2016年自主招生专题讲座三角函数
第一部分：考点清单
一、高考部分
1.三角函数概念、同角公式、诱导公式、图象和性质
2.三角公式：和、差、倍、半、万能公式、
3.正弦定理、余弦定理 、 二、自招部分
1.★射影定理B c C b a cos cos +=
2.★积化和差、★和差化积公式（你知道吗？）
3.★反三角函数
4. ★补充结论：（1）三倍角公式：=α3sin _____________ . =α3cos _____________ . （2）若20π
α<
<，则αααtan sin <<(你能证吗). （3）函数x x y sin =在),0(π上为减函数；函数x x y tan =在)2
,0(π
上为增函数.
（4）面积公式：记ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为R,r ，半周长为2
c
b a p ++=
. 21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abc
S ah bh ch rp R A B C rR A B C R ?=======++
=
))()((c p b p a p p --- (海伦公式)
第二部分：高考题真题对接
1．三角函数图象变换
例1.【2015湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2π
??<<个单位后得到
函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3
x x π
-=，则?=（ ）
A.
512π B.3π C.4π D.6
π 【答案】D.
2．三角变换公式（注意升降次公式）
例2.【2015湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|2
2
x
f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 3．三角恒等变换
例3.（1）【2015重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则
3cos()
10sin()5
παπα-
=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C
（2）【2015江苏，8】已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3
（3）.【2015四川，理12】=+ 75sin 15sin .
4.解三角形 例4.（1）【2015新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】
（2）.【2015湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北
30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.
【答案】6
100
（3）.【2015重庆，理13】在△
ABC 中，B =120o ，AB
，A 的角平分线AD ,则AC =_______.
例5.【2015新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． (
Ⅰ) 求
sin sin B
C
∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．
【答案】(Ⅰ)
1
2
；(Ⅱ)1． 例6.【2015安徽，理16】在ABC ?中，3,6,
4
A A
B A
C π
=
== ,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.
5、三角等式证明
例7.【2015四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan
;2sin A A A
-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tan
tan tan tan 2222
A B C D
+++的值. 【答案】（1）切化弦；（2
.
第三部分：自招真题讲解
一、三角函数的求值与化简
例1.（04同济）设θ是第二象限角，3sin 5θ=，则57sin(
2)8
π
θ-=
例2.（01复旦）1
sec50cot10
+=
例3．（10清华）求444sin 10sin 50sin 70++的值. 答案：
98
变式：2
2
sin 10cos 40sin10cos 40++ 答案：34
例4.（11卓约2）2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则
tan()
tan()
αβγαβγ++=-+( )
A.
11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.1
1
n n +- 答案：D
A
例5.（13华约）已知???
????
=-=+51cos cos 3
1sin sin y x y x ，求)sin(),cos(y x y x -+ 。
答案：10815
cos(),sin()22517
x y x y +=-=-
例6．（13北约）对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326
---的值． 答案：10
例7．（12卓越）函数cos ()2sin y θ
θθ
=
∈+R 的值域是__________.
答案：[
例8．（11华约4）若222cos cos 3
A B A B π
+=
+，则的最小值和最大值分别为 (
) 3A.1,2 13B.,22
C.1
+
1D ,12 .+答案：B
例9．（12华约）三角式
1cos 0cos1+
1
cos1cos 2
++
1
cos88cos89
化简为（ ）
A.cot1csc1
B. tan1csc1
C. cot1s c1e
D. tan1s c1e
答案：A
二、三角形中的三角函数 例10．（13卓越）在ABC ?中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知
()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ?的最大值．
答案：（1）3
C π
=，（2）max 3(sin sin )4
A B ?=
例11．（12北约）设,,A B C 为边长为1的正三角形三边上各一点，求222AB BC CA ++的最小值. 答案：3
4
例12．（12北约4）如果锐角ABC ?的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离比。 答案：::cos :cos :cos a b c d d d A B C =.
例13．（12华约）ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin 1cos22
A B
C +=+. （1）求C 的大小；
（2）若22222c b a =-，求cos 2cos 2A B -的值. 答案：
23π，34
例14．（12华约13）已知锐角ABC ?，BE 垂直AC 于E ，CD 垂直AB 于D ，BC=25,CE=7,BD=15,若BE ，CD 交于点H ，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，求AF 的长度。 答案：9
例15．（11卓约12）12.在ABC ?中,2,AB AC AD =是角A 的平分线,且AD kAC =(1)求k 的取值范围;
(2)若1ABC S ?=,问k 为何值时,
BC 最短? 答案：4
03
k <<
例16．（11北约4）ABC ?的三边,,a b c 满足2a b c +≥.求证：60C ≤. 答案：利用余弦定理及均值定理可以证明。
例17．（11华约11）已知ABC ?不是直角三角形.
