九年级数学-二次函数几种解析式的求法
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二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考
试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函
数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2
+bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2
-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax 2
+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2
+bx+c. 二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x 2
+8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2
+8x-9
的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21
∴y=21x(x-3),即 y=x
x 23
2
12 . 三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2
+k.在本题中可设y=a(x+1)2
+4.
再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-,
4)1(21
2++x 即y=-.27
2
12+
-x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型
例 4 二次函数y=x 2
+bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函
数
,122
+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析 逆用平移分式,将函数y=x 2
-2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。
∴y=x
3)3(2
2
--=++x c bx =x .662
+-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型
例 5 已知二次函y=ax 2
+bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。
分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=a
?就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2
+8x-6. 六、识图型
例 6 如图1, 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212
其中一条的顶点为P ,
另一条与X 轴交于M 、N 两点。
(1)试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点? (2)求两条抛物线的解析式。
解 (1)抛物线y=c
x b x +++)2(212
与x 轴交于M ,N 两点(过程从略); (2)因y=d
x b x +-+)2(212
的顶点坐标为(0,1),
∴b-2=0,d=1, ∴b=2.
∴Y=1212
+x .
将点N 的坐标与b=2分别代入y=2
21x +(b+2)x+c 得c=6. ∴y=2
21x
+4x+6
七、面积型
例 7 已知抛物线y=x c bx ++2
的对称轴在 y 轴的右侧,且抛物线与 y 轴交于Q (0,-3),
与x 轴的交点为A 、B ,顶点为P ,ΔPAB 的面积为8。求其解析式。
解 将(0,-3)代入y=c bx x ++2
得 c=-3.
由弦长公式,得
122
+=b AB
点P 的纵坐标为4122
b --
由面积公式,得
.841212212
2=--?+b b
解得.2±=b
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.
所以解析式为y=322
--x x
八、几何型
例 8 已知二次函数y=2
x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其解析式。
解 由弦比公式,得AB=
4)42(42-=--m m m
顶点C 的纵坐标为-4)4(2
-m
∵ΔABC 为等边三角形
∴4
321
4)4(2-?=--m m
解得m=4,32±故所求解析式为 y=,344)324(2
+++-x x
或y=
344)324(2-+--x x 九、三角型
例 9已知抛物线y=c bx x ++2
的图象经过三点(0,2512
)、(sinA ,0)、(sinB ,0)且
A 、
B 为直角三角形的两个锐角,求其解析式。 解 ∵A+B=900
,∴sinB=cosA.
则由根与系数的关系,可得
??
?=?-=+c A A b A A cos sin cos sin
将(0,2512)代入解析式,得c=.
2512
(1)2)2(2
?-,得
,125242=-
b ∴
57±=b ∵-b ,0?∴b=-57
所以解析式为y=2512572+-
x x
十、综合型
例 10 如图2,已知抛物线y=-q px x ++2
与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点, 若∠ACB=900
,且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2,求其解析式.
解 设A ,B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ?=? 由ΔAOC ~ΔCOB ,可得OC 2
=OA ·OB , ∴q 2
=q 解得q 1=1,q 2=0(舍去),
又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2
=-OB OC
OA OC
即
2
1
1
2
1
=
-
-
X
X
∴x1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2 所以解析式为y=-x2+2x+1
待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(提高)
【巩固练习】
一、选择题
1. 对于任何的实数t,抛物线 y=x2 + (2-t) x + t总经过一个固定的点,这个点是 ( )
A. (l, 3)
B.(-l, 0)
C.(-1, 3)
D. (1, 0)
2.如图所示为抛物线2
y ax bx c
=++的图象,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC =1,则下列关系中正确的是()
A.1
a b
+=- B.1
a b
-=- C.2
b a
< D.0
ac<
3.在平面直角坐标系中,先将抛物线22
y x x
=+-关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
A.22
y x x
=--+ B.22
y x x
=-+- C.22
y x x
=-++ D.22
y x x
=++ 4.老师出示了小黑板上题后.小华说:过点(3,0);小彬说:过点(4,3);小明说:a=1,小颖说:
抛物线被x轴截得的线段长为2,你认为四个人的说法中,正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.将抛物线2
21216
y x x
=-+绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是( )
A.2
21216
y x x
=--+ B.2
21216
y x x
=-+-
C.2
21219
y x x
=-+- D.2
21220
y x x
=-+-
6.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是( ) 已知抛物线23
y ax bx
=++与x轴
交于(1,0),试添加一个条
二、填空题
7.已知二次函数的图象经过原点及点
11,24??
