三垂线定理 周口市第三高级中学 王杰 教学目标 三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此 能够进行推理，论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点 三垂线定理及其逆定理的理解和应用 教学方法 启发式教学法 依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的 思路。 教学过程 引例： 如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，求证：BC ⊥PB 。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内， ∴PA ⊥BC ，又∠ABC=90°， ∴BC ⊥AB ∴BC ⊥平面PAB ，PB 在平面PAB 内 ∴BC ⊥PB 思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 线线垂直的方法 ： （1）a ⊥? ,b 在?内，则a ⊥b （2）a ∥b ，m ⊥b ，则a ⊥m （3）三垂线定理及其逆定理 三垂线定理包含几种垂直关系？ ○ 1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 定理 直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平 的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直 逆定理 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么， 它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂直。 B
例1： 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°， AQ ⊥PC ，AR ⊥PB ，试 证?PBC 、 ?PQR 为直角三角形。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°∴AC ⊥BC ∵AC 是斜线PC 在平面ABC 的射影 ∴BC ⊥PC ∴?PBC 是直角三角形；∴BC ⊥平面PAC ∵AQ 在平面PAC 内，∴BC ⊥AQ ，又PC ⊥AQ ， ∴ AQ ⊥平面PBC ，∴QR 是AR 在平面PBC 的射影 又AR ⊥PB ，∴QR ⊥PB （三垂线逆定理）， ∴?PQR 是直角三角形。 小结： 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明， 而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。 例2. 在四面体ABCD 中，已知AB ⊥CD ，AC ⊥BD 求证：AD 证明：作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO 则BO ，CO ，DO 分别为AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影。 ∵AB ⊥CD ，∴BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD 于是O 是△BCD 的垂心， ∴DO ⊥BC ，于是AD ⊥BC. 小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影. 例3 . 如图，已知DB 、EC 都垂直于正三角ABC 所在的平面，，BC=EC=2DB ， 求平面ADE 与平面ABC 所成二面角的平面角。 解：延长ED 、BC 交于F ，连AF ，则AF 为二面角的棱 由已知DB 、EC 都垂直正三角ABC ，∴ DB//EC 又BC=EC=2DB ∴ FB=BC=AB ，∴ ?FAC 为直角三角形，且FA ⊥AC 而EC ⊥平面ABC ∴ AF ⊥AE （三垂线定理） 于是∠EAC 为平面ABC 与平面ADE 的平面角， 又EC=AC ，∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。 思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？ （ 用 c o s ABC ADE s S θ??= ） 小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在 二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。 此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等. 例4： 直角三角形ABC 中，∠B= 90°，∠C= 30°，D 是BC 的中点，AC=2， DE ⊥平面ABC 且DE=1，求E 到斜线AC 的距离？ 解：过点D 作DF ⊥AC 于F ，连结EF ， ∵DE ⊥平面ABC ，由三垂线定理知EF ⊥AC 即E 到斜线AC 的距离为EF 在Rt ?ABC 中， ∠B= 90°，∠C= 30°，C=2 A
高一数学知识点梳理最新五篇 高一数学知识点总结1 如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系? 平行或异面。 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 无数条;平行。 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相 交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。 综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么 结论? 如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 高一数学知识点总结2 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的 元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当 于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如： A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。
1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法 叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的 元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭 的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合 自然语言常用数集的符号： (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记 作N;不包括0的自然数集合，记作N_ (2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数 集内也排除0的集，称负整数集，记作Z- (3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-) (6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律 A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根 律集合 Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研 究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A 的元素个数记为card(A)。
