高考文科数学一轮复习学案双曲线

第七节双曲线

[ 最新考纲] 1. 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.3. 理解数形结合思想.4. 了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义

（1）平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于| F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．（2）集合P＝{ M||| MF1| －| MF2|| ＝2a} ，| F1F2| ＝2c，

其中a，c 为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2| 时，M点的轨迹是双曲线；

②当2a＝|F1F2| 时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a> | F1F2| 时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

43

1． 22 xy

双曲线 3－2＝1 的焦距为 (

A ．

[ 由双曲线

B. 5

22

x y x 3－ 2 ＝ 1，易知 c 2

＝ 3＋ 2＝ 5，所以 c ＝ 5，所以双曲线 3－ 3 2 3 C ． 25 D ．1

22

2 y 2

＝ 1 2

的焦 距为 2 5.]

2．

2

以椭圆 4＋y

3＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( ) A ．

2

2

y x 2－3＝1

2 x

2

B. 3－y 2＝1

C ． 2

2 y

2

x 2

－2＝1

22

xy

D. － ＝ 1

3. 等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线， 其渐近线方程为 y ＝± x ，离心率为 e ＝ 2.

[ 常用结论 ]

二、教材改编

1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2b 2，

a

， 也叫通径．

2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b .

3．若 P 是双曲线右支上一点， F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点， | PF 1| min ＝ a ＋c ， | PF 2| min ＝c － a .

22

xy

4．与双曲线 a 2－ b 2＝ 1( a >0， b > 0)有共同渐近线的方程可表示

2

x

a 2－

b 2＝t (t ≠0)．

5．当已知双曲线的渐近线方程为 bx ±ay ＝ 0，求双曲线方程时， 可设双曲线方程为 b 2x 2

22

－a 2y 2＝λ( λ≠0)．

、思考辨析 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)

(1) 平面内到点 F 1(0,4) ，F 2(0 ，－ 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．

22

xy

(2) 方程 m － n ＝ 1( mn >0) 表示焦点在 x 轴上的双曲线． 22

xy

(3) 双曲线 m 2－n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是

2 x 2－ m

2

y n

22＝0，即x m ±y n ＝0.

(4) 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.

[ 答案](1) × (2) × (3) √

(4) √

22

由椭圆x 4＋y 3＝1，得椭圆焦点为 (±1,0) ，在 x 轴上的顶点为( ±2,0) ． 所以双曲线的顶点为 ( ±1,0) ，焦点为( ±2,0) ． 所以 a ＝1，c ＝ 2，

222

所以 b 2＝ c 2－ a 2＝ 3，

2

所以双曲线的标准方程为 x － 3＝ 1.]

22

xy

3．已知双曲线 a 2－ 3＝ 1( a >0) 的离心率为 2，则 a ＝(

)

B. 26 D ．1

4．经过点 A (5，－ 3) ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 _______ ．

22

1x

6

－ 1y 6＝ 1 [ 设双曲线的方程为 x 2－y 2＝λ，把点 A (5 ，－ 3)代入，得 λ＝16，

22

故所求方程为 1x 6－ 1y 6＝1.]

⊙考点 1 双曲线的定义及应用 双曲线定义的两个应用

(1) 判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程． (2) 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 || PF 1| －| PF 2|| ＝2a ，运 用

平方的方法，建立与 | PF 1| ·|PF 2| 的关系．

22

(1) 设 P 是双曲线 1x 6－2y 0＝1 上一点， F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF 1|＝9，

则| PF 2| 等于 (

)

A ． 1

B ．17

C ．1 或 17

D ．以上均不对

2 2 2 2

(2) 已知动圆 M 与圆 C 1：(x ＋4) 2＋y 2＝2 外切，与圆 C 2：(x －4)2＋y 2＝2 内切，则动圆 圆

心 M 的轨迹方程为 ( )

2 2

2 2

A.x －y ＝1(x ≥ 2)

B.x －y ＝1( x ≤－ 2) 2 14

2 14 2 2 2 2

x y x y C.2＋14＝1(x ≥ 2)

D. 2＋14＝1( x ≤－ 2)

(3) 已知 F 1，F 2为双曲线 C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1PF 2＝60°，则 | PF 1| ·|PF 2| 等于 (

)

A ． 2

B ．4

A [ 设要求的双曲线方程为

22

xy

a 2

－b 2

＝ 1( a > 0， b >0) ，

A ．2

C.

D [ 依题意， c e ＝

a

a a

＋3

＝2，∴ a 2＋ 3＝ 2a ，则 a 2＝1， a a ＝1.]

