第2讲空间几何体的表面积与体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式
圆柱圆锥圆台
侧面
展开图
侧面
积公式
S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl
S圆台侧=
π(r+r′)l
表面积体积柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底V=S底h 锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底V=
1
3
S底h 台体
(棱台和圆台)
S表面积=S侧
+S上+S下
V=
1
3
(S上+S下
+S上S下)h 球S=4πR2V=
4
3
πR3
(1)正方体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r;
①若球为正方体的外接球,则2R=3a;
②若球为正方体的内切球,则2r=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R′=2a.
(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.
(3)正四面体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r;
①外接球:球心是正四面体的中心;半径R=
6
4
a;
②内切球:球心是正四面体的中心;半径r=
6
12
a.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( )
(6)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2π
S .( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× [教材衍化]
(必修2P27练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2
,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为________.
解析:S 表=πr 2
+πrl =πr 2
+πr ·2r =3πr 2
=12π, 所以r 2
=4,所以r =2. 答案:2 cm [易错纠偏]
常见误区 (1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积; (2)考虑不周忽视分类讨论; (3)几何体的截面性质理解有误; (4)混淆球的表面积公式和体积公式.
1.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m 3
.
解析:根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m ,高为1 m 的平行四边形,四棱锥的高为3 m .故该四棱锥的体积V =13
×2×1×3=2(m 3
).
答案:2
2.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是________.
解析:当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2
,故所求的表面积是32π2
+8π或32π2
+32π.
答案:32π2
+8π或32π2
+32π
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为________.
解析:因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为22,底面圆的直径为22,所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2
+22π×22=12π.
答案:12π
4.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为________.
解析:设球的半径为R ,则由4πR 2
=16π,解得R =2,所以这个球的体积为43πR 3=
323π.
答案:32
3
π
空间几何体的表面积
(1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
径.若该几何体的体积是28π
3
,则它的表面积是( )
A .17π
B .18π
C .20π
D .28π
(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
A .8+2 2
B .11+2 2
C .14+2 2
D .15
【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉1
8
后剩下的几何体,设球的半径为
r ,故78×43πr 3=283π,所以r =2,表面积S =78×4πr 2+34
πr 2=17π,选A.
(2)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示. 直角梯形斜腰长为12
+12
=2,所以底面周长为4+2,侧面积为2×(4+2)=8+22,两底面的面积和为2×1
2×1×(1+2)=3,所以该
几何体的表面积为8+22+3=11+2 2.
【答案】 (1)A (2)B
空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
1.(2020·嘉兴期中)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A .4∶3
B .2∶1
C .5∶3
D .3∶2
解析:选A.圆锥的侧面积S 侧=π×12
×120360=π3,
圆锥的底面半径r =2π×1×120360÷2π=1
3,
圆锥的底面积S 底=π·19=π
9,
圆锥的表面积=侧面积+底面积=4π
9
,
一、选择题 1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.平行四边形 答案:A 2.在长方体1111ABCD A B C D -中,下列关于1AC 的表达中错误的一个是( ) A.11111AA A B A D ++ B.111AB DD D C ++ C.111AD CC D C ++ D.11111 ()2 AB CD AC ++ 答案:B 3.若,,a b c 为任意向量,∈R m ,下列等式不一定成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +=+··· C.()a b a b +=+m m m D.()()a b c a b c =···· 答案:D 4.若三点,,A B C 共线,P 为空间任意一点,且PA PB PC αβ+=,则αβ-的值为( ) A.1 B.1- C. 1 2 D.2- 答案:B 5.设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4- B.9 C.9- D. 649 答案:B 6.已知非零向量12e e ,不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-, ,AB AC AD ,则四点,,,A B C D ( ) A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面 答案:C 7.如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E F G ,,分别是AB AD CD ,,
的中点,则2a 等于( ) A.2BA AC · B.2AD BD · C.2FG CA · D.2EF CB · 答案:B 8.若123123123=++=-+=+-,,a e e e b e e e c e e e ,12323d e e e =++,且x y z =++d a b c ,则,,x y z 的值分别为( ) A.51122--,, B.51122 -,, C.51122 --,, D.51122 ,, 答案:A 9.若向量(12)λ=,,a 与(212)=-, ,b 的夹角的余弦值为8 9,则λ=( ) A.2 B.2- C.2-或 255 D.2或255 - 答案:C 10.已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --,,,,,,,,,则顶点D 的坐标为( ) A.7412??- ???,, B.(241),, C.(2141)-,, D.(5133)-,, 答案:D 11.在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ,的交点,则1C O 与1A D 所成角的( ) A.60° B.90° C.3arccos 3 D.3arccos 6 答案:D 12.给出下列命题: ①已知⊥a b ,则()()a b c c b a b c ++-=···; ②,,,A B M N 为空间四点,若BA BM BN ,,不构成空间的一个基底,那么A B M N ,,,共面; ③已知⊥a b ,则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合. 正确的结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 二、填空题 13.已知(315)(123)==-,,,,,a b ,向量c 与z 轴垂直,且满足94==-,··c a c b ,则c = . 答案:2221055?? - ??? ,,
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
(三)立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P A⊥平面ABCD,P A=AB,M是PC上一点,且BM⊥PC. (1)求证:PC⊥平面MBD; (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC,由P A⊥平面ABCD, BD?平面ABCD,得BD⊥P A, 又BD⊥AC,P A∩AC=A, P A,AC?平面P AC, ∴BD⊥平面P AC,又PC?平面P AC,∴PC⊥BD. 又PC⊥BM,BD∩BM=B, BD,BM?平面MBD, ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD, 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A=1,则BC=1,PC=3,PB= 2. ∴PC2=PB2+BC2,∴PB⊥BC,又BM⊥PC, ∴sin∠PBM=cos∠BPC=PB PC=2 3 = 6 3, 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz(如图所示),
不妨设P A =AB =1, 则P (0,0,1),B (1,0,0),C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → =(1,1,-1), 而PB → =(1,0,-1). ∴cos 〈PB →,PC → 〉=(1,0,-1)·(1,1,-1)2×3=63, 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图,已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形,AC ∥DF ,四边形BCDE 为直角梯形,且DE ∥BC ,BC ⊥CD ,点G 为△ABC 的重心,N 为AB 的中点,AG ⊥平面BCDE ,M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证:GM ∥平面DFN ; (2)若二面角M -BC -D 的余弦值为 7 4 ,试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ,连接ON ,OF . 因为点G 为△ABC 的重心, 所以AG AO =2 3,且O 为BC 的中点. 又由题意知,AM →=23AF → , 所以AG AO =AM AF =23, 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点,
空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处
理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法