二次函数
? 相关概念及定义
二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项
系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ? 二次函数各种形式之间的变换
二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其
中a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；
②k ax y +=2；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2.
? 二次函数2ax y =的性质
y ax c =+
y a x h =-的性质：
y a x h k =-+的性质
a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 越大开口反而越小。
一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．
．
总结起来 常数项c
总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，
，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
? 求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+??? ??+=++=，∴顶点是
），（a
b a
c a b 4422
--，对称轴是直线a b x 2-=.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形
式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以
对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择
一般式.
顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ? 直线与抛物线的交点
y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点
(h ,c bh ah ++2).
抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点
的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0
平行于x 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的
图像G 的交点，由方程组 2
y kx n
y ax bx c =+??=++?
的解的数目来确定：(同上)
? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或
顶点式表达
关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
关于顶点对称
2
y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
? 二次函数图象的平移
平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
二次函数专项训练
一、与二次函数有关的填空题
2
1．如图7是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1
时，x 的取值范围______________。
2．如图7是二次函数y 1＝ax
＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1
时，x 的取值范围______________。
二、与二次函数有关的选择题型
1、对于一元二次方程a c bx ax (02=++≠0），下列说法： ①若
1-=+c
b
c a ，则方程02=++c bx ax 一定有一根是1=x ②若232,a b a c ==，则方程02
=++c bx ax 有两个相等的实际上数根 ③若0,0,0>< 与x 轴必有交点 ④若,0=-bc ab 且 1- a ，则方程02=++a bx cx 的两实数根一定互为相反数其中正确的是（ ） A 、①②③④ B 、①②④ C 、①③ D 、②④ 2、一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根为21,x x ，下列说法： ①若原方程有一根为a b x 21= ，则原方程两根必相等 ②若原方程两根为21,x x ，且21x x <，一元二次不等式)0(02 >>++a c bx ax 的解集为 1x x <或2x x > ③若原方程有一根为a c - ，则另一根为-1 ④若042 =-ac b ，原方程两根为21、x x ，则a b x x = +21其中正确的是（ ） A 、①③④ B 、只有② C 、①②③ D 、②④ 3、对于抛物线a m ax ax y (42 ++=≠)0与x 轴的交点为A （-1，0）B （x 2，0），则下列说法： ①一元二次方程042 =++m ax ax 的两根为3,131-=-=x x 图7 ②原抛物线与y 轴交于C 点，CD ∥x 轴交抛物线于D 点，则CD=4 ③点E （1，1y ），点F （-5，2y ）在原抛物线上，则12y y > ④抛物线m ax ax y ---=42与原抛物线关于x 轴对称 其中正确的是（ ） A 、①②③④ B 、①②④ C 、②③ D 、①③④ 4、对于抛物线y=x 2 +mx+n,下列说法： （1）当n=4时，不论m 为何值时，抛物线一定过y 轴上一定点 （2）若抛物线与x 轴有唯一公共点，则方程x 2 +mx+n=0有两个相等的实数根 （3）若抛物线与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于C 点，n=4，S △ABC =6，则解析式为y=x 2 -5x+4 （4）若6m 2+n=0，则方程x 2 +mx+n=0的两根分别是2m 或-3m 其中正确的是（ ） A 、①②④ B 、只有①② C 、只有①④ D 、②③④ 5、对于抛物线y= ax 2 +bx+c （a ≠0），下列说法： ①若顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不相等的实数根 ②若抛物线经过原点，则一元二次方程ax 2 +bx+c=0必有一根为0 ③若a-b+c=2，则抛物线必过某一定点 ④若2b=4a+c ，则一元二次方程ax 2 +bx+c=0，必有一根为-2 其中正确的是（ ） A 、①②④ B 、②③ C 、③④ D 、②③④ 6.