C． 6 D．8

(1)B (2)A (3)B [(1) 根据双曲线的定义得|| PF1| －| PF2|| ＝8? | PF2| ＝1或17. 又| PF2| ≥c

－a＝2，故| PF2| ＝17，故选 B.

(2) 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以| MC1| －| MC2|

＝2 2，故由双曲线的定义可知动点M在以C1( －4,0) ，C2(4,0) 为焦点，实轴长为2a＝2 2

22 xy 的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4? b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为2－

14＝1(x≥2) ，故选 A.

(3) 由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得|| PF1|－| PF2|| ＝2.

在△ PF1F2中，由余弦定理得

2 2 2 |F1F2|2＝| PF1| 2＋|

PF2| 2－2| PF1| ·|PF2|cos

60 °，

即(2 2 ) 2＝| PF1| 2＋| PF2| 2－| PF1| ·|PF2| ＝(| PF1| －|PF2|) 2＋| PF1| ·|PF2| ＝22＋| PF1| ·|PF2| ，

解得| PF1| ·|PF2| ＝4，故选 B.]

[ 母题探究]

1．本例(3) 中，若将条件“∠ F1PF2＝60°”改为| PF1| ＝2| PF2| ，试求cos∠ F1PF2的值．[解] 根据双曲线的定义知，| PF1| －| PF2| ＝| PF2| ＝2，则| PF1| ＝2| PF2| ＝4，又| F1F2| ＝2 2

| PF1| 2＋| PF2| 2－| F1F2|2＝42＋22－ 2 2 2＝3.

∴cos∠FPF＝

＝2×4×2 ＝4.

∴cos∠F1PF2＝2|

PF1|| PF2|

2．本例(3) 中，若将条件“∠ F1PF2＝60°”，改为P→F1·P→F2＝0，则△ F1PF2 的面积是多少？

[解] 不妨设点P在双曲线的右支上．

则| PF1| －| PF2|＝2a＝2，

由PF1·PF2＝0，得PF1⊥PF2.

在△ F1PF2中，| PF1| 2＋| PF2| 2＝| F1F2| 2，

2

即(| PF1| －| PF2|) 2＋2| PF1|| PF2| ＝8，

∴|PF 1|| PF 2| ＝2.

1

∴S △ F 1PF 2＝2| PF 1|| PF 2| ＝1.

(1) 求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例

T (1) ； (2) 利用定义求双曲

线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例 T (2) ．

1.已知点 F 1( － 3,0) 和F 2(3,0) ，动点 P 到 F 1，F 2的距离之差为 4，则点 P 的轨迹方程

为( )

2 2 2 2

x y x y

A. 4－ 5 ＝1( y >0)

B. 4－5＝1(x >0)

B [ 由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，

22

2 x y >0，a >0，b >0)，由题设知 c ＝3，a ＝2，b 2

＝9－4＝5，所以点 P

的轨迹方程为 4－ 5＝1(x

>0)．]

2

2．已知双曲线 x 2－2y 4＝1 的两个焦点为 F 1，F 2，P 为双曲线右支上一

点．

则△ F 1PF 2的面积为 ( )

A ． 48

B ．24

C ．12

D ．6

B [ 由双曲线的定义可得 1

|PF 1|－|PF 2|＝3| PF 2| ＝2a ＝2，

解得| PF 2| ＝6，故| PF 1| ＝ 8， 又| F 1F 2| ＝ 10，

由勾股定理可知三角形 PF 1F 2为直角三角形，因此

S △F 1PF 2＝21|

PF 1| · |PF 2| ＝ 24.] 22

3．若双曲线 x 4 － 1y 2＝

1

的左焦点为 F ，点 P 是双曲线右支上的动点，

A （1,4） ，则|

PF |

＋| PA | 的最小值是 (

)

A ．8

B ．9

C ． 10

D ．12

22

B [由题意知，双曲线 x 4－1y

2＝1 的左焦点 F 的坐标为 ( －4,0) ，设双曲线的右焦点为

B ，则 B (4,0) ，由双曲线的定义知|PF | ＋|PA | ＝4＋|PB | ＋ | PA | ≥4＋ | AB | ＝ 4 ＋

4－1 2＋ 0－4 2＝4＋5＝9，当且仅当 A ，P ，B 三点共线且 P 在 A ，B 之间时取等号． ]

