2006年数模集训第1讲（AMCM-问题A）
确定毒品走私船位置问题的数学模型
摘要：这是一个关于搜索走私船的问题，是一个分类（分组问题）的修正简化形式，原问题和现在简化的问题都还没有一种已知的最优解法。因此我们这里所介绍的解答只能是相对最优的.
一、问题重述
在相距5.43哩的监听站收听到一个短暂的无线电讯号.收听到讯号的时候测向仪分别定位在111°和119°处（见图），测向仪的精度为±2°.该讯号来自一个毒品交换活跃的地方，据推测该处有一只机动船正等着有人来取毒品.当时正值黄昏、无风、无潮流，一架小型直升飞机离开监听站①的简易机场并能精确地沿111°角方向飞行.直升飞机的飞行速度是走私船的三倍.在离船500英尺时船上能听到直升飞机的声音.直升飞机只有一种侦察仪器——探照灯.在200英尺远的地方探照灯只能照明半径为25英尺的圆域.
1、说明飞行员能找到正等着的毒品船的（最小）区域.
2、研究一种直升飞机的最佳搜索方法.
在你的计算中要有95%的精度.
二、模型的假设条件
根据各方面的有关知识以及所了解到的有关情况，对模型提出如下一些假
设：
1、角度分布是正态的.
2、直升机同小的军用直升机OH—58Kiowa相似.
a、缉私人员可发现在探照灯覆盖的以200英尺为半径的圆内所有物体；
b、航速140.4英里/小时，航程287.5英里；
c、直升机不返回基地加油，因为毒品可能在直升机返航时转移；
d、飞行高度不变.
3、毒贩在看到直升机或探照灯之前可以听到直升机的声音.
4、缉私人员不能发现在探照灯范围外的船.
5、走私船可能用以下三种方式逃跑：
a、沿随机方向；
b、沿与第一次传来直升机声音的相反方向；
c、沿与直升机飞行路线的垂直方向.
6、船可能或不可能产生尾波，若产生：
a、船不能在水上滑飞；
b、可探测到的三种尾波（0o，19.5o，—19.5o）；
c、尾波在无限长时间内存在
d、尾波在船的初始位置之后不扩散；
e、尾波以等速向前推进.
三、问题分析及模型建立
有两个监听装置接收到了发自海洋中某处的同一无线电信号，认定信号来自一艘等待交接毒品的走私船.问：在没有雷达帮助的情况下，如何派一架直升飞机前往搜索以找到走私船？
根据对走私船逃跑方式的不同假设，引入两种不同的数学模型，
模型一：假设走私船将沿着与直升机飞行线路相垂直的方向逃走，船无运动尾波.在该模型中，把船所可能在的地方视为一条射线（即船总沿着某一固定方向运动），而直升机则总是朝走私船停留可能性最大的区域飞行.
模型二：假设船在刚一听到直升机的声音时就开始逃走，且留下尾波.直升机将沿之字形路线搜索留有尾波的区域.
因航程有限，模型二的直升机不能在搜索完该区域后返航，是这个模型的弱点.但计算表明，用此方法仍有91%的可能性发现走私船. 若能装上雷达或增加直升机的航程，则会使找到走私船的可能性非常接近于100%.
模型中最基本的要素是：能否发现船的尾波.如果风平浪静，则尾波极易被发现；但如果有点小风，则尾波会被掩盖在其他波之中.
四、模型分析与求解
1、概率分析：
假定雷达探测器（接收器）所观察的角度服从正态分布. 均值为μ，标准差为σ的正态分布),(2σμN 的密度函数为
[]21
()exp ()//(.2f x x x μσ??=---∞<<+∞????
而落在以均值μ为中心，长度为4σ的区间（σμσμ2,2+-）的区间内的概率为95%. 既然题中指出探测器的精度是?±2，因此如果将其理解为（?+?-2,2μμ）的区间是95%的置信区间，则表明分布中的标准差?=1σ.
因此，两个观察站所测量的角度分别具有密度函数 .,2/])20(21
exp[)(2+∞<<-∞?--=θπθθθf
.,2/])29(2
1
exp[)(2+∞<<-∞?--=?π???f
由于两个观察站的观察是相互独立地进行的，所以θ与?是相互独立的随机变量，因此它们的联合密度为)(θθf 与)(??f 的乘积，即
,2/]})29()20[(2
1
exp{),(22π?θ?θ?-+?--=g
+∞<<∞-?θ,
在这里，将海岸线取为y 轴（南北走向），并将北边的一个观察站取为原点（0，0），于是另一个观察站位于点（0，-5.4）处（见图13-2），并且θ和?都是与x 轴正方向的夹角. 算出各条射线之间的交点坐标以及各有关线段的长度（参阅图
13-2）.
θ范围内的概率为按照前述假定，走私船落在?
,
22
18?
27
≤
?31
≤
?
?
≤
≤
.02≈将（θ，?）换为坐标（x,y）来考虑，并且界出,
95
.
.0
90
≤x30
≤y
0≤
60
10≤
的一块区域，假定走私船落在这块区域中的概率为1.（图13-3）.
用方格网覆盖所界出的区域，并在格子点上标出概率密度.图13-4中显示了不同阀值下的密度展布情况，图13-5中粗略地显示了密度曲面.
图13-5 联合密度三视图
2、对走私船逃脱可能性的分析：
对无尾波的情形，按照走私船可能采用的3种逃跑方式分别考虑.
