第3讲实数的运算及分数指数幂
模块一：近似数的精确度
.知识精讲
知识点：有关概念
1．准确数概念：
一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．
2．近似数概念：
与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．
☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．
☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）
3．精确度概念：
近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．
☆近似数的精确度通常有两种表示方法：
（1）精确到哪一个数位；
（2）保留几个有效数字．
4．有效数字概念：
对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
例题解析
例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．
【难度】★
1.732；四； 1、7、3、2．
≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．
1.732
【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.
例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?
1)2000； 2）4.523亿；3）5
?；4）0.00125．
7.3310
【难度】★
【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；
2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；
3)有效数字：7、3、3，精确到千位；
4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．
【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．
例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．
（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；
（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；
（3）548203(精确到千位) ≈_________；
（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________． 【难度】★
【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810?； （4）65.36610?． 【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810?； （4）65.36610?． 【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示． 例4.已知 3.1415926
π=，按四舍五入法取近似值．
（1）π≈__________（保留五个有效数字）； （2）π≈_________（保留三个有效数字）；
（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．
【难度】★★
【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-?． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-?． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示． 例5.用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★
【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．
【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位.
【总结】本题主要考查了精确度的概念．
例6.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？ （1）2000 （2）0.6180
（3）7.20万 （4）5
1010.5? 解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；
（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0； （3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0； （4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0．
例7：地球表面积约为8
1011.5?平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳
得到的能量相当于燃烧8
103.1?千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）． 解：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧
16168
8
1064.610
643.6103.11011.5?≈?=???
例8.废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310?．
【解析】45060030000310?==?．
【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．
模块二：分数指数幂 知识精讲
1、有理数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
(0)m
n
a a =≥(0)m n
a
a -
=>，其中、n 为正整数，1n >．
上面规定中的m n
a 和m n
a
-
叫做分数指数幂，a 是底数．
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：
设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +?=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；
（3）()p
p
p
ab a b =，()p
p p a a b b
=．
例题解析
例1.把下列方根化为幂的形式：
（1
；
（2
）
（3
；
（4）
（5
；
（6
．
【难度】★
【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12
()a -．
【解析】（11
3
2=； （2）13
10-；
（3）2
18
4
55=； （4）13
7=；
（513a ==-； （612
()a =-．
【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算． 例2.把下列分数指数幂化为方根形式： （1）1
31()27
-；
（2）2
38()27；
（3）1
21()16
-；
（4）113
2(64)．
【难度】★
【答案】（1
）（2
（3
）（4
【解析】（1
）
1
3
1
27
??
-=
?
??
；（2
）
2
3
8
27
??
=
?
??
（3
）
1
2
1
16
??
-=
?
??
（4
）
11
1
36
2
(64)64
=
【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．例3.化简：
（1）
11
1
36
2
a a a
÷?；（2
）8
【难度】★
【答案】（1）
1
3
a；（2）
71
33
8x y．
【解析】（1）
111111
1
362363
2
a a a a a
-+
÷==；
（2）1211111171 442
3333336633
8888
x y x y x y x y x y x y
===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
例4.计算下列各值：
（1（2）2017
1
3
(
4
a
a
+
．【难度】★★
【答案】（1）
5
6
5；（2）1-．
【解析】（1
15
1
36
2
555
?=；
（2）因为3030
a a
-≥-≥
，，所以3
a=，所以3
a=或3
-，
因为30
a
-≠，所以3
a=-．故当3
a=-时，原式
()2017
1
3
31
43
??
?-
?
==-
?
-
?
?
??
．
【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．例5.计算下列各值：
（1
）
1
225
232
---（2
）
11
2
22
[(2(2]-
++．
【难度】★★
【答案】（1）12
-；（2）1
6
．
【解析】（1
）
1
2
25
232
---4923
=---+12
=-；
（2）()()2
11
22 22-
??
+
?????