（1）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；
（2ta n ta n n 1ta n B C C A +-=
，且sin2,sin2,sin2A B C 的倒数成等差数列，求cos 2
A C
-的值.
答案：（2）1
例18．（10华约11）在ABC ?中，已知2
2sin cos 212
A B
C ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求ABC ?面积的最大值．
答案：3
C π
=，
例19．（10华约5）在ABC ?中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan
tan 22
A C
的值为（ ） （A ）
15 （B ）14 （C ）12 （D ）2
3 答案：C
三、三角函数的图象与性质
例20． (12清华保送)()2(sin 2sin 32
f x x x x =+
-，且[0,2]x π∈，
（1）求函数()f x 的最
大值与最小值；（2）求方程()f x = 答案：（1）2,2- （2）0,,23
π
π
例21． (13华约)已知()f x 就定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()f x 单调递增，(1)0f -=.设
2()sin cos 2x x m x m ?=+-，{|M m =对任意[0,],()0}2
x x π
?∈<， {|N m =对任意
[0,],(())0}2
x f x π
?∈<，求M N ?.
答案：M N ?{|m =对任意[0,],()1}2
x x π
?∈<-{|4m m =>-
例22．(12卓越)设()sin(),(0,)f x x R ω?ω?=+>∈，若存在常数(0)T T <，使()()f x T T f x +
=恒成立，则ω可取到的最小值为_______________ . 答案：min ωπ=
四、三角函数的综合问题 例23．（12北约7）求使得sin 4sin 2sin sin 3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a .
答案： 2
x π
∴=
例24．（10北约）1．（仅文科做）02
απ
<<，求证：sin tan ααα<<． （仅理科做）存不存在02
x π
<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．
例25．已知奇函数()f x 的定义域为全体实数，且当0x ≥时，()0f x '>，问是否存在这样的实数λ，使得(cos 23)(42cos )(0)f f f θλλθ-+->对所有[0,]2
π
θ∈均成立？若存在，则求出适合条件
的实数λ；若不存在，试说明理由。
例26．（14华约）已知函数()sin )sin()2sin ,(0)4
f x x x x a x b a π
=-+-+>有最大值1和最小值4，求,a b 的值. 答案：5
,14
a b ==-
第三部分：巩固练习
1.（11卓越）已知sin 2()sin 2n αγβ+=，则
tan()
tan()αβγαβγ++=-+（ ） A. 11n n -+ B. 1n n + C. 1n n - D. 1
1
n n +- 答案：D
2.（10复旦）设,[,]22
ππ
αβ∈-，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则s i n
s i n αβ+的取值范围是（ ）
A. [
B. [-
C.
D. [1 答案：D
3.（04上交）函数)2y x π
=≤≤的值域是___________.
答案：[1
4．（04复旦）设12,x x 是方程233
sin cos 055
x x ππ-+=的两个实数解，那么
12arctan arctan x x +=___________.
答案：5
π
5.（05复旦）函数1sin 2cos x
y x
+=+的最大值是__________.
答案：43
6.（04复旦）已知124sin(),sin()135αβαβ+=-=-，且0,0,2
π
αβαβ>>+<,求tan 2α. 答案：16
63
7．(05复旦)在△ABC 中，已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =，求
AC
AB
.
答案：
3
8．(05复旦)已知sin cos (0a a αα+=≤，求sin cos n n αα+关于α的表达式.
答案：((22
n n
a a ++
9.（06复旦）解三角方程：sin()sin 294a x x π
+=+，其中a 为实常数.
答案：提示：化简为42()a t t
=+在[1,1]-上有解，再用勾勾函数写解集。
10.（06清华）已知sin ,sin ,cos θαθ成等差数列，sin ,sin ,cos θβθ成等比数列，求1
cos2cos22
αβ-的
值.