⊙考点 2 双曲线的标准方程

C. 2

y 2

5

＝1（y >0）

22

yx

D. － ＝1（ x >0）

45

22

设其方程

为 x a 2－y b 2＝1( x

4 若| PF 1|

＝3| PF 2| ，

求双曲线方程的思路

(1) 如果已知双曲线的中心在原点， 且确定了焦点在 x 轴上或 y 轴上， 则设出相应形式

的标准方程，然后根据条件确定关于 a ， b ，c 的方程组，解出 a 2， b 2，从而写出双曲线的标 准方程 ( 求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解 ) ．

(2) 当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另 一

种是设双曲线的一般方程为 mx 2＋ny 2＝1(mn <0) 求解．

22

(1)(2019 ·荆门模拟 ) 方程 m ＋x 2＋m －y 3＝ 1 表示双曲线的一个充分不必要条件是

B ．－ 1< m <3 D ．－ 2< m <3

A ．－ 3< m < 0 C ．－ 3< m < 4

(2)[ 一题多解 ] 已知双曲线过点 (2,3) ，渐近线方程为 y ＝± 3x ，则该双曲线的标准方

程是 ( )

7x

2 y 2

A. － ＝ 1

16 12

22

yx B. － ＝ 1

32

2

C ．x －3＝1

22

3y

2 x 2

D. － ＝ 1

2 x

(3)(2018 ·天津高考 )已知双曲线 2－ a 2

y

b 2＝ 1( a >0， b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直

于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点． A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1

和 d 2，且 d 1＋ d 2＝ 6，则双曲线的方程为

22

xy A. － ＝ 1 )

22

xy B. － ＝ 1

12 4

22

xy

C. － ＝ 1

39

22

xy

D. － ＝ 1

93

2

(1)B (2)C (3)C [(1) 方程m ＋ 2＋ m －y 3＝1表示双曲线，则 ( m ＋ 2)( m －3) <0，解得

－2

意．故选 B.

(2) 法一：当其中的一条渐近线方程 y ＝ 3x 中的 x ＝ 2时， y ＝2 3>3，又点 (2,3) 在

22 xy

2

－ 2＝ 1( a > 0，b >0) ，由

ab

第一象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是 49

2－ 2＝ 1， a 2－b 2＝

1， 题意得 b

a ＝ 3，

a ＝ 1， 解得

b ＝ 3，

2

所以该双曲线的标准方程为 x 2－ y 3＝ 1，故

选

C.

法二：因为双曲线的渐近线方程为 y ＝± 3x ，即 y 3＝± x ，所以可设双曲线的方程是

22

x － 3 ＝λ（ λ≠0） ，将点 （2,3） 代入，得 λ＝ 1，所以该双曲线的标准方程为 x － 3 ＝1，故 选 C.

22

∴双曲线的方程为 x 3－y 9 ＝1. 故选 C.]

已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单．

[ 教师备选例题 ]

22

设双曲线与椭圆 2x 7＋ 3y 6＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为

（ 15，4） ，则此双曲线的标准方程是 ______ ．

2 2 2 2

y

－x ＝1 [ 法一：椭圆 x ＋y ＝1 的焦点坐标是

4 5 27 36

(3)

如图，不妨设 A 在 B 的上方，则 A c ，b a ，B c ，－b a

aa

其中的一条渐近线为 bx －ay ＝0，则 d 1＋ d 2＝ bc － b 2＋ bc ＋ b 2

a 2＋

b 2

2b ＝ 6，∴ b ＝3. 又由 e ＝ c ＝2，知 a 2＋ b 2＝4a 2，∴ a ＝

3. a

22

（0 ，±3），设双曲线方程为 a 2－b 2＝

1（a >0 ， b >0） ， 根 据 双 曲 线 的 定 义 知 2a

| 15－ 0

22

2

＋ 4－ 3 2

15－ 0 2＋ 4＋ 3 2| ＝4，故 a ＝ 2.

2 又 b 2＝ 32－ 22＝ 5，故所求双曲线的标准方程为 y 4 5

2

x ＝1.

22

法二：椭圆 x ＋ y ＝1 的焦点坐标是 （0 ，±3） ．设双曲线方程为 y

27 36 a 则 a 2＋ b 2

＝ 9，

16 15

又点（ 15，4） 在双曲线上，所以 1a 62－1b 52＝1，

联立①②解得 a ＝ 4， b ＝5. 故所求双曲线的标准方程为 22 y 4

2

－x 52

＝1.

