递增，且>0
故单调递减当，掌握程度的增长量总是下降
（2）由题意可知0.1+15ln =0.85 整理得
.542)(2
3+-+=x x x x f )(x f ∴x
x g y 2)(==θ10cos cos AQ O A θ
θ
=
=
10cos OB θ
=
1010tan θ-10101010tan cos cos y OA OB OP θθ
θ
=++=
+
+-2010sin 10cos y θ
θ-=
+04πθ?
?<< ??
?x x =
)010y x x =+<<θ
θθ
θθθ2
2
cos )
1sin 2(10cos )
sin 1020(cos cos 10-=
---=
'y 0
='y 12
θ=04
πθ<<
θ6
π0,
6πθ?
?
∈ ??
?
0<'y y θ,64ππθ??
∈
??
?0>'y θθ6
π)
31010(+=iin
y
3
0.47(1)()(3)(4)
x f x f x x x ≥+-=--时，7x ≥时(3)(4)y x x =--(3)(4)x x --(1)()f x f x +-∴7x ≥时(1)()f x f x +-6
a a -0.05
6
a e a =-
解得 由此可知，该学科是乙学科
20.解 设CG =x ，矩形CGPH 面积为y ，如图作EN ⊥PH 于点N ，则
∴HC =160
当（m ）即CG 长为190m 时，最大面积为
（m 2
）
5.导数及其应用(1)
1. 2. 3.3 4. 5. （-2，15） 6.
7.-2 8.2 9.2 10. 11. 或 12.4 13.64 14.
16. （1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，
即可求出A 的取值范围。
17.
18.
0.05
0.05
620.506123.0,123.0(121,127]1
e a e
=
?=?=∈-3
280
260
14040
-=
?-=x EN x EN 3
27603
280
2x
x -=
--=?
?? ??≤-?=-?
=2
276061)2760(261
3
2760x x x
x y 3
72200
19027602=?-=x x x 3
72200),2(+∞20x y +-=(1,11)-(,0)-∞21y x =-1-25-
64
3
()f x '()f x '(2)(3)0f f ''
<322
3332
222ππππππ
πππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（
，），
单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=
19.
20. (1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时,
;
'
2
()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--(,)x ∈-∞+∞'
()f x m ≥2
39(6)0x x m -+-≥8112(6)0m ?=--≤34
m ≤-m 34
-1x <'()0f x >12x <<'()0f x <2x >'
()0f x >
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
6.导数及其应用（2）
1.-2
2.
3.
4.B
5.
6. 必要不充分
7.C
8.1
9. ln2－1 10.32 11.3 12.2，9 13. 14.
15. （I ）-18，-6 （Ⅱ） 16.（1） （2） 17. 解：(1)求导可得,
,当时取等号 (2)，
因此， 。
由（1）可知，当时，。。
18. (1) ∵k==3-2ax,x ∈(0,1)
k ≥1，得3-2ax+1≥0，即a ≤
恒成立．
∴
1x =()f x 5(1)2
f a =
-2x =()f x (2)2f a =-(2)0f >(1)0f <()0f x =2a <52
a >(,1]-∞-112??
--???
?，2
e 3[,)4
π
πc a b >>0a ∴≤3
()1s t t t =-+-10m -<1m ∴>()2
311'33()()4
2
2
f x x x x =-
=-
+
1
11max{|(1)|,|()|,|()|,|(1)|}224M f f f f =--
=2
1
,1±±=x ()()11414188,882822f f b f f b ?
???
--=
---=-
? ?????
11
|(1)|;|(1)|;|()|;|()|88
M f M f M f M f ≥≥-≥≥- ()()11244|1|4|1|8||8||22M f f f f ????
∴≥+-++- ? ?????
()()11|414188|622f f f f ????≥---+-= ? ?????
