第2讲 三角变换与解三角形
考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R .
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab .
变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式
S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C .
7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．
热点一 三角变换
例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π
3)等于( )
A ．－4
5
B ．－35
C.45
D.35
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π
2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A ．3α－β＝π
2
B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋2
3
π)进行比较．
(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B
解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π
2<α<0，
∴32sin α＋32cos α＝－43
5， ∴
32sin α＋12cos α＝－45
， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3
＝－12cos α－32sin α＝4
5
.
(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π
2－α)．
∵α∈(0，π2)，β∈(0，π
2
)，
∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π
2)，
∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π
2－α，
∴2α－β＝π
2
.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
设函数f (x )＝cos(2x ＋π
3
)＋sin 2x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；
(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ
1＋cos 2θ－sin 2θ
的值．
解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－3
2sin 2x .
所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π，最大值为1＋32
. (2)因为f (θ
2
)＝0，
所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，
又θ是第二象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－
6
3
. 所以cos 2θ
1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2
θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ ＝－
63＋3
32×(－63)
＝6－326
＝2－24.
热点二 解三角形
例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋b
c ＝0.
(1)求边c 的大小；
(2)求△ABC 面积的最大值．
思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋b
c ＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最
大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
和基本不等式求解．
解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋b
c ＝0，
∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，
∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，
∴cos C ＝－1
2，∵C ∈(0，π)
∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A
·sin C ＝ 3.
(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2
－3
2ab
，
∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤3
4.
∴△ABC 的面积最大值为
3
4
. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .
(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b
a
等
于( ) A. 2 B ．2 2 C. 3
D ．2 3
(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，则△ABC
的面积是( ) A ．3 B.932
C.332
D ．3 3
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，
即
sin B sin A ＝2，b a ＝sin B
sin A
＝ 2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab .②
由①②得ab ＝6.
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.
热点三 正、余弦定理的实际应用
例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到
C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝12
13，
cos C ＝3
5
.
(1)求索道AB 的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．
解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，
所以sin A ＝513，sin C ＝4
5
.
从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC
sin B
，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45
＝1 040(m)．
所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12
13
＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040
130
，即0≤t ≤8，
故当t ＝35
37 min 时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理BC sin A ＝AC
sin B ，
得BC ＝
AC sin B ×sin A ＝1 2606365
×5
13
＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625
14
，
所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在????
1 25043，62514(单位：m/min)范围内．
思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．
如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°
方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .
因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝
22AC ＝2
2
×10＝52(海里)． 在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，
所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．
因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝
AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC
13
＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)
13＝0.4(小时)．
因为1
3
<0.4，所以中国海监船能及时赶到．
1．求解恒等变换问题的基本思路
一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：
(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心． (2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点
(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a
2R (其中
2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．
(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin
A ＋
B 2＝cos C
2
等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等． 3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．
真题感悟
1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－4
3 答案 C
解析 ∵sin α＋2cos α＝
10
2
， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝5
2.
用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3
4
.故选C.
2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案
6－2
4
解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝a 2
＋b 2
－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－
2ab
2
2ab
故
6－2
4
≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－2
4
. 押题精练
1．在△ABC 中，已知tan A ＋B
2
＝sin C ，给出以下四个结论： ①
tan A
tan B
＝1；②1 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 答案 D 解析 依题意，tan A ＋B 2＝sin A ＋ B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 22cos 2 A ＋B 2 ＝ sin (A ＋B )1＋cos (A ＋B )＝sin C 1＋cos (A ＋B ) ＝sin C . ∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0. ∵0 2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形． 对于①，由tan A tan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确； 对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π 4)， ∴1 对于③，∵A ＋B ＝π 2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ， 其值不确定，故③不正确； 对于④，∵A ＋B ＝π 2 ，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p . (1)求sin A 的值； (2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围． 解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴1 2 sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0 3， ∴sin A ＝ 3 2 . (2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C ) 1＋ sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π 4 )， ∵0 12π， ∴－ 22 4 )≤1， ∴－1<2sin(2C －π 4 )≤2， 即三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]． (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π 4个单位 B ．向左平移π 4个单位 C ．向右平移π 12个单位 D ．向左平移π 12 个单位 答案 C 解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π 4) ＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π 2 ) ＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π 12个单位得到． 2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝3 5，则cos α等于( ) A ．－210 B.7210 C ．－ 210或7210 D ．－7210 答案 A 解析 ∵α∈(π2，α)．∴α＋π4∈(34π，5 4π)． ∵sin(α＋π4)＝3 5， ∴cos(α＋π4)＝－4 5 ， ∴cos α＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin(π4)＝－45×22＋35×22＝－2 10. 3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝5 2ac ，则cos B 的值为( ) A.1 3 B.1 2 C.15 D.14 答案 D 解析 由正弦定理：c a ＝sin C sin A ＝3， 由余弦定理：cos B ＝a 2 ＋c 2 －b 2 2ac ＝c 2－52ac 2ac ＝12×c a －54＝32－54＝1 4 . 4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 答案 B 解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0 2 ，所以△ABC 为直角三角形． 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝5 13，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.63 65 B.3365 C.1365 D.6365或3365 答案 A 解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513 2，则有 0<β<α＋β≤π2，0 13，sin α＝sin[(α＋β) －β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝63 65 . A.3 2 B.3－1 C ．2 D ．2－ 3 答案 D 解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA → |cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac ， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1 2ac ?a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3 a 2－ b 2＋ c 2＝2－3，故选D. 二、填空题 7．已知tan ????α＋π4＝12，且－π 2<α<0，则2sin 2 α＋sin 2αcos ????α－π4＝________. 答案 －25 5 解析 由tan ????α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－10 10. 故2sin 2α＋sin 2αcos ????α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－25 5 . 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________. 答案 4 解析 由sin A cos C ＝3cos A sin C 得：a 2R ·a 2＋b 2－c 2 2ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c 2R ， ∴a 2 ＋b 2 －c 2 ＝3(b 2 ＋c 2 －a 2 )，a 2 －c 2 ＝b 2 2 ， 解方程组：???? ? a 2－c 2 ＝2b a 2－c 2＝b 22 ，∴b ＝4. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π 4 )＝________. 解析 因为0<α<π 2<β<π， 所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π 4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝4 5， 所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－3 5. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π 4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π 4) ＝－35×13＋45×223＝82－3 15 . 10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米． 答案 40013 解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD . 所以400sin 30°＝AD sin 120° ，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得 AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)． 故索道AC 的长为40013米． 三、解答题 11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B . 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac . 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3.