（1）逃跑方式A：沿随机方向.
这时，船实际上是在乱跑，这种逃跑方式只有在难以确认直升机的飞行方向或者走私者恐慌时才会出现，一般来说不太会出现.如果走私船采用这种方式逃跑的话，除非它的逃走方向恰好垂直于直升机的飞行方向，否则一般都会被发现.
（2）逃跑方式B：沿着与首次传来直升机声音的相反方向相近的方向逃跑.
这时，船与直升机的航线夹成一个很小的夹角θ.由于直升机上的探照灯探测的最大范围是225英尺，所以飞机只能搜索航线两侧225英尺的带状区域（走廊）中的目标.如果走私船在飞机赶到之前已离开此走廊，就不会被发现，为了算出逃脱的可能范围，考虑图13-7中的临界情况：
该走私船位于图中B点，直升机正沿着图中AC的方向飞行，当船首次听到直升机的声音时，据题意知AB=500英尺.这时，走私船立即沿BD的方向逃窜.假定当直升机飞到C点时，船刚好抵达D点，且CD=225英尺（即船刚好到达不被发现的距离上）.高BE⊥AC（E为垂足），我们要来计算BE
r=的值，这就是所谓的“逃跑距离”.
由于直升机的速度是走私船的3倍，所以若令BD=x ，则有AC=3x ，由勾股定理得
.)3(225)500(222x x +=+
解此方程得?==9.17,323θx （θ是射线，AC 与射线BD 的夹角）. 于是知，逃跑距离=r =500sin ?9.17=153.6(英尺)
这就告诉我们，在逃脱方式B 之下，只有在走私船距直升机航线小于153.6英尺时才会被发现，否则就会逃脱. 据此，得出结论如下：在逃跑方式B 之下，如果走私船原位于直升机航线为中心线的宽度为307英尺（2307.2r
<=）的
带状区域中，且在开始逃跑时与飞机的距离已不足693尺，才会被捕获.
（3）逃跑方式C ：沿着飞机航线垂直的方向逃跑.
仍然考察临界情形，如图13-8，船的逃跑路线BD 垂直于直升机的航线AC ，在开始时，有AB=500，并设BD=x ，AC=3x ,且CD=225尺，利用勾股定理算得
165.5x =英尺， 6.8θ=?，因此得：59.5()r ==0逃跑距离=BC=500sin6.8英尺
图13-8 无尾波+逃跑方式C ，求逃跑距离
所以在逃跑方式C 之下，走私船仅在距直升机航线不足59.5英尺的范围内才会被发现. 据此得出结论：在逃跑方式C 之下，如果走私船原位于直升机航线为中心的宽度为119英尺（=2359.5）的带状区域中，且在开始逃跑时与飞机的距离已不足881尺时，才会被抓获.
在上述的讨论中均假定直升机沿直线飞行.如果飞机采用其他飞行路线，情况将会如何呢？
（4）逃跑方式C+“围栏”式搜捕法
考虑两种形式的“围栏”：螺旋形和之字形路线.
当飞机沿“圆形”路线飞行时（参阅图13-9），飞机所飞行的距离与走私船所逃跑的直线距离之比为2
π=直径
半周长，因此飞机与船的速度之比为32
<π
.这相当于
降低了飞机的飞行速度. 经过“灵敏度”分析（见下文）后认为，此时飞机发现走私船的概率近乎为0.
放弃上述考虑方式，而用“之字形”搜索方式找到了一种有效的“围栏式”方法，就是飞机按一定的角度（图13-10中为?9.36）来回折行，以保证发现听到了直升机声音的走私船，当折行的一侧恰好是船所在的一侧，则可发现；反之，则船可逃走.
按条件概率计算，用之字形路线，在每一点上可有37%的机会抓住走私船，而有12%的机会让走私船听到声音而逃跑，但却有51%的机会走私船根本不动，这一点将在后面讨论.由于抓住走私船的条件概率很低，决定弃此法而不用.
图13-11中显示了一种临界状态：当走私船走了距离x 进，直升机飞了
x
y y x 322=++的距离，由此解得
x y 3
4=
，所以得折行的角度
?===9.364
3
arctg y x arctg θ，这就是图13-10中所采用的角度.
（5）逃跑方式C+“最大可能域”搜捕法
在“最大可能域”搜捕法中，把走私船视为一个离飞机而去的向量；直升机则朝着可能找到（运动的或静止的）走私船的概率最大的区域飞行.作者们用计算机模拟了这一动态策略，他们将区域离散为边长为333尺的方格网，并假设飞机和走私船由一个方格到另一个方格只沿南北方向或东西方向运动，他们经过3个多小时的模拟提出如图13-12所示的结果.由模拟时间过长，不会被缉私队员所采用，所以作者们认为此法不可行.他们认为一个可行的方法应当是易于实行，并且对初值依赖不大甚至是完全不依赖的.
鉴于上述方法都不太好用，所以着重考虑如下的讨论. （6）有尾波情形
从现在起，假定走私船具有尾波.
由于题目中假定了当时正值黄昏、无风、无潮流，所以表明当时气候良好.因此假定走私船具有尾波且尾波能存在多时是合理的，在这样的假定之下，搜索者的工作变得非常的简单.因为当走私船听到直升面声音而开始运动时，直升机上的观察人员就可以观察逐渐扩散的尾波，而不仅仅是寻找一只小小的机动船了，作者们指出，按图13-13所示，在问题所要求的范围内呆以保证搜捕成功.
