电子科技大学量子力学典
型考题
Prepared on 24 November 2020
电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试
量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日
课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分
一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为：
k
p E
==ω
。（没有写为矢量也算正确）
2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r 点处小体积元d τ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 （|Ψ|2） 成正比。
3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 移动 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 分裂 。
4、任意两个力学量A 和B 有共同的本征函数，则]?,?[B A
= 0 ，表明A ?和B ? 对易 。 5、力学量F 的算符是 厄密 算符，其本征函数系组成 正交归一完备系 。 6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。
7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。 8、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x)，其定态薛定谔方程为
)()()2
2(2
222x E x x k dx d m n n n ψψ=+- ，与ψn (x)相对应的能量为ω )2/1(+n 。 （答对1或2个给1分，3个全对给2分）
9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为)(22
322212
2
2n n n ma
E ++=
π，能量最低的三个能态的简
并度分别为 1，3，3 。（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。
?-=====
i p r r z z y y x x ,,,, （任意5个，正确一个1分）
2、简述测不准原理及其意义。
测不准原理：粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。 2/ ≥???x p x （3分)
（更一般意义上，对于力学量A 和B ，若A 和B
不可对易，且C i B A =],[，
则存在测不准关系： 2/C B A ≥??? ）
意义：波粒二象性的反映；反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。 （2分） 3、什么是斯塔克（Stark ）效应试用微扰理论解释斯塔克效应。
斯塔克（Stark ）效应是指：原子在外电场作用下，它所发射的光谱谱线会发生分裂。 （2分）
解释：不考虑自旋时，氢原子n ＝2的能级4度简并，电子从E 2能级跃迁到E 1能级只产生一条谱线。当受到外加电场作用
后，4度简并的E 2能级发生分裂形成3个能级，从而形成3条光谱谱线。 （3分）
4、计算对易子],
[dx
d
x 。 假设ψ为任意一个波函数，（2分）
ψψψψ-=-=)(],
[x dx
d
dx d x dx d x （2分） 所以 1],[-=dx
d
x （1分）
E 1
E 2
三、计算题（1，2，3题每题15分，4题5分，共50分）
1、氢原子处于状态),()(3),()(),,(1,1210,020?θ?θ?θψ-+=Y r R Y r R r ，试求：
（1）能量算符H ，角动量平方算符2L 和角动量z 分量算符z L
的可能取值； （2）上述三个力学量取各可能值的几率； （3）上述三个力学量的平均值。 该波函数未归一化，首先归一化。
假设归一化波函数为)],()(3),()([),,(1,1210,020?θ?θ?θψ-+=Y r R Y r R A r 则有：A 2（1＋3）＝1，所以 A ＝1/2 归一化波函数为)],()(2
3),()(21),,(1,1210,020?θ?θ?θψ-+=
Y r R Y r R r （2分） （1） 能量算符的可能取值：E 2 （1分）
角动量平方算符的可能取值：0，22 （2分，每个1分） 角动量z 分量算符的可能取值：0， - （2分，每个1分） （2） 能量算符取E 2的几率：1 （1分）
角动量平方算符取0的几率： 1/4 （1分） 取22 的几率：3/4 （1分） 角动量z 分量算符取0的几率：1/4 （1分） 取 -的几率： 3/4 （1分） （3） 能量平均值： E 2 （1分）
角动量平方平均值： 223
（1分）
角动量z 分量平均值： 4
3
- （1分）
2、粒子在势能为
??>≤≤<=)
()0(0)0()(00
a x V
a x x V x V 的势阱中运动，粒子的能量E 域的定态薛定谔方程和波函数的通解。 对于图中的三个区域，各个区域的定态薛定谔方程分别为： ①区间： 11012 2 22ψψψE V dx d m =+- （2分） ②区间： 222 2 22ψψE dx d m =- （2分） ③区间： 33032 2 22ψψψE V dx d m =+- （2分） 分别求解各个区间的定态薛定谔方程，可以得到： x k x k e A e A 1 1 211+=-ψ x ik x ik e B e B 22212+=-ψ x k x k e C e C 11213+=-ψ （每个2分） 其中， 2 021/)(2 E V m k -= 222/2 mE k = 根据波函数有限的条件可以得到各个区间波函数的通解： x k e A 1 21=ψ x ik x ik e B e B 22212+=-ψ x k e C 113-=ψ （每个1分） 3、运动的粒子处于???<≥-=000 )exp(x x x Ax λψ所描述的状态，其中λ>0。求： （1）归一化常数A ； （2）在何处发现粒子的几率最大； （3）动量的平均值。 （1 !+∞ -= ?m ax m a m dx e x ） 0 a V 0 ① ② ③ （1）归一化： 10 222=?