?=
1
6
=．
【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．例6.计算：
（1
；（2）
111
2
444
111
()()()
242
a a a
-?++；
（3）
152121
663633
3(2)(4)
x y x y x y
÷-?．
【难度】★★
【答案】（1）a；（2）
1
4
4
1
16
a
??
-
?
??
；（3）
1
6
6x y
-．
【解析】（1
11113
3423412
11
12
1212
a a a a a
a a
a a
++
===；
（2）
111
444
2
111
242
a a a
??????
-++
? ? ?
??????
111
444
224
111
4416
a a a
??????
=-+=-
? ? ?
??????
；
（3）23
1
521166
363324x y x y x y ????÷-? ? ?????
1225111
633663
666x y x y -+-+=-=-．
例7.已知1
3x x -+=，求下列各式的值：（1）1
12
2x x -
+；（2）332
2
x x -
+. 【难度】★★★
【答案】（1； （2）
【解析】（1）
1
3x x -+=， 2
1
1
12
225x x x x --??∴+=++= ???
，
又112
2
0x x
-
+>， 112
2
x x
-
∴+=
（2）()3
31
112
2
2
21x x
x x x x -
--??+=++-= ???
【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值． 例8.若1
111233
3
3
42133a a a a ---=??++，
求的值． 【难度】★★★ 【答案】
198
． 【解析】()11113
3
3
3
4214212a =??=??=， 12311119
33332488
a a a ---∴++=?+?+=．
【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算． 例9.已知1
2
2a =，13
2b =，12
3c =，13
3d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．
（1； （2 （3； （4
【难度】★★★
【答案】（1）20a ； （2）
10
d
； （3）23b ； （4）
【解析】（112
20220a =?=； （21
3131010
d
=?=；
（31
21123333
34323223b =?=?=??=；
（411114222
232(3)22c c ?=?==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．
例10.已知：210(0)x x
x
x
x
a a a a a a --+=>-，求的值． 【难度】★★★ 【答案】
119
． 【解析】
2
221121
21021010
x x x x a a a a --+=++=+
+=
（）， 又0x x a a -+>，
x x a a -∴+=
， 2
22181 21021010
x x x x a a a a ---=+-=+-=（），
又0x x
a a
-->， x x
a a
-∴-， 11
9
x x x x a a a a --+∴=-． 【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用． 例11.材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a a
a 个
记为n a ．如2×2×2=23
=8，此时，
3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >）
，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34
=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；
（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．
【难度】★★★
【答案】（1）2，4，6； （2）416=64?，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ．
【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；
（2）416=64?，222log 4log 16log 64+=；
（3）log log log ()a a a M N MN +=．
【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．
模块三：实数的运算 知识精讲
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
a =(0,0)a
b a b =≥≥0,0)a b =≥>；2(0)a a =≥． 例题解析
例的整数部分为a ，小数部分为b ，则a
b =_________．
【难度】★
【答案】9-．
【解析】253<<，2a ∴=，5b =22)9a b ∴==-
【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用． 例2计算：
（1）1230.1)3(2)-??---+?；
（2）20152014(76)(67)+-；
（3）
3．
【难度】★★
【答案】（1）1
9
； （2； （3）
【解析】（1）1233(2)-??---?）
221
410982(6)1339
=-÷-?++=-÷-?=（）（-）；
（2）
2015
2014
2015
2014
=
()
2014
76=
-=
（3）
3=
????
2
2??
-
???
?
()
235-+
=．
【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．
例3.
-．
【难度】★★
【答案】
2
=
==
【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简． 例4.计算：
（1）1
10
3
22
38[1
(0.2)]4271000π--+--?-÷
（2112
13
3
2
11127883-
-
-??
??
??
---- ?
?
?????
??
．
【难度】★★
【答案】（1）7208
-； （2）3
2．
【解析】（1）原式2111111()3125125167?
?=+--?-÷???
?
11723721201688
=?