假定走私船位于图中A 点.如果直升机在图中B 点处发现了走私船的尾波，船速为υ，而AB=x ，则因机速为3υ故直升机在υ2/x 小时里可追上走私船，则
因,cos 3θυυt t x =+故当3
1
cos >θ，即?=<5.703
1cos arcc θ时可追上船，所需时
间为υθ)1cos 3(-=t .
作者们对直升机飞行时所产生的大量气流所可能造成的影响作了定性分析，认为它不会混淆由船所产生的较大的尾波，因此可以忽略.
接着作者们研究了逃跑方式B 之下的情况，对其中的临界情况进行了讨论.如图13-14所示：直升机沿AC 方向飞行，在A 点处被船听到了声音，船原在B 点处（从而AB=500尺），船立即沿BD 方向跳窜，直升机则沿原航向飞行，假定直升机到达C 点时恰好能观察到已逃到D 点（仍在继续逃窜中）的船所造成的尾波.易知，当船速为υ时，有vt BC =，vt x AC 3==.
根据作者们的假设（见“§2模型的假设条件”）可知，这时直升机所观察到的是位于G 点处的尾波，其中200,5.19=?=∠GC BDG 尺，我们要来计算此时的BE r =之值.
根据图中所标注的字母，知：
,cos ,sin 500θθy L r ==
,cos 500sin ,35.0)5.19(θθυυ+=≈?=y x t t tg y
故得：,cos 500sin 35.03θθυυ+==t x t
即 .c o s 500)sin 35.03(θ
θυ=-t 另一方面，还有
,cos 35.0sin 500200θυθt L r -=-=
即 .200sin 500cos 35.0-=θθυt （1）÷（2），得 .200
sin 500cos 500cos 35.0sin 35.03-=-θθ
θθ
解得)50035.0/()sin 35.03)(200sin 500(arccos(?--=θθθ， 接着作者们用picard 方法算得.7.33?=θ于是知逃跑距离为
)(4.277sin 500尺===θBE r .
这就是说，以飞机航线为中线的宽度为555尺的事状区域（走廊）是捕获区域.
剩下的问题是如何尽早发现船的尾波，作者们建议采用如下的“之字形”搜索路线.如图13-16所示，先让直升机自南而北穿越船可能在区域，到达区域北头后向东飞777.5尺，再自北面南穿越该区域，到达南头后再向东飞777.5尺，
再自南而北穿越该区域，……，如此往复.在这种搜索过程中，如果船在飞机某次穿越区域时听到声音而开始逃跑的话，那么飞机在下一次穿越区域时就会发现船的尾波，在这段时间内，船所能逃开的最大距离为77532尺，总计为4.6哩.此后飞机便跟踪追赶，在船至多再往前逃出1.6哩的距离上便会被追上，这一段时间不超过2分钟，尾波不会消失.
现在回过头来看图13-2.显然刚才所述的飞机所穿越的区域就是图13-2中的四边形ABCD ；而刚才所说的“自南而北”、“向东”之类都只是一种象征的说法，那么飞机穿越该区域时，航线究竟应当与直线AC （区域的对角线，或称中心线）交成多大的角α呢？作者们分别对?=20α，60和?90进行了考察，发现它们没有什么差别，见图13-17.
它们之间的差别在于：如果适当缩小所穿越的区域，则会对飞机的返航及所需折返的次数产生影响.如果就被舍弃的区域而言，以?=90α为最好，因为此时舍去的区域上有船的概率最小，从而使发现船的机会大，但如果就折返的次数少而言，则以α取小角为佳，因为折返的次数越少，驾驶员产生错误的机人越少，鉴于直升机的航程仅为287.5哩,即直升机必须返航的假设,作者们假定搜索航程为225哩,在此限制下,他们改进飞机的开始搜索点位置,并将区域跨越的长度定为约19哩,通过极大化捕获概率将开始搜索点定为(22.6,7.3)(见图13-18),并算得这一搜索路径所覆盖的区域有91%的可能性发现走私船. 3、模型的灵敏度分析：
作者们共作了3种不同的灵敏度分析.
第一种针对尾波+逃跑方式C(参阅图13-8). 令机速/船速=k ,作者们通过)
()
(/速度比捕获距d d dk dr =考察了捕获角θ对速度比k
的灵敏度,结果见表13-1.
表13-1捕获角关于速度比灵敏度（无尾波）
速度比 )
()
(速度比捕获距d d
捕获距 1.57 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 103.4 84.2 77.2 71.2 66.0 61.5 48.0 53.9 50.8 48.0 45.4
-88.3 -24.7 -2.37 16.8 33.1 47.2 59.6 70.3 79.8 88.3 95.9
当直升机按等螺旋线(圆形路线)飞行时,因k =1.57,知直升机不可能发现走私船.即使k =2.4,也只有16=r 尺,而当k =3时, 60=r 尺,由于此时,50/≈dk dr 很敏感,考虑到船与直升机的能力差别,这实在是太大了.
第二种针对有尾波+逃跑方式B(参阅图13-14和图13-15).
考察了捕获角度θ与距离r 对如下4个变量的灵敏度：尾波角β，听到直升机的距离AB （d h ,）2速度比k ，探照灯的照明半径R ，结果见表13-2—表13-4*.