2

x b 2＝1( a >0，b >0) ， 22

1.（2019 ·湘潭模拟 ）以双曲线 x 4－y 5＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲

线

的标准方程为 （ ）

2bc

c

⊙考点 3 双曲线的几何性质

求双曲线的离心率 ( 或其范围 )

求双曲线的离心率或其范围的方法

(1)求a ，b ，c 的值，由

c a 22

＝

a 2＋

a 2

b 2＝1＋a b 22直接求 e .

与渐近线有关的问题

22

A ． x 2－ y 2

2 x

2

B.x 9－y 2＝

1

22

xy

C.9－3＝1

22

xy

D. － ＝ 1

99

D [ 由题可知，所求双曲线的顶点坐标为 ( ± 3,0) ．又因为双曲线的渐近线互相垂

直，

22

所以 a ＝ b ＝ 3，则该双曲线的方程为 x 9－y 9 ＝1. 故选 D.]

2

x

2．已知双曲线 2

a

2

y

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线的右

支上，若 |PF 1| －|PF 2| 2

x 2

A. － y 2＝ 1

4

＝ 4b ，且双曲线的焦距为 2 5，则该双曲线的标准方程为 ( ) 22

xy B. － ＝ 1 32 2

2

y

C ． x 2－ ＝1

22

xy

D. － ＝ 1

23

A [ 由题意可得

| PF 1| －| PF 2| ＝2a ＝4b ，

222

c ＝a ＋b ，

2c ＝ 2 5，

2

a ＝ 4， 解得 2

b 2＝1，

则该双曲线的标准方程为 4－ y 2＝ 1.]

3．经过点 P (3,2 7)，Q ( －6 2， 7)的双曲线的标准方程为

22

y x 2 2

－ ＝1 [ 设双曲线方程为 mx 2＋ ny 2＝ 1( mn < 0) ，

25 75

因为所求双曲线经过点 P (3,2 7) ，Q (－6 2，7)，

9m ＋28n ＝

1， 所以

72m ＋ 49n ＝1，

m ＝－

75，

解得

1

n ＝

25.

故所求双曲线方程为 2

y

25 75

2 x

＝1.]

a a a

关于 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解．

22

xy

(1)(2019 ·全国卷Ⅱ )设 F 为双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a >0，b >0) 的右焦点， O 为坐标原

222

点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2＋y 2＝a 2交于 P ，Q 两点．若| PQ | ＝| OF | ，则 C 的离心率为 ( )

A. 2

B. 3 C ． 2

D. 5

22

(2) 已知双曲线 x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线的右

支上，且 | PF 1| ＝ 4| PF 2| ，则双曲线离心率的取值范围是 ( )

5

A. 3， 2 5

B. 1， 3

C ． (1,2]

5 D. ，＋∞

3

，＋∞

(1)A (2)B [(1) 令双曲线 C ：

22

xy

2－ 2＝1(a >0，b >0)的右焦点 F 的坐标为 (c, 0)，则 c ab

＝ a 2＋ b 2.

如图所示，由圆的对称性及条件 | PQ |＝| OF | 可知， PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且

c

PQ ⊥ OF .设垂足为 M ，连接 OP ，则| OP | ＝a ，| OM | ＝ | MP | ＝2，

由| OM |2＋|MP |2＝|OP | 2，

22 cc 2 得 2 ＋ 2 ＝

a 2， ∴c ＝ 2，即离心率 e ＝ 2. a 故选 A.

(2) 由双曲线的定义可知 | PF 1| －| PF 2| ＝2

a ，又| PF 1| ＝ 4| PF 2| ，所以| PF 2| ＝23a ，由双曲 2a c 5 5 线上的点到焦点的最短距离为 c －a ，可得 2

≥ c －a ，解得 ≤5，即 e ≤5

，又双曲线的离心

3 a 3 3 5

率 e > 1，故该双曲线离心率的取值范围为 1，3 ，故选 B.]

本例 T (2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于

c －a 建立不等式求解，同时

应注意双曲线的离心率 e > 1.

与渐近线有关的结论

22

(2019·沈阳模拟 )设 F 1 ，F 2分别为双曲线 C ：x

2－y 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点， P ab

是双曲线 C 上一点，若 | PF 1| ＋| PF 2| ＝4a ，且△ PF 1F 2的最小内角的正弦值为 31，则双曲线

C 的离心率为 ( )

A ．2 C. 2 D. 3

C [不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知

| PF 1| －| PF 2| ＝2a ，| F 1F 2|

＝2c ，所以| PF 1| ＝3a ，| PF 2| ＝a . △ PF 1F 2的最小内角的正弦值为 13，其余弦值为 332，因为| PF 1|

>| PF 2| ，| F 1F 2| >| PF 2| ，所以∠ PF 1F 2为△ PF 1F 2的最小内角．由余弦定理可得

2. 故选 C.]