答案：0
11.（06清华）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，它们所对的边分别为a 、b 、c ，求证： 2cos cos 4sin 2
a A
B C b c ++
≥+. 答案：和差化积，再用均值定理。
12.（08清华）已知sin cos θθ+θ的取值范围. 答案：3[2,
2],4
4
k k k Z π
π
ππ-
++∈
三角函数的图像及性质 【知识要点】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 】 π,
2.求周期：()sin y A x k ωα=++，2T π ω = 【课前小练】 1. 函数tan 4y x π?? =- ??? 的定义域是____________ 2. 函数()sin 10y A x A =+>的最大值是3，则它的最小值是____________ 3. 函数2cos y x =在区间[],0π-上是________函数，在区间[]0,π上是_________函数。 4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. cos 2y x = B. sin 2y x = C. tan 2y x = D. sin 22y x π? ? =- ?? ? | 【例题解析】 考点一 三角函数的定义域与值域 例1：函数()2sin 2-= x x f 的定义域（以下Z k ∈）是（ ） A.????? ?++22,42ππππk k B. ??????++-22,42ππππk k C.?? ? ?? ?+ + 432,4 2πππ πk k D. R 例2：求下列函数的值域： 1）2sin 3y x =- 2）()sin ,,;36f x x x ππ??=∈- -??? ? [
3）()()2sin 2,,;63f x x x ππ??=∈? ??? 4）sin 2sin x y x = + ) 变式1： 求下列函数的定义域 1）函数x x y tan 1)1sin 2lg(-++=的定义域为____________ 2）函数()lg sin y x =+____________ 3）函数 ()sin tan f x x x =++ 的定义域为____________ 变式2：求下列函数的值域 1）()3sin ,,;44f x x x ππ?? =∈- ????
2020北京各区一模数学试题分类汇编—三角函数 （2020海淀一模）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3,2 π则点M '到直线BA '的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 12 （2020西城一模）函数()24f x sin x π? ?=+ ???的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. （2020西城一模）已知函数()sinx 12sinx f x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ） ①绕着x 轴上一点旋转180?; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称; ④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ （2020东城一模）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋 转6π后经过点(-，则sin α=______________. （2020丰台一模）将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移 2 π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数 B. 02g π-=?? ??? C. 当5ω=时，()g x 在0, 2π??????上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π?????? 上单调递减，则ω的最大值为9 （2020朝阳区一模）已知函数()=)(>0)f x ωx φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=?”是“()f x 的图象关于直线3x π= 对称”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）
A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
三角函数 知识要点: 定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=, 2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为= 第二象限角的集合为= 第三象限角的集合为=_________________ 任意角 的概念 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 同角三函数 的基本关系 任意角的 三角函数 诱导公式 三角函数的 图象和性质 计算与化简 证明恒等式 已知三角函 数值求角 和角公式倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用 三角函数知识框架图
P x y A O M T 第四象限角的集合为=___________ 终边在轴上的角的集合为=____________________ 终边在轴上的角的集合为=_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为=__________________ 3 、 与 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 =__________________ 4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为 终边所落 在的区域． 5、弧度制与角度制的换算公式：， ， ． 6、若扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为，周长为 ，面积为，则 ， ， ． 7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦) 8、三角函数线： ， ， ．若 ，则s inx 三角函数（理） 考查内容：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角的函数值、 诱导公式、函数sin()y A x ω?=+图象及其性质、两角和与差公式、 倍角公式、正余弦定理等基础知识，考查基本运算能力。 1、已知函数()??? ??+=42tan πx x f 。 （1）求()x f 的定义域与最小正周期； （2）设0,4πα? ? ∈ ???，若αα2cos 22=??? ??f ，求α的大小。 2、已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈。 （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π?? ????上的最大值和最小值； （2）若006 (),,542f x x ππ?? =∈????，求0cos 2x 的值。 3、在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===。 （1）求AB 的值； （2）求πsin 24A ?? - ???的值。 4、已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，)0,(>∈ωR x 的最小正周期是2π 。 （1）求ω的值； （2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合。 5、已知cos 410x π?? -= ???，324x ππ?? ∈ ???，。 （1）求sin x 的值； （2）求sin 23x π?? + ???的值。 6、在ABC ?中，已知2AC =，3BC =，4 cos 5A =-。 （1）求sin B 的值； （2）求sin 26B π?? + ???的值。 