![新课标2016届高三数学(文)专题复习检测：专题一 函数、不等式及导数的应用[来源：学优高考网464896]](https://img.doczj.com/imgca/062vmtn9uef5m7jsx0yf-a1.webp)
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专题一 函数、不等式及导数的应用
真题体验·引领卷
一、选择题
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0}
B ．{0，1}
C ．{－1，0，1}
D ．{0，1，2}
2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：?n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．?n ∈N ，n 2>2n B ．?n ∈N ，n 2≤2n C ．?n ∈N ，n 2≤2n
D ．?n ∈N ，n 2＝2n
3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝?
????1＋log 2（2－x ），x <1，
2x －1，x ≥1，则f (－2)＋
f (lo
g 212)＝( ) A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
4．(2015·福建高考)变量x ，y 满足约束条件????
?x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝
2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
5．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A ．y ＝x ＋sin 2x
B ．y ＝x 2－cos x
C ．y ＝2x ＋1
2x
D ．y ＝x 2＋sin x
6．(2015·福建高考)若直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、填空题
7．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．
8．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件?????x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值
为________．
9．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题
10．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3
＋x 2
(a ∈R )在x ＝－4
3处取得极
值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．
11．(2015·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．
12．(2015·山东高考)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2
e x . 已知曲线y ＝
f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；
(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．
专题一 函数、不等式及导数的应用
经典模拟·演练卷
一、选择题
1．(2015·济南模拟)已知集合P ＝{1，m }，Q ＝{1，3，5}，则“m ＝5”是“P ?Q ”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．(2015·佛山模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( ) A ．－4
B ．4
C ．－6
D ．6
3．(2015·安徽“江南十校”联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ， y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2
y 的最小值是( ) A.53
B.83
C ．8
D ．24
4．(2015·潍坊三模)当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是(
)
5．(2015·四川省统考)已知x ，y 满足不等式组?????y ≤x ，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y
的最大值与最小值的比值为( ) A.1
2
B ．2
C.32
D.43
6．(2015·郑州模拟)具有性质：f ? ??
??
1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒
负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1
x ；③y ＝
???x （0＜x ＜1），
0 （x ＝1），－1
x （x ＞1）
中满足“倒负”变换的函数是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．只有①
二、填空题
7．(2015·保定联考)设关于x ，y 的不等式组????
?2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平
面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．
8．(2015·西安八校联考)已知函数f (x )＝21
3
+1,log 1,x x x x x ?-≤?
?>??，，若关于x 的不等
式f (x )≥m 2－3
4m 有解，则实数m 的取值范围是________．
9．(2015·黄冈中学高三期中)定义运算 ＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )
＝????
??x 2
＋3x 1x 13x 的图象在点? ?
?
?
?1，13处的切线方程是________． 三、解答题
10．(2015·长沙调研)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1，0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.