由表中看出，除了)()
(/速度比捕获距d d dk dr =的绝对值较大之外，其余的导数
值都很小，因此R d h AB ),,(,β的变化对θ和r 的影响都很小，而因dk d /θ平均为-2.45, dk d /θ平均为-17.2,知速度比k 的变化会大大影响问题的答案,作者们认为要特别注意这一点.
表13-2 捕获角度于速度比的灵敏度（有尾波）
尾波度β
)()
(速度比捕获距d d
)()
(速度比捕获距d d
捕获角θ 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19.0 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20.0 0.398 0.398 0.398 0.399 0.399 0.399 0.400 0.400 0.400 0.401 0.000 0.401 0.402 0.402 0.402 0.403
2.39 2.90 2.90 2.90 2.90 2.90 2.90 2.91 2.91 2.91 0.000 2.91 2.92 2.92 2.92 2.92
33.3 33.4 33.4 33.4 33.5 33.5 33.6 33.6 33.6 33.7 33.7 33.8 33.8 33.8 33.9 33.9
表13-3 捕获角关于直升机被听到的距离（d h ,）的灵敏度（有尾波） 尾波度β
),()
(d h d d 捕获距
)
,()
(d h d d 捕获距
捕获角θ
450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 540
-0.065 2 -0.063 6 -0.062 1 0.060 6 0.059 2 0.000 0 0.056 6 0.055 4 0.054 2 0.053 1 0.052 1
0.137 0.136 7 0.136 2 0.135 7 0.135 3 0.000 0 0.134 5 0.134 2 0.133 8 0.133 5 0.133
36.98 36.26 35.58 34.93 34.31 33.72 33.15 32.61 32.09 31.59 31.11
表13-4捕获角于速度比之灵敏度（有尾波）
速度比k
)()
(速度比捕获距d d
)()
(速度比捕获距d d
捕获角 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
-3.7 -3.3 -3.0 -2.8 -2.6 0.00 -2.3 -2.1 -2.0 -1.9
-26.3 -23.9 -21.9 20.2 -18.7 0.0 -16.4 -15.4 -14.6 -13.8
37.4 36.4 35.5 34.8 34.2 33.7 33.3 32.9 32.5 32.2
第三种也是针对有尾波+逃跑方式B 的,作者们研究了直升机的定向问题,他们发现,只要飞机偏离航向0.50,就会极大的影响搜索路径(图13-18).但因题中假设了飞机可以很好地沿1100方向飞行,所以看来假高飞行定向精度在0.50以内是没有问题的.
五、模型的改进
我们的模型总是依赖于这样或那样一些假设,因为直升机不走重道,所以直升机产生的波的影响就很小,不同的直升机有不同速度和航程,随机种不同,之字形模式也会被改变.
模型对改变船头击起流的角度并不敏感,这意味着尾波角度的少量改动,其影响是很小的.最后,因为尾波在产生不久后就会被探知(最长需要3分钟),所以波无限保持假设没什么问题的.
主要的改进与题目所给我信息没有关系,如是你有一架直升机用于在海冰洋中寻找东西,你应配备一台雷达,这时搜索任务就易如反掌了.
另一改进渠道是直升机,这更使我们的答案富有变化性,我们在模型中选取了OH—58Kiowa直升机,它被认为是最可能用于缉私队的(我们从一些文章中得知,一些加强缉私队使用了更复杂的直升机,如UH—60黑鹰式).我们的搜索模式对于我们用的直升机来说是最优的,对不同航程的直升机会有不同的最优搜索模式,其中包括不同的起点.
我们结果最严重的问题在于:我们发现了船后怎么办?我们的直升机航程有限,追踪一旦超过极限,飞机便不能返航,我们能够假设要求船上人员停下来而让缉私员登上甲板吗?这一事实是说只有一架直升机的话并没有办法对付走私船,而另一艘舰艇迫其停下,我们的问题没有提供任何船只,若提供的话,我们可以找到一种更好的搜索模式:即诱使走私船向缉私机或缉私船.
