一、选择题
1．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是
A ．一元二次方程2
452x x ++=
有实数根；
B ．一元二次方程2
452x x ++=
C ．一元二次方程2
453
x x ++=
有实数根；
D ．一元二次方程x 2+4x+5=a(a ≥1)有实数根． 【答案】D
3．（2010安徽芜湖）关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5 【答案】A
4．（10湖南益阳）一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax
有两个不相等．．．
的实数根，则ac b 42
-满足的条件是 Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b
42
-＜0 Ｄ．ac b 42
-≥0
【答案】B
5．（2010山东日照）如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=2，x 2=1，那么p ，q 的值分别是 （A ）－3，2 （B ）3，-2 （C ）2，－3 （D ）2，3 【答案】A
6．(2010四川眉山）已知方程2
520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-?的值为
A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3 【答案】D
7．（2010台湾） 若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根， 且a 、b 都是正数，则a -b 之值为何？ (A) 5 (B) 6 (C) 83 (D) 10-17 。
【答案】B
8．（2010浙江杭州）方程 x 2 + x – 1 = 0的一个根是
A. 1 –
5 B.
2
5
1- C. –1+
5 D.
2
5
1+
-
【答案】D
9．（2010 嵊州市）已知n m ,是方程0122
=--x x 的两根，且8)763)(147(2
2=--+-n n a m m ，则a 的值
等于 （ ）
A ．－5 B.5 C.-9 D.9 【答案】C
10．（2010年上海）已知一元二次方程 x 2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）
A .该方程有两个相等的实数根
B .该方程有两个不相等的实数根
C .该方程无实数根
D .该方程根的情况不确定 【答案】B
11．（2010年贵州毕节）已知方程2
0x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A ．a b
B ．a b
C ．a b +
D ．a b -
【答案】D.
12．（2010湖北武汉）若12,x x 是方程2
x =4的两根，则12x x +的值是（ ）
A.8
B.4
C.2
D.0
【答案】D
13．（2010 山东滨州） 一元二次方程x 2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )
A.3
B.-1
C.-3
D.-2
【答案】C
14．（2010山东潍坊）关于x 的一元二次方程x2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）．
A ．k ≤92
B ．k ＜
92
C ．k ≥
92
D ．k ＞
92
【答案】B
15．（2010湖南常德）方程2
560x x --=的两根为( )
A ． 6和-1
B ．-6和1
C ．-2和-3
D ．2和3
【答案】A
16．（2010云南楚雄）一元二次方程x 2－4＝0的解是（ ）
A ．x 1＝2，x 2＝－2
B ．x ＝－2
C ．x ＝2
D ． x 1＝2，x 2＝0 【答案】A
17．（2010河南）方程2
30x -=的根是 (A) 3x = (B) 123,3x x ==-
(C) x =
（D ）12x x ==
【答案】D
18．（2010云南昆明）一元二次方程2
20x x +-=的两根之积是（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．1
D ．2
【答案】B
19．（2010四川内江）方程x (x －1)＝2的解是
A ．x ＝－1
B ．x ＝－2
C ．x 1＝1，x 2＝－2
D ．x 1＝－1，x 2＝2
【答案】D
20．（2010 湖北孝感）方程11
2
,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ） A ．121-<<-x B ．011<<-x
C ．101< D ．211< 【答案】B 21．（2010 内蒙古包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22 127x x +=， 则2 12()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．25 【答案】C 22．（2010广西桂林）一元二次方程2 340x x +-=的解是 （ ）． A ．11x =，24x =- B ．11x =-，24x = C ．11x =-，24x =- D ．11x =，24x = 【答案】A 23．（2010四川攀枝花）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．x 2 +1=0 B ．9 x 2 —6x+1=0 C ．x 2 —ｘ＋２＝０ D ．x 2 －２ｘ－２＝０ 【答案】D 二、填空题 1．（2010甘肃兰州） 已知关于x 的一元二次方程 01)12 =++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ． 【答案】 2．(2010江苏苏州)若一元二次方程x 2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ▲ ． 【答案】5 2．（2010安徽芜湖）已知x 1、x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0的两实根，则x 12＋8x 2＋20＝__________． 【答案】-1 3．（2010江苏南通）设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根， 2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2，则a = ▲ ． 【答案】8 4．（2010山东烟台）方程x 2-2x-1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1-1）（x 1-1）=_________。 