函数综合题分类复习
题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:
第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4;
例1.已知函数321()23
f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,22()3
f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P .
(1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。
例3.设2
2(),1
x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域;
(2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。
例4.已知函数
32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-,
326()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域;
(Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数
32()2f x ax ax b =-+)(0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数
()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围.
例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102,函数33)()(22
+-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式;
(2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42x g mb b
≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案:
1、解:(Ⅰ)'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点,
∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根,解得32
b =. 令'()0f x >,则2320x x -+>,解得1x <或2x >.
∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞.
(Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时'()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >,
∴()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时,要使
22()3f x a ->恒成立,只需22(2)3f a >+, 即22233a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ)
a ax x x f ++='23)(2. 由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f
b f ,得 ???=-=23b a . ∴233)(23+--=x x x x f .
(Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵3>a ,∴01242>-=?a a .
由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或3
32a a a x -+->, 由0)(<'x f 解得3
33322a a a x a a a -+-<<---. ……………10 ∴)(x f 的单调增区间为:)33,(2a a a ----∞和),3
3(2+∞-+-a a a ; )(x f 的单调减区间为:)3
3,33(22a a a a a a -+----.……12分 3、解:(1)法一:(导数法)2222
4(1)224()0(1)(1)x x x x x f x x x +-+'==≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增,∴()f x 值域[0,1]。
法二:220,0
22(),(0,1]111x x f x x x x x
=???==?∈+?+??, 复合函数求值域. 法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111
x x x f x x x x x +-++===++-+++用双勾函数求值域. (2)()f x 值域[0,1],()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.
由条件,只须[0,1][52,5]a a ?--,∴5205451
2a a a -≤??≤≤?-≥?. 特别说明:要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路,联想2008年全国一卷第21题,那是单调区间的子区间问题;
4、解:(Ⅰ)/2
()32f x x ax =+∴/(1)31f b a
?=-?=+?, 解得32a b =-??=-? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 在[1,0]-上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减又
min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-==
∴()f x 的值域是[4,16]-
(Ⅲ)令2()()()(1)3[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-++-∈ ∴要使()()f x g x ≤恒成立,只需()0h x ≤,即2(2)26t x x x -≥-
(1)当[1,2)x ∈时226,2x t x x
-≤- 解得1t ≤-; (2)当2x =时 t R ∈;
(3)当(2,4]x ∈时2262x t x x -≥-解得8t ≥;综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞ 特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知”,分类一定要序号化;
5、解:(Ⅰ)
32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-
令'()f x =0,得[]1240,2,13
x x ==?-
因此
)0(f 必为最大值,∴50=)(f 因此5=b , (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-,
即11516)2(-=+-=-a f ,∴1=a ,∴.52(23+-=x x x f )
(Ⅱ)∵x x x f 43)(2-=',∴0(≤+'tx x f )等价于0432≤+-tx x x , 令x x xt t g 43)(2-+=,则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时,求实数x 的取值范围,为此只需???≤≤-0)10)1((g g ,即?
??≤-≤-005322x x x x , 解得10≤≤x ,所以所求实数x 的取值范围是[0,1].
6、11 ( 说明:通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点,但极值点一定是“导数等于零”方程的根;)
7、解:∵223)(x a x f ?=
',∴由3322=?x a
有a x ±=,即切点坐标为),(a a ,),(a a -- ∴切线方程为)(3a x a y -=-,或)(3a x a y +=+,整理得023=--a y x 或023=+-a y x ∴5
102)1(3|
22|22=-+--a a ,解得1±=a ,∴3)(x x f =,∴33)(3+-=bx x x g 。(1)∵b x x g 33)(2-=',)(x g 在1=x 处有极值,∴0)
1(='g ,即03132=-?b ,解得1=b ,∴33)(3+-=x x x g
(2)∵函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,∴033)(2≥-='b x x g 在区间]1,1[-上恒成立,∴0≤b ,又∵)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立,∴)1(42g mb b ≥+-,即b mb b 3442-≥+-,∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立,∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3
题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题;
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
第一种:转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧),如果是同侧则不必分类讨论;若在0的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;
第二种:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;参考08年高考题;
第三种方法:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;可参考第二次市统考试卷; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”,要弄清楚两句话的区别;请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题(金考卷第5套);
(2)函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:解不等式(组)即可;
例8.已知函数232)1(31)(x k x x f +-=,kx x g -=3
1)(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数. (1)求实数k 的取值范围;(2)若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.
例9.已知函数.313)(23a
x ax x f -+-= (I )讨论函数)(x f 的单调性。
(II )若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值,且线段AB 与x 轴有公共点,求实数a 的取值范围。
例10.已知函数f (x )=x 3-ax 2-4x +4a ,其中a 为实数.
