专题7 圆锥曲线的最值（范围）问题
圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。
关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：○1利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；○2利用基本不等式或函数最值问题解决。
方法1、利用定义法和几何关系求最值
解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。 经典例题：
例1.（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A (-2，1)，B (-2，4)，点P 是满足1
2
λ=
的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E ：y 2=4x 上的动点，Q
在直线x =-1上的射影为H ，则1
2
++PB PQ QH 的最小值为___________.
【答案】()2
224x y ++=
【解析】（1）利用直译法直接求出P 点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将
1
2
PB 转化为P 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得1
2
++PB PQ QH 的最小值．
设P （x ，y ），由阿氏圆的定义可得
||1
||2
PA PB =， 即2222
(2)(1)1,(2)(4)4
x y x y ++-=++-化简得()2
224x y ++=
||1||2PA PB =，则1
||||2PA PB = 设(1,0),F 则由抛物线的定义可得||||QH QF = 1
2
PB PQ QH PA PQ QF AF ∴++=++≥=当且仅当,,,A P Q F 四点共线时取等号， 1
2
PB PQ QH ∴
++ 故答案为：()2
224x y ++=. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．
例2、（2020年成都市外国语实验学校高三二诊模拟12题）已知点P 在离心率为2的双曲线22
221x y a b
-=的
左支上，(0,A ，F 是双曲线的右焦点，若PAF ?周长的最小值是20，则此时PAF ?的面积为（ ）
A
． B ．C ．D ．18
【答案】B
【解析】首先由双曲线的定义可知PAF ?周长的最小值等于12AF AF a ++，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线1AF 与双曲线联立即可求出P 点的坐标，最后利用11PAF AF F PF F S S S ???=-即可求出面积.
设双曲线的左焦点为1F ，由题知：12PF PF a -=，12PF a PF =+.
PAF ?周长1122AP PF AF AP PF AF a AF AF a =++=+++≥++.
当且仅当A ，P ，1F 三点共线时取等号.所以1220AF AF a ++=.
所以222
220
2a c a c a b
?=?
?=??=+??
，解得24a b c =??=??=?22
1412x y -=.
1AF k =
=1AF l
：y =+
. 22
22
13120412x y x y ?-=??-+-=?
?=+?
,解得52x =-
，代入y =+
，得y =所以P
的坐标为5(2-
.11118822PAF AF F PF F S S S ???=-=???=故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，同时考查了直线与双曲线的位置关系，属于难题.
例3、（2021江苏高三期中）已知椭圆22
12516
x y +=内有两点A （1，3），B （3，0），P 为椭圆上一点，则PA PB
+的最大值为______. 【答案】15
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B （3，0）和'30B -（，）
.因此连接''PB AB 、，根据椭圆的定义得2'10'PA PB PA a PB PA PB +=+
-=+-（）（）.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P 在'AB 延长线上时，PA PB +=10'15AB +=达到最大值，从而得到本题答案.
【解析】∵椭圆方程为22
12516
x y +=，∴焦点坐标为B （3，0）和'30B -（，）
连接''PB AB 、，根据椭圆的定义，得'210PB PB a +==，可得10'PB PB =-
因此10'10'PA PB PA PB PA PB +=+-=+-（）（）
''PA PB AB -≤
||||101010515PA PB AB '∴++==+=
当且仅当点P 在'AB 延长线上时，等号成立
综上所述，可得PA PB +的最大值为15
【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到10'PA PB PA PB +=+-（）是解题的关键. 例4.（2018年成都市高三模拟16题）已知F 是双曲线()22
2:401x C y a a
-=>的右顶点到其一条渐近线的
距离等于
3
，抛物线E :22(0)y px p =>焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线上的动点M 到直线:12:4360,:1l x y l x -+==-的距离之和的最小值为 ．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为2x
y a
=±
，右顶点(),0a 3，
2
3
14a =
+34a =，即有1c =。
由题意可得
12
p
=，解得2p =，即有抛物线的方程为24y x =， 如图，过点M 作MA ⊥l 1于点A ,作MA ⊥准线l 2：x =-1于点C ，连接MF ， 根据抛物线的定义得MA +MC =MA +MF ,设M 到l 1的距离为d 1，M 到l 2的距离为d 2 则d 1 + d 2=MA +MC =MA +MF ,易知M,A,F 三点共线时，MA +MF 有最小值。 由焦点F （1,0）到直线l 1的距离为2，即MA +MF 的最小值为2 。
方法2、利用均值不等式或函数最值求最值(范围)
方法技巧:合理引入变量（长度，角度，斜率等）根据已知条件建立函数关系求最值（范围）或利用均值不等式求最值（范围）。
例1．（2017新课标Ⅰ12题 ）已知F 为抛物线C ：2
4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，
直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A
【解析】解法一：由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y ，此时直线1l 方程为1(1)y k x =-，
联立21
4(1)y x y k x ?=?=-?，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212
124k k += 同理得 2
2342
2
24
k x x k ++=由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++ 22
12222222
121212
24244416482816k k k k k k k k ++=++=++=≥
当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号．故答案选A
解法二：设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知
1
1cos ()
()
22AF GF AK AK AF p p GP p θ?