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
第1章数学建模概述 (2) §1.1从现实现象到数学模型 (2) §1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4) §1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8) 习题1 (10)
第1章数学建模概述 随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义： （1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等； （2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等； （3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。 本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。 §1.1从现实现象到数学模型 现实世界丰富多彩，变化万千。人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。博览会是集中展示这些成果的场所之一。工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。 与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待 人们去研究、去解决。但 是，社会对数学的需求并 不只是需要数学家和专门 从事数学研究的人才，而 更大量的是需要在各部门 中从事实际工作 的人善于运用数 学知识及数学的 思维方法来解决 他们每天面临的 大量的实际问题， 取得经济效益和社会效 益。他们不是为了应用数 学知识而寻找实际问题 （就像在学校里做数学应 用题），而是为了解决实 际问题而需要用到数学。 而且不止是要用到数学， 很可能还要用到别的学 科、领域的知识，要用到 工作经验和常识。特别是 在现代社会，要真正解决 一个实际问题几乎都离不 开计算机。可以这样说， 在实际工作中 遇到的问题， 完全纯粹的只 用现成的数学 知识就能解决 的问题几乎是 没有的。你所能遇到的都 是数学和其他东西混杂在 一起的问题，不是“干净 的”数学，而是“脏”的 数学。其中的数学奥妙不 是明摆在那里等着你去解 决，而是暗藏在深处等着
你去发现。也就是说，你 要对复杂的实际问题进行 分析，发现其中的可以用 数学语言来描述的关系或 规律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就称 为数学模型。 数学模型具有下列特 征：数学模型的一个重要 特征是高度的抽象性。通 过数学模型能够将形象思 维转化为抽象思维，从而 可以突破实际系统的约 束，运用已有的数学研究 成果对研究对象进行深入 的研究。数学模型的另一 个特征是经济性。用数学 模型研究不需要过多的专 用设备和工具，可以节省 大量的设备运行和维护费 用，用数学模型可以大大 加快研究工作的进度，缩 短研究周期，特别是在电 子计算机得到广泛应用的 今天，这个优越性就更为 突出。但是，数学模型具 有局限性，在简化和抽象 过程中必然造成某些失 真。所谓“模型就是模型” (而不是原型)，即是该性 质。 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。 模型是客观实体有关属性的模拟。陈列 在橱窗中的飞机模型外形应当像真正的飞 机，至于它是否真的能飞则无关紧要；然而 参加航模比赛的飞机模型则全然不同，如果 飞行性能不佳，外形再 像飞机，也不能算是一 个好的模型。模型不一 定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的 某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并 不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符 号、文字和数字来反映出该地区的地质结 构。数学模型也是一种模拟，是用数 学符号、数学式子、程序、图形等对 实际课题本质属性的抽象而又简洁
1 数学建模简介 1.1什么是数学建模 数学建模简单的讲就是将实际问题变为用数学语言描述的数学问题的过程。其中对应的数学问题就是数学模型，人们通过对该数学模型的求解可以获得相应实际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了解。数学建模问题不只是一个纯数学的问题。以2001年全国大学生数学建模竞赛考题为例，此年出了两个赛题让参赛队在其中任选一个来做。这两个赛题是:血管的三维重建问题和公交车调度问题。前一个题目是生物医学方面的问题, 它除了形态医学知识之外,还涉及到几何学中的包络线知识、数据处理知识、计算机图象处理知识和计算机编程等；第二个题目涉及概率统计知识、数据采集、数据处理知识、计算机仿真及计算机编程知识等。再看看以前各届国内外数学建模试题，更是五花八门。有动物保护、施肥方案、抓走私船的策略、应急设施的选址等等。实际上，熟悉科学研究的人会发现数学建模正是科学研究工作者及在读研究生要完成毕业论文要做的工作。由于数学建模具有可以培养解决实际问题能力的特点，因此，了解和学习数学建模知识对渴望提高自身科研素质的人们无疑是很有帮助的。 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模有关的概念： ●原型（Prototype） 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、实际问题等。 ●模型（Model) 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、数学模型等。 一个原型可以有多个不同的模型。 ●数学模型 由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法称为数学模型。 1.2数学建模的方法和步骤 数学建模乍一听起来是乎很高深，但实际上并非如此。例如，在中学的数学课程中我们在作应用题而列出的数学式子就是简单的数学模型，而作题的过程就是在进行简单的数学建模。下面我们用一道代数应用题求解过程来说明数学建模的步骤。 例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问
实验一动力系统 一、实验目的与要求 掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。 1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证； 2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析； 3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点； 4、用Excel分析多元动态系统模型。 二、实验内容 Example 1.1 P9 研究课题第一题 随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。每年公司都向你提供如下的“优惠价”。你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。 混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月 Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月 解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型： Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000 b n+1= b n+0.0595b n-6000 b0=21045 Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000 b n+1= b n+0.055b n-6000 b0=22850 Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000 b n+1= b n+0.0625b n-6000 b0=25450 Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000 b n+1= b n+0.06b n-6000 b0=26015