【答案】-2 5．（2010四川眉山）一元二次方程2 260x -=的解为___________________． 【答案】x =± 6．（2010 福建德化）已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程： ． 【答案】如12 =x 等 7．（2010江苏无锡）方程2 310x x -+=的解是 ． 【答案】122 2 x x = = 8．（2010年上海）方程 x + 6 = x 的根是____________. 【答案】x=3 9．（2010 江苏连云港）若关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为___________．(任意给出一个符合条件 的值即可) 【答案】 10．（2010 河北）已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ． 【答案】1 11．（2010湖北荆门）如果方程ax 2+2x +1=0有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是 【答案】a ＜1且a ≠0 12．（2010 四川成都）设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则22 11223x x x x ++的值为__________________． 【答案】7 13．（2010湖北鄂州）已知α、β是一元二次方程x 2-4x -3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ． 【答案】-6 14．（2010陕西西安）方程042 =-x x 的解是 。 【答案】40==x x 或 15．（2010 四川绵阳）若实数m 满足m 2－10m + 1 = 0，则 m 4 + m －4 = ． 【答案】62 16．（2010四川 泸州） 已知一元二次方程 ) 2 110x x - + =的两根为1x 、2x ,则 1 2 11x x + =_____________. 【答案】2+ 17．（2010 云南玉溪）一元二次方程x 2-5x+6=0 的两根分别是x 1,x 2, 则x 1+x 2等于 A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 【答案】A 18．（2010 贵州贵阳）方程x 2 +1＝2的解是 ． 【答案】x =±1 19．（2010 四川自贡）关于x 的一元二次方程－x 2＋（2m ＋1）x ＋1－m 2=0无实数根，则m 的取值范围是_______________。 【答案】＜－ 54 20．（2010 山东荷泽）已知2是关于x 的一元二次方程x 2＋4x －p ＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ． 【答案】－6 21．（2010 广西钦州市）已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根， 则k = ▲ ． 【答案】±2 22．（2010广西梧州）方程x 2－9=0的解是x =_________ 【答案】±3 23．（2010广西柳州）关于x 的一元二次方程(x +3)(x -1)=0的根是_____________． 【答案】x =1或x =-3 24．（2010辽宁本溪）一元二次方程2 1104 x -=的解是 . 【答案】x =±2 25．（2010福建南平）写出一个有实数根的一元二次方程___________________. 【答案】答案不唯一,例如: x 2－2x+1 =0 26．（2010 福建莆田）如果关于x 的方程2 20x x a -+=有两个相等的实数根，那么a= . 【答案】1 27．（2010广西河池）方程()10x x -=的解为 . 【答案】120,1x x == 28．方程2x(x-3)=0的解是 . 【答案】x 1=0，x 2=3 29．（2010湖南娄底）阅读材料： 若一元二次方程ax 2+b x +c=0(a ≠0)的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系： x 1+x 2= －b a ，x 1x 2= c a 根据上述材料填空： 已知x 1、x 2是方程x 2+4x +2=0的两个实数根，则 1x 1 +1 x 2 =_________. 【答案】－2 30．（2010内蒙呼和浩特）方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ． 【答案】x 1 =﹣2，x 2 = 3 31．（2010广西百色）方程x x 22 =-1的两根之和等于 . 【答案】2 三、解答题 1．(2010江苏苏州)解方程：() 2 2 1120x x x x --- -=． 【答案】 2．（2010安徽省中中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2 m 下降到5月分的12600元/2 m ⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据： 95.09.0≈） ⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2 m ？请说明理由。 【答案】 3．（2010广东广州，19，10分）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求 4 )2(2 2 2 -+-b a ab 的值。 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝2 40b a -=，可得出a 、b 之间的关系，然后将 4 )2(2 2 2 -+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值． 【答案】解：∵)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝2 40b ac -=，即2 40b a -=． 全品中考网 ∵ 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 44 444 )2(a ab b a a ab b a a ab b a ab = +-= -++-= -+- ∵0a ≠，∴ 4 2 2 2== a b a ab 4．（2010 四川南充）关于x 的一元二次方程2 30x x k --=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2 (3)4()k ---＞0． 即 49k >-，解得，94 k >- ． ……（4分） （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为 2 310x x -+=． 