14M ≥()
'
11x -≤≤30,4
a b ==
,0c =14
M =
()min 14
f x ∴=
f (x)'
2
x 2
x 2
31
11
(3)
22
x x x
x +=
+
m in 111(3),(0,1)32a x x x x
x
≤
+
∈+
≥=
所以当时
当且仅当x=等时取等号∴的取值范围是(-
)
（2）
∴g(x)在
,1]上是增函数，在
]上是减函数。
∴
g(x)的极大值为
,
3>
当a ≤0时，
g ’(x)≥0,
从而g(x)在[-1，
1]上是增函数， ∴
综上所述，
（13分）
19. （1）∴
由－3x 2+3=0 得x 1=－1，x 2=1，而－3x 2
－1<0恒成立 ∴ i) 当
<－1时，F (x )在区间(－∞，－1)上是减函数
在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 ii) 当1>≥－1时，F (x )在区间(－∞，
)上是减函数
在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 iii) 当
≥1时，F (x )在(－∞，+∞)上是减函数
（2）由（1）可知i) 当<－1时，F (x )在x =－1处取得极小值－1－t ，
在x =1处取得极大值3－t ，若方程F (x )－m =0恰有两解，此时m =－1－t 或m =3－t ii) 当－1≤
<1，F (x )在x =
处取值为，
在x =1处取得极大值3－t ，若方程F (x )－m =0恰有两解，此时m =或m =3－t
3m in 1
1(3)2
x x
+
=
201)
a ><<当时，得或分1101(2)
4
a g ≥≤≤≥∴==max 当即
时，g(1),g(x)分(1)13g a
==-max g(x)????
?<
++--≥
-++-=++--=212,131|2|)(333
t
x t x x t
x t x x x x t x x F ??
?
?
?<
--≥+-=2
,132,
33)('22t x x t x x x F 2
t 2
t 2
t 2t 2t 2
t 2
t 2
t 12
8
3
++
-
t t
12
8
3
++
-
t t
3,[1,1]33()
11ax x a a a -∈--=->≥∴≤∴2
3
22
max 设g(x)=f(x)+a(x -3x)=x 当时g'(x)=3x x 当时，g'(x)0，从而g(x)在[-1,1]上是减函数（7分）g(x)=g(-1)=3a-1
31(1)121)4113()4
a a a a a ?
?-≥?
?
≤
-
g(x)
7.三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
1. －5
5. 2. 3.
- 4. 5.71- 6.
7.-8
8. 9.1 10. 11. 12. 13.
14.
15.(1) f (x ) ＝2sin ????2x ＋π6 (2) 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；x ＝－π6
时，f (x )取得最小值－1. 16. （1）∵与互相垂直，则，即，代入得
.
（2）.
17.故。同理可得，
因此。
（2），从而。
18.(1)=)(x f sin ????2x ＋π6 (2)最大值1，最小值2
1
- 19. 解析：原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2
=0．
20. （Ⅰ） 因为，所以于是，故
（Ⅱ）由知，所以
从而，即，
于是.又由知，
，
所以，或.因此，或
8. 三角函数及三角恒等变换
1
2k 1
2-450
sin 11sin 168cos10<<315
6π7
252
,2π?ω=
=sin αa b 0cos 2sin =-=?θθb a θθcos 2sin =1cos sin 2
2
=+θθ5
5cos ,5
52sin =
=
θθcos ?2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=
-+-=--=?θθ?θθ?θ
θsin 0sin 10
αα>=
且sin 5
β=
1tan 7,tan 2
αβ==
17tan tan 2tan()11tan tan 172αβαβαβ
+++=
=
--?
=-3
132tan(2)tan[()]11(3)2
αβαββ-+
+=++=--?
=-1324
παβ+=
//a b 2sin cos 2sin ,θθθ=-4sin cos θθ=1
tan .4
θ=||||a b =
22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=2
12sin 24sin 5.θθ-+=2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=sin 2cos 21θθ+=
-sin(2)4
2
π
θ+=-0θπ<<924
4
4
π
π
πθ<+
<
524
4
π
πθ+
=
724
4
ππθ+
=
2
πθ=
3.4
πθ=
2. 4.-3 5. 4 6.4 7. 8. 9. 10.
11. 12. k ≤1 13. －14
2 14.-4 16.（1）3
1 （2）略
17.（1）C ＝π4. （2）A ＝π3，B ＝5π
12.
18. （1）
（2）的图象按向量平移后得到的图象
19.25
20.
=
=
若为其图象对称中心的横坐标，即=0，
，解得：
（2）， 即，
而，所以。
，，
所以
9.平面向量
1. ④ 2。0120 3.B 4. 5 5.（-1，2） 6.1 7. 8.2 9.