对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，下列说法： ①c a b +=时，方程02 =++c bx ax 一定有实数根；②若a 、c 异号，则方程 02=++c bx ax 一定有实数根；③052>-ac b 时，方程02=++c bx ax 一定有两个不 相等的实数根；④若方程02 =++c bx ax 有两个不相等的实数根，则方程 02=++a bx cx 也一定有两个不相等实数根。其中正确的是 A 、①②③④ B 、只有①②③ C 、只有①②④ D 、只有②④ 三、二次函数应用题 1、家家乐超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45元。市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售20箱，但售价不能低于48元，设每箱降价x 元（x 为正整数） （1）写出平均每天销售y （箱）与x （元）之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）如何定价才能能使超市平均每天销售这种牛奶的利润最大？最大利润为多少？ 2、黄陂木兰山宾馆有50个房间可供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全 部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需每天每间支出20元的各种费用。 （1）设每个房间每天的定价增加x 元，（X 是10的整数倍）已租住的房间数为y ，写出y 与x 的函数关系式。 （2）当每个房间每天的房价定为多少元时，宾馆每天的利润最大，最大利润是多少？ 3、某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价， 又不高于80元/件，试销中每天的销售量y （件）与销售单价x （元/件）满足下表中的 （1）已知每天的销售量y （件）是销售单价x （元）的一次函数，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。 （2）当销售单价定为多少元时，公司销售该产品每天获得的利润最大？最大利润为多少？ 4、进价为每件40元的某商品，售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果每件的售价每下降1元，每星期可多卖出20件，但售价不能低于每件45元。设每件降价x 元（x 为正整数）。 （1）设每星期的销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围 （2）如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润。 四、二次函数有关压轴题 1、如图1，抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于C ，其 中点A 在x 轴负半轴，线段OA 、OC 的长（OA 〈OC 〉是方程0342 =+-x x 的两根，且抛物线的对称轴是直线1=x （1）求抛物线的解析式 （2）过A 点作直线交对称轴于E 点，AE ⊥CE ，且E 点到x 轴的距离大于到y 轴的距离，直线AE 交抛物线于S 点，点P 是线段AS 上的一个动点，设P 点的横坐标为x ，PA= y ， 当P 点运动时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）如图2，在（1）的抛物线中，点M 为其顶点，T 、R 为x 轴上方抛物线上的两个动点，取点Q （0,5 3 ），直线TQ 交AM 于H ，RQ 交BM 于N ，且∠TQN=∠AMB ，当点T 、R 在抛物 线上运动时，问： QN QH 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。 2、如图1，已知抛物线y=a c bx x ++2 经过原点，顶点坐标为（1，3 1- ），抛物线与x 轴另一个交点为A 。 （1）求抛物线的解析式； （2）点E （3，h ）在抛物线上，过E 点作直线交点作直线交轴于F ，且∠FEO=45°，点P 是线段EF 上一动点，过P 点向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为K 、H ，设点P 的坐标为（x,y ），四边形PHOK 的面积为S ，求S 与的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）如图2，过O 、E 二点作⊙O ˊ交x 轴正半轴于N ，交y 轴负半轴于M ，当⊙O ˊ的大小发生变化时，问：3ON-OM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。 3、如图1，直线y=mx+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，CE ∥x 轴交∠CAO 的平分线于点E ，抛物线452+-=ax ax y 经过点A 、C 、E ，与x 轴交于另一点B （1）求抛物线的解析式。 （2）点P 是线段AB 上的一个动点，边CP ，作∠CPF=∠CAO ，交直线BE 于F ，设线段PB 的长为x ，线段BF 的长为 y 5 6 ，当P 点运动时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围，在同一坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中y ≥0的部分有何关系？ （3）如图2，点G 的坐标为（ 316 ，0），过A 点的直线)0(3<+=k k kx y 交y 轴于点N ，与过G 点的直线k x k y 316 1+-=交于点P ，C 、D 两点交于原点对称，DP 的延长 线交抛物线于点M ，当k 的取值发生变化时，问：tan ∠APM 的值是否发生变化？若不变， 求其值，若变化，请说明理由。 4、如图1，过原点的抛物线y=ax 2 -4ax 与x 轴交于另一点A ，E （0，-3）， ED ∥x 轴交抛物线与C 、D ，且OC=10 （1）求抛物线的解析式 （2）点P在抛物线的对称轴上，且在直线CD的上方，若∠EPC=∠EOC，且点P到两坐标轴的距离不相等，EP交x轴于T，点H是线段PT上一动点，点H到y轴的距离为n，到x轴的距离为m，求m与n的函数关系式，并求自变量n的取值范围。 （3）如图2，点S为抛物线的顶点，过O，S两点的圆的圆心O'在y轴负半轴上，⊙O'交对称轴于另一点B，过O作∠FOG=∠OO'B，将∠FOG绕O点在第一象限内旋转，使OF、OG 分别交对称轴和直线O'B于K，Q，问：BK-BQ的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。 