恒升教育高二数学课外提升大讲堂(一)教师版
直线、平面之间的位置关系
一、知识点梳理
1.平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面;
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类??? 共面直线????? 平行相交异面直线:不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间任意一点O ,作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ,b 所成的角.
②范围:???
?0,π2. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
6.定理
Ⅰ.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. Ⅱ.过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
二、基础巩固演练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a ,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a .
( √ )
(2)两个平面α,β有一个公共点A ,就说α,β相交于过A 点的任意一条直线.
( × ) (3)两个平面α,β有一个公共点A ,就说α,β相交于A 点,并记作α∩β=A .
( × ) (4)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .
( × ) (5)经过两条相交直线,有且只有一个平面. ( √ )
2.已知a ,b 是异面直线,直线c 平行于直线a ,那么c 与b 的位置关系为________. 答案 相交或异面
解析 由已知得直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b ∥c ,则a ∥b ,与已知a 、b 为异面直线相矛盾.
3.下列命题正确的个数为________.
①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
答案 2
解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确;两条平行线可以确定一个平面,∴②正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确;
命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
4.已知A 、B 表示不同的点,l 表示直线,α、β表示不同的平面,则下列推理错误的是________. ①A ∈l ,A ∈α,B ∈l ,B ∈α?l ?α;②A ∈α,A ∈β,B ∈α,B ∈β?α∩β=AB ;
③l ?α,A ∈l ?A ?α;④A ∈α,A ∈l ?l ∩α=A . 答案 ③④
5.已知空间四边形ABCD 中,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,则下列判断:①MN ≥12
(AC +BD );②MN >1
2(AC +BD );③MN =12(AC +BD );④MN <12
(AC +BD ). 其中正确的是________.
答案 ④
解析 如图,取BC 的中点O ,连结MO 、NO ,
则OM =12AC ,ON =12BD ,在△MON 中,MN (AC +BD ),∴④正确. 题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AB 和AA 1 的中点.求证: (1)E 、C 、D 1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 思维启迪(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面; (2)可以先证CE与D1F交于一点,然后再证该点在直线DA上. 证明(1)连结EF,CD1,A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF 则由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA 三线共点. 思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理2是证明三线共点或三点共线的依据;公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据. (1)以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面; ③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是________. (2)a、b是异面直线,在直线a上有5个点,在直线b上有4个点,则这9个点可确定________ 个平面. 答案(1)1(2)9 解析(1)①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. (2)∵a、b是异面直线,∴a上任一点与直线b确定一平面,共5个,b上任一点与直线a 确定一平面,共4个,一共9个. 题型二判断空间两直线的位置关系 例2如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由. 思维启迪第(1)问,连结MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共 面;第(2)问可采用反证法. 解(1)不是异面直线.理由如下:连结MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C, ∴A 1ACC 1为平行四边形,∴A 1C 1∥AC ,∴MN ∥AC , ∴A 、M 、N 、C 在同一平面内,故AM 和CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,∴B 、C 、C 1、D 1不共面.假设D 1B 与CC 1不是异面直线, 则存在平面α,使D 1B ?平面α,CC 1?平面α,∴D 1、B 、C 、C 1∈α,与ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体矛盾.∴假设不成立,即D 1B 与CC 1是异面直线. 思维升华 (1)证明直线异面通常用反证法; (2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等; (3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行. (1)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是BC 1, CD 1的中点,则下列判断错误的是________. ①MN 与CC 1垂直;②MN 与AC 垂直;③MN 与BD 平行;④MN 与A 1B 1 平行. (2)在图中,G 、N 、M 、H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 答案 (1)④ (2)②④ 解析 (1)连结B 1C ,B 1D 1,则点M 是B 1C 的中点,MN 是△B 1CD 1的中位线,∴MN ∥B 1D 1, ∵CC 1⊥B 1D 1,AC ⊥B 1D 1,BD ∥B 1D 1,∴MN ⊥CC 1,MN ⊥AC ,MN ∥BD . 又∵A 1B 1与B 1D 1相交,∴MN 与A 1B 1不平行,故④不正确. (2)图①中,直线GH ∥MN ;图②中,G 、H 、N 三点共面,但M ?面GHN , 因此直线GH 与MN 异面;图③中,连结MG ,GM ∥HN ,因此GH 与MN 共面; 图④中,G 、M 、N 共面,但H ?面GMN ,因此GH 与MN 异面. 