同步检测训练
一、选择题
1．已知m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，那么x 、y 的大小关系应是( )
A ．x >y
B ．x ＝y
C ．x D ．与m 、n 的取值有关 答案：A 解析：x －y ＝m 3(m －n )－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2) ＝(m －n )2[(m ＋n 2)2＋34 n 2]>0.故选A. 2．若0 A ．a b 解析：∵b ＝2b 2>a ＋b 2>ab >a 2＝a ，且0 b >0，且ab ＝1，若0 )2，则p 、q 的大小关系是( ) A ．p >q B ．p ＝q C ．p D ．p ≥q 答案：C 解析：因为a 2＋b 2 2 >ab ＝1，且0 )2>log c 14>0.故p A ．a ≥0 B ．a ≥1 C ．a ≥2 D ．a ≥3 答案：C 解析：x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y ，对任意实数x 、y 都成立， 则a ≥－y 2－2y －x 2－2x ＝2－(x ＋1)2－(y ＋1)2恒成立， 而2－(x ＋1)2－(y ＋1)2≤2，∴a ≥2.故选C. 5．若a >b >0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a b B.b 2＋1a 2＋1>b 2 a 2 C ．a ＋1a > b ＋1b D ．a a >a b 答案：B 解法一：取a ＝12，b ＝14，则a ＋1a ，由此可知C 不恒成立． 当0b 时，可有a a 若a ＝2，b ＝1，可有2a ＋b a ＋2b ＝54，a b ＝2，由此可见A 不恒成立． 由于是单项选择，综上可排除A 、C 、D .故选B. 解法二：当a >b >0时，b 2＋1a 2＋1－b 2a 2＝(a ＋b )(a －b )a 2(a 2＋1) >0.选B. 6．若实数m 、n 、x 、y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a 、b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A.a ＋b 2 B.ab C. a 2＋b 22 D.a 2＋b 2 2 答案：B 解法一：设??? m ＝a cos αn ＝a sin α，??? x ＝b cos βy ＝b sin β (α，β∈R )， 则mx ＋ny ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β) ＝ab cos(α－β)≤ab ， 当且仅当cos(α－β)＝1时，等号成立．故选B. 解法二：由已知得m 2a ＋n 2a ＝1，x 2b ＋y 2 b ＝1， ∴mx ＋ny ＝ab (m a x b ＋n a y b )≤ab [12(m 2a ＋x 2b )＋12(n 2a ＋y 2 b )]＝ab ， 当且仅当m a ＝x b ，且n a ＝y b 时，等号成立．故选B. 7．(2009·福州质检)已知实数a ，b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：∵a 2＋b 2≥2ab 而ab ≥2,2ab ≥4. ∴a 2＋b 2≥4，但a 2＋b 2≥4ab ≥2. 如a ＝－2，b ＝2满足a 2＋b 2≥4. 不满足ab ≥2.故选A. 8．(2009·黄冈中学一模)已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有( ) A ．m >n ，x >y B ．m >n ，x C ．m D ．m 答案：B 解析：a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，a 、m 、b 、x 成等差数列，则m ＝a ＋b 2 >ab ，x ＝2b －m ，a 、n 、b 、y 成等比数列，则n ＝ab ，y ＝b 2n ，则m >n ，x －y ＝2b －m －b 2n <2b －n －b 2n ＝2bn －n 2－b 2n ＝－(n －b )2n ≤0，x <0，对满足a >b >c 恒成立，则λ的取值范围是________． 答案：(4，＋∞) 解析：∵a >b >c ， 1a －b ＋1b －c ＋λc －a <0， ∴λa －c >1a －b ＋1b －c ， λ>a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ＝a －b a －b ＋b －c a －b ＋a －b b －c ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c >2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4， 即λ的取值范围是(4，＋∞)． 10．若0 解析：由0 a ＋ b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，又a >a 2，b >b 2知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大． 11．已知a >0且a ≠1，P ＝log a (a 2－a ＋1)，Q ＝log a (a 3－a ＋1)，则P 与Q 的大小关系是________． 答案：P 解析：(a 3－a ＋1)－(a 2－a ＋1)＝a 3－a 2＝a 2(a －1)． ①当a >1时，函数y ＝log a x 是增函数． ∵a >1，∴a 2(a －1)>0.