2 2 2 2

x y x y (1)(2019 ·武汉模拟 )已知双曲线 C ：m 2－n 2＝1(m >0，n >0) 的离心率与椭圆 25

＋16＝

1 的离心率互为倒数，则双曲线 C 的渐近线方程为 ( )

A ． 4x ±3y ＝ 0

B ． 3x ±4y ＝0

C ． 4x ±3y ＝ 0 或 3x ±4y ＝ 0

D ． 4x ±5y ＝ 0 或 5x ±4y ＝ 0

22

xy

C ： 2－ 2＝ 1( a > 0， b > 0) 的顶点到其一条渐近线的

ab

3 2 2 2

B ．3

| PF 2| 2＝| F 1F 2| 2

2 2 2 2

＋| PF 1| －2| F 1F 2|| PF 1|cos ∠ PF 1F 2，即 a ＝4c ＋9a －2×2c ×3a ×

22

3 所以离心率

(2) e 2＝1＋a b 22? a b 2＝ e 2－ 1? b ＝ e 2

－ 1.

aa

(2)(2019 ·张掖模拟 ) 已知双曲线 距离为 1，焦点到其一条渐近线的距离为

2，则其一条渐近线的倾斜角为 (

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

(1)A (2)B [(1) 由题意知，椭圆中 a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心

率

b

2

3

1－b a 2＝53，

c

所以 θ ＝45°，故选 B.]

4x ±3y ＝ 0. 故选 A.

∴ n m ＝ 43，∴双曲线的渐近线方程为

n 4 y ＝± n m x ＝± 43x ，即

2

x

(2) 设双曲线 a 2－ 2

y

b 2＝1的右顶点 A ( a, 0) ，右焦点 F 2(c, 0)到渐近

线

y ＝a b x 的距离分别为

1 和

2 ，则有

ab

＝ 1，

a 2＋

b 2

＝1，

bc

a 2＋

b 2

＝ 2，

即c a ＝ 22

22 b c － a

则 2

a

22

c 2 ＝ 2－ 1＝ 2－ 1＝ 1， aa 即 b ＝ 1. a 设渐近线 y ＝a b x 的倾斜角为 θ， a 则 tan b θ＝ ＝ 1.

a 双曲线中，焦点到一条渐近线的距离等于

b 是常用的结论．

[ 教师备选例题 ]

22

xy

(2019·衡水模拟 )已知双曲线 a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为

F 1， F 2，

过点 F 1作圆 x 2＋y 2＝a 2 的切线，交双曲线右支于点 方程为 ( )

M .若∠ F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线

A ． y ＝± 2x C ． y ＝± x

A [ 如图，作 OA ⊥F 1M 于点 A ，F 2

B ⊥F 1M 于点 B . 因为 F 1M

与 圆 x 2＋y 2＝a 2相切，∠ F 1MF 2＝45°，所以 |OA | ＝a ，|F 2B |＝

|BM | ＝2a ，|F 2M |＝2 2a ，| F 1B | ＝2b .又点 M 在双曲线上，所以 |F 1M | －| F 2M | ＝2a ＋2b －2 2a ＝ 2a ，整理得 b ＝ 2a .所以b ＝ 2.

所以 a

双曲线的渐近线方程为 y ＝± 2x . 故选 A.]

22

1.已知双曲线 y m －x 9＝1(m >0)的一个焦点在直线 x ＋y ＝5 上，则双曲线的渐近线方

程为 ( )

3

A ．y ＝± 4x

B ． 4

y ＝±3x

C ． y ＝±

22

x

3x

D ．

y ＝±342x ∴双曲线的离心率为 D ． y ＝±2x

22

yx

B [由双曲线－＝1（m>0）的焦点在y 轴上，且在直线x＋y＝5 上，直线x＋y＝5 m9与y 轴的交点为（0,5），

有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，

22

所以双曲线的方程为1y6－x9＝1，

4

故双曲线的渐近线方程为y＝± 3x. 故选 B.]