所以图②、④中GH 与MN 异面. 题型三 求两条异面直线所成的角 例3 空间四边形ABCD 中,AB =CD 且AB 与CD 所成的角为30°,E 、 F 分别为BC 、AD 的中点,求EF 与AB 所成角的大小. 思维启迪 取AC 中点,利用三角形中位线的性质作出所求角. 解 取AC 的中点G ,连结EG 、FG ,则EG 綊12AB ,GF 綊12 CD , 由AB =CD 知EG =FG , ∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角,∠EGF (或它的补角)为 AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°, ∴∠EGF=30°或150°. 由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°; 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°. 思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵 活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于________. 答案60°解析如图,可补成一个正方体,∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形, ∴∠A1BD1=60°.即BA1与AC1成60°的角. 易错题练习 典例:(5分)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作________条. 易错分析忽视异面直线所成的角,只找两条相交直线所成角,没有充分认识正方体中的平行关系. ,显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角 解析如图,连结体对角线AC 都相等,所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线,如连结 BD1,则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条. 答案 4 温馨提醒求空间直线所成的角时,常犯以下错误: (1)不能挖掘题中的平行关系,找不到其所成的角; (2)线多、图形复杂、空间想象力不够,感觉无从下手. 方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点 也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共 点,根据公理2可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问 题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]. A组专项基础训练 (时间:40分钟) 一、填空题 1.下列命题正确的是________.(填序号) ①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 答案②③ 解析经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确;两条平行线可以确定一个平面,∴②正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确. 2.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定______个平面. 答案1或4 解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否则确定四个平面. 3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的 取值范围是________. 答案 (0,2) 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a 的棱长一定大于0且小于 2. 4.四棱锥P -ABCD 的所有侧棱长都为5,底面ABCD 是边长为2的正方形,则CD 与P A 所成角的余弦值为________. 答案 55 解析 因为四边形ABCD 为正方形,故CD ∥AB ,则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角,即为∠P AB . 在△P AB 内,PB =P A =5,AB =2,利用余弦定理可知cos ∠P AB =P A 2+AB 2-PB 2 2×P A ×AB =5+4-52×5×2=55 . 5.设P 表示一个点,a 、b 表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.(填序号) ①P ∈a ,P ∈α?a ?α;②a ∩b =P ,b ?β?a ?β;③a ∥b ,a ?α,P ∈b ,P ∈α?b ?α; ④α∩β=b ,P ∈α,P ∈β?P ∈b . 答案 ③④ 解析 当a ∩α=P 时,P ∈a ,P ∈α,但a ?α,∴①错;a ∩β=P 时,②错; 如图,∵a ∥b ,P ∈b ,∴P ?a ,∴由直线a 与点P 确定唯一平面α, 又a ∥b ,由a 与b 确定唯一平面β,但β经过直线a 与点P ,∴β与α重合,∴b ?α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 6.如图是正方体或四面体,P ,Q ,R ,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是________.(填序号) 答案 ④ 7.a ,b ,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;②若a 与b 相交,b 与c 相交,则a 与c 相交; ③若a ?平面α,b ?平面β,则a ,b 一定是异面直线;④若a ,b 与c 成等角,则a ∥b . 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 答案 ① 解析 由公理4知①正确;当a 与b 相交,b 与c 相交时,a 与c 可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;a ?α,b ?β,并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”,故③不正确;当a ,b 与c 成等角时,a 与b 可以相交、平行,也可以异面,故 ④不正确 . 8.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连结正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对. 答案 24 解析 正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线为面对 角线,以AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A ′B , BC ′,A ′D ,C ′D ,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异 面直线对共有12×42 =24(对). 二、解答题 9.如图,空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上,且满足 AE ∶EB =CF ∶FB =2∶1,CG ∶GD =3∶1,过E 、F 、G 的平面交AD 于点H . (1)求AH ∶HD ; (2)求证:EH 、FG 、BD 三线共点. (1)解 ∵AE EB =CF FB =2,∴EF ∥AC ,∴EF ∥平面ACD ,而EF ?平面EFGH , 平面EFGH ∩平面ACD =GH ,∴EF ∥GH ,∴AC ∥GH .∴AH HD =CG GD =3.