三垂线定理及其逆定理 【学习内容分析】 “三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。 【课程目标】 一.知识与技能目标 理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二.过程与方法目标 1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。 三．情感、态度和价值观目标 3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。 【教学重点和难点】 一.教学重点 定理的理解和运用 二．教学难点 如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。 【教学方法】 以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。 【教学过程】 一复习引入： 1.复习提问 1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念； 设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。） 2.有意设疑，引入新课。 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢 学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。 启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题： 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书） 设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力） 二、新课讲授： 由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。 PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO ⊥a，问PA与a所成的角； 显然PO⊥α?PO a ⊥ α ? a OA a ⊥?a⊥平面POA ?PA PO I OA=O PA?平面POA 即：PA与a所成的角为900 三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO， 才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书） 设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。） 剖析命题 （1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。 （2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结： 一找垂面：即先确定平面及平面的垂线： 二找斜线：接着确定平面的斜线： 三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影； 四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书） 设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。） 三讲解例题
三垂线定理及其逆定理例题 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； P D A B C 1 A C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：Rt ABC ?中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3 PAB PAc π ∠=∠=。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
高中数学学考常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ， 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
三垂线定理及其逆定理 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC B.直线 C.直线 D.直线 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( ) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( ) A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定 答案：A 解题思路：
三垂线定理 教学目标： 1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明 2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 教学方法：启发式教学法 教 具：模具 教学过程 一、复习引入： 1.直线与平面垂直的定义： 2.直线与平面垂直的判定定理： 3.平面的斜线，斜线在平面内的射影： 4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？ 二、新授： 1.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α?，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 证明：∵PO α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥= ∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥． 说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； (2)符号表达：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈??=?⊥???⊥? . (3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线. 2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 说明：符号表达： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈??=?⊥???⊥? ． 注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 (2)要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 (3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
立体几何：三垂线定理及其逆定理
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用；
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，
那么这条直线就和这条斜线垂直；
已 知 ： PA, PO 分 别 是 平 面 α 的 垂 线 和 斜 线 ， AO 是 PO 在 平 面 α 的 射
影, a ? α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ? 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
大行不倦 呕心沥血 传道授业解惑！大思行广 打通大脑思维的任督二脉，大行无疆 捍卫中国文化最后良心！第 1 页
三垂线定理及其逆定理 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，A O 是P O 在平面α的射影,,a α?a A O ⊥。 求证：a P O ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与P O 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知P A ⊥正方形A B C D 所在平面，O 为对角线B D 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：11111,A C B D A C BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）A D B C ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是B C D ?的垂心； P D A B C 1
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：R t A B C ?中，,3,42 A A B A C π ∠= ==，PA 是面ABC 的斜线，3 P A B P A c π ∠=∠= 。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