-
- ???
,且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为_ _______.
8.已知二次函数对称轴为x =2,且在x 轴上截得的线段长为6,与y 轴交点为(0,-2), 则此二次函数的解析式为 . 9.抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标为x ,纵坐标y 的对应值如下表:
x … -2 -1 0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中正确的是__ ______.(填写序号)
①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0);②函数2
y ax bx c =++的最大值为6; ③抛物线的对称轴是1
2
x =
;④在对称轴左侧,y 随x 增大而增大. 10.某同学利用描点法画二次函数,2
y ax bx c =++ (a ≠0)的图象时,列出的部分数据如下表:
x 0 1 2 3 4 y
3
-2
3
经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出二次函数的解析式:________.
11.如图所示,已知二次函数2
y x bx c =++的图象经过点(-1,0),(1,-2),该图象与x 轴的另一个交点为C ,则AC 长为________.
第11题 第12题
12.在如图所示的直角坐标系中,已知点A (1,0),B (0,-2),将线段AB 绕点A 按逆时针方向
旋转90°至AC .
(1)点C 的坐标为 ; (2)若抛物线2
122
y x ax =-
++经过点C ,则抛物线的解析式为 .
三、解答题
13.已知2
y ax bx c
=++(a≠0)经过A(-3,2),B(1,2)两点,且抛物线顶点P到AB的距离为2,
求此抛物线的解析式.
14.有一个二次函数的图象.三位同学分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3,请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式.
15.已知,如图所示,抛物线2
y ax bx c
=++与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0),与y轴相交于
点C(0,3).
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若点
7
,
2
D m
??
?
??
是抛物线2
y ax bx c
=++上的一点,请求出m的值,并求出此时△ABD 的面积.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A;
【解析】把 y=x2 + (2-t) x + t化为y=x2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数t,
抛物线 y=x2 + (2-t) x + t总经过一个固定的点,所以与t的值无关,
即1-x=0,x=1,代入 y=x 2
+2x+(1-x)t,得y=3,过定点(1,3),故选A.
2.【答案】B ;
【解析】由图知A(-1,0),C(0,1)代入2
y ax bx c =++中得0,
1,
a b c c -+=??=? ∴ a-b =-1.
3.【答案】C ;
【解析】先将抛物线2
2y x x =+-关于x 轴作轴对称变换,可得新抛物线为2
2y x x -=+-,
再将抛物线为2
()()2y x x -=-+--,整理得2
2y x x =-++.
4.【答案】D ; 【解析】由题意知22b
a
-
=,4b a =-.又30a b ++=,所以1a =,4b =-, 即解析式为2
43y x x =-+,再一一验证.
5.【答案】D ;
【解析】此题容易误选A 、B ,简单地认为改变。的符号,抛物线开口向下,或改变函数值的正负即可.
将抛物线2
21216y x x =-+绕它的顶点旋转180°,所得的抛物线顶点坐标、对称轴不变,只是开口方向向下.因此,由2
21216y x x =-+化为2
2(3)2y x =--,因而所求抛物线解析式22(3)2y x =---.即
221220y x x =-+-.
6.【答案】B ;
【解析】∵ AB =BC =CD =DA =1,AE =BF =CG =DH =x ,
∴ AH =DG =CF =BE =1-x . ∴ 1
(1)2
AEH BEF CFG DHG S S S S x x ====-△△△△, ∴ 21
14(1)2212
S x x x x =-?
-=-+, 又0≤x ≤1,其图象应为开口向上,自变量从0到1之间的抛物线部分,故选B . 二、填空题
7.【答案】2
y x x =+或211
33
y x x =-
+; 【解析】抛物线经过点(1,0)或(-1,0). 8.【答案】 228
255
y x x =
--;
【解析】由对称轴x =2和抛物线在x 轴上截得的线段长为6,可知抛物线与x 轴的两个交点
为(-1,0),(5,0),然后设交点式易求解.