创造数学模型始于心中有模型-举例漫谈 ●数学建模是mathematics modeling，是数学形成的进 行时，没有终结。 ●数学建模既是活的数学也是即兴使用数学知识的体现。 ●数学建模是创造数学模型的过程与结果的综合表现。 ●数学建模是“渔”鱼正常劳动生活。 ●数学建模竞赛则是限时的“命题式作文考试”，格式是 古老的八股文风格。 ●数学建模竞赛是“渔鱼”的表演赛。 ●数学模型是已经被前人完成了模型，是被捕上岸的 “鱼”。 ●数学教科书是所有优秀的数学模型以及如何使用这些模 型的附件的系统化整理和分类得到的书。 1.数学建模对人的要求：团队精神、快速反应、勤奋 务实、… 2.数学建模对知识的要求：心中有模型，关心生活， 关注身边的事物。 3.数学知识与其他知识同等重要。 4.具体本次课程要讲解的内容：现代数据处理技术， 机器学习方法,… 案例展示 Case1
mRNA 是翻译蛋白的蓝图，是一种四个字符组成的特殊单链序列，任何一个蛋白必然有一个mRNA与之对应。那么由生物学铁定的事实“兼并”规则：b5E2RGbCAP 表1：兼并法则表 兼并法则可以理解为映射： 由兼并映射，令为一切翻译蛋白的mRNA 之集合，令为全体蛋白。我们诱导出一个天然的映射法则<对应于读 码框）:p1EanqFDPw
图1 mRNA到蛋白的映射 诱导公式： 问题：“，，” 从数学上看，这是不是一个十分简单的问题？ 近几年来，人们从一度被认为是没有用途的非编码区中发现了一些身手不凡的“小小兵”，称为micro RNA, 简称miRNA. 它们是非常保守的片断，不但自己不转录成蛋白，而且还阻止其他序列转录。由于它们个体小，通常是21-25nt，因此在进化过程中一直保持稳定的状态，也就是说，它们在生物进化过的程中是保守的。DXDiTa9E3d 由于,碱基的互补性:A:C。 G:U (G:T>。导致miRNA有能力攻击以单链形式出现的mRNA。它们通过碱基互补的力量与mRNA 中的适当的片断互补配对，诱导mRNA降解或者阻止了该mRNA 转录为蛋白。RTCrpUDGiT mRNA 的死亡意味着相应的蛋白表达数量有可能减少。而某些功能蛋白的数量减少直接会表现出来与疾病联系。例如在一些
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念
模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。 合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。 3．构造模型
第一章第5题 一个男孩和一个女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校里上学，每天同时放学后分别以2km/h和1km/h的速度步行回家。一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩处跑向跑回男孩处，如此往返的奔跑，直至回到家中。问小狗总共奔波了多少路程？ 解：由于男孩、女孩与小狗跑的时间一样，所以把时间设为t，则有2t+1t=3，得到t=1h。 所以小狗跑了6km/h*1h=6km。 第一章10题 一位探险家必须穿过一片宽度为800 km的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每升汽油可行驶10km的吉普车．吉普车的油箱可装10升汽油。另外吉普车上可携带8个可装5升汽油的油桶，也就是说，吉普车最多可带50升汽油(最多能在沙漠中连续行驶500 km)。现假定在探险家出发地的汽油是无限充足的．问这位保险家应怎样设计他的旅行才能通过此沙漠？他要通过沙漠所需的汽油最少是多少升？为了穿越这片800km宽的沙漠，他总共需要行驶多少公里路程。总共要花费多少升的汽油? 思路： 1、若沙漠只有500公里或者更短，这时很简单，一次搞定。 2、若沙漠有550km，怎么办？需要保证的是：车到了离沙漠终点还有500km的地方，能恰恰加满油且不会有多余。方案可为：600-550＝50，从起点处加5*3(升)＝15升油，开出50km，设一加油站，存下5升，剩下5升刚好使得汽车返回起点。再在起点处加满50升油，到加油站时，只乘45升了，把存放在那儿的5升油加上。则可跑出沙漠。（这样共加油15＋50＝65，总路程为150+500＝650km） 3、再看2的情况，符合这种情况的沙漠的最大距离是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。即在起点准备100升油，第一次装50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起点，这时车里的油也正好用完，然后再在起点处装50升，跑了550/3公里后，车内剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好为50升油，则可跑出沙漠。 4。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3）km（但又超过得不多）又当如何？这时我们可以把前面的500*（1+1/3）km看成一段整体，需要保证的是：在距离沙漠终点500*（1+1/3）km 处恰恰有100升油（由3的分析可知）。怎么来保证呢，我们假设沙漠的距离只比500*（1+1/3）多了1公里，因为汽车的容量是50升，所以100升油最少从起点运3次油才能满足。除了3次装油，还有两次折回，所以往返正好有5次，这5次能保证的距离是500/5，所以这时我们又把沙漠的距离延伸到了：500*（1+1/3+1/5），起点应该储备150升油。 5。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3+1/5）km，要保证在距离沙漠终点500*（1+1/3+1/5）km的地方有150升油。 综上所述：总有某一个值k,使得 fdis=500*（1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)）<800，但500*(1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)+1/(2k+1)）>800，应该在起点准备多少油呢？这时多了一小段出来，按情形2的分析，在起点准备的油应当是：（(800 - fdis)/油耗）*往返次数+ k*50。 经计算：fdis=766.66,k=3,故应准备的油应为： （(800 – 766.66)/10）*7 + 3*50＝173.338。 第一章11题 如果你有一个3L的桶和5L的桶，问如何才能准确地称出4L的水？如果你要的不是4L而是别的数量，你又该怎么办？ 解：准确称出4L水的方法：先把3L的桶装满水，倒入5L的桶中，再把3L的桶装满，又倒入5L的桶中直到倒满，此时3L的桶中还剩下1L；再将5L桶中的水倒掉，将3L桶中
《数学建模》课程标准 执笔人：吴孟达审阅学院：理学院 课程编号：0701107 英文名称：Mathematic Modeling 预修课程：高等数学、线性代数、概率统计 学时：36，其中课堂讲授28学时，上机与实践8学时。 学分：2 开课学期：春季学期 教学对象：全校理工科及指挥类各专业（选修） 一、课程概述 （一）课程性质地位 计算机技术的飞速发展，极大地拓展了数学应用的空间。数学应用已从传统的物理领域扩展到了包括生物、化学、医学、气象、人口、生态、经济、管理、社会学等极其广泛的领域，在这些应用中，不可或缺的是把数学理论与客观实际问题联系起来的桥梁——数学建模，即通过有目的地收集数据资料，研究其固有的特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，经过抽象简化，建立起反映实际问题的数量关系——数学模型，然后运用数学的方法与技巧去分析和解决实际问题。本课程通过培养学员“定量化思考”的意识与素养，为所有理工科及合训类学员科研能力及创新能力的提高提供基础性综合训练。 （二）课程基本理念 传统的数学课程的教学强调数学知识的掌握，要求学生掌握所学数学课程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为其进一步获得数学知识、学好以后的各门专业基础课、专业课打下坚实的数学基础。但囿于教学体系及课时的限制，在综合运用知识解决实际问题的实践性环节上有欠缺，于是数学建模课程便应运而生。数学建模是大学数学教学中的一个数学应用性教学环节，让学生借助相关数学理论、计算机和数学软件，通过解决实际问题来学数学和用数学。该环节包括对实际问题的建模和分析、对数学软件的学习和使用等。通过该教学环节，不仅使学生在学习大学数学课程的早期，便可初步获得运用数学知识和数学软件来解决实际问题的能力，而且能够提高学生学习数学的兴趣。
