2017-2018学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级
（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）已知x=0是方程x2+2x+a=0的一个根，则方程的另一个根为（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣2 D．x=2
2．（2分）（2004?大连）一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
3．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，已知PA切⊙O于A，⊙O的半径为3，OP=5，则切线PA长为（）
A． B．8 C．4 D．2
4．（2分）（2001?黑龙江）如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）
A．B．1 C．1或3 D．
5．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）若（x+y）2﹣（x+y）﹣6=0，则x+y的值为（）
A．2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3
6．（2分）（2017?南通）已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、
OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题2分，共20分）
7．（2分）（2012秋?新都区期末）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为．
8．（2分）（2017秋?张家港市校级月考）边长为2的正六边形的内切圆的半径为．
9．（2分）（2009?张家港市模拟）已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x1+x2=．
10．（2分）（2008?郴州）已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是．
11．（2分）（2017?常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=．
12．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）某城市2013年年底绿地面积有200万平方米，计划经过两年达到242万平方米，则平均每年的增长率为．13．（2分）（2018?惠民县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O
的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=．
14．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）若x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2的值是．
15．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是．
16．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的顶点C恰好落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好落在量角器的圆弧上，且AB∥MN，若AB=4，则量角器的直径MN=．
三、解答题（本大题共88分）
17．（12分）（2017秋?建邺区校级月考）（1）x2﹣6x﹣4=0
（2）x2﹣12x+27=0
（3）2x2+5x﹣7=0．
18．（8分）（2018?镇平县模拟）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判断方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
19．（7分）（2016秋?建邺区期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°，求∠ABD的度数．
20．（8分）（2016秋?建邺区期中）已知△ABC．
（1）作△ABC的外接圆⊙O；
（2）P是⊙O外一点，在⊙O上找一点M，使PM与⊙O相切．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．（10分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C 为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=2，CE=2，CF⊥AB，垂足为点F．①求⊙O的半径；②求CF的长．
22．（8分）（2017?菏泽）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
23．（8分）（2016秋?建邺区期中）△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，⊙O的半径为2，O到BC的距离为1．
（1）求BC的长；
（2）∠BAC的度数为°．
24．（9分）（2016秋?建邺区期中）如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA=∠B．
（1）求证：直线CD与⊙O相切．
（2）若AC=AO=1，求图中阴影部分的面积．
25．（8分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）若P，Q两点同时出发，几秒后可使△PQC的面积为8cm2？
（2）若P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为3cm．
26．（10分）（2016秋?建邺区期中）问题提出
如图①，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点MD⊥AC，垂足为D，求证：CD=BA+AD．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图③，等边△ABC内接于⊙O，AB=1，D是上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD=BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由．
2017-2018学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）已知x=0是方程x2+2x+a=0的一个根，则方程的另一个根为（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣2 D．x=2
【分析】利用待定系数法求出a的值，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵x=0是方程x2+2x+a=0的一个根，
∴a=0，
∴x2+2x=0，
∴x=0或﹣2，
∴方程的另一个根为﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
2．（2分）（2004?大连）一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=4，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×4=﹣12＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
3．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，已知PA切⊙O于A，⊙O的半径为3，OP=5，则切线PA长为（）
A． B．8 C．4 D．2
【分析】连接OA，如图，先利用切线的性质得到OA⊥AP，然后利用勾股定理计算PA的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA切⊙O于A，
∴OA⊥AP，
在Rt△OAP中，PA===4．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
4．（2分）（2001?黑龙江）如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）
A．B．1 C．1或3 D．
【分析】利用勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解．
【解答】解：如图，分两种情况，
①设扇形S2做成圆锥的底面半径为R2，
由题意知：扇形S2的圆心角为270度，
则它的弧长==2πR2，R2=；
②设扇形S1做成圆锥的底面半径为R1，
由题意知：扇形S1的圆心角为90度，
则它的弧长==2πR1，R1=．
故选：D．
【点评】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解．
5．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）若（x+y）2﹣（x+y）﹣6=0，则x+y的值为（）
A．2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3
【分析】根据因式分解法可以解答此方程．
【解答】解：∵（x+y）2﹣（x+y）﹣6=0，
∴[（x+y）﹣3][（x+y）+2]=0，
∴x+y=3或x+y=﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法，
将x+y看做一个整体．
6．（2分）（2017?南通）已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠POQ=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=
∠POQ=∠POC，进而可得出=，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB 的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．
【解答】解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
∵OA∥MC，
∴∠POQ=∠CMQ．
∵∠CMQ=2∠COQ，
∴∠COQ=∠POQ=∠POC，
∴=，OC平分∠AOB，结论①④正确；
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共20分）
7．（2分）（2012秋?新都区期末）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为12．
【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，
得x1=5，x2=7，