∵ 抛物线的对称轴为x =2,且在x 轴上截得线段长为6, ∴ 抛物线与x 轴两交点为(-1,0),(5,0). 设二次函数解析式为y =a(x+1)(x-5) (a ≠0). 将点(0,2)代入上式得-2=a(0+1)(0-5),
∴ 25a =
.因此二次函数解析式为2
(1)(5)5y x x =+-. 即228
255
y x x =--.
9.【答案】①③④ ;
【解析】由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为12x =
,由表可知在1
2
x <时y 随x 的增大而增大,与x 轴的一个交点为(-2,0),则另一个交点为(3,0).当1
2
x =时,
y 值最大,故②错.
10.【答案】2
43y x x =-+;
【解析】先描点,根据二次函数的图象找出错误的一组数据,再利用表内的数据的特点,
选用12()()y a x x x x =--求解析式较简便.
由描点知,表内2x =,2y =-是错误的.设12()()y a x x x x =--(a ≠0), 由表知(1)(3)y a x x =--,又点(0,3)在抛物线上,所以3=a (0-1)(0-3),所以1a =. 因此(1)
(3)y x x =--,即243y x x =-+.
11.【答案】3;
【解析】由2
y x bx c =++经过点(-1,0),(1,-2)可得
10,12,b c b c -+=??++=-? ∴ 1,2,
b c =-??
=-? ∴ 2
2y x x =--. 其对称轴为1
2
x =
,由对称性可求C 点坐标为(2,0),∴ 2(1)3AC =--=. 12.【答案】(1)(3,-1);(2)211
222
y x x =-++.
【解析】(1)过点C 作CD ⊥x 轴,垂足为D ,在△ACD 和△BAO 中,
由已知有∠CAD+∠BAO =90°, 而∠ABO+∠BAO =90°,
∴ ∠CAD =∠ABO ,
又∵ ∠CDA =∠AOB =90°,且由已知有CA =AB ,
∴ △ACD ≌△BAO ,∴ CD =OA =1,AD =BO =2, ∴ 点C 的坐标为(3,-1); (2)∵ 抛物线2
122y x ax =-
++,经过点C(3,-1), ∴ 2113322a -=-?++,解得1
2
a =,
∴ 抛物线的解析式为211
222
y x x =-++.
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ A(-3,2),B(1,2)的纵坐标相同, ∴ 抛物线对称轴为x =-1.
又∵ 顶点P 到AB 距离为2, ∴ P(-l ,0)或P(-1,4).
故可设抛物线解析式为2
(1)y a x =+(a ≠0)或2
(1)4y a x =++(a ≠0).
将B(1,2)分别代人上式得12a =或12
a =-. ∴ 21(1)2y x =
+或21
(1)42
y x =-++. 14.【答案与解析】 答案不唯一.1(3)(5)5y x x =
--或1(3)(5)5y x x =---或218
177y x x =-+ 或218
177
y x x =-+-.
设12()()y a x x x x =--(a ≠0),由甲所述知128x x +=,由乙所述,知1x ,2x 均为整
数,
不妨取11x =,则27x =,∴ (1)(7)y a x x =--,由丙所述知
211()732x x a -?=,解得17a =,∴ 1
(1)(7)7
y x x =--,即218
177
y x x =-+.
15.【答案与解析】
(1)由已知得0,930,3,a b c a b c c ++=??++=??=? 解之1,4,3.a b c =??=-??=?
∴ 2
43y x x =-+.
(2)∵
7
,
2
D m
??
?
??
是抛物线243
y x x
=-+上的点,∴
5
4
m=,
∴
155
2
244
ABD
S=??=
△
.