3

22 xy

2．已知双曲线C：a2－b2＝1（a> 0，b> 0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A

（2 ，2）在双曲线C上，若AF2⊥F1F2，则双曲线 C 的渐近线方程为（）A．y＝± x B．y＝± 2x

C．y＝±2x D．y＝±6x

A [ 因为AF2⊥F1F2，A（2 ，2），所以F1（－2,0），F2（2,0），由双曲线的定义可知2a＝

| AF1| －| AF2| ＝－2－2 ＋0－ 2 －2＝2 2，即a＝2，所以b＝2 －2

＝2，故双曲线C的渐近线方程为y＝± x，故选 A.]

(2) 列出含有a，b，c 的齐次方程(或不等式) ，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成

[ 教师备选例题]

x y b y x

(1) 双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0) 的渐近线方程为y＝±a x，双曲线a2－b2＝1( a> 0，b

a

> 0) 的渐近线方程为y＝± b x.

2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1

8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为（） D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.

2012广东省高考文科数学试卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1?答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2?选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3?非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4?作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5?考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 4 , 参考公式：球的体积V= R ,其中R为球的半径. 3 1 锥体的体积公式为V = —Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。 3 一组数据X1, X2,…，X n 的标准差S二j2［（X1 X）2（X2 X）2 L （X n X）2］，其中X 表示这组数据的平均数。 一?选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3 4i 1. 设i为虚数单位，则复数i A. 4 3i B. 4 3i C. 4 3i D. 4 3i 2. 设集合U={1.2. 3. 4. 5.6} , M={1.3.5}，则e U M = A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U uuu uuu UULT 3.若向量AB(1,2) , BC(3,4)，则AC A. (4.6) B. (-4,-6) C. (-2, -2) D. (2, 2) 4.下列函数为偶函数的是

高三文科数学模拟试题含答案

高三文科数学模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i - 2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2} C ． {2,0,1,2}- D ．{3,2,0,1,2}-- 3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ） A ．2 B ．12 C ．12 - D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么 这个几何体的表面积为（ ） A ．4π B ． 3 2 π C .3π D .2π 到函 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6 π 个单位，得数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2 π- B . (,0)6 π- C . (,0)6 π D . (,0) 3 π 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．10 - B ．3- C ． 4 D ．5 7. 已知圆22:20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l 与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（正视图 侧视图 俯视图

A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ， 则65a a ?的最大值是( ) A ．94 B ．6 C ．9 D ．36 9．已知变量,x y 满足约束条件102210x y x y x y +-≥ ?? -≤??-+≥? ，设22z x y =+，则z 的最小值是（ ） A. 12 B. 2 C. 1 D. 13 10. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0≥x 时，?????+∞∈--∈+=) ,1[|,3|1) 1,0[),1(log )(2 1x x x x x f ，则函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21- 第Ⅱ卷（非选择题 满分 100分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置） 11. 命题“若12

高三数学一轮复习

高三数学一轮复习 1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， . ①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列； 请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值. 解：（1）21++=+n n n a S S ，21=-∴+n n a a ∴数列{}n a 是公差2=d 的等差数列。 选①2-922-183=+∴=+d a a a 解得10-1=a 122-=∴n a n 选②287-=S 解得10-1=a 122-=∴n a n 选③由2a ，4a ，5a 成等比数列得522 4a a a =即())4)((3112 1d a d a d a ++=+ 解得10-1=a 122-=∴n a n （2）解法一：令?? ?≥≤+001n n a a 即???≥-≤-0 1020 122n n 解得65≤≤n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 解法二：)11(-=n n s n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 2.在①231a b b =+，②44a b =，③255-=s 中选择一个作为条件，补充在下列题目中，使得正整数 k 的值存在，并求出正整数k 的值 设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，{}n b 是等比数列，★_______，51a b =，32=b ，81-5=b 是否存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s 解：32=b ，81-5=b 3-=∴q 151-==∴a b 274=∴b 011 ++∴k k k a s s 0221 +++∴k k k a s s ，0-12 d a a k k =∴++ 若存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s ，那么等差数列{}n a 的前n 项和为n s 必然为开口向上() 0 d 的函数模型，在条件选择的时候，选择条件②2744==a b ，由151-==a b 显然公差()0 d ，由

高考数学文科分类--集合与简易逻辑

2014年高考数学文科分类------集合与简易逻辑 （安徽）2命题“0||,2 ≥+∈?x x R x ”的否定是（ ） A.0||,2<+∈?x x R x B. 0||,2≤+∈?x x R x C. 0||,2000<+∈?x x R x D. 0||,2000≥+∈?x x R x 北京1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 （福建卷）1若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P I 等于（ ） A ．}43|{<≤x x B ．}43|{<

高考文科数学一轮复习专题 集合(学生版)

专题1：集合 【考试要求】 1、集合的含义与表示 （1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。 （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体集合。 2、集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。 3、集合的基本运算 （1）理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集。 （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算。 【知识要点】 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：、、。 （2）集合中元素与集合的关系： 2、集合间的基本关系： 思考：a {}a ；?{0}；?{}? 感悟：正确理解集合的含义，正确使用集合的基本符号。 3、集合的基本运算 是任何非空集A ??，?B(B ≠?)