-?=-=-；
（2）原式()93
82296922
=----=+
-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．
例5.已知实数x 、y 满足1
14
2
(3)(5)0x y x y -+++-=，求512
38x y -+的值． 【难度】★★ 【答案】5．
【解析】1
4(3)0x y -+≥，12
(5)0x y +-≥， 30
50x y x y -+=?∴?+-=?
，
解得1
4
x y =??=?， 5
1238325x y -∴+=+=．
【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．
例6.已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +
=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．
【难度】★★★ 【答案】17．
【解析】
21y x a +
-=-，21y a ∴=-，
231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=---=--，
223+0x a b ∴-=，
0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，
40222+217x y a b ++∴+==．
【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用． 例7.先阅读下列的解答过程，然后再解答：
a 、
b ，使a b m +=，ab n =，使得
22m +====()a b >
，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312?=
即227+=
2
=
（12；（3．【难度】★★★
【答案】（1；（2）3
-；（3）．
【解析】（113
m=，42
n=，
6713
+=，6742
?=，即2213
+==
=
（211
m=，24
n=，
3811
+=，3824
?=，即2211
+==
3；
（3=59
m=，864
n=，
322759
+=，3227864
?=，即2259
+==
=．
【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．
例8.已知
111
333
421
a=++，求123
33
a a a
---
++的值．
【难度】★★★【答案】1．
【解析】设
1
3
2
b=，则
3
2
11
1
11
b
a b b
b b
-
=++==
--
，
11a b -∴=-， 11b a -∴=+，
313
1231=33+1b a a a a ----∴=+++（），
12333211a a a ---∴++=-=．
【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．
随堂检测
1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（
）
A ．
B
C ．
D ．
【难度】★ 【答案】C
【解析】12
(0)x x =->，故选项A 错误；
13
(0)y y -<，故选项B 错误；
13
x
-
=
D 错误．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化． 2.下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；
（2）0.6180；
（3）7.20万；
（4）55.1010?．
【难度】★
【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；
（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．
【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；
12
()(0)x x =->13
(0)y y =<3
4
0)x
x -
=>13
0)x x -=≠
（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0；
（3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0；
（4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．
【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．
3.把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：
4
，
，
7
，
3
2
2-，
3
4
3，
3
2
4-，
2
3
7．【难度】★
【答案】
4
3
2；
1
2
3-
-；
7
5
4；
3
5
6
；
【解析】
4
4
3
2
=；
1
2
1
2
1
3
3
-
=-=-；
7
7
5
4
=；
3
5
6
=；
3
2
3
2
1
2
2
-
=；
3
4
3=
3
2
3
2
1
4
4
-
=；
2
3
7
【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．
4.比较大小：
（1
）与；（22
【难度】★★
【答案】（1（22
>
【解析】（1）22
-8
=-0
=，（2）22
(2
+-1110
=+-10
=>，2 6
2+5
3+
【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．5.把下列方根化为幂的形式．
（1
（2
；（3）．
【难度】★★【答案】（1）
5
8
2；（2）
57
66
a b；（3）
1111
44
a b．
【解析】（1
5
8
2
==；
（2
57
66
a b
==；
（3）
3111111
24444
a a a a a
b a b
=?=．
【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．6.计算：
（1）
23
34
(9)；（2）
11
33
39
?；（3）
1
442
(35)
÷；
（4）
11
6
32
(32)
-
?；（5）
8
33
3
24
(25)
?；（6）
751
1
2
663
2
3(2)
x y x y
÷．
【难度】★★
【答案】（1）3；（2）3；（3）9
25
；（4）
9
8
；（5）400；（6）
11
66
3
4
x y．
【解析】（1）
231
342
(9)93
==；（2）
1112
3333
39333
?=?=；
（3）
1
4422
2
9 (35)35
25÷=÷=；
（4）
11
623
32
9 (32)32
8
--
?=?=；
（5）
8
33
42
3
24
(25)251625400
?=?=?=；
a
（6）
75175211
1
2
66366366
2
3
3(2)34
4
x y x y x y xy x y ÷=÷=．
【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．7.利用幂的性质运算：
（1）
111
222
133
()()()
5525
-
??；（2
；（3
）
【难度】★★
【答案】（1）1
5
；（2）4；（3）18．
【解析】（1）
11
11122
222
111
222 1331331 ()()()
55255
5525
-
-
-
??=??=；
（2
21
3
2
36
2
22224 =?÷==；
（3
）
1211
3
3336
2
332239218
????=?=．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．8.计算：
（1
（2）
11
1111
33
2222
113113
????