函数及其图象
例 1.二次函数性质的应用
例 2.利用二次函数性质求点的坐标
例 3.求二次函数解析式
例 4.求二次函数解析式
二、同步测试
三、提示与答案
--------------------------------------------------------------------------------例 6.已知抛物线y=a x2+b x+c如图所示,对称轴是直线x=-1
(1)确定 a.b.c.b2-4a c的符号,
(2)求证a-b+c<o;
(3)当x取何值时,y随x值的增大而减小。
解:(1)由抛物线开口向上,得出a>0,由抛物线与y轴交点坐标为(O,C),而此点在x轴下方,得出c<0,又由抛物线的对称轴是x=-1,在y轴左侧,得出b与a同号∴b>0。
抛物线与x轴有两个交点,即a x2+b c+c=0有两个不等的实根,∴b2-4a c>0
(2)当x=-1时,y=a-b+c<0
(3)当x<-1时,y随x值的增大而减小。
例7.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段A B长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式(2)若此函数图象上有一点P,使ΔP A B的面积等于12个平方单位,求P点坐标。
分析:由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的对称性,又由抛物线在x轴上截得线段A B的长是4,可知其与x轴交点为(1,0),(5,0)
解:(1)∵当x=3时y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3,-2).∴设二次函数解析式为
y=a(x-3)2-2
又∵图象在x轴上截得线段A B的长是4,∴图象与x轴交于(1,0)和(5,0)两点
∴a(1-3)2-2=0∴a=
∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+
(2)∵ΔP A B的面积为12个平方单位,|A B|=4
∴×4×|P y|=12∴|P y|=6∴P g=±6
但抛物线开口向上,函数值最小为-2,∴P y=-6应舍去,∴P g=6又点P在抛物线上,
∴6=x2-3x+
x1=-1,x2=7
即点P的坐标为(-1,6)或(7,6)
说明:此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1,x2,运用公式|x1-x2|=,会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标,比较简便。
例8.如图,矩形E F G H内接于ΔA B C。E、F在A C边上H、G分别在A B、B C边上,A C=8c m,高B D=6c m,设矩形的宽H E为x(c m)。试求出矩形E F G H的面积y(c m2)与矩形E F G H的宽x(c m)间的函数关系式,并回答当矩形的宽取多长时,它的面积最大,最大面积是多少?
解:∵四边形E F G H是矩形
∴H G∥A C
∴ΔA B C∽ΔH B G
设B D交H G于M
则B D与B M分别是ΔA B C和ΔH B G的高。
∴
∵H G∥A C,
∴M D=H E=x,B M=6-x
∴,
∴H G=
∵y=S矩形E F G H=H E*H G
∴y=x*
整理得y=-x2+8x
∵B D=6
∴自变量x的取值范围是0<x<6
∵x2的系数为-<0,
∴y有最大值
当x=-=3时,
y最大值==12
∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0<x<6),当它的宽为3c m时,矩形E F G H面积最大,最大面积为12c m2。
例9.二次函数y=a x2+b x-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y轴相交于点B,设x1,x2是方程a x2+b x-5=0的两个根,且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A,
(1)求二次函数的解析式
(2)求原点O到直线A B的距离
解(1)如图
∵-=3∴-=6
又x1+x2=-=6
x1*x2=-
由已知,有x12+x22=26,
∴(x1+x2)2-2x1x2=26
即(-)2+=26,=26-36
解得a=-1
∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4
(2)∵O B=5,O C=4,A C=3
∴A B==3
又O A==5
∴ΔA O B为等腰三角形,作O D⊥A B于D,∴B D=
∴O D=,即原点O到直线A B的距离为
三、同步测试:
选择题:
1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点,那么P点坐标是()
(A).(-2,-1)(B)(-3,-1)(C)(-3,-2)(D)(-4,-2)
2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上,则a与b的关系是()
(A)a=b(B)a=-b(C)a=|b|(D)|a|=b
3.点P(x,y)在第二象限,且|x|=2,|y|=3,则点P关于x轴对称点的坐标为()
(A)(-2,3)(B)(2,-3)(C)(-2,-3)(D)(2,3)
4.函数y=中,自变量x的取值范围是()
(A)x≤2(B)x<2(C)x≠2(D)x>2
5.函数y=中,自变量x的取值范围是()
(A)x>-2且x≠1(B)x≥-2且x≠1
(C)x≥-2且x≠±1(D)x≥-2或x≠±1
6.在下列函数中,成正比例函数关系的是()
(A)圆的面积与它的周长
(B)矩形面积是定值,矩形的长与宽
(C)正方形面积与它的边长
(D)当底边一定时,三角形面积与底边上的高
7.函数y=k(x-1)与y=(k<o)在同一坐标系下的图象大致如图()
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d= a ? 就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1, 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ,
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
二次函数与四边形 一.二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市)如图,抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点(A点在 B 点左侧),直线l 与抛物线交于 A、C两点,其中 C 点的横坐标为 2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P 是线段AC上的一个动点,过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段PE 长度的最大值;A (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F,使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 例 1.解:(1)令y=0,解得x =-1或x = 3 ∴A(-1,0)B(3,0); 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3,∴ C(2,-3)∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 (2)设P 点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1), E((x, x -2x -3)∵P 点在E 点的上方,PE= (-x -1)- (x - 2x - 3)= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时,PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7,0),F4(4- 7,0) 7 练习1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A(6,0)和B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形? ②是否存在点E,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E x= A(6,0) x