11．(2015·德州模拟)已知函数f (x )＝ln x －1
2ax 2－2x . (1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值； (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－1
2x ＋b 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．
12．(2015·西安模拟)设函数f (x )＝ln x ＋m
x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x
3零点的个数；
(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）
b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．
专题一 函数、不等式及导数的应用
专题过关·提升卷
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·济南质检)设集合U ＝R ，A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩?U B ＝( ) A ．{x |0 D ．{x |x <1} 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝2|x | C ．y ＝－lg|x | D ．y ＝e x －e －x 3．设p ：|2a －1|<1，q ：f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 4．(2015·佛山调研)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 5．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件?????x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．2 6．已知函数y ＝log a (x ＋b )(a ，b 为常数，其中a >1)的图象如图所示，则函数g (x )＝bx 2－2x ，x ∈[0，3]的最大值是 ( ) A ．1 B ．b C ．b 3 D.1b 7．(2015·重庆高考)若不等式组???? ?x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三 角形，且其面积等于4 3，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43 D ．3 8．设函数f (x )＝x 22＋m x ，若函数f (x )的极值点x 0满足x 0f (x 0)－x 3 0>m 2，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪? ? ???0，12 B ．(－∞，0)∪(2，＋∞) C.? ? ? ??0，12 D ．(0，2) 9．(2015·浙江高考)函数f (x )＝? ? ???x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 10．设函数g (x )＝|x ＋2|＋1，φ(x )＝kx ，若函数f (x )＝g (x )－φ(x )仅有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.? ? ? ??0，12 B.? ?? ?? －12，1 C.()－∞，－1 D.? ?? ??－1，－12 11．(2015·陕西高考)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值 D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 12．已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ） e x >1的解集为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填 写在题中的横线上) 13．(2015·陕西高考)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1 x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 14．已知关于x 的不等式ax －1x －b >0的解集为(－1，1)，且函数φ(x )＝a ＋12 log (bx )，则不等式φ(x )>1的解集为________． 15. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)． 16．(2015·山东高考)定义运算“?”：x ?y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ?y ＋(2y )?x 的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． 18．(本小题满分12分)(2015·北京高考)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值； (2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 19．(本小题满分12分)某世界园艺博览会的主题是 “让生活走进自然”，为了宣传“会议主题”和“城市时尚”，博览会指挥中心拟在如图所示的空地 “扇形ABCD ”上竖立一块长方形液晶广告屏幕MNEF .已知扇形ABCD 所在圆的半径R ＝30米，圆心角θ＝π 2，电源在点K 处，点K 到半径AD ，AB 的距离分别为9米、3米．若MN ∶NE ＝16∶9，线段MN 必过点K ，端点M ，N 分别在半径AD ，AB 上．设AN ＝x 米，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S 平方米． (1)求S 关于x 的函数关系式及其定义域； (2)若液晶屏每平米造价为1 500元，当x 为何值时，液晶广告屏幕MNEF 的造价最低？ 20．(本小题满分12分)(2015·福建高考)已知函数f (x )＝ln x － （x－1）2 2. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1； (3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)＞k(x－1)． 21．(本小题满分12分)(2015·潍坊三模)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)(a∈R)，g(x)＝f′(x)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线3x－y－1＝0平行，求实数a的值； (2)若函数F(x)＝g(x)＋1 2x 2有两个极值点x 1 ，x2，且x1 －1 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x，常数a>0. (1)当x＝1时，函数f(x)取得极小值－2，求函数f(x)的极大值； (2)设定义在D 上的函数y ＝h (x )在点P (x 0，h (x 0))处的切线方程为l ：y ＝g (x )，当x ≠x 0时，若h （x ）－g （x ） x －x 0>0在D 内恒成立，则称点P 为h (x )的“类优点”．若点(1，f (1))是函数f (x )的“类优点”，求实数a 的取值范围． 参考答案 专题一 函数、不等式及导数的应用 真题体验·引领卷 1．A [由A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}＝{x |－2 2．C [量词“?”改为“?”；“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”， ∴綈p 为“?n ∈N ，n 2≤2n ”．] 3．C [∵f (－2)＝1＋log 24＝1＋2＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.] 4．C [如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2即y ＝＝2x －2时， 画出? ????x ＋y ≥0， x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A (2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1.] 5．D [对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋1 2x ＝f (x )，为偶函数； y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D.] 6．