∴AH ∶HD =3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ,且EF AC =13,GH AC =14 ,∴EF ≠GH ,∴EFGH 为梯形. 令EH ∩FG =P ,则P ∈EH ,而EH ?平面ABD ,又P ∈FG ,FG ?平面BCD , 平面ABD ∩平面BCD =BD ,∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点. 10.如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,OA ⊥ 底面ABCD ,OA =2,M 为OA 的中点. (1)求四棱锥O -ABCD 的体积; (2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形ABCD 的面积S =4, 所以,四棱锥O -ABCD 的体积V =13×4×2=83 . (2)连结AC ,设线段AC 的中点为E ,连结ME ,DE , 则∠EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得DE =2,EM =3,MD =5,∵(2)2+(3)2=(5)2, ∴△DEM 为直角三角形,∴tan ∠EMD =DE EM =23=63 . B 组 专项能力提升 (时间:35分钟) 1.l 1,l 2,l 3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是________.(填序号) ①l 1⊥l 2,l 2⊥l 3?l 1∥l 3;②l 1⊥l 2,l 2∥l 3?l 1⊥l 3;③l 1∥l 2∥l 3?l 1,l 2,l 3共面; ④l 1,l 2,l 3共点?l 1,l 2,l 3共面. 答案 ② 解析 当l 1⊥l 2,l 2⊥l 3时,l 1与l 3也可能相交或异面,故①不正确;l 1⊥l 2,l 2∥l 3?l 1⊥l 3,故②正确;当l 1∥l 2∥l 3时,l 1,l 2,l 3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故③不正确;l 1,l 2,l 3共点时,l 1,l 2,l 3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故④不正确. 2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与EF 平行;②BD 与MN 为异面直线; ③GH 与MN 成60°角;④DE 与MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE ⊥MN . 3.(2012·四川)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱CD 、 CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________. 答案 90° 解析 如图,取CN 的中点K ,连结MK ,则MK 为△CDN 的中位线, 所以MK ∥DN . 所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角. 连结A 1C 1,AM .设正方体棱长为4,则A 1K =(42)2+32=41, MK =12DN =12 42+22=5,A 1M =42+42+22=6,∴A 1M 2+MK 2=A 1K 2,∴∠A 1MK =90°. 4.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为棱C 1D 1,C 1C 的中点,有以下四个 结论: ①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线; ③直线BN 与MB 1是异面直线;④直线AM 与DD 1是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确结论的序号都填上). 答案 ③④ 5.已知a ,b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a ,b 在α上的投影可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号). 答案 ①②④ 6.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为正方形ABCD 的中心,H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点.求证:D 1、H 、O 三点共线. 证明 连结BD ,B 1D 1, 则BD ∩AC =O , ∵BB 1綊DD 1,∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形,又H ∈B 1D , B 1D ?平面BB 1D 1D , 则H ∈平面BB 1D 1D , ∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D =OD 1,∴H ∈OD 1. 即D 1、H 、O 三点共线. 7.如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠F AB = 90°,BC 綊12AD ,BE 綊12F A ,G ,H 分别为F A ,FD 的中点. (1)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (2)C ,D ,F ,E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由题设知,FG =GA , FH =HD ,所以GH 綊12AD . 又BC 綊12AD ,故GH 綊BC , 所以四边形BCHG 是平行四边形. (2)解 C ,D ,F ,E 四点共面.理由如下: 由BE 綊12AF ,G 是F A 的中点知,BE 綊GF , 所以四边形EFGB 是平行四边形,所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ,所以EF ∥CH , 故EC ,FH 共面. 又点D 在直线FH 上,所以C ,D ,F ,E 四点共面. 点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类: 1、平行关系与平行关系互推; 2、垂直关系与垂直关系互推; 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理(需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义(交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直,则两 面面垂直定 3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素,互推的本质是以某一元素为中介,通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系,推导出该两元素的关系,总共有21种情况,能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性:b c c a b a //////?? ??; 面面平行传递性:γαβγβα//////?? ??; 线面垂直、线面垂直?线面平行: ααββα//a a a ??? ????⊥⊥; 线面垂直?线线平行(线面垂直性质定理):b a b a //?? ??⊥⊥αα; 线面垂直?面面平行:βαβα//?? ??⊥⊥a a ; 线面垂直、面面平行?线面垂直:βαβα⊥?? ??⊥a a //; 线线平行、线面垂直?线面垂直:αα⊥?? ??⊥b a b a //; 线面垂直、线面平行?