1数学建模概述 ? 数学模型 ? 数学建模过程 ? 数学建模示例 ? 建立数学模型的方法和步骤 ? 数学模型的分类 1数学模型 模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律： 结合开普勒三定律得出万有引力定律 航行问题： 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？ 用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程 解方程组，得 22 1r m m G F =ma F =?? ?=?-=?+75050)(75030)(y x y x 小时） （千米小时）（千米/5/20==y x
1 数学建模概述
? ? ? ? ? 数学模型 数学建模过程 数学建模示例 建立数学模型的方法和步骤 数学模型的分类
1 数学模型
模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不 一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。矚慫润厲钐瘗睞枥。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模 拟试验，间接地研究原型的某些规律。聞創沟燴鐺險爱氇。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化 和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。残骛楼諍锩瀨濟溆。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、 图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期： “数理是宇宙的基本原理” 。文艺复兴 时期：应用数学来阐明现象“进行尝试” 。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、 符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间 最短的路径前进” 。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：酽锕
极額閉镇桧猪。
F ? ma
结合开普勒三定律得出万有引力定律
F ?G
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航行问题： 甲乙两地相距 750 千米，船从甲到乙顺水航行需 30 小时，从乙到甲逆水航行需 50 小时，问船速、水速各 多少？彈贸摄尔霁毙攬砖。 用 x , y 分别代表船速、水速，可以列出方程
解方程组，得
?( x ? y) ? 30 ? 750 ? ?( x ? y) ? 50 ? 750 x ? 20 （千米/小时） y ? （千米 5 /小时）
第1教案数学建模及竞赛知识介绍 目的要求: 1. 了解数学建模的基础知识、相关的基本概念； 2. 了解数学模型的特点和学习方法； 3. 掌握数学建模的具体过程和步骤， 教学重点及难点: 重点：了解数学建模的一般步骤和方法，体会如何用数学的语言和方法表述和解决实际问题。 难点：体会如何用数学的语言和方法表述和解决实际问题。 教学方法手段: 讲授法，案例教学法，多媒体 创新点: 应用和创新是数学建模的特点，也是素质教育的灵魂；不论用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科想结合形成交叉学科，首先的和关键的一步是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型。在高科技，特别是计算机技术迅速发展的今天，计算和建模正成为数学科学技术转化的主要途径。 教学过程: 1．1 从现实对象到数学模型 本节先讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。原型和模型原型（prototype）和模型（model）是一对对偶体。原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程（process）等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型替代物。 特别强调构造模型的目的性。模型不是原形原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个原型，为了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。例如：展厅里的飞机模型：外形上逼真，但是不一定会飞； 航模竞赛的模型飞机：具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求； 飞机设计、试制过程中用大的数学模型和计算机模拟：要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特征，毫不涉及飞机的实体。 模型的分类 用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模型、数学模型。 直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的。 物理模型主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。这类模型应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型的优点是常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。 思维模型指通过人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存于人脑中，
数学模型概述 2006年12月19日星期二下午 02:23 数学模型概述 数学是一切科学和技术的基础。数学教育改革关系到数学乃至科学的未来，努力使我国的数学教育面向21世纪，适应现代化建设的需要，已成为刻不容缓而又意义深远的任务。目前，数学的应用向着各个领域渗透，各行各业日益依赖于数学，甚至可以说当今的社会正日益数学化。从科学技术的角度来看，不少新的分支（交叉）学科出现了，特别是与数学相结合而产生的学科，例如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学心理学、数理语言学、数学社会科学等。我国著名科学家钱学森教授也多次强调数学科学的重要性，并论述了他对“数学技术”的理解。而且象财务、会计专用软件包等都是大量应用了现有的相关的数学知识，开发数学模型以及应用数学技巧、方法的结果。然而多数人只是见到外在表现而没认识到所以能有这种外在表现的内在原因。因而人们对当今这个时代的日益数学化这一特点远没有取得共识。相反我们却看到一种矛盾的现象，一方面很容易“论证”数学的重要性，因为从小学一年级到大学一年级（甚至高年级、研究生阶段）每学期都要学习数学而且都是必修课，而任何其他学科都没有这么长的学习时间，因而“数学最重要”不是很显然了吗？然而认真地看一下对数学科研的资助在削弱，选学数学作为终身职业的学生数目锐减，甚至要求大量削减数学教学学时的“呼声”经常出现。不少有远见的科学家已经注意到这一问题的严重性。例如著名的Dvaid（美国数学界的权威）的报告中就指出“一方面，数学及数学的应用在科学、技术、商业和日常生活中所起的作用愈来愈大；在另一方面，一般公众甚至科学界对数学研究可以说是一无所知。”James G. Glimm在《数学科学，技术，经济竞争力》中指出“作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的极其重要性也未被认识到”，E.E.David Jr.