C [由题意1a ＋1 b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )? ?? ??1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号．故 选C.] 7．1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，则ln a ＝0，a ＝1.] 8．3 [作出不等式组?????x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0 表示的平面区域(如图)，易知y x 的最大值为k OA ＝ 3.] 9．(0，2) [令y ＝|2x －2|，作出其图象如图： 由图形知，当0＜b ＜2时， f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．] 10．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－4 3处取得极值，所以f ′? ????－43＝0， 即3a ·169＋2·? ????－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝1 2. (2)由(1)得g (x )＝? ????12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝? ?? ??32x 2＋2x e x ＋? ?? ?? 12x 3＋x 2e x ＝? ?? ??12x 3＋52x 2＋2x e x ＝1 2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数． 综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 11．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈? ????0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈? ????1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在? ?? ??0，1a 上单调递增，在? ?? ?? 1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1 a 取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln ? ????1a ＋a ? ????1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)． 12．解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x ＋1，所以a ＝1. (2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根． 设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2 e x ， 当x ∈(0，1]时，h (x )＜0. 又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4 e 2＞1－1＝0， 所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1 x ＋1＋x （x －2）e x ， 所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1 e ＞0， 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增， 所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )， x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝???（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]， x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）. 当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1 x ＋1＞0， 可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ） e x ，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增； x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减； 可知m (x )≤m (2)＝4 e 2，且m (x 0)＜m (2)． 综上可得，函数m (x )的最大值为4 e 2. 经典模拟·演练卷 1．A [当m ＝5时，P ?Q ；若“P ?Q ”，则“m ＝3或m ＝5”，∴“m ＝5”是“P ?Q ”的充分不必要条件．] 2．A [由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.] 3．C [∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x >0，y >0， ∴3x ＋2y ＝? ?? ??3x ＋2y ·1 3(2x ＋3y ) ＝13? ????6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8， 当且仅当3y ＝2x 时取等号． ∴当x ＝34且y ＝12时，3x ＋2 y 取得最小值8.] 4．B [f ′(x )＝e x (x 2＋2ax )＋(2x ＋2a )e x ＝e x [x 2＋2x (a ＋1)＋2a ] 令f ′(x )＝0，得x ＝±a 2＋1－(a ＋1)<0. 因此f (x )的两个极值点均小于0. 结合函数的图象，选项B 为f (x )的大致图象．] 5．B [约束条件对应的区域如图所示，当直线z ＝2x ＋y 过点A (2，2)时，z 取得最大值6，当直线z ＝2x ＋y 经过B (1，1)时，z 取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2.] 6．C [易知①满足条件，②不满足；对于③，易知f ? ?? ?? 1x ＝??? 1 x （x ＞1）， 0 （x ＝1），－x （0＜x ＜1）， 满足f ? ?? ?? 1x ＝－f (x )，故③满足“倒负”变换，故选C.] 7.? ?? ?? 23，＋∞ [作不等式组表示的平面区域(如图)，依题意，直线x －2y ＝2与平面区域有公共点． 如图，直线x ＝m 与y ＝－m 交于(m ，－m )，把(m ，－m )代入x －2y ＝2得m ＝23，结合图形得m >2 3 .] 8.??????－14，1 [当x ≤1时，f (x )＝－x 2 ＋x ＝－? ????x －122＋14≤14， 当x >1时，f (x )＝log 13 x <0， ∴f (x )的最大值为14， 因此原不等式为14≥m 2 －34m ，解之得－14≤m ≤1.] 9．6x －3y －5＝0 [由定义可知f (x )＝???? ??x 2＋3x 1x 13x ＝13x 3＋x 2 －x ，故 f ′(x )＝x 2 ＋2x －1，则f ′(1)＝2，所以函数f (x )在点? ????1，13处的切线方 程为y －1 3＝2(x －1)，化为一般式为6x －3y －5＝0.] 10．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋b x . 由已知条件得?????f （1）＝0， f ′（1）＝2， 即?????1＋a ＝0， 1＋2a ＋b ＝2. 解得a ＝－1，b ＝3. (2)证明 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x . 当0 所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时， g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 11．解 (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x (x ＞0)， ∵x ＝2时，f (x )取得极值， ∴f ′(2)＝0，解得a ＝－3 4，经检验知符合题意． (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 依题意f ′(x )≥0在x ＞0时恒成立， 即ax 2＋2x －1≤0在x ＞0时恒成立， 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?????0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2 ，高中数学导数与积分知识点
导数综合大题分类
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