面面垂直:βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注:另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手,证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????;αββα////a a ?????;ααββα//a a a ??? ????⊥⊥; 《平面上两条直线的位置关系》 第1课时相交与平行 教学目标: 1.知识与能力: 了解同一平面上两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种, 理解平行线的概念. 2.过程与方法 经历探索平行公理及其直线平行关系的传递性的内容,理解并 掌握此内容.会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线. 3.情感态度与价值观 联系实际生活学习几何,感受几何知识的现实意义. 教学重点: 理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容 教学难点: 对平行公理及直线平行关系的传递性的理解. 教学过程: 一、快乐启航 1.经过一点可以画几条直线?经过两点呢?经过三点呢? 2.线段AB=CD,CD=EF,那么AB与EF的关系怎样? 3.同一平面内两条直线的位置关系有哪些? 二、我会自主学习 1.观察P72的图形 说出这些直线的不同的位置关系?相交、重合、不相交也不重合(平行) 平面内两条直线的位置关系可能相交,可能重合,也可能不相交也不重合.归纳 得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念. 关键:有没有公共点 2.平行线概念:在同一平面内,没有公共点的两条直线叫做平行线。 3.直线AB与CD平行,记作AB∥CD,读作AB平行于CD。 4.用三角板画平行线AB∥CD. 平行线的画法是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,会经常遇到画平行 线的问题. 方法为: 一“落”(三角板的一边落在已知直线上), 二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边), 三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点), 四“画”(沿三角板过已知点的边画直线). 5.P72的注意内容. 6.说一说:生活中的平行线的实例. 三、我会合作交流探究 7.做一做 任意画一条直线a,并在直线a外任取一点A,通过点A画直线a的平行线,看 能画出几条?(学生画图,实际上只能画一条) 8.归纳:经过直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行 9.直线的平行关系具有传递性: 设a、b、c是三条直线,如果a∥b,b∥c,那么a∥c 因为如果直线a与c不平行,就会相交于一点p,那么过p点就有两条直线 与直线b平行,这是不可能的,所以a∥c 四、我会归纳总结 1.2.平行线:在同一平面内,没有公共点的两条直线叫做平行线 3.基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4.平行的传性:平行于同一条直线的两条直线平行,如果b∥a,c∥a,那 么b 五、快乐摘星台 1下列说法正确的是() 空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 (1)直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交统称直线在平面外, 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形. (3)直线与平面位置关系的图形画法: ①画直线a 在平面α内时,表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内, 而不能有部分在这个平行四边形之外,这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的,因而这条直线不可能有某部分在某外; ②在画直线a 与平面α相交时,表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外,这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强的立体感; ③画直线与平面平行时,最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外,且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一 条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线,则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案:B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解:直线l 与平面α的位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系. //a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1.判定方法 (1)定义法:直线与平面无公共点. (2)判定定理: (3)其他方法://a αββ? 2.性质定理://a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1.判定方法 (1)定义法:两平面无公共点. (2)判定定理:////a b a b a b P β β αα ???= //αβ (3)其他方法:a a α β⊥⊥ //αβ; ////a γ βγ //αβ 2.性质定理://a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b 【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1.判定方法 (1)用定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直. (2)判定定理:a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ (3)推论://a a b α ⊥ b α⊥ (3)性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ (3)性质:①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b 第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L , B ∈L =>L α A ∈α,B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理2作用:确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 异面直线:不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点:(1)直线所成的角θ∈(0, ]。 (2)条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; (3)直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; (4)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2 点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面的位置关系 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用:判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α和β相交,交线是a ,记作α∩β=a 。