在《 Notice of American Mathematical Society 》中肯定地指出“数学的重要性不是不言自明的，何况许多对此看法游移不定的人并没有认真地思考过（数学的重要性问题）。”他告诫数学界要作出更多的主动努力使人们更了解数学。众所周知，21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的主要阵地，实施素质教育势在必行。 一、数学素质教育1、对数学地位和作用的再认识数学不仅是一切科学和技术的基础，而且是学习和攀登科学技术高峰的钥匙和先决条件。在信息社会里，由于计算机的广泛应用，加速了现代社会的“数学化”进程，因为越来越多的问题首先需要归结或表示为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高，目前，人们把科学计算与理论研究、科学实验并列为科学研究的三种基本方法。在日常的经济与行政管理工作中，严谨的逻辑思维与定量思维是衡量一个人文化素质是否全面发展的一个重要标志。德国著名数学家H.G.Grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能”。而James在《数学科学·技术·经济竞争力》中指出：“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供了方法，以至于当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的，并且是可以传播的知识。分析、设计、建模、模拟（仿真）及其具体实施就可能变成高效加结构良好的活动。”因此，“在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术”。 但是，众所周知，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立模型，不会设计适当的方法，也不会自行编程序软件。计算机所擅长的只是按照人们编制的软件快速进行数学计算和符号演算。在这个意义是容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展越需要数学修养高的人。计算机正是借助于数学才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。 综上所述，数学素质是素质的重要组成部分，实施以大学生数学素质教育为核心的数学教学改革势在必行。 2、高等院校数学教育的任务由于以计算机和通讯为代表的信息技术的迅猛发展，当前的数学教育面临两大问题：其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改革才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的哪些困难。一个不争的事实是：计算机革命的冲击力
数学建模第一讲 ——什么是数学模型 一、什么是“模型”？ 1．汽车模型、轮船模型、飞机模型 2．数学老师上课时使用的圆柱、圆锥；地理老师使用的地球模型（地球仪） 3．购买房屋时，所展示的房屋模型 这些模型，都是反映在人们脑中的具体模型、实物模型，那么，对于一个抽象概念“数学模型”，大家又是怎样理解的呢？ 二、什么是数学模型？ 数学模型应该说是每个人都十分熟悉的，早在同学们学习初等代数的时候，也就是在初中的学习过程中已经用建立数学模型的方法来解决问题了。 比如，你一定接触过这样的问题： “航行问题” 例：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30个小时，从乙到甲逆水航行需50个小时，问船速、水速各为多少？ 利用初中所学的建立方程的知识，用x、y分别表示船速、水速 (x+y)·30=750 (x-y)·50=750 可求出方程的解x=20公里\小时，y=5公里\小时 这就是一个很简单的数学模型，就是二元一次方程组。
当然，真正解决实际问题的数学模型通常要复杂得多，还要考虑很多问题。在这个“航行问题”中，要考虑航道的状况，不同时刻、不同区域的船速、水速的变化，风向对船速的影响，船的载重对船速的影响等等。 但是，数学模型的基本思想内容已经包含在这个简单的问题之中了。那就是通过数学的方法对一些实际问题作出解答，并应用于实践。 三、数学模型的基本内容： 1、根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设。（设航行中船速和水速是常数；忽略了天气、航道等干扰因素） 2、用字母表示待求的未知量。（用x,y代表了船速和水速） 3、利用相应的物理或其它规律，列出数学式子。 （利用匀速运动的距离等于速度乘以时间。列出二元一次方程组） 4、求出数学上的解答。（解方程组） 5、用这个答案解释原问题。（船速为20公里每小时，水速为 5公里每小时） 6、最后还要用实际现象来验证上述结果。 四、数学模型可以描述为： 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
一、数学建模概述 1.1 什么是数学建模 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型等。利用数学的语言、公式、图、表、或符号等来模拟现实的模型称为数学模型。我们知道，对于一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型。举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往已地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线。从这个简单的例子中我们可以看到数学建模的重要性。 1.2 数学建模包含哪些步骤 数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等步骤。 模型建立 模拟现实问题建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要有敏锐的洞察力与理解力，善于抓住问题的内在联系，作出合理的假设与简化，找出影响问题的各种因素及其相互关系。建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要具备其他学科的一些知识，另外还要有一定的编程能力。 一般来说，模型建立的方法不止一种。如最短路线问题，可以用图论方法，也可以用线性规划方法，有时还可用动态规划的方法。 模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法。例如旅行推销员问题：一个推销员要到n 个城市去推销，如何安排行程？如果用简单的组合算法，其计算步骤是!n 的倍数，随着n 的增大，计算量之大以至无法得到结果。如30n ，即使以每秒以24 10 步的速度来计算，也需要8年多，况且现在的计算机还没有达到上述速度。 结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析。如种群的相互竞争问题需要对解的现实意义作出解释，并对模型的稳定性进行分析。 二、基本知识 微分方程在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。大量的实际问题需要用微分方程来描述。 首先，我们要对实际研究现象作具体分析，然后利用已有规律、或者模拟，或近似的得到各种因素变化率之间的关系，从而建立一个微分方程。一般地，利用以下三种方法建立一个微分方程模型。 1. 根据规律建模 在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如Newton 运动定律、物质的放射性规律、曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率，因而可根据相应的规律以及 变化率＝输入率－输出率 的思想，列出微分方程。 2. 微元法建模 在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理寻求某些微元之间的关系。 3. 模拟近似法 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，由于我们对上述领域的一些现象的规律性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知