高二数学说课稿范文《三垂线定理》 高二数学说课稿范文《三垂线定理》 xx为大家提供高二数学说课稿范文一文，供大家参考使用： 高二数学说课稿范文《三垂线定理》 一、说教材分析 1、本节教材的地位和作用 三垂线定理是立体几何的中重要定理，它是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养高一学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 2、教学内容 本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法。通过讨论空间直线与平面内直线垂直的问题让学生逐步发现定理。这样，学生感到自然，好接受。对教材中的例题有所增加，处理方式也有适当改变。 3、教学目标 根据教学大纲的要求，本节教材的特点和高一学生对空间图形的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： (1)理解三垂线定理的证明，准确把握空间三线垂直关系的实质。 (2)领会应用三垂线定理解题的一般步骤，初步学会应用定理解决相关问题。 (3)通过教学进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。 (4)进行辨证唯物主义思想教育、数学应用意识教育和数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。 4、教学重点、难点、关键 对高二学生来说，空间概念正在形成，因此本节课的重点是学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理的实质，正确认识空间三线的垂直关系;同时掌握线面垂直法研究空间直线关系的思想方法。本节教学难点是准确把握空间三线
三垂线定理 黄冈中学肖平安 【教学目的】 1、使学生掌握三垂线定理及其逆定理，并能进行初步的应用。 2、向学生渗透化归的数学思想，培养学生的空间相象能力和逻辑推理能力。 【教学重点】 三垂线定理的证明及其应用。 【教学难点】 认识定理的本质，建立空间三线垂直的模型。 【教学方法】 启发式教学法。 【教具】 多媒体，三角板。 【教学过程】 （一）回顾引入 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线，平面的斜线不能垂直于平面内的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直，那么如何判定斜线与平面内的任一直线是否垂直呢？从而引出课程。 （二）发现命题 1、实验：将三角板一条直角边放在桌面内，另一条直角边与桌面垂直，将一直尺a放在桌面内，过三角板的顶点O且与桌面内的直角边垂直（AO⊥a）. 2、观察：直尺a与三角板的斜边PO所成角是多少度？（可用另一三角板度量） 3、结果：PO与a成90°角，即a⊥PO。 4、深化：如果将直线a在平面内平行移动到任意位置这种关系是否存在？（a⊥PO）。 5、结论：引导学生把PA、PO、AO、a抽象为直线，桌面抽象为平面，用数学符号将以上实验抽象为一个命题（若PA⊥a）。
（三）证明命题 结论的正确性需要严格的证明，请同学用数学符号和箭头形式写出证明过程。 .PA a PA a a PAO a PO a a AO a PO PAO ⊥⊥⊥??????⊥????⊥???? 平面平面 （四）表述定理 以上命题已经证明是正确的，应成为一个定理，这个定理叫三垂线定理。 1、哪位同学能用简炼的语言来表述三垂线定理？ 2、请同学朗读三垂线定理。 3、三垂线定理的逆命题该怎样表述？ 4、以上逆命题是否成立？你能证明吗？ 5、给出三垂线定理的逆定理。 （五）分析定理 1、三垂线定理（或逆定理）中有几个元素？ 2、三垂线定理（或逆定理）描述的是哪三条直线的垂直关系？ 3、三条直线间有怎样的垂直关系？ （六）应用举例 例：已知V A ⊥VB ，V A ⊥VC ，VD ⊥BC 求证：AD ⊥BC 。 （1）引导学生找出思路 （2）让学生写出证明过程 .VA VB VA VBC AD BC VA VC BC VD ⊥⊥????⊥??⊥⊥?? 平面 （3）教师指出；应用三垂线定理（或逆定理）解决问题时，找出平面的垂线是关键。 （七）反馈练习 1、课本P 321（演板） 2、思考题（依教学进程选择使用） 在正方体ABCD －EFGH 中，求BD 与EC 所成的角。 解：连结AC
选修2-1、2-2、2-2知识点（转载） 选修2-1 第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系 ① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件 p 是q 的充要条件：p q ? p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ?? p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ?? p 是q 的既充分不必要条件：,p q q p 靠 3. 逻辑联结词 “或”“且”“非” 4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 第二章 圆锥曲线与方程 1. 2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。 3. 直线与圆锥曲线的位置关系 （1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0?>、0?=、0?<. 应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系) 常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等； ②点差法 （主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据： 1212210021 2,2,22x x y y y y x y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在） ① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y 1212AB x y =-=- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-. （3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。 考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（121k k =-） 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟
三垂线定理及其逆定理 欧阳歌谷（2021.02.01） 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂 P
直的判定定理。 例 1.已知P 是平面ABC 外一点， ,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例 2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角 线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 B D A B C A
高中立体几何专题（精编版） 1. （天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ， 2PO =，M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）求直线AM 【解析】直线与平面所成的 角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。 （Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所 以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB//平面ACM 。 （Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=?，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=?，即AD AC ⊥， 又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥?=而，所以AD ⊥平面PAC 。 （Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ， 且1 1,2 MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直 线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ?中，1 1,2 AD AO ==， 所以52DO =，从而15 2AN DO ==， 在45 ,tan 5 4 MN Rt ANM MAN AN ?∠=== 中即直线AM 与平面ABCD 所成角45 2. （北京文）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. D C A B P M O