7、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，，R x ∈。 2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷 一、填空题 1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________． 2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=_________． 4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________． 5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个． 6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________． 7．已知，则分式=_________． 8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________． 9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个． 10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________． 11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值． 12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为 _________． 二、解答题（共8小题，满分0分） 13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积． 15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________． 16．求方程组的实数解． 17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长． 任意角的三角函数及诱导公式 【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600 Z k k ∈?+α． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，r l =||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值 r l 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． % ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2 1 21r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α= cos α= tan y x α= 特别地，当2 2 1x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即 ()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向AT MP 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线. ： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线 (1)平方关系：()2 22222sin cos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-． 2019高中自主招生必做试卷（数学） （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1、在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的是 ( ) A 、－|－3|3 B 、－(－3)3 C 、(－3)3 D 、－33 2、已知 114a b -=，则 2227a ab b a b ab ---+的值等于 （ ） A 、215 B 、2 7 - C 、6- D 、6 3、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是 （ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 4、a 、b 是有理数，如果,b a b a +=-那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中 ( ) A 、只有(1)正确 B 、只有(2)正确 C 、(1)，(2)都正确 D 、(1)，(2)都不正确 5、已知关于x 的不等式组?? ? ??<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所 有可能的整数对(a,b)的个数有 ( ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 6、如图，表示阴影区域的不等式组为 ( ) 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， A 、 3x + 4y ≥9， B 、 3x + 4y ≥9， C 、 3x + 4y ≥9， D 、 3x + 4y ≤9， y ≥0 x ≥0 x ≥0 y ≥0 7、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则 ABCD AGCD S S 矩形四边形等于 ( ) A 、 43 B 、54 C 、32 D 、6 5 8、若b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除则a ：b 的值是 （ ） A 、-2 B 、-12 C 、6 D 、4 9、在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝9，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE ＝6，DF ＝4，AE 、FC 相交于点G ，GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则GH 的长为 （ ） A B C D E F G 第3题图 第9题图 第7题图 第6题图 学校 姓名 考号 装 订 线 外 请 不 要 答 题 4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学内容分析 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴 1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题． 2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉． 一、三角函数 1．公式 （1）扇形的弧长和面积公式 如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l r α=． 相关公式：①l =|α|r ②211 22 S lr r α== （2）诱导公式： 正弦 余弦 正切 α+k ?2π sin α cos α tan α α+π ?sin α ?cos α tan α ?α ?sin α cos α ?tan α π?α sin α ?cos α ?tan α 2 π α+ cos α ?sin α 2 π α- cos α sin α 命题趋势 考点清单 专题 6 ×× 三角函数与解三角形 （3）同角三角函数关系式： sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos α αα = （4）两角和与差的三角函数： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin(α?