∞ -dx e x A x λ （3分） 2/32λ=A （2分） （2）粒子在空间出现的几率密度为：x e x x W λλψ22324||)(-== （2分） 0)(=x W dx d 解得 λ 1 ,,0321=∞==x x x （2分） 根据物理意义，粒子出现几率最大位置：λ 1 3=x （1分） （3）动量的平均值： ]3 )2(! 2)2(1[][][)(),(2 2 2222 =--=--=--= -=??∞ +--∞ +---λλλλλψψλλλλλA i dx e x xe A i dx xe e A i Axe dx d i p x x x x x （中间过程，2分） （答案1分） 4、粒子处于状态：)cos()(kx A x =ψ，求粒子的平均动量和平均动能。 )(22 ) 21 21(22)2()cos()(//k k kx i kx i ikx ikx A e e A e e A kx A x ---+=+=+==φφππππψ 其中，k φ和k -φ是动量的本征函数 归一化：1)11()22 ( 2=+ πA 所以 π/1=A )(22)(k k x -+=φφψ （3分） 动量平均值：0)(2 1 21=-+=k k p （1分） 动能平均值：m k m k m k T 2212)(212)(2 222 =?-+?= （1分） （2分） 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 第四章 量子力学中的力学量 第四章目录 §4.1表示力学量算符的性质 (3) (1) 一般运算规则 (3) (2) 算符的对易性 (5) (3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7) §4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12) §4.3 连续谱本征函数“归一化” (15) （1） 连续谱本征函数“归一化” (15) （2） δ函数 (18) （3） 本征函数的封闭性 (22) §4.4 算符的共同本征函数 (24) (1) 算符“涨落”之间的关系 (24) (2) 算符的共同本征函数组 (27) (3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28) (4) 力学量的完全集 (34) §4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36 (1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36) (2) Vivial Theorem维里定理 (37) (3) 能量—时间测不准关系 (38) (4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38) 第四章 量子力学中的力学量 §4.1表示力学量算符的性质 (1) 一般运算规则 一个力学量如以算符O ?表示。它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ??=ψ。 它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ???→?ψ 例： /p ?ia x e O ?-=，于是 )x (e )x (O ?dx d a ψ=ψ- ∑∞ =ψ-=0n n n n )x (dx d !n )a ( )a x (-ψ= )x (?= 即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即 ψ=ψO ?c )c (O ? 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ?c O ?c )c c (O ? 例如1： ψ=?ψ?H ? t i 若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。事实上 计算机专业类课程 实 验 报 告 课程名称：汇编语言程序设计 学院：计算机科学与工程 专业：计算机科学与技术 学生姓名：郭小明 学号：2011060100010 日期：2013年12月24日 电子科技大学 实验报告 实验一 学生姓名：郭小明学号：2011060100010 一、实验室名称：主楼A2-412 二、实验项目名称：汇编源程序的上机调试操作基础训练 三、实验原理： DEBUG 的基本调试命令；汇编数据传送和算术运算指令 MASM宏汇编开发环境使用调试方法 四、实验目的： 1. 掌握DEBUG 的基本命令及其功能 2. 学习数据传送和算术运算指令的用法 3．熟悉在PC机上编辑、汇编、连接、调试和运行汇编语言程序的过程五、实验内容： 编写程序计算以下表达式: Z=(5X+2Y-7)/2 设X、Y的值放在字节变量VARX、VARY中，结果存放在字节单元VARZ中。 1．编辑源程序，建立一个以后缀为.ASM的文件. 2．汇编源程序，检查程序有否错误，有错时回到编辑状态，修改程序中错误行。无错时继续第3步。 3．连接目标程序，产生可执行程序。 4．用DEBUG程序调试可执行程序，记录数据段的内容。 六、实验器材（设备、元器件）： PC机，MASM软件平台。 七、实验数据及结果分析： 程序说明: 功能：本程序完成Z=(5X+2Y-7)/2这个等式的计算结果求取。其中X 与Y 是已知量，Z是待求量。 结构：首先定义数据段，两个DB变量VARX与VARY（已经初始化），以及结果存放在VARZ，初始化为？。然后定义堆栈段，然后书写代码段，代码段使用顺序程序设计本程序，重点使用MOV和IMUL以及XOR，IDIV完成程序设计。详细内容见程序注释。 程序清单： 电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试 量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日 课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分 一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为： k p E ==ω 。（没有写为矢量也算正确） 2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r 点处小体积元d τ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 （|Ψ|2） 成正比。 