4、常用的结论 （1）)()()(B C A C B A C U U ?=?B)(C )()(U ?=?A C B A C U （2）A B A B ??= ；A B A B ??= 【考点精练】 考点一：集合的有关概念 1、已知集合2{2013,10122013,2012}A a a a =+-+，且2013A ∈，求实数a 的取值集合。 变式：已知集合{,,1}b a a 与集合2{,,0}a a b +相等，求20132013a b +的值。 2、用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则由：17A ；5-A ；17B 。 3、设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，则{3}A B = 时，实数a 的值为。 考点二：集合间的基本关系 1、设全集为R ，集合{|21}M x y x ==+，2 {|}N y y x ==-，则（ ） A 、M N ? B 、N M ? C 、M N = D 、{(1,1)}M N =-- 2、设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ? 的集合C 的个数是（ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、若x A ∈，则 1A x ∈，就称A 是伙伴关系的集合，集合11 {1,0,,,1,2,3}32 M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合各数是。 4、设2 {|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-= （1）若1 5 a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ?，求实数a 组成的集合C 。

2015广东文科数学试题及标准答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． （1）【2015年广东，文1，5分】若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ） （A ）{}0,1- （B ）{}0 （C ）{}1 （D ）{}1,1- 【答案】C 【解析】{}1M N =，故选C ． （2）【2015年广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()2 1i +=（ ） （A ）-2 （B ）2 （C ）2i - （D ）2i 【答案】D 【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，故选D ． （3）【2015年广东，文3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） （A ）2sin y x x =+ （B ）2cos y x x =- （C ）1 22 x x y =+ （D ）sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】()()()2 22sin sin sin x x x x x x -+-=-≠±+，所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对 称．()2 2cos()cos x x x x ---=-，故为偶函数；对于C ，函数定义域为R ，关于原点对称，因为 1()222 2x x x x f x -=+ =+，所以()22()x x f x f x --=+=，故为偶函数；D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且sin 2()(sin 2)x x x x -+-=-+，故为奇函数，故选A ． （4）【2015年广东，文4，5分】若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤?? +≥??≤? ，则23z x y =+的最大值为（ ） （A ）10 （B ）8 （C ）5 （D ）2 【答案】C 【解析】在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由()2,2-，()4,4-， ()4,1- 组成的三角形．由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易 知当4x =，1y =-时，2z x y =+取得最大值5．本题也可以通过平移直线2 3 y x =-， 当直线233 z y x =-+经过()4,1-时，截距达到最大，即z 取得最大值5，故选C ． （5）【2015年广东，文5，5分】设ABC ?的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a = ，c = cos A =，且b c <，则b =（ ） （A （B ）2 （C ） （D ）3 【答案】B 【解析】由余弦定理得：222a b c =+2cos bc A - ，所以24122b b =+-?，即2680b b -+=，解得2b =或 4b =．因为b c <，所以2b =，故选B ． （6）【2015年广东，文6，5分】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β 的交线，则下列命题正确的是（ ） （A ）l 至少与1l ，2l 中的一条相交 （B ）l 与1l ，2l 都相交 （C ）l 至多与1l ，2l 中的一条相交 （D ）l 与1l ，2l 都不相交 【答案】 A

2019年高考文科数学模拟试题精编(文)

高考文科数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设全集Q ＝{x |2x 2－5x ?0，x ∈N}，且P ?Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1 z ＝( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i 3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95 4．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )

A.34 B.23 C.12 D.1 3 5．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( ) 6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( ) A.3 2 B ．－3 2 C ．－1 D ．1 8．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为( ) A ．3.119 B ．3.124

高三数学第一轮复习教案(1)

第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：概率

概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只 兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰 好选中2名女生的概率为 ． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个 数x ，则x D ∈ 的概率是 ． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求