解得，132 x += ，232 x -= ……（8分） （如果k ＝－2，原方程为2 320x x -+=，解得，11x =，22x =．） 5．（2010重庆綦江县）解方程：x 2－2x －1＝0． 【答案】解方程：x 2－2x －1＝0 解：2 212x x －＋＝ 2 (1)2x -= 1x -= ∴11x =+ 21x =- 6．（2010 广东珠海）已知x 1=-1是方程052 =-+mx x 的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2。 【答案】解：由题意得：05)1()1(2 =-?-+-m 解得m=-4 当m=-4时，方程为0542 =--x x 解得：x 1=-1 x 2=5 所以方程的另一根x 2=5 7．（2010年贵州毕节）已知关于x 的一元二次方程22 (21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）当2 2 120x x -=时，求m 的值． 【答案】解：（1）由题意有22 (21)40m m ?=--≥， 解得14 m ≤． 全品中考网 即实数m 的取值范围是14 m ≤ ． （2）由2 2120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12 m =． ∵ 2 1＞ 4 1，12 m ∴= 不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x = 0∴?=，由（1）知14 m =． 故当2 2 120x x -=时，14 m = ． 8．（2010湖北武汉）解方程:x 2+x-1=0. 【答案】: a=1，b=1，c=-2，b 2 -4ac=1-4×1×(-2)=9>0 ac ac b b x 442 -±-= = 89 1-±- =8 3 1-±- ∴211=x ，4 1 2-=x . 9．（2010江苏常州）解方程2 660x x --= 【答案】 10．（2010 四川成都）若关于x 的一元二次方程2 420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值. 【答案】（2）解：∵关于x 的一元二次方程2 420x x k ++=有两个实数根， ∴△=2 44121680k k -??=-≥ 解得2k ≤ ∴k 的非负整数值为0,1, 11．（2010广东中山）已知一元二次方程022 =+-m x x ． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围； （2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。 【答案】解：（1）Δ=4-4m 因为方程有两个实数根 所以，4-4m ≥0，即m ≤1 （2）由一元二次方程根与系数的关系，得1x +2x =2 又1x +32x =3 所以，2x =2 1 再把2x = 2 1代入方程，求得m = 4 3 12．（2010北京）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x +m -1=0有两个相等实数根，求的m 值及方程的根． 【答案】解:由题意可知△=0. 即(－4)2－4x (m －1)=0. 解得m =5. 当时，原方程化为. x 2－4x +4 =0 解得x 1=x 2=2 所以原方程的根为x 1=x 2=2。 13．（2010四川乐山）从甲、乙两题中选做一题。如果两题都做，只以甲题计分． 题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(22 2 =++--k x k x 有实数根βα、． （1） 求实数k 的取值范围； （2） 设k t β α+= ，求t 的最小值． 题乙：如图（11），在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连结DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ． （1） 若 3 1= PC BP ，求 AQ AB 的值； （2） 若点P 为BC 边上的任意一点，求证 1== BQ AB BP BC ． 我选做的是_______题． 【答案】题甲 解：（1）∵一元二次方程012)2(22 2 =++--k x k x 有实数根βα、， ∴0≥?， ………………………………………………………………………2分 即0)12(4) 2(42 2 ≥---k k ， 解得2-≤k ．……………………………………………………………………4分 （3）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα， ………………… 6分 ∴2424-= -= += k k k k t β α， …………………………………………7分 ∵2-≤k ，∴0242<-≤-k ， ∴2244-<-≤ -k ， 即t 的最小值为－4． ………………………………………………………10分 题乙 （1）解：四边形ABCD 为矩形， ∵AB =CD ，AB ∥DC ，………………………………………………………………1分 ∴△DPC ∽△QPB ， ………………………………………………………………3分 ∴ 3 1= = CP PB DC BQ ， ∴BQ DC 3=， 全品中考网 ∴ 4 333= += BQ BQ BQ BQ AB ． ………………………………………………………5分 （2）证明：由△DPC ∽△QPB ， 得 BP PC BQ DC = ，……………………………………………………………………6分 ∴ BP PC BQ AB =，……………………………………………………………………7分 11=- + =- += - BQ AB BP PC BQ AB BP PC BP BQ AB BP BC ．…………………………10分 14．（2010 四川绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根， ∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤ 2 1． （2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根， ∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤21． 因而y 随m 的增大而减小，故当m = 2 1时，取得极小值1． 15．（2010 湖北孝感）关于x 的一元二次方程12 01x p x x 有两实数根 =-+-、.2x （1）求p 的取值范围；（4分） （2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.