β)=sin αcos β?cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β?sin αsin β cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ++= - tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + （5）二倍角公式： sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 2 2tan tan 21tan α αα = - （6）降幂公式： 21cos 2sin 2αα-= ，21cos 2cos 2 α α+= 2．三角函数性质 三角函数 【公式】 同角公式：平方关系 2 2 2 2 2 2 s i n c o s 1,s e c t a n 1,c s c c o t 1 αααααα+=-=-=； 商数关系 s i n c o s t a n ,c o t c o s s i n αααααα= =； 倒数关系 t a n c o t 1,s i n c s c 1,c o s αααααα===. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限. 加法公式：和、差、倍、半、万能公式；积化和差、和差化积公式. 还应熟悉：（1）三倍角公式 3 2 sin 33sin 4sin ,cos 34cos 3sin αααααα =-=-， 1sin (60)sin sin (60)sin 3,co s(60)co s co s(60) 4 1co s 3. 4αααααααα-+=-+= （2）0 211sin ()sin ()co s()sin 2 2 2 2 co s()2sin sin 2 2 n k n d n n x d x x d d x kd d d =+++ --+ ?+= = ∑ ， 211co s()co s()sin ()sin 2 2 2 2 sin ()2sin sin 2 2 n k n d n n x d x x d d x kd d d =+++ --+ ?+= = ∑. （3）2222 sin sin cos cos sin()sin() αββααβαβ-=-=+-， 2 2 22 c o s s i n c o s s i n c o s ( )c o s ( ) αββααβαβ-= - =+-. （4）tan tan tan tan tan tan tan ()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα ++-++= ---. （5）若0 2 πθ<< ，则sin tan θ θθ <<. （6）函数sin x y x = 在(0,)π上为减函数； 函数tan x y x = 在(0, ) 2π上为增函数. （7）A B C ?中，①sin sin sin 4co s co s co s 222A B C A B C ++=； ②co s co s co s 14sin sin sin 222 A B C A B C ++=+； ③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； ④tan tan tan tan tan tan 1222222 A B B C C A ++=； ⑤cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=； ⑥sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=. 上海专题复习 题型二 ：三角函数复习 1.（浦东区2018年模拟11题）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已 知(2,1)m =u r ，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+r ，且m n ⊥u r r . 若227c b = ，且ABC S ?=b . 2. （崇明区2018年模拟题）已知1cos 2cos sin 32)(2 -+=x x x x f ，在ABC ?中， c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若7=a ，3=b ，且3)2 (=A f ，求边 c . 3.（普陀区2017二模7）若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间?? ? ???2,0π上有 解，则实数m 的取值范围是 . 4. （徐汇区2017二模9）若行列式1 24 cos sin 022sin cos 8 2 2 x x x x 中元素4的代数余子式的值为1 2，则实数x 的取值集合为____________． 5.如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ） A. ::a b c B. 111 ::a b c C. sin :sin :sin A B C D. cos :cos :cos A B C 6.（奉贤区2017二模19）如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ． （1）若3=?，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长． 7. 已知定义在(, )2 2 π π - 上的函数()f x 是奇函数，且当(0, )2 x π ∈时， tan ()tan 1 x f x x = +． （1）求()f x 在区间(, )2 2 π π - 上的解析式； （2）当实数m 为何值时，关于x 的方程()f x m =在(, )2 2 π π -有解． O C B A M N 三角函数的图象与性质 一、基础知识： 1．三角函数的图象和性质 2.正弦函数y ＝sin x 当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，取最大值1；当x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，取最小值－1. 3余弦函数y ＝cos x 当x ＝2k π(k ∈Z )时，取最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取最小值－1. 4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为(k π，0)(k ∈Z )、 ? ????k π＋π 2，0(k ∈Z ) ? ?? ??k π2，0(k ∈Z ). 5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为 x ＝k π＋π 2(k ∈Z )和_ x ＝k π(k ∈Z )，y ＝tan x 没有对称轴． 二、综合运用： 1、五点法绘y ＝A sin(ωx ＋φ)或y=A ＋ 的图像： 依据：以 ＝ ＋ 为例； ＝0， ＝1， ＝ ， ＝－1， ＝0 在实际画图中，要分别令 ＋ ＝0、 、 、 、 ，再求出x 与y 的值，确定对应的五点坐标。 例：“五点法”绘出y=2 图像。 例：“五点法”绘出y= （ ）的图像，其中x 图像。 注：正切函数的图像采用三点两线的办法。 2、解有关三角函数的方程。 思路：在一个周期内，利用原始函数的图像求出对应的x 的值，然后使用整体替代的思路，解出方程中的x. 例1： - 例2： =- 例3：2 （ ）=1 例4：︱ （ ）︱= 例5︱ （ ）︱= 注：在解有关三解函数的非常规方程时，需要使用数形结合的思想，用图像交点的个数来代表方程的解的个数。 例：分析方程 - =0的解的个数。（2个） 例：分析方程x- =0的解的个数。（1个）提示：利用三角函数线的性质， α 时， α α tan α。 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且在,0,2π??????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点; (2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x 【变式训练3】（2020年3月武汉市高三质检） （1）研究函数()()π，在0x x sin x f =上的单调性； （2）求函数()x cos x x g π+=2的最小值 【变式训练4】（2020年3月武汉市高三质检理） （1）证明函数x cos x x sin e y x 22--=在区间??? ? ?