??+=??=?????=--= ?????
几何关系抛物线的定义得到：cos AF P AF
θ?+=
1cos P AF θ=
-；1cos P BF θ=+；22221cos sin P P
AB θθ==
-
又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为,2
π
θ+2222,cos sin 2p p
DE πθθ=
=?
?+ ?
?
? 而2
4y x =即：p =2；所以2222222416
16,sin cos sin cos sin 2p p AB DE θθθθθ
+=
+==≥
当,4
π
θ=
取等号，即AB DE +最小值为16.故选A
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.
例2、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形ABCD 中，AB CD 且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值为（ ）
A B C ．2 D 【答案】B
【解析】在等腰梯形ABCD 中，
2222cos BD AD AB AD AB DAB ∠=+-??＝14+－()2121x ???-＝14x +,()0,1x ∈
由双曲线的定义可得111141,1,2141x a c e x +-=
==
+-,
由椭圆的定义可得
222,a c x e =
==
则
12e e +=
12．
令()
121411,2t e e t t ??
=∈+=
+ ???
在()
1,上单调递减，
所以
12112e e +>
?+=B ．
例3、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点
()221112211:10x y C a b a b +=>>()22
2222222
:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F
是曲线与的一个公共点，
，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ） A ．
B ．4
C ．
D ．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为， 令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆定义，②
又∵，∴，③ ，得，④
将④代入③，得， ∴，故选A ． 例4．（2018年衡水中学12题）已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，
1AA l ⊥于点1A ，且四边形1AA CF 的面积为63()1,0K -的直线'l 交抛物
线于M ，N 两点，且(]()1,2KM KN λλ=∈，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，则点G 的横坐标0x 的取值范围为（ ） A ．133,4??
???
B ．92,4?? ???
C ．93,2?? ???
D ．11,72?? ???
【答案】A
【解析】过B 作1BB l ⊥于1B ，设直线AB 与l 交点为D ， 由抛物线的性质可知1AA AF =，1BB BF =，CF p =， 设BD m =，BF n =，则1113BB BD BF AD AA AF ===，即1
43
m m n =+，∴2m n =． 又
1BB BD CF DF =
，∴23n m p m n ==+，∴23
p n =，∴2DF m n p =+=，∴130ADA ∠=?， 又132AA n p ==，CF p =，∴123A D =，3CD =，∴13A C =，
P 1C 2C 1e 2e 1C 2C 12PF PF ⊥22
124e e +9
252
2c 12a 22a P 1222PF PF a =-1212PF PF a +=12PF PF ⊥2
2
2
124PF PF c +=22+①②2
222121244PF PF a a +=+222122a a c +=22222
2
2112
2222
1212
24559
422222a a c c e e a a a a +=+=++≥+=
∴直角梯形1AA CF 的面积为
()1
22
p p +=，解得2p =，∴24y x =， 设()11,M x y ，()22,N x y ，∵KM KN λ=，∴12y y λ=， 设直线:1l x my '=-代入到24y x =中得2440y my +=-，
∴124y y m +=，124y y =，∴()2
1212242x x m y y m =+-=-+，由以上式子可得()2
2
11
42m λλλ
λ
+=
=+
+，
由12λ<≤可得1
2y λλ=+
+递增，即有2944,2m ??∈ ???，即2
91,8m ??∈ ???
， 又MN 中点()221,2m m -，∴直线MN 的垂直平分线的方程为()
2221y m m x m -=--+，
令0y =，可得2013213,4x m ??
=+∈ ???