10.3
11.
12.3 13.
14. 15.-2 16. 证明：（1）
12π3π22cos y x =[,],36k k k Z ππππ-+∈2π1-
)6
2sin(212sin 32cos 12sin 3cos 22
π
+
+=++=+
=?x x x x x b a 4
3
6
2]6
5,3[6
2]
3
,3[3
)6
2sin(31)6
2sin(21π
π
π
π
ππ
π
ππ
π
-
=-
=+
∴-
∈+
∴-
∈-=+-=+
+∴x x x x x x 得即 2sin 2y x =),(n m c =n m x y +-=)22sin(2112
=-=∴n m π2
()sin cos 333
x x
x f x =+
122sin
2
3
2
3
2
x x +
+
2sin(
)3
3
2
x π
+
+
x 2sin(
)3
3
x π+
23
3
x k π
π+
=3()2
2
x k k Z ππ=
-
∈222
22
2cos 222a c b
a c ac
ac ac x ac
ac
ac
+-+--=
=
≥
1cos 2
x ≥
(0,)x π∈(0,
]3
x π∈28(
,]3
3
39
x πππ+
∈28sin(
)[sin
,1]3
3
9
x ππ+
∈8()[sin
9
2
2
f x π∈+
+
3
43-+//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即，其中R 是三角形ABC 外接圆半径， 为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
17.(1)
(2)
18.(1)
(2)3
19.(1)
(2)
当时，取得最大值，.
20.
（2）由，得
∴，即的值域为.
10.解三角形
4.1
5.
6.2
7.
8.
9. 或 10. 11. 12. 13. 14.
3：2 15.(1) A=120° (2)1 16.
22a b a b R
R
?
=?
a b =ABC ∴?//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即a b ab ∴+=2224()3a b ab a b ab =+-=
+-2
()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去11sin 4sin
32
2
3
S ab C π∴=
=
??=.
43),0,(π
απα-=∴-∈ .16
7cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 22
2
-
==+
+=
++∴
ααα
αα
ααα
α
α1tan [0,][
]43ππθθπθ∴≤≤
∈∴
∈?
又)22
, 22
(-=OB 4
πθ=||OB OA +12223||max +=+=
+OB OA 41
()||||cos sin sin()3332f AB BC AB BC ππθθθ∴===- 21
11cos sin )sin sin 2cos 23
2
2
6
6
6
θθθθθ=
-
=
+
-
1
1sin(2).(0)3
6
63ππθθ=
+
-
<<03
πθ<<
52,6
6
6πππθ<+
<
1sin(2)1,26
πθ∴
<+
≤111
0sin(2)3
6
6
6πθ<
+
-≤
()f θ1
(0 ,]633510+6123π23π8743
32
10
40(b b ==或舍）
17. （1）因为，，又由
得，
（2）对于，又，或，由余弦定理得 ，
18.(1) (2)
19.(1)
(2)
20. （1）
，同理：，。
AD —AB=DB
，故得
，解得：。
因此，算出的电视塔的高度
H 是124m 。 （2）由题设知，得，
，（当且仅当
故当
最大。
因为，则，所以当
-最大。
故所求的是m 。
11.等差数列，等比数列
1.52
2.13
3.
4.5
5.21
6.
7.49
8.
100 9. 6766 10. 2n －1
－12. 11.24 12. n (3n ＋5)4(n ＋1)(n ＋2)
13.9 14. （）
15.(1) 212+-=n a n ,n n s n 202+-= (2)2
13202
-+
+-=n
n
n n T
16. (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5.
cos 25
A =
2
34cos 2cos
1,sin 2
5
5
A A A ∴=-=
=
3AB AC ?=
cos 3,bc A =5bc ∴=1sin 22
ABC S bc A ?∴=
=5bc =6b c +=5,1b c ∴==1,5b c ==2
2
2
2cos 20a b c bc A =+-=25a ∴=π11sin sin()sin cos cos sin 2
3
2
6
A B C B C B C =+=+=
+?=
4A B π
+=
a c ==tan tan H H AD AD
ββ=?=
tan H AB α
=
tan h BD β
=
tan tan tan H H h β
α
β
-
=tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20
h H αβα
?=
=
=--d AB =tan ,tan H H h H h d AD
DB
d
αβ-=
==
=
2tan tan tan()()1tan tan ()1H
H h
hd h d
d H H h H H h d H H h d d d d
αβαβαβ
--
--=
=
==
--+?+-+?+
()
H H h d d
-+
≥d ===d =tan()αβ-02
πβα<<<
02
παβ<-<
d =αβd n-1
4
22
332n
--41
所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .
依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．
故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝5
4
.
所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54
·2n －1＝5·2n －
3.
(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝5
4(1－2n )1－2
＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －
2.
所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋
54
＝5·2n －
15·2
n －2＝2. 因此??????S n ＋54是以5
2为首项，公比为2的等比数列．
17. (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33
)1－3＝133，解得a 1＝13. 所以a n ＝13×3n －1＝3n －
2.
(2)由(1)可知a n ＝3n －2
，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；
因为当x ＝π
6
时f (x )取得最大值， 所以sin ????2×π6＋φ＝1. 又0<φ<π，故φ＝π
6
. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ????2x ＋π6. 18. (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2，
所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －
1.
(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0，(*) 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根，
由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝1
3
.
19. 解：（1）由题意a n = 2 + 4
3n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4．…………… 4分 （2）b n = 2 + 4
3n – 1 + p 43n – 1
= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )
4
， 若{b n }为等比数列，则b 2
n +1 – b n b n +2= 0（n ∈N * ）
所以 [(2 + p )3n +1 ＋(2 – p )]2 – [(2 + p )3n ＋(2 – p )][(2 + p )3n +2 ＋(2 – p )] = 0（n ∈N *）， 化简得（4 – p 2）(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ）= 0即– (4 – p 2）·3n ·4 = 0, 解得p =±2．……………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列． 所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数 列． ………………………………………………10分 （3）因为4231
m m
a =+
-，4231
n n
a =+
-，4231
p p
a =+
-，
若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+， 所以42(2)31
n
+
-=4231
m
+-4231
p
++
-，……………12分
化简得3(23
3
1)1323n
p n p m
p m
n m
----?--=+-?（*），
因为*
,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+， 所以1
3
3
33
p m
p n p n
--+-≥=?，1
3
3
33
p m
n m n m
--+-≥=?，
（*）的左边3(23331)3(31)0n p n p n n p n ---≤?-?-=--<， 右边133
23
13
0n m
n m
n m
---≥+?-?=+>，所以（*）式不可能成立，
故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列． ………16分
12.数列的综合应用
1.5
2.10
3. －2 2n －
1－12
4.2
5.
8.4 9.
10.100 11.
12.2 13. 14. -9
15. （I ）由已知有 , ()
3+212565
41
12
2111
2
n n n
a a n n
+=
+
+112
n n n
b b +∴-=
1
122
n n b -=-
*
n N ∈
（II ）由（I ）知, =
16. （1）设公差为，则，由性质得，因为，所以
，即，又由得，解得，,
(2) 因为
为数列中的项，
故
为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。 17. 由
得
将
代入化简得
所以故数列为等比数列，从而 即可验证，满足题设条件.
18. （I ）证明：由题设可知，，，，， 。从而
，所以，，成等比数列。
（II ）解：由题设可得所以
.
由，得 ，从而.
所以数列的通项公式为或写为，。 19. （Ⅰ）证明：由题设，可得。
所以
1
22
n n n a n -=-
n S (1)n n +1
242
n n -++
-d 2
2
2
2
2543a a a a -=-43433()()d a a d a a -+=+0d ≠430a a +=1250a d +=77S =176772
a d ?+
=15a =-2d =12222
2
2
(4)(2)
86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--=
=-+
{}n a m +2
8 a 2m a +2231,1,2m a m m +=-=±=即2m =(1)(1)
(1)(1)
p q
m n
m n p q a a a a a a a a ++=
++++121
121.(1)(1)
(1)(1)
n
n n n a a a a a a a a --++=
++++1214,2
5
a a =
=
1121.2n n n a a a --+=
+1
1111,131n n n
n a a a a ----=
?++1{}1n n
a a -+11,13
n n
n
a a -=
+31.31
n
n n
a -=
+3131
n
n n
a -=
+2122a a =+=3224a a =+=4348a a =+=54412a a =+=65618a a =+=655
4
32
a a a a ==4a 5a 6a 21214,*k k a a k k N +--=∈()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-()441...41k k =+-++?()21,*k k k N =+∈10a =()2121k a k k +=+2
22122k k a a k k +=-={}n a 22
1
,2
,2
n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数
()21124n n n a --=+
*n N ∈*
4,21
21
a a
k k N k k -=∈+-131()()...()21
21
21
21
23
a
a a
a
a
a
a a k k k k k -=-+-++-++---
==2k(k+1) 由=0，得
于是。
所以成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i ）证明：由成等差数列，及成等比数列，得
,当≠1时，可知≠1，k
从而
所以是等差数列，公差为1。
20. （1）由题意知：，
，
化简，得：
， 当时，，适合情形。
(2)， 恒成立。
又，，故，即的最大值为
。
13.不等式
1. 2. 3. 4.3 5. 6. ①，③，⑤ 7.3 8.18 9. -3 10.4 ，整理得
11.4 12.27 13. 14.1 15.4 16.
