邯郸市2015届高三摸底考试理科数学答案
一、选择题
1-5CDBAC 6-10 BBDCA 11-12 AD 二、填空题
13.-10 14.10 15. ???
???3,1623 16.②④
三、解答题
17. 解：（1）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，∵1223
+=s s
，
∴1)(221321++=++a a a a a ，……………2分
则1)1(212
++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），
∴12n n a -=……………4分
（Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+……………6分
()[]()
12......21112.....31-++++-+++=n n n T
8分
又∵122-+=n n n T 在[
)+∞,1 上是单调递增的 ∴2
1=≥T T n
∴2≥n
T …………………………10分
18. 解(1)在三角形
ABC
中B ac S sin 21=
,由已知B ac S cos 2
3
=可得B ac B ac cos 2
3
sin 21=为三角形内角，B 3t a n =∴B 0﹤B ﹤π∴ 3
B π
=
-------------5分
(2)4cos 2222=+=+=
+ac
B
ac b ac c a c a a c ac b B 332=∴=π 由正弦定理可得 C A B s i n s i n 3s i n
2
= 4
1
sin sin 3
=
∴=C A B π
C
A B
C A C A C A A C A C C C A A C A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+=+
32sin sin 23
==
C
A ----------12分
19. （Ⅰ）证明：
三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，
∴⊥A A 1平面ABC ，又?BC 平面ABC ， ∴BC A A ⊥1
-
AD ⊥平面1A BC ，且?BC 平面1A BC ，
∴BC AD ⊥. 又 ?1AA 平面AB A 1,?AD 平面AB A 1,A AD A A =?1， ∴BC ⊥平面1A AB ，
又?B A 1平面BC A 1，
∴ B A BC 1⊥-----------------------------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面1A AB ，?AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥ 如图,以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -
AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B
∴
B A AD 1⊥.
在Rt ABD ∠?中，AD AB=2，
sin AD ABD AB ∠==
60ABD ∠= 在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB . 在1Rt ABA ∠?中， tan AA AB =?=0
160
则B (0,0,0),)0,2,0(A ,C （2，0，0）,P （1，1，0）,1A （0，2，23）,)0,1,1(=
=1BA （0，2，23）)0,0,2(=
设平面B PA 1的一个法向量),,(1z y x n =
则 ?????=?=?0011
1BA n BP n 即???=+=+03220z y y x 可得)3,
3,3(1-=n
设平面B CA 1的一个法向量),,(2z y x n =
则
?????=?=?00122BA n BC n 即???=+=0
32
20z y x
可得)3,3,0(2-=n
77
2=
?=n n
∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是
7
7
2 ………12分
（Ⅱ）或的法向量则平面BC A AD 11A BC,⊥ 在Rt ABD ∠?中
，
AD AB=2,则BD=1 可得D()23,21,0 )2
3,23,0(-=
7
72=
=
? ∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是
7
7
2 ………12分 20. 解：随机猜对问题A 的概率113P =
，随机猜对问题B 的概率21
4
P =. （1）设参与者先回答问题A ，且获得奖金25元为事件M , 则()12131(1)344P M P P =-=
?=,即参与者先回答问题A ，且获得奖金25元概率为1
4
-------------5分
（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
①先回答问题A 再回答问题B ，参与者获奖金额ξ可取0,25,55， 则12(0)13P P ξ==-=
,121(25)(1)4P P P ξ==-=,12
1
(55)12
P PP ξ=== -------------8分
130
()12
E ξ=
②先回答问题B 再回答问题A ，参与者获奖金额η可取0，30，55 则23(0)14P P η==-=
，211(30)(1)6P P P η==-=,12
1
(55)12
P PP η=== 115
()12
E η=
因为()()E E ξη>，所以应该先答问题A,再答问题B 。 -------------12分
21. 解：（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
222)(a y c x =+-,
∴圆心到直线01=++y x 的距离=
d a c =+2
1…………*
∵椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形， b=c, c b a 22==
代入*式得b=c=1 ∴22==b a
故所求椭圆方程为.12
22
=+y x ………4分 （Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在，设直线L 方程为)2(-=x k y ，设()00,y x p 将直线方程代入椭圆方程得：()
028*******=-+-+k x k x k …………6分 ∴()()
081628214642224>+-=-+-=?k k k k ∴2
12
<
k 设()11,y x S ,()22,y x T 则2
22122
21212
8,218k
k x x k k x x +-=+=+………………8分 由t =+
当t=0时p 点与原点重合，与题意不符，所以0≠t
得??
?
??+=
+=+-=-+=+=2
2
21022
1210218214)4(k k x x tx k k x x k y y ty
∴,21812
2
0k
k
t x +?=202141k k t y +-?=……………10分 将上式代入椭圆方程得：1)
21(16)21(322
222
2224=+++k t k k t k 整理得：2
2
2
2116k
k t += 由2
12
<
k 知402
< 22. 解:（1）由题知：函数()f x 在上为增函数，故2 (1) ()0ax ax e e ax x x -'=≥在[)1+∞，上恒成 立 又由20,0ax e x >>，则10ax -≥，即1 a x ≥在[)1+∞，上恒成立 又max 1()1x =，故1a ≥-------------5分 （2）当21=a 时，2 ()(0)x e f x x x =≠，2 2 (1) 2()x x e f x x -'= 当 102x ->时，即2x >时，()0f x '> 当102 x -<时，即0x <或02x <<时，()0f x '< 则()f x 的增区间是(2,)+∞，减区间是(,0)-∞，(0,2) 由于0m >，则11m +>-------------8分 当12m +≤时，即01m <≤时，()f x 在[],1m m +上单调递减 则1 2 min ()(1)1 m e f x f m m +=+= + 当21m m <<+时，即12m <<时，()f x 在[],2m 上单调递减，在(]2,1m +单调递增。 则min ()(2)2 e f x f == 当2m ≥时，()f x 在[],1m m +上单调递增。则2 min ()()m e f x f m m == 综上可知：当01m <≤时，1 2 min ()(1)1 m e f x f m m +=+= + 当12m <<时，min ()(2)2 e f x f == 当2m ≥时，2 min ()()m e f x f m m ==-------------12分
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