，故选A ．
例5．（2019成都七中二诊模拟12题）已知过点P （0，2）的直线l 与椭圆2
212
x y +=交于两个不同的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），记PA PB
λ=，则21
λλ+的取值范围是（ ）
A.（2，+∞）
B.（2，
103） C.（2，4） D. （2，10
3
]
【答案】D
12k +∵PA PB λ= ∴x 1=λx
例6．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124
F PF ∠=，则椭圆和双曲
线的离心率乘积的最小值为___________. 【答案】
2
【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ．由椭圆及双曲线定义用1a ，2a 表示出1||PF ，2||PF ，在△12F PF 中根据余弦定理可得到1a ，2a 与c 的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=， 112||
PF a a ∴=
+，212||PF a a =-，设12||2F F c =
，124
F PF
π
∠=
，则：
在△12PF F 中由余弦定理得，222
121212
124()
()2()()cos
4
c
a a a a a a a a π
=++--+-，
化简得：22
212(2(24a a c +=，即
22
12224e e
+=，
又
1212
1
22e e +，
∴1212e e ，即12
2
e e ， 即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为
2．故答案为：2
．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．
方法3、其他类型
技巧方法：利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式等，建立不等式构建最值或范围。
例1、（2017新课标1卷12题）设A ，B 是椭圆22
:
13x y C m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）.
A.
(][)0,19,+∞
B.([)9,+∞
C.(]
[)0,14,+∞
D.([)4,+∞
【答案】
【解析】因为在C 上存在点M ，满足120AMB ∠=，所以()max
120
AMB ∠.
当点M 位于短轴端点时，AMB ∠取得最大值. ① 当03m <<时，如图1所示，有120AMB ∠，则60,30
AMO MAO ∠∠，
所以()2
1
tan 33
m MAO ∠=
，解得01m <；
图1 图2 图3 ② 当3m >时，如图2示，有120AMB
∠，则60,
30
AMO
MAO ∠∠，
A
M
B
x
y
O
所以()2
tan 33
m MAO ∠=
，解得9m .
综上可得，的取值范围是
(][)0,19,+∞.故选A.
评注：先研究“椭圆()22
2
210x y a b a b
+=>>，,A B 是长轴两端点，M 位于短轴端点时，AMB ∠最大”这一结论.
如图3所示，因为AMB MBx MAx ∠=∠-∠，所以tan tan tan 1tan tan 1MB MA MB MA
k k MBx MAx
AMB MBx MAx k k -∠-∠∠=
=+∠?∠+?.
设()0MA
k t t =>，因为2
2MB MA
a k k b
?=-（中点弦的一个结论）
， 22
2
2222
2
2
2tan 1a a b b t
t ab t t AMB a c c b
a --+∠==-
-
- （当且仅当2
2
2a t b
=，即a t b =时等号成立，此时M 位于短轴端点处）.
例2．（2018衡水中学12题）已知双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=
>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C
上的任意一点，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A ，B 两点，若四边形PAOB （O
，且120PF PF ?>，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ．17,
,???
-∞+∞ ? ???
?? B
．3? ??? C ．217,
,??
?-∞+∞ ? ???
?? D ．? ??
【答案】
【解析】由题易知四边形PAOB 为平行四边形，且不妨设双曲线C 的渐近线:0OA bx y -=，:0OB bx y +=， 设点
(),P m n ，则直线PB 的方程为()y n b x m -=-，且点P 到OB 的距离为d =，
由()0y n b x m bx y ?-=-??+=??，解得22
bm n x b
n bm y -?
=???-?=
??，∴,22bm n n bm B b --?? ???，
∴
OB n =
-，∴222
2PAOB
b m n S
OB d b
-=?=
，
又∵2
2
21n m b
-=，∴2222b m n b -=，∴1
2
PAOB
S
b =，
又PAOB
S
=b =C 的方程为2
2
18
y x -=，∴3c =，∴()13,0F -，()23,0F ，
∴()13,PF m n =---，()23,PF m n =--，∴()()212·
330PF PF m m n =---+>， 即2
2
90m n -+>，又∵22
18n m -=，()
229810m
m -+->，解得
m >
或m < 例3
．（2020年绵阳市南山中学高三二诊模拟12题）已知点(3,2
A --
是抛物线C ：2
2(0)y px p =>准线上的一点，点F 是C 的焦点，点P 在C 上且满足PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A ．3 B
．
32
C
1
D ．
1
2
【答案】A
【解析】 由点A 在抛物线的准线上，所以362
p
p -
=-?=，所以抛物线的方程为212y x =， 所以抛物线的焦点(3,0)F ，准线方程为:3l x =-，
过点P 作准线的垂线，垂直为N ，由抛物线的定义可知PF PN =, 因为PF m PA =，则PF m PA
=
，当直线PA 与抛物线相切时，此时m 取得最小值，
设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(3)2
y k x +
=+， 联立方程组2(3){12y k x y x
=+=
，整理，由0?=，解得
k =，
此时直线的方程为(3)222
y x y x +
=+?