22.1二次函数的图像和性质(一) 一、学习目标 1.知识与技能目标: (1)理解并掌握二次函数的概念; (2)能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式; (3)能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 2.难点:理解二次函数的概念。 三、教学过程 (一)创设情境、导入新课: 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数?它们的一般形式是怎样的? (二)自主探究、合作交流: 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 问题4:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论:经化简后都具有的形式。 问题5:什么是二次函数? 形如。 问题6:函数y=ax2+bx+c,当a、b、c满足什么条件时,(1)它是二次函数? (2)它是一次函数?(3)它是正比例函数?
(三)尝试应用: 例1. 关于x 的函数 是二次函数, 求m 的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2. 已知关于x 的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7。求这个二次函数的解析式.(待定系数法) (四)巩固提高: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x -1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x - 2+x . 2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径R之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛,每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. (五)小结: 1.二次函数的一般形式是 。2.会用 法求二次函数解析式。 (六)作业设计 22.1二次函数 y=ax 2的图像和性质(二) 一.学习目标: m m 2 21)x (m y --=
远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间:120分钟,满分:150分) 姓名: 成绩: 一、选择题(每题5分,共50分) 1. sin30°值为( ) A.1/3 B.1/2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线 x=-1,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是抛物线上的点,P 3(x 3,y 3)是直线 上的点,且-1 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是 ][ A.6 m B.8m C. 10 m m.12 D 2,若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下,滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s):4s,则此人下降的高度为坡底的时间为][ A.72 m 36 .m BC.36 m m.18D2 +50x-500,则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装,若这种童装每天获利y(元获得最大利润,销售单价为][ A.25元 B.20元 C.30元 元40D.7.中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好从2.4米高(球门距横梁底侧高)入2 +bx+c所示,则下列结论正确的是网.若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a00;④③;;①a<② 1.图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B 为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC,设AB=x. (1)求x的取值范围; (2)若△ABC为直角三角形,求x的值; (3)探究:△ABC的最大面积? 2.如图,抛物线y=1 3 x2+bx+c经过A(-3,0),B(0,-3)两点,此抛物线的对称轴为 直线l,顶点为C,且l与直线AB交于点D. (1)求此抛物线的解析式; (2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标; (3)连接BC,求证:BC=CD. 2.已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2) (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请 求出点P的坐标; (3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重 合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. 4.如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60度.从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这 里规定:点和线段是面积为O的三角形),解答下列问题: (1)点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒; (2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形 时x的值 是________秒; (3)求y与x之间的函数关系式. 5.正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE=1,OD=4,抛物线y=ax2+bx-4过A、D、F三点. (1)求抛物线的解析式; (2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线 交边AD于M,交BC所在直线于N,若S四边形AFQM=3 2 S△FQN,则 判断四边形AFQM的形状; (3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且AP=PH?若存在,请给予严格证明;若不存 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3, y3)是直线上的点,且-1 二次函数 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点) ,(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2,且0+-c b a , 则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是 532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( ) x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线() A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是() A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示,若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =,b a P- =4,则 () A. 0 > M,0 > N,0 > P B. 0 < M,0 > N,0 > P C. 0 > M,0 < N,0 > P D. 0 < M,0 > N,0 < P 二、填空题: 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式,则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点,那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -,则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质:_______________. 14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点: 甲:对称轴是直线4 = x; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.知识与技能目标: (1).使学生理解并掌握二次函数的概念 (2).能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式 (3).能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式,体会函数的模型思想 2.过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”,采用探究、讨论等方法进行。 