符号语言:,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用:①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角。两条异面直线所成角的范围是 (0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 3、求异面直线所成角步骤: A 、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角 4、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 5、空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点. 三种位置关系的符号表示:a ?α a ∩α=A a ∥α 6、平面与平面之间的位置关系 平行——没有公共点;α∥β。相交——有一条公共直线。α∩β=b 平面上直线的位置关系和度量关系知识要点 1. 直线、射线、线段的联系和区别 联系: 射线、线段是直线的一部分,把射线反向延长,而线段向两方延长,就得到一条直线。 区别: 直线没严密的定义,只能说明像一根拉紧无限长的线,可用两个大写字母或一个小写字母表示,无始无终,没有端点,向两方向延伸,并且两点确定一条直线。射线是直线上一点和它一旁的部分,可用两个大写字母表示,顶点字母写在前面,也可用小写字母表示,有一端点,可向一方向延伸,线段是直线上两点和它们之间的部分。可用两大写字母表示,或一个小写字母表示,有两个端点,不可延伸,并且两点之间,线段最短。 2. 角的定义: ①有公共端点的两条射线组成的图形。 ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到 另一个位置组成的图形。 3. 线段的比较 角的比较: 方法一:度量法 线段的度量工具是刻度尺。 角的度量工具是量角器。 方法二:叠合法。 4. 线段与角的换算: 5. 线段的中点: 它是把一条线段分成两条相等的线段的点。 6. 角的平分线是把一个角分成两个相等的角,并且以这个角 的顶点为端点的一条射线。 7. 角的分类: 特殊角:周角平角直角0°角 关系角: 数量关系的角:互为余角互为补角位置关系的角: 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 数、位关系角:邻补角 范围角:钝角、锐角 8. 角的性质: ①互余的两个角和为90° ②互补的两个角和为180° ③同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等 9. 点与直线的位置关系 ①点在直线上 ②点在直线外 10. 平面内不重合的两直线的位置关系有平行、相交。 11. 平行线的几个结论: ①平行公理及推论: 公理:过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 ②平行线的性质与判定: 两直线平行 12. 垂直的概念、结论 ①两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角时,这两条直线互相垂直,其中每一条直线叫另一条的垂线,交点叫垂足。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2) 一、知识结构 1. 2.空间中平行、垂直间的转化关系 二、学习目标 1.直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系,抽象出空间直线、平面之间的位置关系,用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并了解可以作为推理依据的公理和定理。 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。 等角定理 。。。。 2.以空间的上述公理和定理为出发点,通过直观感知,操作确认,归纳出一些判定定理与性质定理。 判定定理在选修2-1中在证明,性质定理要求证明。 3.运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 三、课时安排 全章约需10+2课时 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时 小结----------------------------------1课时 四、教学建议 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时) 第一课时平面 教学内容平面的概念;平面的画法和表示;平面的基本性质。 学习目标 1.了解平面的概念,理解平面的无限延展性。 2.会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系,初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。 3.了解作为以后推理依据的三个公理。 教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化,三个公理的作用。 要点分析 1.三种语言间的联系 图形语言——考察对象第一次抽象的产物,形象、直观的语言。 文字语言——对图像的描述、解释与讨论。 符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。 在对空间图形的认识中,注意有序的建立三种数学语言间的联系,合理使用三种数学语言描述图形的性质,加深对图形性质的理解。 课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。 注意:符号语言只是借用集合符号,读法仍用几何语言。 2.两个重要模型 四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。 建议:要求学生能熟练画出四面体、长方体,利用这两个模型理解所学概念、定理,发展几何直观能力,提高空间想象力。 3.平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 作用:用直线的直刻划平面的平,是判断直线在平面内的依据。 公理2 过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 作用:确定平面的依据。 课本并没有给出常用的三个推论,只是在练习题中以判断题的形式涉及,建议学生将其作为重要结论使用,但不涉及推论字眼。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 空间点,直线和平面的位置关系 一,线在面内的性质: 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二,平面确定的判定定理: 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三,两面相交的性质: 定里6. 如果两个平面有一个公共点,那么还有其它公共点,则这些公共点的集合是一条直线。 四,直线平行的判定定理: 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五,等角定理: 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向,那么这两个角相等。 六,异面直线定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。(异面直线间的夹角只能是:锐角或直角) 七,直线和平面平行的判定定理: 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。 符合表示: β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 符号表示: b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八,平面与平面平行判定定理: 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 符号表示: β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。 