17.3 18.2
44(1)...41k k +-++?1a 2
2
2(1),22,2(1).21
221
22
a
k k a
a
k k a
k k k
k k =+=-==++++从而1121222221,,221212a
a a a k k k k k k a k a k a a k k k k
++++++===++所以*
2,,,221
22
k d k k N a
a
a
k
k k =∈++时，对任意2,,21
21k a
a a
k k -+,,22122
a
a
a
k k k ++212112,2221
21
221
k a
a
k k a a
a q k
k k a a q k k k -+=+=
+=+-+-1q k
q ∈*N 111111,1(2)1
1
11
1
1
1
21
1
k q q q q k k k k q
k ==
+-
=≥-------
--即
11q k ??
????-????
0d >(1)(1)n d n d =-=-21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=2
2
2
1)]2),d a d +-=22110,,a d d d a d -+===22
(1),n d n d nd S n d =+-==2n ≥2
2
2
2
2
1(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-1n =2
(21)n a n d =-2
2
2
2
2
2
2
2
2
m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?22
2
m n c k +<
n m k n m ≠=+且32
2
2222
2
92()()92
m n m n m n k k
++>+=?
>92
c ≤
c 2
9)
21
,0(5m -≤{}213x x x -＜＜，或＞c a b <<2
228)2(82??
? ??+-≥?-=+y x y x y x ()()0322422
≥-+++y x y x (,1][4,)-∞-+∞ 2π
19. 设地面矩形在门正下方的一边长为 ，则另一边的长为
，设总造价为元，则
因为 当且仅当 （即时 取“=”
所以，当时有最小的值此时
答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为，另一边的长为时，能使总造价最低造价为17000元。 20. 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 目标函数为． 二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线，即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数 取得最大值． 联立解得．点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
14.直线与圆（1）
1.0
2.
2
1 3. 1或－3 4. 0323=--y x 5. 330x y -+=
6. 22(5)(3)37x y -+-=
7. －18或8
8. 直角三角形
9. 12- 10. 22:(2)(4)4M x y -+-= 11. 443250x x y =-++=和 12. 230x y -+= 13. 44k -<< 14. 三 15. （1
）
145
||2
2ABC S d BC ?=
=
=
（2）
2
2
197325()()6
6
3x y -
+-
=
xm m x
20y )0)(16(15005000)20020232003(300325020>+
+=??
?+?+?+?=x x
x x
x x y 816216=?
≥+
x
x x
x x
x 16=
)0>x 4=x 4=x y ,17000520=x
m 4m 5x y z 3005002009000000.x y x y x y +??
+???
≤，≤，
≥，≥30002000z x y =+3005290000.x y x y x y +??
+???
≤，≤，≥，≥:300020000l x y +=320x y +=l l M 30052900.x y x y +=??+=?
，100200x y ==，∴M (100200)，max 30002000700000z x y ∴=+=
16.（1）3190x y +-=,，350x y -+=,310
x y --= （2）
22
9(1)(5)5
x y -+-=
17. 4
)
23()2(4)
23()2(2
22
2=-+-=+++
y x y x 或
18. 7
)
4(2
2
=+-y x 它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0）
，半径为7 19. （1）22:(2)(7)8C x y -+-=,222(2)(6)82(816)0a a a a -+--=-+= 4a =
(4,5)P , (2,3)
Q -
||PQ = 直线PQ 的斜率=13
；
（2
）||C Q =||M Q
的最大值
和最小值； （3）3
=
+2
n k m -
的最大值2+
和最小值2-.