--2ππ,上单调递增； （2）证明函数()x sin x e x f x 2-=在()0,π-上有且仅有一个极大值点，且()200< 中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】 A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25 2. 如图所示，A ,B ,C 均在⊙O 上，若∠OAB =40O ，ACB 是优弧，则∠C 的度数为 【 】 A. 40O B.45O C. 50O D. 55O 3. 若二次函数y=ax 2+bx +c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 取x 1+x 2 时，函数值为 【 】 A. a +c B. a - c C. - c D. c 4. 已知在锐角△ABC 中，∠A =550 ，AB ﹥BC 。则∠B 的取值范围是 【 】 A.35o ﹤∠B ﹤55o B. 40o ﹤∠B ﹤55o C. 35o ﹤∠B ﹤70o D. 70o ﹤∠B ﹤90o 5. 正比例函数y 1=k 1x （k 1＞0）与反比例函数2 2k y x （k 2＞0 ）部分图象如图所 示， 则不等式k 1x ＞2 k x 的解集在数轴上表示正确的是 【 】 A. B. C. D. 6. 定义运算符号“*”的意义为 （a 、b 均不为0）.下面有两个结论： ①运算“*”满足交换律； ②运算“*”满足结合律 其中 【 】 A.只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确 7. 已知00x y >>，且2 2231x xy y xy ?-=?? ?+=? ，那么()2 x y +的值为 【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 8. 如图，点A 的坐标为（0,1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等腰直角 △ABC ，使∠BAC=90O ，设点 B 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 y ，能表示 y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） 三角函数专题 1．在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知0)sin 33(cos sin sin =+ -B B C A . （1）求角C 的大小； （2）若2=c ，且ABC ?的面积为3，求b a ,的值. 2．函数2()sin cos f x x x x =+ （1）求函数f （x ）的递增区间； （2） 当]2, 0[π∈x 时，求f （x ）的值域。 3．已知函数()2sin 22cos 16f x x x π? ?=-+- ??? . （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11,2,2 a b c f A =+==，求ABC ?的面积. 4．已知函数()()?ω+=x A x f sin (其中20,0,0π?ω< <>>A )的周期为π，其图象上一个最高点为??? ??2,6πM . （Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）当?? ????∈4, 0πx 时，求()x f 的最值及相应的x 的值. 5．已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ABC ? 的面积 cos 2S ac B =. （1）求角B 的大小； （2）若2a =，且 43A ππ≤≤，求边c 的取值范围. 6．在ABC ?中，若28sin 2cos 272 B C A +-=． （1）求角A 的大小； （2 ）如果3a b c =+=，求ABC ?的面积． 7．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知C c A a sin cos 3=． （1）求A 的大小； （2）若6=a ，求c b +的取值范围. 8．已知函数)2||,0,0)(sin()(π?ω?ω< >>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在区间]2 1,21[- 上的最大值与最小值. 9．已知向量()sin ,1a x =-，13cos ,2b x ? ?=- ?? ?，函数()()2f x a b a =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期T ； （2）已知,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，23,4a c ==，且()1f A =，求ABC ?的面积S ． 10．已知函数b x a x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(π π（R b a ∈,，且均为常数）. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在区间]0,3[π- 上单调递增，且恰好能够取到)(x f 的最小值2，试求b a ,的值. 三角函数式的求值 【知识点精讲】 三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 （4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 【例题选讲】 一、“给角求值” 例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。 练习1:tan20°+4sin20° 练习2、（1）化简;?--?? ?-20sin 1160sin 20cos 20sin 212； （2）求值： . 练习3：求()0000 1tan21tan24tan21tan24++? ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+?+++ 练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值 二、“给值求值”： 例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值 练习:)6 sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0 高校自主招生数学试题特点及备考策略分析 一、各校自主招生试卷解读 1、近年来各高校自主招生数学试题呈现如下几个特点： （1）从考试的知识来看，注重初高中知识的拓展与延伸，一部分会超出高考的知识范围，常涉及一些大学与高中的衔接内容。不追求知识点的全面覆盖，重点问题侧重考查； （2）试题难度总体上会保持稳定，6乘高考难题，4乘奥赛（也可能5：5），题目难度在高考以上，竞赛以下，经典试题有一定的重现率； （3）注重学生能力，突出对数学思维能力、运算能力、运算技巧、应用知识解决问题能力的考查； （4）不同学校的侧重点略有不同，但三角、函数、方程、数列、不等式、解析几何等内容是高频考点； （5）不同学校的试卷结构也不一样；以2017年为例： 北大自招题：20道单选题，选错扣1分，不选得0分。 清华自招题：35个不定项选择题，选对得4分，选错得0分，漏选得2分。 二、数学自主招生备考策略 1、练好基本功，注意知识点的全面覆盖 数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，中等难度题目分数比例大约60% 左右。因此，要求学生平时不仅要把基础知识打扎实，还要适度增加奥赛知识内容的练习。 2、联系教材，适度拓宽知识面 如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如数论初步、三角函数、解析几何等知识板块的一些公式或结论，掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧。 3、关注题型变化，练好近几年真题 知己知彼，百战百胜。选择题的“考场技巧”平时要多练，北大这两年自招、博雅全是选择题，熟悉一下题型和套路。往年的自招真题，还有全国联赛的一试题、预赛题，都具有很高参考价值。 附：获奥数奖项可以报考的自主招生专业汇总（报考范围最宽）天津市高三数学总复习 综合专题 三角函数 理 (学生版)
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