∵1＜第三边＜7，
∴第三边长为5，
∴周长为3+4+5=12．
【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
8．（2分）（2017秋?张家港市校级月考）边长为2的正六边形的内切圆的半径为．
【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【解答】解：由题意得，∠AOB==60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=2?=，
故答案为：．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
9．（2分）（2009?张家港市模拟）已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x1+x2=﹣6．
【分析】题目所求x1+x2的结果正好为两根之和的形式，根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2的值．
【解答】解：由根与系数的关系可得x1+x2=﹣6．
故本题答案为：﹣6．
【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．
10．（2分）（2008?郴州）已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是4π．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面积等于半径为4，弧长为2π的扇形的面积，
∴侧面积=×4×2π=4π
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法．
11．（2分）（2017?常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点
C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=70°．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB=∠DAB=20°，∠ACB=90°，计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB=∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
12．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）某城市2013年年底绿地面积有200万平方米，计划经过两年达到242万平方米，则平均每年的增长率为10%．
【分析】先设平均每年的增长率为x，用x表示出2014年的绿地面积200（1+x），再根据2014年的绿地面积表示出2015年的绿地面积，令其等于242即可．【解答】解：设每年绿地面积平均每年的增长率为x，由题意得：
200（1+x）2=242，
解得：x1=10%，x2=﹣210%（舍去）．
答：每年绿地面积平均每年的增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的运用，得出2015年绿地面积的等量关系是解题关键．
13．（2分）（2018?惠民县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O 的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=40°．
【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，继而求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=50°，
∴∠CAD=90°﹣∠D=40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）若x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2的值是1．
【分析】原式提取公因式，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2+x﹣1=0，即x2=1﹣x，
∴原式=x2（x+2）=（1﹣x）（x+2）=﹣x2﹣x+2=x﹣1﹣x+2=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是4．
【分析】根据题意求出AB，根据勾股定理求出OC，根据垂径定理解答．
【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），
∴OA=2，OB=2，
则AB=4，
在Rt△AOC中，OC==2，
∵AB⊥CD，
∴CD=2OC=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
16．（2分）（2017秋?建邺区校级月考）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的顶点C恰好落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好落在量角器的圆弧上，且AB∥MN，若AB=4，则量角器的直径MN=2．
【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．
在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=2，
在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，
∴CD=BC?sinB=2×=，
∴OE=CD=，
在△AOE中，AE=AB=2，
则OA=，
则MN=2OA=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．
三、解答题（本大题共88分）
17．（12分）（2017秋?建邺区校级月考）（1）x2﹣6x﹣4=0
（2）x2﹣12x+27=0
（3）2x2+5x﹣7=0．
【分析】（1）将常数项移到方程右边，方程两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（3）将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少
有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4=0，
移项得：x2﹣6x=4，
配方得：x2﹣6x+9=13，即（x﹣3）2=13，
开方得：x﹣3=或x﹣3=﹣，
解得：x1=3+，x2=3﹣；
（2）x2﹣12x+27=0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣9）=0，
可得x﹣3=0或x﹣9=0，
解得：x1=3，x2=9；
（3）2x2+5x﹣7=0，
分解因式得：（x﹣1）（2x+7）=0，
可得x﹣1=0或2x+7=0，
解得：x1=1，x2=﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（8分）（2018?镇平县模拟）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判断方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4＞0，由此可得出无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x=3代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0，
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）将x=3时，原方程为9+6m+m2﹣1=0，
即（x+2）（x+4）=0，
解得：m1=﹣2，m2=﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=3代入原方程求出m值．
19．（7分）（2016秋?建邺区期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°，求∠ABD的度数．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求出∠DCB=3∠A=30°，再根据直径所对的圆周角为90°，求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵∠DCB=30°，
∴∠A=30°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∠ABD=90°﹣30°=60°．
【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°是解题的关键．
20．（8分）（2016秋?建邺区期中）已知△ABC．
（1）作△ABC的外接圆⊙O；
（2）P是⊙O外一点，在⊙O上找一点M，使PM与⊙O相切．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）作AC和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）连接OP，作OP的垂直平分线得到OP的中点D，然后以点D为圆心，OD 为半径作圆，⊙D与⊙O相交于M，连接PM即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）如图，PM为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．（10分）（2017秋?建邺区校级月考）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C 为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=2，CE=2，CF⊥AB，垂足为点F．①求⊙O的半径；②求CF的长．
【分析】（1）连结OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥CD，加上AD⊥CD，则可判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠1=∠3，由于∠2=∠3，则∠1=∠2；（2）①设⊙O的半径为r，根据勾股定理得：，可得r的值；
②先根据角平分线的性质得：DC=FC，设DC=CF=y，根据平行线分线段成比例定理得：，可得CF的值．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：①设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=2+r，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：，
r=2，
则⊙O的半径为2；
②∵AC平分∠DAB，AD⊥CD，AB⊥FC，
∴DC=FC，
设DC=CF=y，
∵OC∥AD，