立体几何与空间向量知识点归纳总结
一、立体几何知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱的定义:有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形,且相邻四边形的公共边都平行,由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质:侧面都是平行四边形;侧棱都平行,侧棱长都相等。
直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
(2)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质:平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
(3)棱台的定义:用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质:①上下底面平行且是相似的多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。
(4)圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台的定义:以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇环形。
(7)球体的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'
h 为斜高,l 为母线)
ch S =直棱柱侧面积
rh
S π2=圆柱侧
'2
1
ch S =
正棱锥侧面积 rl
S π=圆锥侧面积
')(2
1
21h c c S +=
正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13
V Sh =锥 h r V 23
1π=圆锥
'1
()3
V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台
(4)球体的表面积和体积公式:V 球=343
R π ; S 球面=24R
π
3、平面及基本性质
公理1 ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =?βα且α∈P
公理3 不共线三点确定一个平面(推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线)
4、空间两直线的位置关系
共面直线:相交、平行(公理4) 异面直线 5、异面直线
(1)对定义的理解:不存在平面α,使得α?a 且α?b (2)判定:反证法(否定相交和平行即共面) 判定定理:15P
★(3)求异面直线所成的角:①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角,再解三角形.
②向量法 |
||||,cos |cos b a =
><=θ (注意异面直线所成角的范围]
2
,
0(π
(4)证明异面直线垂直,①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明;
②向量法 0=??⊥
(5)求异面直线间的距离:大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.
6、 直线与平面的位置关系
1、直线与平面的位置关系
A a a a =??ααα,//,
2、直线与平面平行的判定
(1)判定定理: ααα////b a a b b ???
?
??
?? (线线平行,则线面平行17P )
(2)面面平行的性质:
βαβα////a a ??
??
? (面面平行,则线面平行) 3、直线与平面平行的性质
b a b a a //,//??
??
=??βαβα (线面平行,则线线平行18P )
★4、直线与平面垂直的判定 (1)直线与平面垂直的定义的逆用
a l a l ⊥??
??
?⊥αα, (2)判定定理:αα⊥???
?
??
=??⊥⊥l A n m n m n l m l ,, (线线垂直,则线面垂直23P )
(3)
αα⊥??
??
⊥a b b a // (25P 练习 第6题) (4)面面垂直的性质定理:βαβαβα⊥???
?
??
⊥?=?⊥a l a a l , (面面垂直,则线面垂直51P )
(5)面面平行是性质:βαβα⊥??
??
⊥l l // 5、射影长定理
★6、三垂线定理及逆定理 线垂影?线垂斜
7、 两个平面的位置关系:空间两个平面的位置关系 相交和平行
8、两个平面平行的判定 (1)判定定理:βαβα
α//,,//,//??
??
=?P b a b a b a (线线平行,则面面平行19P )
(2)
βαβα//??
??
⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 (3)βαγβγα////,//? 平行于同一平面的两个平面平行 (21P 练习 第2题) 9、两个平面平行的性质
(1)性质1:βαβα//,//a a ??
(2)面面平行的性质定理: b a b a //,//??
??
=?=?γβγαβα (面面平行,则线线
平行20P )
(3)性质2:βαβα⊥?⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质
(1)判定定理:βααβ⊥??⊥a a , (线面垂直,则面面垂直50P )
(2)性质定理:面面垂直的性质定理:βαβαβα⊥???
?
??
⊥?=?⊥a l a a l , (面面垂直,则线
面垂直51P )
12、 空间角:异面直线所成角(9.1);斜线与平面所成的角 )2
,
0(π
(1)求作法(即射影转化法):找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足. (2)向量法:设平面α的法向量为,则直线AB 与平面α所成的角为θ,则
||
|||,cos |sin n AB =
><=θ )2
,
0(π
θ∈
(3)两个重要结论
最小角定理48P :21cos cos cos θθθ= ,,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离:求距离的一般方法和步骤 (1)找出或作出有关的距离; (2)证明它符合定义;
(3)在平面图形内计算(通常是解三角形) 求点到面的距离常用的两种方法 (1)等体积法——构造恰当的三棱锥;
(2)向量法——求平面的斜线段,在平面的法向量上的射影的长度:|
|n d =
直线到平面的距离,两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离
① 定义:和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分(公垂线段) ② 求法:法1 找出两异面直线的公垂线段并计算,法2 转化为点面距离
向量法 d =
(A ,B 分别为两异面直线上任意一点,n 为垂直于两异面直
线的向量) 注意理解应用:θcos 22
2
2
2
mn d n m l ±++=
二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法:
()1求两个向量差的运算称为向量的减法,
它遵循三角形法则.即:在空间任取一点
O ,作a OA =u u u r r ,b OB =u u u r r ,则a b BA =-u u u r r
r .
()2求两个向量和的运算称为向量的加法:
在空间以同一点O 为起点的两个已知向量
a r 、
b r 为邻边作平行四边形C OA B ,
则以O 起点的对角线C O u u u r 就是a r
与b r 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则. 2、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr
是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λr 与a r 方向相同;当0λ<时,a λr 与a r
方向相反;
当0λ=时,a λr 为零向量,记为0r .a λr 的长度是a r
的长度的λ倍.