全国卷一高三数学一轮复习讲义

集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}．

1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集

(word完整版)2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列

（2017 高考文科数学）2016-4-30 讲义一数列 一、高考趋势 1、考纲要求 （1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法( 列表、图像、通项公式 ) ．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数． （3）．理解等差数列的概念． （4）．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． （5）．了解等差数列与一次函数的关系． （6）．理解等比数列的概念． （7）．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式． （8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系． 2、命题规律 数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12 分。考察形式一般有两种，第一种是选择 题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一 题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且 拿到满分”的“高期待值”题。

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二、基础知识 +典型例题 1、等差数列的概念与运算 （1）．等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． （2）．等差数列的通项公式 如果等差数列 { a n 的首项 为 a 1 ，公差为 d，则它的通项公 式是（ n N ） } a n a1 (n 1)d . （3）．等差中项 a b 如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 2 （4）．等差数列的前n 项和 等差数列 { a n 的 前 项和公 式： n(n 1) n(a 1 a n ) N ）n S n na1 d （ n } 2 2 （5）．等差数列的判定通常有两种方法： ①第一种是利用定义，an－ an－ 1＝ d(常数 ) (n≥2)， ②第二种是利用等差中项，即2an＝ an＋ 1＋an－ 1 (n≥ 2)． [ 来源学科网] 背诵知识点一： （ 1）等差数列的通项公式：a n a1(n 1)d（ n N ） （2）等差中项： a,b,c构成等差数列，则 a c 2b （ 3）等差数列的前n 项和： S n na1n(n 1) d n(a1a n )（n N ） 2 2

2015广东高考文科数学试题及答案

绝密★启用前 试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ） A ．{}0,1- B ．{}0 C ．{}1 D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()2 1i +=（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．1 22 x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤?? +≥??≤? ，则23z x y =+的最大值为（ ） A ．10 B ．8 C ．5 D ．2 5、设C ?A B 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2 A =，且b c <，则b =（ ） A ．3 B ．2 C ．22 D ．3 6、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交 B ．l 与1l ，2l 都相交 C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．l 与1l ，2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）

A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1 8、已知椭圆22 2125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ?A =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且， (){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ） A ．50 B ．100 C ．150 D ．200 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题） 11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 12、已知样本数据1x ，2x ，???，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，???，21n x +的均值为 ． 13、若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数 方程为2 22x t y t ?=??=??（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ． 若

高考文科数学试题解析分类汇编

2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______. 【答案】R 考察绝对值不等式的基本知识。函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：

高考文科数学模拟试题

高考文科数学模拟题 一、选择题: 1．已知集合{}{} 12,03A x x B x x =-<=<<，则A B =（） A ．{} 13x x -<”是“0<

2019届高三数学一轮复习目录(理科)

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版） （理科） 第一章集合常用逻辑用语推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系 第2课时集合的基本运算 第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件 第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第5课时合情推理与演泽推理 第6课时直接证明与间接证明 第7课时数学归纳法 第二章不等式 第8课时不等关系与不等式 第9课时一元二次不等式及其解法 第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第11课时基本不等式及其应用 第12课时不等式的综合应用 第三章函数的概念与基本初等函数 第13课时函数的概念及其表示 第14课时函数的定义域与值域 第15课时函数的单调性与最值 第16课时函数的奇偶性与周期性9 第17课时二次函数与幂函数 第18课时指数与指数函数 第19课时对数与对数函数 第20课时函数的图象 第21课时函数与方程 第22课时函数模型及其应用

第四章 导数 第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数） 第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值 第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用 第五章 三角函数 第26课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时 二倍角的三角函数 第30课时 三角函数的图象和性质 第31课时 函数sin()y A x ω?=+的图象及其应用 第32课时 正弦定理、余弦定理 第33课时 解三角形的综合应用 第六章 平面向量 第34课时 平面向量的概念及其线性运算 第35课时 平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时 平面向量的数量积 第37课时 平面向量的综合应用 第七章 数 列 第38课时 数列的概念及其简单表示法 第39课时 等差数列 第40课时 等比数列 第41课时 数列的求和 第42课时 等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时 平面的基本性质及空间两条直线的位置关系

高考试题文科数学分类汇编导数

2012年高考试题分类汇编：导数 1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 【答案】C 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12 为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12 x 2-㏑x 的单调递减区间为

（A）（-1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞） 【答案】B 5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C． 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8【答案】C 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3ln x+1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】3 4- =x y 8.【2012高考上海文13】已知函数() y f x =的图像是折线段ABC，其 中(0,0) A、 1 (,1) 2 B、(1,0) C，函数() y xf x =（01 x ≤≤）的图像及x轴围成 的图形的面积为【答案】 4 1。