=+
由y x =
+
2
12y x =联立，解得点P ，
此时双曲线的焦点坐标为1(3,0),(3,0)F F -
，且过点P
根据双曲线的定义可知1222PF PF a a -=?==，
所以1a =，所以双曲线的离心率为3c
e a
=
= ，故选A 。 例4．（2020·全国高三月考）已知抛物线2
14
y x =的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，
M ，N 两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，若||83CD ，则直线l 斜率的最大值是（ ）
A
B ．2
C ．3
D
．【答案】A
【分析】设直线方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则12124,4,
x x k x x +=???=-?所以
1283
CD y y k =-==，
求解不等式即可得出答案.
【详解】因为抛物线2
4x y =的焦点(0,1)F ，所以设直线方程为1y kx =+，
由2244401x y
x kx y kx ?=?--=?
=+?，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则1212
4,4,x x k x x +=??
?=-?
所以
()121283CD y y k x x
=-=-==，
解得3k
，所以直线l 故选：A.
【点睛】本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.
例5．（2020·
全国高三专题练习）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是
[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则
清洁钢球的最大半径为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2.5 【答案】A
【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于y 的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解. 【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为r ，圆心为(0,1)r +， 圆方程为：2
2
2
(1)x y r r +--=代入双曲线方程2
2
1y x -=，
得2
(1)0,1,y r y r y y r -++=∴==，要使清洁球到达底部，1r ≤.故选:A
【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题. 例6．（2020·四川成都市·树德中学高三月考）已知圆2
2
:(3)(4)4C x y ++-=和两点(,0)A m -，(,0)B m .若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=?，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】B
【分析】由90APB ∠=?求出点P 的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出m 的最大值.
【详解】解：设(,)P x y 因为90APB ∠=?，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上，记该圆为圆M ， 即此时点P 的方程为222x y m +=，又因为点P 在圆C 上，故圆C 与圆M 有公共点，
故得到m 2m 2-≤
≤+||||||，解得：3m
7≤≤|| ，故max m 7=，故选B. 【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件90APB ∠=?转化为轨迹方程，从而解决问题.
课后训练
1.（2020年河北省高三模拟10题）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所
在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
1-
D.3
【答案】A
【解析】求出A 关于4x y +=的对称点A '
，根据题意，A C '. 设点A 关于直线4x y +=的对称点(),A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ， 根据题意，1A C '-为最短距离，先求出A '的坐标，
AA '的中点为3,22a b +??
???
，直线AA '的斜率为1，故直线AA '为3y x =-， 由34223
a b
b a +?+=???=-?，联立得故4a =，1b =
，所以A C '==
故11A C '-=，故选：A.
2、（2019年衡水中学高三模拟）
已知双曲线22221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B P
，为左支上的一个动点，若PBF △周长的最小值等于实轴长的3倍
，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
B ．
5
C D
【答案】A
【分析】先通过分析得到当且仅当'B P F ，，共线，PBF 周长取得最小值，且为2a + 可得
62a a +＝解方程即得解.
【解析】由题意可得00B b F c （，），（，），设'0F c （﹣，），
由双曲线的定义可得'2PF PF a ﹣＝，
'2PF PF a +＝， 'BF BF ＝
则BPF 的周长为|'2'2'2PB PF BF PB PF a BF BF a ＝，
+++++≥+
当且仅当'B P F ，，共线，取得最小值，且为2a +
由题意可得62a a +＝即2222242a b c c a +＝＝﹣，即2252a c ＝，
则c e a ==故选A
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
3、（2019年湖南省郴州市检测12题）已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,
点A 是椭圆M 与圆()
2
2
24:9C x y m +-=
在第一象限的交点, 且点A 到2F 的距离等于1
3
m .若椭圆M 上一动点到点1F 与到点C 的距离之差的最大值为2a m -,则椭圆M 的离心率为
A ．
13 B ．1
2
C D
【答案】B
【解析】设点P 为椭圆M 上的动点，
则122||||2||||2(||||)PF PC a PF PC a PF PC -=--=-+．
当2,,C P F 三点共线时，1||||PF PC -取得最大值2a m -，此时2||CF m =． 又2||||CA AF m +=，所以点A 是线段2CF 上靠近2F 的一个三等分点，
所以2()3A c
，代入椭圆方程，得22222()()
331c a b +=， 即2248199c a +=，解得12c a =，即1
2
e =，故选B ． 4、已知点()0,2R ，曲线()
()2
4:0C y px p =>，直线y m = (0m >且2m ≠)与曲线C 交于,M N 两点
，若RMN △周长 的最小值为2，则p 的值为( ) A.8 B.6
C.4
D.2
【答案】B
【解析】易知曲线C 是由两抛物线2y px =和2y px =-构成，如图，设MN 与y 轴的交点为D ，抛物线
2y px =-的焦点为F ,
连接,FM FR .即，则,04p F ??- ???,RMN △的周长()22244p p c MR MD MR MF RF ???