-?+
? ?
????
；
（3
）
20142015
?；（4）
)
1
1
-
+-．
【难度】★★
【答案】（1）
7
6
3；（2）2；
（3
（4）1-
【解析】（1
7
6
3 =；
（2）
11
1 1111
33
3 2222
113113(113)2????
-?+=-=
? ?
????
；
（3）
2014
2015
2014(32)?
=-=
（4）
)
1
1
-+11=．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．
9. 计算：1
0.75
13
(0.027)16
(3)
-+++-+
解：原式=1
0.38113
++-
+
=29
730
+
02
21)(1-÷?
解：原式2
111(12
+??
312
-+
=
12
11. 解方程：()()3
2
91216-=--x
答案：123123,88
x x =
=- 12.解方程：38(21)125x -=
答案：74
13. 已知a 、b
为整数，且满足
)(
136a b +-=+a b +的值。
解析：
)(
()(
()(
1333636636963
1
9(1)8
a
b a b a b a a b a a b a a b a b +-=+-=++-++-=++==???
?
-==-??+=+-=
14.
=，其中0ab ≠
【难度】★★★ 【答案】
5
7
．
【解析】
(
a a
+=，
12a b ∴，
120
a b ∴
=，
∴=，
=-，
16a b ∴=，
16545
1647
b b b b b b -+=
=++．
【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用． 15.化简求值：
（1）已知：1
5a a -+=，求2
2
a a -+；112
2
a a -+；112
2
a a -
-；
（2）已知：223a a -+=，求88a a -+． 【难度】★★★
分数指数幂的运算 2.1.1.2 分数指数幂的运算 一、内容及其解析 （一）内容：分数指数幂的运算。 （二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。 二、目标及其解析 （一）教学目标 1．理解分数指数幂的概念； 2．掌握有理指数幂的运算性质； （二）解析 1．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整
数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念； 2．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。 四、教学过程设计 1、导入新课 同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 （1）整数指数幂的运算性质是什么？ （2）观察以下式子，并总结出规律： ①； ②； ③； ④ .
课 题 实数的运算与分数指数幂 教学目标 1、掌握分数指数幂的运算公式和性质； 2、同底数幂的运算法则，幂的乘方以及积的乘方； 3、掌握实数的混合运算. 教学内容 一、课前知识检测 1．4的平方根是（ ） Ａ．２ Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．4 2．7-的立方根用符号表示是（ ） Ａ．3 7-± Ｂ．37 Ｃ．37- Ｄ．3 7-- 3．下列说法正确的是（ ） Ａ．()483 2 -=-- Ｂ． 6427 的立方根是4 3 ± Ｃ．125-没有立方根 Ｄ．立方根等于它本身的数是0和1 4．27-的立方根与9的平方根的和是（ ） Ａ．0 Ｂ．6 Ｃ．6- Ｄ．0或6- 5．如果 ( ) 012552 =-x ，那么x 等于（ ） Ａ．5± Ｂ．5 Ｃ．25 Ｄ．25- 6．在实数1.414，23， 3030030003 .0,3 41 ，4π -，3 216，2 131?? ? ??--中，无理数的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 7．下列说法：①无理数包括正无理数、零、负无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限不循环小数； ④有理数、无理数统称实数。其中正确说法得我个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4。 二、填空题 8．16的平方根是 ，算术平方根是 。 9．一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。 10．若53-=x ，则=x ，若，52 =x 则=x 11．满足73 x -的所有整数x 是 。 12．用“ ”“≤”或“＝”连接 1_______3 16, 6______27, 43_____34+。 13．当x 时，x 32-有意义；当x 时，3 52+x 有意义。 14．数轴上的点与 一一对应。 15．将坐标平面上的点( ) 2,5-A 向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度后，A 点的坐标为 。
教学设计：《分数指数幂》 一、教学目标 〖知识与技能〗 （1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教学情景设计 1、复习讨论 （1）根式的相关概念 （2）整数指数幂：a a a a n ???= 运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1(t P =，考古学家 根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为 21，2)21(，3 )2 1(，…… 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000 )21(， 573010000 )21(，5730 100000 )2 1 (。 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322?？ 分析：6623626 3332222222=?=?= ?，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单 化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？
数学学科导学案 教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题分数指数幂 学情分析 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重． 教学目标理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂的运算方法. 教学重点分数指数幂的运算 考点分析分数指数幂的化简、求值是常考题型. 教学方法讲授法、训练法 学习内容与过程 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这 时，a的n次方根用符号n a表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－ n a表示．正负两个n次方根可 以合写为±n a(a＞0)． 注：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
③? ????n a n ＝a . ④当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝ |a |＝????? a a ≥0 －a a ＜0 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N * )； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)； ③负整数指数幂：a －p ＝1 a p (a ≠0，p ∈N *)； ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q ) ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 指数幂的化简与求值 【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)．