20. (1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P 坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
，
化简得： 关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P 坐标为或。
15.直线与圆（2）
1. x-2y-1=0
2.3
3. 2 3
4.
5.1
6. ①⑤
7.5
8.
9. 10. 4x －5y ＋1＝0 11. 12. 13. 2或 14. 相离 15. （1
4，1）
17. （1）
l (4)y k x =-40kx y k --=1C l 1d ==2
1,1
k =+2
72470,0,,24
k k k or k +===-
l 0y =7(4)24
y x =-
-0y =724280x y +-=(,)m n 1l 2l 1(),()y n k x m y n x m k
-=--=-
-110,0kx y n km x y n m k
k
-+-=-
-++
=1l 1C 2l 2C 1C 1l 2C 2l 41|5|
n m --++=
(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或k 20,30m n m n --=????
--=?
?m-n+8=0
或
m+n-5=0
313(,)22
-51(,)2
2
-22(1)2x y ++=25
4
22(1)18x y ++=3-+),12[+∞-2-(1,),l a k =
直线过点(0,1)且方向向量1
l y kx ∴=+直线的方程为
由
.
18. （1），．设圆的方程是
令，得；令，得 ，即：的面积为定值．
（2）垂直平分线段．
直线的方程是．，解得：
当时，圆心的坐标为，
， 此时到直线的距离，
圆与直线相交于两点．当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离圆与直线不相交，
不符合题意舍去．圆的方程为．
19.（1）42
2=+y x （2）【-2，0）
20. （1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：22
1x y +=相切，
设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， 则圆心(0,0)O 到直线1l 的距离为1d =
=，解得4
2±
=k ，
1,<得
443
3
k -+<<
()2
2C AT T AT
设焦点的的一条切线为,为切点,则=7
2
cos 07.AM AN AM AN AT AM AN ∴?=?==∴?
为定值1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+2
2
将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 2
2
(1+)-4(1+)+7=021222
7,11k x x x x k k
∴=++124(1+)+=2
121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴?=+=++++=+=+ 4(1+)2
4,11k k k k
∴
==+4(1+)解得1,0,1k k =?>∴=又当时O C 过原点圆 2
2
2
4t
t OC
+
=∴C 2
2
22
4)2()(t
t t
y t x +
=-
+-0=x t y y 4,021=
=0=y t x x 2,021==4|2||4|2
12
1=??=?=
∴?t t
OB OA S OAB OAB ?,,CN CM ON OM == OC ∴MN 21
,2=
∴-=oc MN k k ∴OC x y 2
1=t t
2
12=∴22-==t t 或2=t C )1,2(5=OC C 42+-=x y 55
9<=
d C 42+-=x y 2-=t C )1,2(--5=OC C 42+-=x y 559>
=
d C 42+-=x y 2-=∴t ∴C 5)1()2(2
2=-+-y x
高考数学文科集合习题大全完美
第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 ．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2 ．设集合A ={x |12020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。
2021高考数学立体几何专题
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
高三数学总复习资料
2019高三数学总复习资料 高三数学总复习资料：立体几何 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一
周所成 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 高三数学总复习资料：直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在.
立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系 (1)如图所示，在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，M，N分别是C 1 C， B 1C 1 的中点．求证：MN∥平面A 1 BD. (2)在正方体AC 1 中，M，N，E，F分别是A 1 B 1 ，A 1 D 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 的中点， 求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. (2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 求证：PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中 点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A 1B 1 C 1 中，AA 1 ＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC 1，BC的中点，AE⊥A 1 B 1 ，D为棱A 1 B 1 上的点，求 证：DF⊥AE. 微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，求证：BD 1 ⊥平面ACB 1 . (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A 1B 1 C 1 为三棱柱， 且AA 1 ⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°. 若AA 1＝AC，求证：AC 1 ⊥平面A 1 B 1 CD. 微专题3：证明面面垂直 (5)已知正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是BB 1 ，CD的中点，求 证：平面DEA⊥平面A 1FD 1 .