3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 移动 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 分裂 。 4、任意两个力学量A 和B 有共同的本征函数，则]?,?[B A = 0 ，表明A ?和B ? 对易 。 5、力学量F 的算符是 厄密 算符，其本征函数系组成 正交归一完备系 。 6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。 7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。 8、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x)，其定态薛定谔方程为 )()()2 2(2222x E x x k dx d m n n n ψψ=+- ，与ψn (x)相对应的能量为ω )2/1(+n 。 9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为)(22 322212 2 2n n n ma E ++= π，能量最低的三个能态的简并度分别 为 1，3，3 。（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。 ?-===== i p r r z z y y x x ,,,, （任意5个，正确一个1分） 2、简述测不准原理及其意义。 （答对1或2个给1分，3 个全对给2分） 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 电子科技大学 电子技术实验报告 学生姓名：班级学号：考核成绩：实验地点：仿真指导教师：实验时间： 实验报告内容：1、实验名称、目的、原理及方案2、经过整理的实验数据、曲线3、对实验结果的分析、讨论以及得出的结论4、对指定问题的回答 实验报告要求：书写清楚、文字简洁、图表工整，并附原始记录，按时交任课老师评阅实验名称：负反馈放大电路的设计、测试与调试 一、实验目的 1、掌握负反馈电路的设计原理，各性能指标的测试原理。 2、加深理解负反馈对电路性能指标的影响。 3、掌握用正弦测试方法对负反馈放大器性能的测量。 二、实验原理 1、负反馈放大器 所谓的反馈放大器就是将放大器的输出信号送入一个称为反馈网络的附加电路后在放大器的输入端产生反馈信号，该反馈信号与放大器原来的输入信号共同控制放大器的输入，这样就构成了反馈放大器。单环的理想反馈模型如下图所示，它是由理想基本放大器和理想反馈网络再加一个求和环节构成。 反馈信号是放大器的输入减弱成为负反馈，反馈信号使放大器的输入增强成为正反馈。四种反馈类型分别为：电压取样电压求和负反馈，电压取样电流求和负反馈，电流取样电压求和负反馈，电流取样电流求和负反馈。 2、实验电路 实验电路如下图所示，可以判断其反馈类型累电压取样电压求和负反馈。 3.电压取样电压求和负反馈对放大器性能的影响 引入负反馈会使放大器的增益降低。负反馈虽然牺牲了放大器的放大倍数，但它改善了放大器的其他性能指标，对电压串联负反馈有以下指标的改善。 可以扩展闭环增益的通频带 放大电路中存在耦合电容和旁路电容以及有源器件内部的极间电容，使得放大器存在有效放大信号的上下限频率。负反馈能降低和提高,从而扩张通频带。 电压求和负反馈使输入电阻增大 当 v一定，电压求和负反馈使净输入电压减小，从而使输入电流 s 量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到 从经典力学到量子力学的思想体系探讨 一、量子力学的产生与发展 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象 一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。 著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中 电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史 上是空前的。 由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。 1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即 康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。 光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利 发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中 量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率 为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符 与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。 21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系 数c的取值为，的可能值为 ，本征值为出现的几率为。 22．原子跃迁的选择定则为。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。 24．为泡利算符，则，， 。 25．为自旋算符，则，， 。 26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。 27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是 ______________。 27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡. 关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给量子力学思考题及解答
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