3.情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解,向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2.难点:理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 (1).什么是变量,常量? (2).函数的定义是什么,有什么表现形式? (3) 函数的图象怎么构成,如何作函数的图象? 2、合作学习,探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果 每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数 称:a 为二次项系数,ax 2叫做二次项;b 为一次项系数,bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例:y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当,是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: (1)正方形边长为x (cm ),它的面积y (cm2)是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长增加x 厘米,宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式. 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时,函数为二次函数。当解得,22 =∴=m m 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0 人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结 一、相关概念及定义 1 二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: (1)等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. (2)a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数各种形式之间的变换 1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 2 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2; ③()2 h x a y -=;④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法 1 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 4 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c , 、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 2 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2ax y =的性质 六、二次函数2y ax c =+的性质 初三数学培优卷:二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点: 开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. ★★二次函数y=ax 2 +bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 一般式:y=ax 2 +bx+c ,三个点 顶点式:y=a (x -h )2 +k ,顶点坐标对称轴 顶点坐标(-2b a ,244ac b a -). 顶点坐标(h ,k ) ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴 x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=-2b a <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出. 交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物 线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ 4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线 21y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2 +--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数 2 45(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______ 时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠)时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222 --=x x y 变为n m x a y +-=2 )(的形式,则n m ?=_____。 ★17.已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为(2,3)求解析式?(讲解对称性书写) 人教版九年级数学二次函数 1. 抛物线 y (x 2) 2 3 的对称轴是( ) A. 直线 x 3 B. 直线 x 3 C. 直线 x 2 y D. 直线 x 2 2. 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如右图,则点 M ( b, c ) 在( ) O x a A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 y ax 2 bx c ,且 a 0 , a b c 0 ,则一定有( ) A. 2 4ac 0 B. b 2 0 C. 2 4ac 0 2 ≤ 0 b 4ac b D. b4ac 4. 把抛物线 y x 2 bx c 向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的解析式是 y x 2 3x 5 ,则有( ) y A. b 3, c 7 B. b 9 , c 15 O x C. b 3, c 3 D. b 9 , c 21 5. 已知反比例函数 y k 的图象如右图所示,则二次函数 y 2kx 2 x k 2 的图象大致为 x ( ) y y y y O x O x O x O x A B C D 6. 下 面 所示 各图 是在 同一直 角 坐标 系内 ,二 次函数 y ax 2 (a c)x c 与 一次 函数 y ax c 的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) 1 y y y O x O x O x A B C 7.抛物线 y x22x 3 的对称轴是直线() A.x2 B.x 2 C.x1 8.二次函数 y( x1) 2 2 的最小值是() A.2 B. 2 C.1 9.二次函数 y ax 2bx c 的图象如图所示,若M4a2b 则() A.M0 , N0 , P0 B.M0 , N0 , P0 C.M0 , N0 , P0 D.M0 , N0 , P0 二、填空题: 10.将二次函数y x2 2 x3配方成 y O x D D.x 1 D. 1 c N a b c , P 4a b, y -1O12x y(x h) 2k 的形式,则 y=______________________. 11.已知抛物线y ax 2bx c 与 x 轴有两个交点,那么一元二次方程 ax 2bx c0 的根的 情况是 ______________________. 12.已知抛物线y ax 2x c 与 x 轴交点的横坐标为1,则a c =_________. 13.请你写出函数y(x1)2与 y x2 1 具有的一个共同性质:_______________. 14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点: 甲:对称轴是直线 x 4 ; 乙:与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与 y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 15.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函 2初三数学二次函数知识点总结
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