九,平面与平面平行的性质: 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交,那它们的交线平行。 符号表示: d l d l ////??? ???==γβγαβα 直线和平面的位置关系(1) 田家炳实验中学 马晓红 一、考纲要求 1.了解空间直线和平面的位置关系; 2.掌握直线和平面平行的判定和性质. 二、知识梳理 1.直线和平面的位置关系 、 、 . 2.直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行. (记忆口诀:线线平行 线面平行) 3.直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ,经过 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(记忆口诀:线面平行 线线平行) 证线线平行的途径还有:三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 三、基础训练 1.(1)若两直线a 、b 异面,且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 (2)若两直线a 、b 相交,且a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 (3)“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件 2.对于直线m ,n 和平面α,下面命题中的真命题是 ①如果m ?α,n ?α,m ,n 是异面直线,那么n ∥α ②如果m ?α,n ?α,m ,n 是异面直线,那么n 与α相交 ③如果m ?α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n ④如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n 3.在四面体ABCD 中,M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 4.已知直线m ,n 及平面α,其中m ∥n ,那么在平面α内到两条直线m ,n 距离相等的点 的集合可能是(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是 5.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l ,m 为不同的直线,α、β为不重合的平面),则此条件为________. ① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ② ?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ? ????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6.已知P-ABC 为正三棱锥,D 为BC 中点,则直线BC 与平面P AD 的位置关系是 四、典型例题 例1.(2008年江苏卷)如图,在四面体ABCD 中,CB =CD , AD ⊥BD ,点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证:(Ⅰ)直线EF ∥平面ACD ; 例2:在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是正方形,ABCD PD 平面⊥,DC PD =, 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变;(3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上( 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 (1)四个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 三个推论:① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。 符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言://,////a l b l a b ?且。 (2)空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b '',我们把 a '与 b '所 成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。(易知:夹角 范围090θ<≤?) 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形) 2.位置关系:???? ??? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (3)空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 : //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内()有无数个公共点直线与平面相交()有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行()没有公共点 (4)空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种://l αβαβ??=? 两个平面平行()没有公共点 两个平面相交()有一条公共直线 2 22r rl S ππ+= 第1章 立体几何初步 §1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练运用判定定理和性质定理外,还要充分利用定义;线面关系的判定和证明,要注意线线关系、线面关系的转化. 经典例题:直角?ABC 所在平面外一点S ,且SA=SB=SC. ⑴求证:点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面ABC ; ⑵若直角边BA=BC ,求证:BD ⊥面SAC . 当堂练习: 1.下面命题正确的是 ( ) A .若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面没有公共点 B .若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C .若一条直线与一个平面有公共点,直线与这相交 D .直线在平面外,则直线与平面相交或平行 2.直线b 是平面α外的一条直线,下列条件中可得出b||α的是( ) A .b 与α内的一条直线不相交 B .b 与α内的两条直线不相交 C .b 与α内的无数条直线不相交 D .b 与α内的所有直线不相交 3.下列命题正确的个数是( ) ①若直线λ上有无数个点不在平面α内, 则α||λ; ②若直线λ与平面α平行, 则 λ与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线λ与平面α平行, 则λ与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A .0个 B . 1个 C . 2个 D .3个 4.下无命题中正确的是( ) ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A . ① B . ③ C . ①③ D . ①②③ 5.直线a,b 是异面直线,A 是不在a,b 上的点,则下列结论成立的是( ) A . 过A 有且只有一个平面平行于a ,b B . 过A 至少有一个平面平行于a ,b C . 过A 有无数个平面平行于a ,b D . 