5、如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与x轴的负半轴交于点C， （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。 （2）设（1）中的抛物线的顶点为M，试判断直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由。（3）过原点O作直线BC的平行线OG与直线MC相交于点G，连AG，求出点G的坐标，并证 明AG⊥MC。 压轴题参考答案 1、（1）y=x2-2x-3 （2）作CG ⊥对称轴于G ，对称轴交x 轴于F ，设EG=m ，则EF=3-m ，AF=2，CG=1，证△CEG ∽△AFE ， 2m =m -31 ，m 1=1，m 2=2（舍去），∴E （1，-2），直线AE 的解析式为：y=-x-1 联立? ??--=--=3212 x x y x y 得S （2，-3），证EF=AF=2，∠FAE=450 ，作PH ⊥x 轴于H ，则PH=AH=x+1，PA 2 =PH 2 +AH 2 ，y=2(x+1)2 =2x 2 +4x+2（-1≤x ≤2） （3）作QE ⊥AM 于E ，QF ⊥BM 于F ，证∠QHE=∠QNF ，△QHE ∽△QNF ， QN QH =QF QE ，证∠MAB=∠MBA ，△QAE ∽△QBF ， QF QE =BQ AQ =3 2 ∴QN QH =32 2、（1）y= 31x 2 -3 2 x （2）易求E （3，1），作OB ⊥OE 交直线EF 于B ，作BC ⊥y 轴于C ，证OB=OE ，△OAE ≌△OBC ∴B （-1，3），直线BE 的解析式为：y=-21x+25，F （0，25），S=xy=x(-21x+25)=-21x 2+2 5 x （0﹤x ≤3） （3）作EK ⊥OE 交于K ，证∠EON=∠MKE ，∠ONE=∠OME ，△OEN ∽△KEM ，KM ON =KE OE =tan ∠OKE ，作EG ⊥x 轴于G ，tan ∠EOG= OG EG =3 1 =tan ∠OKE ，在Rt △OEG 中，OE=10，∴KE=310 在Rt △OKE 中，OK=10，∵KM=30N ，∴30N-OM=KM-OM=KO=10 3、（1）y=- 6 1 x 2 + 6 5 x+4 （2）由y=- 61x 2+6 5x+4知：y 最大= 24121 ，AB=11 易证：∠ACP=∠FPB ，由抛物线对称性知∠CAO=∠FBP ，故：△APC ∽△BEP ，AP BF =AC x 即x y -1156 =5 x ， ∴y= 6 1(11-x)x=- 6 1x 2 + 6 11 x(0< x<11)(y 最大 = 24 121 ) 该抛物线相当于把原抛物线向右平移了3个单位。 （3）设PG 交于y 轴于Q ，易求A （-3，0）、N （0，3K ）、G （316 ，0）、Q （0，k 316）、D （0，-4） 易证： OG OQ =-k 1，ON OA =-k 1，∴OG OQ =ON OA ，△OQG ∽△OAN 证∠NPQ=∠QOG=900 ，OD 2 =OA ·OG ，∠ADG=900 ，∴AD 2 =AO ·AG=AP ·AN ∴△APD ∽△ADN ∴∠APD=∠ADN ∴∠DPN=∠ADO ∴∠APM=∠ADO ∴tan ∠APM=tan ∠ADO= 4 3 4、（1）y=x 2 -4x （2）设OC 交EP 于M ，证△OEM ∽△PCM ，△OPM ∽△ECM ，∠OCP=∠ OEP ，∠POC=∠PEC ，∴∠POC+∠OCP=900，∠OPC=900 （或当OP ⊥PC 时，O 、P 、C 、E 四点 共圆，满足条件，下同） 设对称轴交OA 于N ，交CD 于F ，证△OPN ∽△CPF ， PN CF =ON PF ，设PF=x ，则x 31=2 x ，x 1=1，x 2=2，∴P 1（2，-2）（舍去），P 2（2，-1）， ∴直线EP:y=x-3，∴T （3，0）， ∵H （n,-m ），∴n-3=-m ，∴m=-n+3（2≤n ≤3） (3)设对称轴交x 轴于H ，作O ′M ⊥对称轴于M ，易求S （2，-4），设OO ′=R= SO ′ HM= OO ′=R ，O ′M=2，MS=4-R ，在Rt △O ′MS 中，22 +(4-R)2 =R 2 ，R= 25，MS=4-25=2 3 =BM ，HB=1，作ON ⊥O ′B 于N ，证OB 平分∠NBH ，△OBN ≌△OBH ，BN=BH ，ON=OH ，证∠FOG= ∠OO ′B=∠KBQ ，∠OKB=∠OQB ，△OKH ≌△ONQ ， ∴BK-BQ=BN+BH=2BH=2（定值） 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3 二次函数与四边形 一．二次函数与四边形的形状 例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）； 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时，PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0) 7 练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x= A(6,0) x 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式； （2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 . 2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ， 使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 二次函数综合训练 6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出 发，以每秒 向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点， 形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面 积为 运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐 标．（ 1 分） 2）当 0 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
初三.二次函数知识点总结
九年级数学《二次函数》综合练习题及答案
初三数学 二次函数的大题
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
中考二次函数大题综合训练(附答案)
二次函数经典例题及答案
二次函数知识点总结及典型题目