（6分） 【答案】解：（1）由题意得： .0)1(4)1(2 ≥---=?p …………2分 解得：4 5≤ p …………4分 （2）由9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x 得， .9)2)(2(2 22211=-+-+x x x x …………6分 . 1,1,01,01, 01,2 2221122 21212 21-=--=-∴=-+-=-+-∴=-+-p x x p x x p x x p x x p x x x x 的两实数根是方程 .9)1(,9)12)(12(2 =+=-+-+∴p p p 即 …………8分 .4,2-==∴p p 或 …………9分 .4,4 5-=∴≤ p p p 的值为所求 …………10分 说明：1．可利用,1,12121x x x x -==+得 121x x -=代入原求值式中求解； 16．（2010 山东淄博）已知关于x 的方程014)3(22 2 =--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值； （3）若以方程014)3(22 2 =--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数x m y = 的图 象上，求满足条件的m 的最小值． 【答案】解: （1）由题意得△＝()[]( ) 144322 2 --?---k k k ≥0 化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5． （2）将1代入方程，整理得2 660k k -+=，解这个方程得 13k =- 23k =+ （3）设方程014)3(22 2 =--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ， 根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得2 1241x x k k =--， 那么()52142 2 --=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5 17．（2010 广西玉林、防城港）（6分）当实数k 为何值时，关于x 的方程x 2 －4x ＋3－k ＝0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根。 【答案】⊿＝b 2 －4ac ＝16－4（3－k ）＝４＋4k 因方程有两个相等实数根，所以⊿＝0，故4＋4k ＝0 k ＝－1，代入原方程得：x 2 －4x ＋4＝0 x 1＝x 2＝2 18．（2010 重庆江津）在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ， 其中5a =，若关于x 的方程()2 260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长． 【答案】解：根据题意得：△()()2 246b b =+-- 2 8200b b =+-= 解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去） ∴2b =………………………………………………………………………………４分 （1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意 （2）当5c a ==时， 12a b c ++=……………………６分 19．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）解方程：2x 2-7x+6=0 【答案】解：032 7 2 =+- x x 16 4931649272 +-=+-x x 161) 4 7 (2 = - x 4 14 7 ±=- x 21=x 2 32= x 20．（2010广东茂名）已知关于x 的一元二次方程2 2 60x x k --=（k 为常数） ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． 【答案】解：（1）0436)(14)6(42 2 2 2 >+=-??--=-k k ac b ，·················2分 因此方程有两个不相等的实数根．·································3分 （2）12661 b x x a -+=- =- = ，·····································4分 又12214x x += ， 解方程组：12126,214,x x x x +=+=??? 解得：2 18.2, x x ==-???·····················5分 方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(2 2 =--?--k ，················6分 解得：4±=k ．·················································7分 方法二：将21x x 和代入12c x x a = ，得：1 822 k -= ?-，······················6分 解得：4±=k ．·················································7分 21．（2010广东佛山）教材或资料会出现这样的题目：把方程2 122 x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出他的 二次项系数、一次项系数和常数项。 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答。 （1）下列式子中，有哪几个是方程2 122 x x -=所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） 。 ① 21202 x x --= ②2 1202 x x - ++= ③2 24x x -= ④2 240x x -++= 20--= （2）方程2 122 x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 【答案】解：（1）答：①②④⑤ （每个1分）…………………………………………………4分 （2）若说它的二次系数为a （a ≠0），则一次项系数为-2a 、常数项为-2a ……………6分. 22．（2010天门、潜江、仙桃）已知方程x 2-4x+m=0的一个根为－2，求方程的另一根及m 的值. 【答案】把x=-2代入原方程得4+8+m=0，解得m=-12.把m=-12代入原方程，得x 2-4x-12=0，解得x 1=-2，x 2=6，所以方程的另一根为6，m =-12.
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