(Ⅰ)求导数f '(x );(Ⅱ)若f '(-1)=0,求f (x )在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅲ)若f (x )在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a 的取值范围
例11.已知:函数
c bx ax x x f ++-=23)(
(I )若函数)(x f 的图像上存在点P ,使点P 处的切线与x 轴平行,求实数b a , 的关系式;
(II )若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
例12.设()y f x =为三次函数,且图像关于原点对称,当12x =时,()f x 的极小值为1-.
(Ⅰ)求
()f x 的解析式;
(Ⅱ)证明:当),1(∞+∈x 时,函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0. 例13.在函数
)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点(1,f (1))处的切线与直线.076=++y x 平行,导函数)('x f 的最小
值为-12。(1)求a 、b 的值;(2)讨论方程m x f =)(解的情况(相同根算一根)。
例14.已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=,当1-=x 时,)(x f 取得极大值3,1)0(=f .
(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实数
t 组成的集合为M.请判断函数()()()f x g x x M x
=∈的零点个数. 例15.已知函数)(,42)1(3)(223x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为(0,4)
(I )求k 的值;
(II )若对任意的)(52],1,1[2t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解,求实数a 的取值范围。 例16.已知函数
b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数),且当1=x 和2=x 时,函数)(x f 取得极值. (Ⅰ)求函数
)(x f 的解析式;(Ⅱ)若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点,求实数m 的取值范围.
例17.已知函数正项数列满足:00
=a ,11=a ,点),(11n n n n n a a a a P -+在圆2522=+y x 上,)(N n ∈)(+∈N n (Ⅰ)求证:n n n a a a 2
511=
+-+;(Ⅱ)若n n n a a b 21-=+)(+∈N n ,求证:}{n b 是等比数列; (Ⅲ)求和:n nb b b b ++++ 32132 例18.函数m x t x x f +-=233)((,0,>∈t R x m 、t 为常数)是奇函数。
(Ⅰ)求实数m 的值和函数)(x f 的图像与x 轴交点坐标;(Ⅱ)设|)(|)(x f x g =,[]1,0∈x ,求)(x g 的最大值)(t F .
例19.已知f (x)=x 3+bx 2+cx +2.
⑴若f(x)在x =1时有极值-1,求b 、c 的值;
⑵若函数y =x 2+x -5的图象与函数y =
x k 2-的图象恰有三个不同的交点,求实数k 的取值范围. 例20. 设函数ax x x x f +-=
233
1)(,b x x g +=2)(,当21+=x 时,)(x f 取得极值. (1)求a 的值,并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;
(2)当]4,3[-∈x 时,函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点,求b 的取值范围.
例21.已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增,记ABC ?的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ,若
ac b c a +≥+222时,不等式[]
)4
332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立. (Ⅰ)求实数k 的取值范围;(Ⅱ)求角B cos 的取值范围;(Ⅲ)求实数m 的取值范围。 答案:
8解:(1)由题意
x k x x f )1()(2+-='∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数, ∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立
即x k <+1恒成立,又2>x ,∴21≤+k ,故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
(2)设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h , )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令0)(='x h 得k x =或1=x 由(1)知1≤k ,
①当1=k 时,0)1()(2≥-='x x h ,)(x h 在R 上递增,显然不合题意…②当1 况如下表: x ),(k -∞ k )1,(k 1 ),1(+∞ 第五节 函数的图象 ? 基础知识 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表,描点,连线. 2.函数图象的变换 (1)平移变换 ①y =f (x )的图象――――――――→a >0,右移a 个单位 a <0,左移|a |个单位y =f (x -a )的图象; ②y =f (x )的图象――――――――→ b >0,上移b 个单位b <0,下移|b |个单位 y =f (x )+b 的图象. “左加右减,上加下减”,左加右减只针对x 本身,与x 的系数,无关,上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y =f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y =-f (x )的图象; ②y =f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y =f (-x )的图象; ③y =f (x )的图象――――――→关于原点对称 y =-f (-x )的图象; ④y =a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y =x 对称 y =log a x (a >0且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y =f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1,横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变 0 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12 这份资料是全部内容已经完成的一部分, 写中。此资料是必修一函数部分的总结, 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目,总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域:求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法)。 1、函数y=的值域是()。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D(0,4) 解析:本题是指数函数与幂函数复合, 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q>16-4<;要根号有意义,16-4 综上可知:16-4< 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ,则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是()。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析:本题是复合函数求值域,可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一:定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令> >,∴>。当>时,求得< <,<。此时<,函数递减。 当<时,求得>>,>。 此时>,函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话,我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时,函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是() 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是()。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ,参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b,则函数 导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令高中数学,函数图形考点及题型全归纳
高三导数压轴题题型归纳
高中数学必修一函数题型方法总结
高考导数压轴题型归类总结
函数与导数压轴题方法归纳与总结