过A 且平行于a ,b 的平面可能不存在 6. 直线a,b 是异面直线,则下列结论成立的是( ) A . 过不在a ,b 上的任意一点,可作一个平面与a ,b 平行 B . 过不在a ,b 上的任意一点,可作一条直线与a ,b 相交 C . 过不在a ,b 上的任意一点,可作一条直线与a ,b 都平行 D . 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7.下面条件中, 能判定直线α平面⊥λ的一个是( ) A . λ与平面α内的两条直线垂直 B . λ与平面α内的无数条直线垂直 C . λ与平面α内的某一条直线垂直 D . λ与平面α内的任意一条直线垂直 8.空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为( ) A . 300 B . 450 C . 600 D . 900 9.如果直线λ与平面α不垂直, 那么在平面α内( ) A . 不存在与λ垂直的直线 B . 存在一条与λ垂直的直线 C . 存在无数条与λ垂直的直线 D . 任意一条都与λ垂直 10.定点P 不在?ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使?ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 11.?ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有( ) A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个 12.下列四个命题:①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直;② 若一条直线和平面内的无数多条直线垂直,则这条直线和平面垂直;③仅 当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂 直;④若一条直线平行于一个平面,则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是( ) A .0 B . 1 C . 2 D . 3 13.如图,在正方形SG 1G 2G 3中,E ,F 分别是G 1G 2,G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现沿SE ,SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使G 1,G 2,G 3三 D S G 2G 3G 1F E G 精锐教育学科教师辅导讲义 ∴,所以,与平面所成角得余弦值为. 例2、如图,已知AP⊥BP,PA⊥PC,∠ABP=∠ACP=60o,PB=PC=BC,D就是BC中点,求AD与平面PBC所成角得余弦值. 解析:∵AP⊥BP,P A⊥PC,∴AP⊥PBC 连PD,则PD就就是AD在平面PBC上得射影 ∴∠PDA就就是AD与平面PBC所成角 又∵∠ABP=∠ACP=60o,PB=PC=BC,D就是BC中点, ∴PD=,PA=BC∴AD= ∴ ∴AD与平面PBC所成角得余弦值为 巩固练习: 1选择题 (1)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( ) ?(A)(0o,90o)(B)[0o,90o] (C)[0o,180o](D)[0o,180o) (2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中, 可能成立得个数就是() ?(A)1个?(B)2个(C)3个(D)4个 (3)从平面外一点P引与平面相交得直线,使P点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( ) ?(A)0条或1条(B)0条或无数条? (C)1条或2条(D)0条或1条或无数条 答案:(1)B (2)C(3)D 2.填空题 (1)设斜线与平面α所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是. (2)一条与平面相交得线段,其长度为10cm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面α所成得角就 是。 (3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,则线段所在直线与平面α所成得角就 是. ?答案:(1) (2) (3) 3.若P为⊿ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证点P在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ABC得外心. 分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由P A=PB=PC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、 例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。 解析:过作于,过作交于,连结, 则垂直于平面,为二面角得平面角, ∴,又平面, ∴,,∴平面,∴,, 又∵,,∴平面,∴,设,则, 在中,,∴, 同理,中,, ∴, 所以,二面角得正弦值为。 )))))) 直线与平面的位置关系第二章空间点、直线、平面之间的位置关系2.12.1.1 平面含义:平面是无限延展的1 2 平面的画法及表示0且横边画成邻平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45,(1)倍长(如图)边的2等,也可以用表示平面的βα、平面2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面(等。、平面ABCD平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 三个公理:3 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内)公理1(1 符号表示为C D L A∈A α L => L αB∈α·B A L A∈α B∈α 1作用:判断直线是否在平面内公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。(2)公理B A ·α·C , => 有且只有一个平面α符号表示为:A、B、C三点不共线·∈α。使A∈α、B∈α、C 公理2作用:确定一个平面的依据。:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共)公理3(3 直线。βL P∈∩β =>α∩β=L,且α符号表示为:P∈ 3作用:判定两个平面是否相交的依据公理αP L·空间中直线与直线之间的位置关系2.1.2 空间的两条直线有如下三种关系:1 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2 公理4:平行于同一 条直线的两条直线互相平行。、是三条直线b、c符号表示为:设ab ∥a c=>a∥ b ∥c 平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。4强调:公理实质上是说 4作用:判断空间两条直线平行的依据。公理等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补3 注意点:4 O、b的相互位置来确定,与的选择无关,为简便,点Oa a'①与b'所成的角的大小只由一般取在两直线中的一条上;?∈θ )(0,;②两条异面直线所成的角2当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作;a⊥b ③两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;④计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直⑤ ))). )))))) ''''bbaa我们把b,∥∥a, 所成的锐角(或直角)叫作直线a,b,经过空间任一点O与线?90 b 所成的角。