立体几何(小题)专题 历年高考真题模拟题汇总(解析版)
立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、
高三立体几何专题复习
高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立
2020年高考总复习理科数学题库第一章《集合》EL
2020年高考总复习 理科数学题库 第一章 集合 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________题号 一二三总分 得分第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题 1．集合，的子集中，含有元素的子集共有（ ） {1,0,1}A =-A 0（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个（2008四川延考理1） 2．集合P={x|x }∪{x|x }，Q={x|x<0}∪{x|02} R x 0∈≠，R x 2∈≠，,则集合P 与Q 的关系一定是-------------------------------------------------------------------------------（ ） A.Q ?P B.Q ?P C.Q ?P D.P=Q 3．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 解析：M ={x |x 2＜4}={x |－2＜x ＜2}，N ={x |x 2－2x －3＜0}={x |－1＜x ＜3}，结合数轴， ∴M ∩N ={x |－1＜x ＜2}. 4．已知集合，则（ ）BA ． {1,1}M =-11{|24,}2 x N x x Z +=<<∈M N = {1,1}-
B ． C ． D ． （2007年高考山东理科2）． {1}-{0}{1,0}-5．设集合则满足且的集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =S A ?S B φ≠ S 的个数为[来源: ] （A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8（2011安徽理） B 【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组 合知识.属中等难度题. 6．集合中最小整数位 .{} |25A x R x =∈-≤7．已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 A.N ?M B.M ∪N=M C.M ∩N=N D.M ∩N={2} 8．已知集合A{x| -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ?C B 2x ?的集合C 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 9．设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N= A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 10．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2}（2012浙江文）11．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形{|A x x =}{|B x x =}{|C x x =} ，是菱形，则 {|D x x =}（A ） （B ） （C ） （D ）A B ?C B ?D C ?A D ?12．已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－12010年高考立体几何专题复习-6
2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线
高三数学集合测试题
1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A C I ∪B C I =（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，1，4} D ．{0，1，2，3，4} 2．方程组3231x y x y -=?? -=?的解的集合是（ ） A ．｛x =8,y=5｝ B ．｛8, 5｝ C ．｛(8, 5)｝ D ．Φ 3．有下列四个命题： ①{}0是空集； ②若Z a ∈，则a N -?； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x Q N x ??=∈∈???? 是有限集。 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 5．已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．M P = B ．M P ∈ C ．M ∩P =Φ D ． M ?P 6．设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M =N B ． M ≠?N C ． N ≠?M D ．M ∩=N Φ 7．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠?B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,2 B ．(]1,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]2,∞- 8．满足{1，2，3} ≠?M ≠?{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 9．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集。 则阴影部分所表示的集合为 A ．(M ∩P)∪S B ．(M ∩P)∩S C ．(M ∩P)∩(I S) D ．(M ∩P)∪(I S) 二、填空题： 1．已知{}2|1,R,R A y y x x y ==+∈∈，全集R U =，则() N U A =e ． 2．已知{},M a b =，{},,N b c d =，若集合P 满足P M 且P N ，则P 可是 ． 3．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e}，A ＝{a ，c ，d}，B ＝{b ，d ，e}， 则?UA∩?UB ＝________. 4．已知{}{}22|2013(2)400x x a x a +?++-==，则a = ． 三、解答题：(写出必要的计算步骤) 1．已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A∩B＝Φ，A∪B＝R ，求集合B ．
高中数学集合历届高考练习题(2020年九月整理).doc