?=+=+-≥- ? ????
?,当
且仅当M,R,F
三点共线时取等号，故22p =,所以6p =.
5．（2018年成都市高三诊断改编）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】设椭圆方程为
，双曲线的方程为
，半焦距为c ，
由面积公式得，所以，令，
所以，即椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．
考点： 离心率的表示方法 焦点三角形的面积公式
6、（2016年四川省凉山州高三二诊12题）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123
F PF π
∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A
B
C
．D
．【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ，（1a a ＞），半焦距为c ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设11
22122PF r PF r F F c ===，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ， ∵123
F PF π
∠=
，则由余弦定理可得222
121242cos 3
c r r r r π
=
+-（）（） ，①
在椭圆中，①化简为即22
12443c a r r =- …②，
在双曲线中，①化简为即22
11244c a r r =+ …③，2212
13
4e e +
=
由柯西不等式得
2221212121
1311113
e e e e e ++=∴+≤（）（）（ 故选B ． 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．
7．（2019届重庆市第一中学月考12题）已知是双曲线2
2
:12
y E x -=的右焦点，过点2F 的直线交E 的2F
右支于不同两点,A B ，过点2F 且垂直于直线AB 的直线交y 轴于点P ，则
2
PF AB
的取值范围是（ ） A
．0,
4? ?? B
．? ?? C
．4????? D
．?????
【答案】B
【解析】当直线AB 的斜率不存在时，(
)2,3A
，()
2,3-B ，4=AB ，32=PF ，
则
4
3
2=
AB
PF ，故排除A ； 当2=k 时，直线AB 为()
32-=x y ，直线2PF 为()
321--=x y ，???
? ??23,0，P ， 设()11,y x A ，()22,y x B 联立得()
?????=---=0
223222y x x y ，化简得07342
=+-x x ，
由韦达定理得7,342121=?=+x x x x ，故2
3
52?
=PF ，10=AB ， 故
4
2
20152<
=
AB
PF ，故排除C ，D ，故选B 8、（2014年新课标16题）设点()0,1M x ，若在圆O ：2
2
1x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=?，则
0x 的取值范围是 .
解析 解法一：依题意，若圆2
2
:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=， 如图所示.因为OMN OMN '∠∠，所以45OMN '
∠，
因此2sin 2ON OMN OM
''∠=
，即1
2
2OM
， 得2OM
，故2
12x +，解得0
1
1x -.所以0x 的取值范围是[]1,1-.
解法二：在OMN △中，由45OMN ∠=，据正弦定理得
sin 45sin ON OM
ONM
=∠，
即sin 2sin sin 45
ONM
OM ONM ∠==∠.又()
0,135ONM ∠∈，所以02OM
<，
得2
12x +，解得0
1
1x -.所以的取值范围是[]1,1-.
9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)和圆C ′：x 2＋y 2＝b 2，M 是椭圆C 上一动点，过M 向圆作的两条切线MA ，
MB ，切点为A ，B .若存在点M 使∠AMB ＝π
3，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )
A.?
???0，
32 B ．????12，32 C.????32，1 D ．???
?12，32
解析：选C.设O 为坐标原点．若存在点M 使∠AMB ＝π3，经分析知，只需∠AMB 的最小角小于或等于π
3，
即只需∠AMO ≤π
6
，
此时点M 为椭圆长轴的端点，画出大致图形如图所示． 连接AO ，BO ，则在Rt △AOM 中，sin ∠AMO ＝AO OM ＝b
a ，
所以sin ∠AMO ≤sin π6，即b a ≤1
2
，
所以b 2a 2≤14，所以a 2－c 2a 2≤14，即1－e 2≤14，解得e ≥3
2，又e <1，
所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是??
?
?
32，1.故选C.
9．设1A ，2A 是椭圆22
221x y a b
+=上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P ，使得12tan 26A PA ∠=-，
则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A ）30,??
? ?? (B)
30,??
? ?? (C) 3,1??????? (D) 3,1???????
N 'N
M O y
x
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 -【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
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