分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ?? ?=为偶数为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1 =- （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 【典型例题】 例1、当0>a 时 ①5102552510)(a a a a ===②3124334312)(a a a a === ③323332 32)(a a a ==④21221)(a a a == 根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式()0>x .
(1)721x (2) 416x (3) 93x (4) 126x 例2、求值： 43 32132)8116(,)41(,100 ,8---. 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式： a a a a a a ,,3232?? (式中0>a ) 4、计算：[].01.016)2()87() 064.0(2175.0343031-++-+----- 例5、化简：（1）52932232(9)(10)100- （2）322322+- （3） a a a a 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式（0>a ) 3 2 53 4351 ,,,--a a a a 2、求下列各式的值： (1)2325 （2）3227 （3）23)49 36( （4）23)425(- （5）423 981? （6）63125.132?? 3. 用分数指数幂表示下列各式：（其中各式中的字母均为正数）
《分数指数幂》教学设计 陈炜明(2013/3/5公开课) 一、教学目标： 知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。 过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。 情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。 二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质 三、教学难点：分数指数幂的概念 四、教学过程： 【问题情境】 里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。 假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则 （1）第3级地震所释放的能量为多少？ 31.6227 答：3 （2）第x级地震所释放的能量为多少？ y 答：31.6227x （3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？ 教师举例
引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？ （此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出） 【温故知新】 问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运 算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。 , ,(,0)(), ()m n m n m m n n m n mn m m m a a a a a m n a a a a a b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。 问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？ 若m n <呢？ 答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到 01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。 小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。 问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？
高中数学-指数（分数指数幂）教案 第二课时 提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =?????=≠无意义 1(0)n n a a a -=≠ ;()m n m n m n mn a a a a a +?== (),()n m mn n n n a a ab a b == 什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0 ① 1051025255()a a a a === ② 884242()a a a a === ③ 1212343444()a a a a === ④5105102525 ()a a a a === 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 2323 (0)a a a ==> 1 2(0)b b b ==> 5544(0)c c c ==> *(0,,1)m n m n a a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *(0,,)m n m n a a a m n N =>∈ 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1 (0,,)m n m n a a m n N a -=>∈
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n m m m m a a a a a =????> 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ （2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ?=>>∈ 若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示) 所以，25是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂 的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：3 2的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： (0,,)r s r s a a a a r R s R +?=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈
10 分数指数幕的运算 【知识要点】 1、整数指数幕运算性质 2、正数的正分数指数幕的意义 二是根式与分数指数幕可以进行互化 3、对正数的负分数指数幕和 0的分数指数幕作如下规定 1 * —（a 0,m, n N,且 n 1） a^ 的正分数指数幕等于 0. 4、有理指数幕的运算性质 质，对于无理数指数幕都适用 【典型例题】 例1、当a V a m ( a 0, m, n N,且 n 1) 注意：（1） 分数指数幕是根式的另一种表示形式; (3)0 的负分数指数幕无意义 ① V a 10 a 5②牯2站(a 4)3 a 4 12 a^ ③V a 2 3J (a 3)3 a 3④ J a 彳(a 2) 根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式 (X 0). (1) (m,n Z)⑵ m a n a (m,n Z) / m \n (a ) (m,n Z) (4)(a b)n (n Z) 根式运算性质 a, n 为奇数 a, n 为偶数 (1) (2)0 (1) r s “ 亠 a (a 0,r,s Q) 注意: (a r )s (a b)r rs a (a 0,r,s Q ) a r b r (a 0,r,s Q) 若a 0, P 是一个无理数，则 a P 表示一个确定的实数，上述有理指数幕的运算性
3.用分数指数幕表示下列各式: （其中各式中的字母均为正数） 例2、求值: 2 83,100 例3、用分数指数幕的形式表示下列各式: 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式（ 13 3 2 a , a , a , a 2、求下列各式的值: 3 (1) 252 （4） （25） 4 (1) V x 21 ⑵ V x 16 纵3⑷1$x 6 a 2 j a,a 3 打a 2,J a 禹( 式中a 0) 1 4、计算：(0.064) 3 8)0 (2)3 4 3 16 0.75 1 0.012. 例 5、化简：（1）（ J 9）3（茁O 2）' 7100^ ( 2) J 3 2迈 73 2/2 ( 3) a 0) 2 (2) 27 3
分数指数幂的运算 1.1.2 一、内容及其解析 内容：。 解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。 二、目标及其解析 教学目标 ．理解分数指数幂的概念； ．掌握有理指数幂的运算性质； 解析 ．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整数
指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念； ．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。 四、教学过程设计 导入新 同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂 新知探究 提出问题 整数指数幂的运算性质是什么？ 观察以下式子，并总结出规律： ①； ②； ③； ④.
利用的规律，你能表示下列式子吗？ 且n>1) 你能用方根的意义来解释的式子吗？你能推广到一般情形吗？ 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比的规律表示，借鉴，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示. 讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是. 提出问题 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ 你能得出负分数指数幂的意义吗？ 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？ 分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果？ 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
第3讲实数的运算及分数指数幂 模块一：近似数的精确度 .知识精讲 知识点：有关概念 1．准确数概念： 一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数． 2．近似数概念： 与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）． ☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数． ☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用） 3．精确度概念： 近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度． ☆近似数的精确度通常有两种表示方法： （1）精确到哪一个数位； （2）保留几个有效数字． 4．有效数字概念： 对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
例题解析 例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______． 【难度】★ 1.732；四； 1、7、3、2． ≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2． 1.732 【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念. 例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位? 1)2000； 2）4.523亿；3）5 ?；4）0.00125． 7.3310 【难度】★ 【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位； 2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位； 3)有效数字：7、3、3，精确到千位； 4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位． 【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字． 【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点． 例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________； （2）12.975(精确到百分位) ≈_________； （3）548203(精确到千位) ≈_________；
分数指数幂 课时目标 1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化； 2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算； 知识精要 1. 分数指数幂 把指数的取值范围扩大到分数，规定： (0)m n a a =≥m n a - =(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >. m n a 和m n a -叫做分数指数幂，a 是底数. 注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质 设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a = （3）(),()p p p p p p a a ab a a b b == 4. 分数指数幂的运算 （1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算. （2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.
热身练习 1. 把下列方根化为幂的形式 （1 （2） （3 （4） （5 （6 说明：根据1 n a =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算 （1）131()27- （2）2 3 8()27 （3）121()16- （4）0.57 (1)9 （5）1 2(32) （6）31 21)64( 3. 计算 （1）1 38()27 （2）21331010? （3）11 2 228?