学 海 无 涯 1 高中数学集合历届高考练习题 （ ）1、若集合A ={x ∈R | ax 2+ax +1=0} 其中，只有一个元素，则a 为 A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 （ ）2、若集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∩B 的子集个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D.16 （ ）3、已知集合A ={1,3,√m}，B ={1,m }，A ∪B =A ，则m 为 A. 0或√3 B. 0或3 C. 1或√3 D. 1或3 （ ）4、设集合A ={1,2,3,4,5,6}，B ={4,5,6,7}，则满足S ?A 且S ∩B ≠? 的集合S 为 A. 56 B. 49 C. 42 D. 8 （ ）5、已知集合P ={x | x 2≤1}，M ={a }，若P ∪M =P ，则a 的取值范围是 A. (?∞，?1] B. [1，+∞) C. [ ?1，1] D. (?∞，?1]∪[1，+∞) （ ）6、设全集U ={1,2,3,4,5,6}，A ={1,2}，B ={2,3,4}，则A ∩(C U B )= A. {1,2,5,6} B. {1} C. {2} D. {1,2,3,4} （ ）7、已知集合A ={x | x =3n +2，n ∈N}，B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为 A. 5 B. 4 C.3 D.2 （ ）8、已知集合A ={x |?11}，B ={0,1,2,4}，则(C R A )∩B = A. {0,1} B. {0} C. {2,4} D. ? （ ）14、已知集合A ={x ∈N | x ?3≤0}，B ={x ∈Z | x 2+x ?2≤0}，则集合A ∩B = A. {1} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {1,2} （ ）15、已知集合A ={x | ?1高三立体几何专题复习解读
高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．
立体几何专题复习
立体几何专题复习 编者注：本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的，具有很高的训练价值，请同学们认真完成。 1．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当 PD PA 为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1 B 1 与平面CD 1P 所成的角. 解：(1)设PD=x ，AB=1，作DE ⊥PC 于E ，可得2 2 x = ，比值为2-1. 6分 (2)30°. 12分 2．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示： (1)求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2)求三棱锥A 1—APQ 的体积. 解：(1)依题意知三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且侧棱AA 1=3.底面边长为3，BP=1，CQ=2， 延长QP 交BC 的延长线于点E ，连结AE. 在△ACE 中，AC=3，CE=2BC=23，∠ACE=60°于是AE=3， 则AE ⊥AC 于A ，QA ⊥AE. 所以∠QAC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角. 4分 又AC=3， 于是tanQAC= 33 2 32AC QC ==. 即面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为3 3 2. 6分 (2)连A 1P ，△A 1AP 的面积为33 2 ， 8分 点Q 到平面A 1AP 的距离为2 3， 34 33232 33 1 V V AP A Q APQ A 11=? ?==--. 12分
3. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=90°，PA=PB ，PC=PD. (1)证明：CD 与平面PAD 不重直； (2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ； (3)如果CD=AD ＋BC ，二面角P －BC －A 等于60°，求二面角P －CD －A 的大小. (1)证明：若CD ⊥平面PAD ， 1分 则CD ⊥PD ， 2分 由已知PC=PD ，得∠PCD=∠PDC ＜90°， 这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直. 3分 (2)证明：取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ， 由PA=PB ，PC=PD ，得PE ⊥AB ，PF ⊥CD. 5分 ∴EF 为直角梯形的中位线. ∴EF ⊥CD ，又PF∩EF=F. ∴CD ⊥平面PEF. 6分 由PE ?平面PEF ，得CD ⊥PE ， 又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交，∴PE ⊥平面ABCD. 7分 又PE ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD. 8分 (3)解：由(2)及二面角的定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角， 9分 作EG ⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC ⊥PG ， 故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角. 10分 即∠PGE=60°，由已知，得EF=21(AD+BC)=2 1 CD. 又EG=CF= 2 1 CD ， ∴EF=EG ，易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG. 11分 ∴∠PEF=∠PGE=60°即为所求. 12分 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点，连结ED 、EC 、EB 和DB. (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值； (3)求异面直线EB 和DC 的距离. (1)证明：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点. ∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED=45°. 同理∠C 1EC=45°. ∴∠DEC=90°，即DE ⊥EC. 2分 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面D 1DCC 1，又DE ?平面D 1DCC 1， ∴BC ⊥DE. 3分 又EC∩BC=C ， ∴DE ⊥平面EBC. ∵平面DEB 过DE ， ∴平面DEB ⊥平面EBC. 4分 (2)解：如图，过E 在平面D 1DCC 1中作EO ⊥DC 于O.
高考立体几何大题及答案理
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
高三数学复习资料汇总
高三数学复习资料汇总 数学是一个系统化的逻辑体系，它有着明确的结构。在这个结构的体系中，数学知识具有一定的抽象性和具体性。下面是为大家整理的有关高三数学复习资料，希望对你们有帮助!高三数学复习资料汇总1(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是 x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系
高三数学立体几何专题复习课程
高三数学立体几何专 题
专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．