(注意:异面直线所成的角不大于)。做异面直线a与 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系2.1.3 — 1、直线与平面有三种位置关系:有无数个公共点1)直线在平面内——(有且只有一个公共点——2)直线与平面相交(没有公共点)直线在平面平行——(3指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 (1)四个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 三个推论:① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。 符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言://,////a l b l a b ?且。 (2)空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b '',我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。(易知:夹角范围090θ<≤?) 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形) 2.位置关系:???? ??? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (3)空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα??? =??? ??? 直线在平面内()有无数个公共点直线与平面相交()有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行()没有公共点 (4)空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种://l αβαβ??=? 两个平面平行()没有公共点 两个平面相交()有一条公共直线 空间中直线与平面之间 的位置关系 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 空间中直线与平面之间的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 (1)直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交统称直线在平面 外,我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形. (3)直线与平面位置关系的图形画法: ①画直线a 在平面α内时,表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内, 而不能有部分在这个平行四边形之外,这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周 应是无限延伸而没有边界的,因而这条直线不可能有某部分在某外; ②在画直线a 与平面α相交时,表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行 四边形之外,这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强的立体感; ③画直线与平面平行时,最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外,且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果 一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;③过平面外一点有 且只有一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线 平行于这个平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l平行于平面α内无数条直线,则lαααα bα?答案:B ? bαα ? 变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l与平面α的位置关系. 图3 解:直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解:如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交. 图5 用符号语言表示为:若a∩b=A,b?α,则a?α或a∩α=A. 变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析:如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图6 用符号语言表示为:若a与b异面,a?α,则b∥α或b∩α=A. 例3、若直线a不平行于平面α,且a?α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线 分析:如图7,若直线a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交. 图7 例如直线A′B与平面ABCD相交,直线AB、CD在平面ABCD内,直线AB 高中数学《直线与平面的位置关系》练习题 【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高中数学《直线与平面的位置关系》练习题,希望能给大家带来帮助! 当堂练习: 1.下面命题正确的是 () A.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面没有公共点 B.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C.若一条直线与一个平面有公共点,直线与这相交 D.直线在平面外,则直线与平面相交或平行 2.直线b是平面 外的一条直线,下列条件中可得出b|| 的是( ) A.b与 内的一条直线不相交 B.b与 内的两条直线不相交 C.b与 内的无数条直线不相交 D.b与 内的所有直线不相交 3.下列命题正确的个数是() ①若直线 上有无数个点不在平面 内, 则 ; ②若直线 与平面 平行, 则 与平面 内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面 平行, 则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点. A.0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 4.下无命题中正确的是() ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 5.直线a,b是异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是( ) A. 过A有且只有一个平面平行于a,b B. 过A至少有一个平面平行于a,b C. 过A有无数个平面平行于a,b D. 过A且平行于a,b 的平面可能不存在 6. 直线a,b是异面直线,则下列结论成立的是( ) A. 过不在a,b上的任意一点,可作一个平面与a,b平行 B. 过不在a,b上的任意一点,可作一条直线与a,b相交 C. 过不在a,b上的任意一点,可作一条直线与a,b都平行 D. 过a可以并且只可以作一个平面与b平行 7.下面条件中, 能判定直线 的一个是() A. 与平面 内的两条直线垂直 B. 与平面 内的无数条直线垂直 C. 与平面 内的某一条直线垂直 D.点直线平面之间的位置关系知识点总结
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