（4）111362a a a ÷g （5）2110 55(25)? 4. 利用幂的运算性质运算： （1 （2 （3 精解名题 例1 计算 （1）43555÷? （2）25 1232)3(32)27(2-+--- （3）6 4 3 321648?÷? （4）12 43a a a a ?? （5）05321 )15(125)25 9(+--- （6）341 41 331 064.028|48|÷?--
分数指数幂的计算 （共3页，答案在第3页） 一、填空题 1. 根式a a 的分数指数幂形式为__________． 2. 若a ＝2，b ＝3，c ＝－2，则(a c )b ＝__________. 3. =-- 2 12 ] )2[(__________． 4. 4 (－25)2＝__________. 5. 化简3 (a －b )3＋(a －2b )2（b a 2<）结果是__________． 6. 2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－ 2k 的化简结果是__________． 7. 若a ＝(2＋3)－ 1，b ＝(2－3)－ 1，则(a ＋1)－ 2＋(b ＋1)－2 的值是__________． 8. (1)设α，β是方程2x 2＋3x ＋1＝0 α＋ β＝__________. (2)若10x ＝3,10y ＝4，则y x 2 110 -＝9. 以下各式，化简正确个数是__________个． ①15 13 152--a a a ＝1 . ② 3 29 6- -）（b a ＝a － 4b 6. ③(3 141 --y x )(322 1y x -)(3 241y x -)＝y . ④ 4 53 12 143312 12515c b a c b a ---＝－35 ac. 第二题、解答题 10. 求下列各式的值：①3 227； ②21)416(； ③ 2 3 -9 4）（. 11. 解方程：①x －3 ＝1 8 ； ②x ＝41 9. 12. 求下列各式的值：
(1)5.031 3 2)9 7 2()27125()027.0(-+； (2)1-43 41 1 -21 3 1-33-64171-2-3331）（）（）（）（）（?+. 13. 易错题计算： (1) (235)0＋2－2·21 )4 12(-－(0.01)0.5； (2) (279)0.5＋0.1－ 2＋32 -)27 10(2－3π0＋3748； (3) 31 21 3125.0104 1027.010])8 33(81[])87(3[)0081.0(?-+??------ 14. 已知212 1-+a a ＝4，求下列表达式值（1）1-+a a （2）22-+a a （3）2 2--a a 15. 已知32 12 1=+-x x ，求 3 2 222 32 3++++-- x x x x 的值.
分数指数幂 活动一：复习引入： 1．整数指数幂的运算性质： = == ?n n m n m ab a a a )()( )(),() ,(Z n Z n m Z n m ∈∈∈ 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =. ②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a =|a|=???<-≥)0()0(a a a a . 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. 3．引例：当a ＞0时 ①5102552510)(a a a a === ②=312a ③3 23332 32)(a a a == ④=a 上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. 活动二：建构数学： 1.正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N * ,且n ＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1 =- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)； (2)0的正分数指数幂等于0； (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
【课题】分数指数幂 【教学目标】 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 【教学重点】 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 【教学难点】对分数指数幂概念的理解。 【教学过程】 一．复习引入 1．整数指数幂的运算性质： ) ()() ,()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，()n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 510 10 5 2)(a a a a a ==?=3 124 312 12 34)(a a a a a ==?= 推广：n m n m a a = 二．讲解新课 1．正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式； n a
⑵根式与分数指数幂可以进行互化. ⑶“a>0”为什么？ 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1= - (a ＞0，m ,n ∈N * ,且n ＞1) (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质. 3.有理指数幂的运算性质: ) ()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 三、讲解例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： a a a a a a ,,3232?? ， 43)( b a +(式中a ＞0) 例3计算下列各式（式中字母都是正数） . ))(2();3()6)(2)(1(88 34 16 56131212132n m b a b a b a -÷-