高中数学教学设计 课题：三垂线定理的推导 三维目标： 1．几何图形具有直观形象的特征，在教学过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学定理形成过程的真谛，学会通过观察、类比、归纳三垂线定理。 2．通过实例，培养学生观察、归纳能力。体会从特殊到一般的思想。 3．能够用三垂线定理解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习立体几何的必要性和重要性，增强学生学习立体几何的紧迫感，激发学生学习的积极性。 重点难点： 教学重点：三垂线定理的推导。 教学难点：从问题中探究规律。 课时安排：1课时 教学过程： 一、从课本题目引出问题 请同学们翻开课本P28第6题： 问题1：“经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜线在平面上的射影是这个角的平分线。” 已知：如图1，∠BAC在平面α上，直线PA是平面α的一条斜线，∠CAP与∠BAP是锐角且相等。 求证：AO是∠BAC的平分线。 A B C O P F E 图1 α 1
2 学生思考3分钟，请学生谈解题思路。 （教师点拨）作PO ⊥面α，O 为垂足。又作PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F 。连结AO 、EO 、FO 。先证△APE ≌△APF ，再证△POE ≌△POF,最后证明△AOE ≌△AOF,即得AO 是∠BAC 的角平分线方程。 如果我们调换以上问题的条件和结论中的一部分，得到： 问题2： “经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。如果斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，那么斜线和这个角的两边的夹角相等。” 已知：如图1，∠BAC 在平面α内，直线PA 是平面α的一条斜线，PO ⊥面α，O 为垂足，且AO 是∠BAC 的平分线。 求证：∠CAP=∠BAP （教师点拨）借助上图1，作PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F 。连结EO 、FO 。调整一下证明的顺序，先证△AOE ≌△AOF,再证△POE ≌△POF, 最后证明△APE ≌△APF 即可得出结论。 二、引导学生探究问题 经过一个角的顶点所指的角是任意角，如果把它换成平角，结果会怎样？请 同学们思考： 问题3：“经过一条直线上的一点引这条直线所在平面的斜线，如果斜线在平面上的射影和这条直线垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直。” 把“经过一条直线上的一点引这条直线所在平面的斜线”修改一下，得到： 问题4： “经过一条直线所在平面上的一点引这条直线所在平面的斜线，如果斜线在平面上的射影和这条直线垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直。”命题还成立吗？ B A C P O α P O A B C 图 2
高二数学三垂线定理说课稿范文 高二数学三垂线定理说课稿范文 为了帮助老师们能够更好地讲课，xx精心为大家搜集整理了高二数学三垂线定理说课稿，希望对大家的数学教学有所帮助! 一、说教材分析 1、本节教材的地位和作用 三垂线定理是立体几何的中重要定理，它是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养高一学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 2、教学内容 本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法。通过讨论空间直线与平面内直线垂直的问题让学生逐步发现定理。这样，学生感到自然，好接受。对教材中的例题有所增加，处理方式也有适当改变。 3、教学目标 根据教学大纲的要求，本节教材的特点和高一学生对空间图形的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： (1)理解三垂线定理的证明，准确把握空间三线垂直关系的实质。 (2)领会应用三垂线定理解题的一般步骤，初步学会应用定理解决相关问题。 (3)通过教学进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。 (4)进行辨证唯物主义思想教育、数学应用意识教育和数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。 4、教学重点、难点、关键 对高二学生来说，空间概念正在形成，因此本节课的重点是学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理的实质，正确认识空间三线的垂直关系;同时掌握线面垂直法研究空间直线关系的思想方法。本节教学难点是准确把握空间三线
三垂线定理及其逆定理（人教A版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( ) 个个 个个 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC B.直线 C.直线 D.直线 ` 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( ) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 | 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( ) A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定 。 答案：A
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 内心：三角形的三内角平分线交于一点。（内心定理） 外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。（外心定理） 中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点 垂心：三角形的三条高交于一点。（垂心定理） 重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）
重心： 三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。 1 重心的性质及证明方法 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 证明一 三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。EB、FC交于O。 证明：过F作FH平行BE。 ∵AF=BF且FH//BE ∴AH=HE=1/2AE（中位线定理） 又∵ AE=CE ∴HE=1/2CE ∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF） 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 证明二 证明方法： 在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则， S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证 S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以， S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB) 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形） 证明方法： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+ y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
三垂线定理及其逆定 理
三垂线定理及其逆定理 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 P B
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例4.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： P B 1 A C
说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 D A B C