3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
4、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量a r
,()
0b b ≠r r ,//a b r r 的
充要条件是存在实数λ,使a b λ=r r
.
5、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
6、向量共面定理:空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有
序实数对x ,y ,使
x y C
AP =AB +A u u u r u u u r u u u r ;或对空间任一定点O ,有
x y C OP =OA +AB +A u u u r u u u r u u u r u u u r
;或若四点P ,A ,B ,C 共面,则
()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
.
7、已知两个非零向量a r
和b r ,在空间任取一点O ,作a OA =u u u r r ,b OB =u u u r r ,则∠AOB 称为向量a r ,b r 的夹角,记作,a b ??r
r .两个向量夹角的取值范
围是:[],0,a b π??∈r
r .
8、对于两个非零向量a r 和b r ,若,2
a b π??=r r ,则向量a r
,b r 互相垂直,
记作a b ⊥r r .
9、已知两个非零向量a r 和b r ,则cos ,a b a b ??r r r r 称为a r
,b r 的数量积,记
作a b ?r r .即cos ,a b a b a b ?=??r r r
r r r .零向量与任何向量的数量积为0. 10、a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 的方向上的投影cos ,b a b ??r r r 的乘积. 11、若a r ,b r 为非零向量,e r
为单位向量,则有
()1cos ,e a a e a a e ?=?=??r r r r r r r
;()20a b a b ⊥??=r r r r ;
()3()
(
)
a b a b a b a b a b ???=?-??
r r r r r r r r
r r 与同向与反向,2a a a ?=r r r
,a =r ; ()4cos ,a b a b a b ???=r r r r r r ;
()5a b a b ?≤r r
r r .
12、空间向量基本定理: 若三个向量a r ,b r ,c r
不共面,则对空间任一向量p r
,存在实数组{},,x y z ,使得p xa yb zc =++r r r r .
13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
14、设1e u r ,2e u u r ,3e u r
为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以1e u r ,2e u u r ,3e u r 的公共起点O 为原点,分别以1e u r
,2e u u r ,3e u r
的方向为x 轴,
y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O .则
对于空间任意一个向量p r
,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量
p
OP =u u u r r .存在有序实数组{},,x y z ,使得
123p xe ye ze =++u r u u r u r r
.
把x ,y ,z 称作向量p r 在单位正交基底1e u r ,2e u u r ,3e u r 下的坐标,记作(),,p x y z =r .此时,向量p r
的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z .
15、设()111,,a x y z =r
,()222,,b x y z =r ,则
()1()121212,,a b x x y y z z +=+++r r .()2()121212,,a b x x y y z z -=---r
r .
()
3()111,,a x y z λλλλ=r
.
()
4121212a b x x y y z z ?=++r
r .
()
5若a r
、b r 为非零向量,则
12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=r r
r r .
()
6若
b ≠r r ,则
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?===r r r r
.()
7a ==r
()
8cos ,a b a b a b ???==r r r r
r r .
()9()111,,x y z A ,
()222,,x y z B =,则
d AB =AB =
u u u r
16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定.设这两
条相交直线相交于点O ,它们的方向向量分别为a r ,b r
.P 为平面α上
任意一点,存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+u u u r r r ,这样点O 与向量a r
,
b r
就确定了平面α的位置.
17、直线l 垂直α,取直线l 的方向向量a r ,则向量a r
称为平面α的法向量.
18、若空间不重合两条直线a ,b 的方向向量分别为a r
,b r ,则
////a b a b ??r
r
()a b R λλ=∈r r
,0a b a b a b ⊥?⊥??=r r r r .
19.0a n a n ?⊥??=r r r r ,//a a a n a n ααλ⊥?⊥??=r r r r r
.
20、若空间不重合的两个平面α,β的法向量分别为a r
,b r
,则
////a b αβ??r
r
a b λ=r r ,0a b a b αβ⊥?⊥??=r r
r r .
21、设异面直线a ,b 的夹角为θ,方向向量为a r
,b r ,其夹角为?,
则有cos cos a b
a b
θ??==r r r r .
22、设直线l 的方向向量为l r ,平面α的法向量为n r
,l 与α所成的角
为θ,l r 与n r
的夹角为?,则有sin cos l n l n
θ??==r r r r .
23、设1n u r ,2n u u r 是二面角l αβ--的两个面α,β的法向量,则向量1n u r
,2n u u r
的夹角
(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角l αβ--的平面角为θ,则12
12
cos n n n n θ?=u r u u r u r u u r .
24、在直线l 上找一点P ,过定点A 且垂直于直线l 的向量为n r
,则定
点A 到直线l 的距离为cos ,n d n n
PA?=PA ?PA ?=u u u r r u u u r u u u r r
r .
25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB u u u r
的模AB u u u r 计
算.
26、点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点,n r
为平面α的一个
法向量,则点P 到平面α的距离为cos ,n d n n
PA?=PA ?PA ?=u u u r r u u u r u u u r r
r
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法