厦门大学网络教育2014－2015学年第二学期
《高等数学》（下）离线作业
一、 选择题(每小题3分，共18分)
1. 在下列等式中，正确的是（ C ）。
（A ）()()f x dx f x '=? （B ）()()df x f x =?
（C ）()()d f x dx f x dx =?
（D ）()()d f x f x =? 2. 微分方程25()xy y x '''''+=的阶数是（ B ）。
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
3. ln 2
x dx =?（ A ）。 （A ）ln
2x x x C -+ （B ）ln 22x x x C -+ （C ）ln 42x x x C -+ （D ）ln 2
x x x C ++ 4. 函数()f x 在[],a b 上连续是定积分()b
a f x dx ?存在的（ B ）
（A ）必要条件 （B ）充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
5. 22
0,(1)2dy dx y x y +==的特解是（ C ）。 （A ）222x y += （B ）331x y +=
（C ）33
9x y += （D ）33
133x y += 6．20
cos 3x d tdt dx =?（ C ） （A ）2sin 3x （B ）-2cos3sin 3x x （C ）2cos 3x （D ）0
二、 填空题(每空3分，共18分)
1. 设()F x 是()f x 的一个原函数，则()d x x e f e x --=? ____()x F e C --+____。 2．22556
x dx x x +=+-? 2ln 56x x C +-+ 。 3．20dy dy x y dx dx ??+-= ???
是 一 阶微分方程。 4. 2
2
xdx -=? 4 。 5. 25 2211x dx x <<+? 12 。 解： 被积函数 2()[1,2]1x f x x x =
∈+。
()2221()0(1,2)1x f x x x -'=<∈+，()f x 在区间[1,2]上单调减少，
所以在区间[1,2]上的最大值1(1)2f =，最小值2(2)5f =。 6．微分方程()0=+'y x p y 的通解是 ()p x dx y ce -?= 。
三、 计算题 (每小题6分，共36分)
1．2
(1)x dx x
+?。 解：22(1)1122ln 2x dx x dx x x x C x x +??=++=+++ ??
???。 2
．?。
解：
t =，则21,2
t x dx tdt +==，于是
t t t t t te dt te e dt te e C ==-=-+??
?C =-+。
3．求30220)11(lim x dt t t x x ?--+→ 。
解：032
00lim lim 3x x x dt x x →→=?（利用罗必达法则）
20
13x →==。 4．用定积分的性质，比较()2
1
1ln ln e e xdx x dx ??与的大小。 解：由于在区间[1,]e 上0ln 1x <<，故()2
ln ln x x >，因此 ()211
ln ln e
e xdx x dx >??。 5．对于任意的x ，试求2()253x
a f t dt x x =+-?成立的连续函数()f x 和常数a 。
解：两边对x 求导，得()45f x x =+，于是
()()22
22253452525(25)x
x a a x x t dt t t x x a a +-=+=+=+-+?， 即2253a a +=，解得1-32
a a ==或。 6．设某曲线在任一点),(y x 处的切线斜率都等于该点横坐标的倒数,且曲线过点)3,(2e ，求此曲线方程。
解：设曲线方程为 ()y f x =，由题意知 1y x
'=， 则曲线方程的一般解为 1ln y dx x c x
==+? 由于曲线过)3,(2e ，则有 23ln 1e c c =+?=，
所以，此曲线方程为 ln 1y x =+。
四、 (7分)设()F x 为
sin x x 的原函数，求2()dF x 。 解：因为()F x '=
sin x x ，令2u x =，则 2222222sin sin 2sin 2sin ()()()u x x x x dF x dF u F u du du dx dx dx u x x x
'===?=?=?=?。
五、 (7分) 求224(1)4(1)y x y x =+=-与所围成的平面图形的面积。
解：先求得交点为(0,2)(0,2)-与。 所求面积2
22232222216112244263y y y y S dy dy y ---??????????=---=-=-=?? ? ? ? ?????????????。
六、 (7分) 一金属棒长3米，离棒左端x
米处的线密度为()m)x ρ=
,问x 取何值时，[]0,x 一段的质量为全棒质量的一半？
解：[]0,x 一段的质量
02x x m ==-?， 全棒的质量
3
022m ==-=?，
所以21=，解得()5m 4x =
。
七、 (7分) 验证函数 x x x x x y sin 2
12sin cos 22+-++= 满足方程x x y y cos 2+=+''。 验证：112sin cos 2sin cos 22
y x x x x x x '=-++++， 1112cos sin 2cos cos sin 222
y x x x x x x ''=--+++- 1cos sin 2sin 2
x x x x =--+- 将 1cos sin 2sin 2y x x x x ''=--+-及x x x x x y sin 2
12sin cos 22+-++=代入方程 x x y y cos 2+=+'' 左侧，
211(cos sin 2sin )(2cos sin 2sin )22x x x x x x x x x --+-+++-+2cos x x =+， 方程成立。
教学大纲 一．课程的教学目的和要求 通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。 二．课程的主要内容： 代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。 《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。 本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。 三．课程教材和参考书： 教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版 参考书：1. 姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版 2. 北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987） 3. 张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
第六章特征值Eigenvalue
厦门大学数学科学学院 复习:线性变换与矩阵_1 设V 是数域K 上n 维向量空间, 是V 的一组基, 则存在线性空间同构 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 12,...n ξξξ1 :V K n η?→121n i i i n a a a a αξ=?? ? ?= ? ???∑
厦门大学数学科学学院 复习:线性变换与矩阵_2?线性变换的表示矩阵 设是的线性变换,取V 的一组基 ,则有记为,这里 称为线性变换在给定基下的表示矩阵. ?12,...n ξξξV V →11112121212122221122()...()......... ()...n n n n n n n nn n a a a a a a a a a ?ξξξξ?ξξξξ?ξξξξ=+++=+++=+++1212(,...)(,...)n n A ?ξξξξξξ=111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ?
厦门大学数学科学学院 ?线性变换在不同基下的矩阵表示 设V 是数域K 上的n 维向量空间, 是V 上的线性变换,若V 有两组基: 已知从第一组基到第二组基的过渡矩阵是P , 即 假定在第一组基下的表示矩阵为A , 在第二组基下的表示矩阵为B , 则 1. B P AP -=?1212,,,,,,,n n ξξξηηη 和()()1212,,,,,,. n n P ηηηξξξ=
?线性变换与表示矩阵的关系 设V是n维线性空间, 是V的一组基, L(V)是V的全体线性变换构成的代数, 则存在代数同构 满足 :L(V)K n n A θ ? ? → 12 ,,, n ξξξ 1212 (,,...,)(,,...,) n n A ?ξξξξξξ = 厦门大学数学科学学院
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
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高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)
第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件．
第三章参考答案 习题3-1（P66） 1、（1）不满足，在1=x 处不连续；（2）不满足，在2=x 处不可导； 2、（1）、1-=e ξ；（2）π π ξ-= 4； 3、证明：设任意区间),(],[+∞-∞?b a ，显然函数在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 所以函数满足拉格朗日中值定理的条件， 所以有q b a p a b r qa pa r qb pb f ++=-++-++= ')() ()()(22ξ 又q p r qx px f x +=' ++='=ξξξ 2)()(2 所以q p q b a p +=++ξ2)(，从而2 b a +=ξ 所以命题成立。 4、方程有2个根，分别位于区间)2,1(和)3,2(内； 5、)4,2(； 6、证明：设x x f arctan )(=，显然函数)(x f 在),(+∞-∞内处处连续，处处可导， 设区间),(],[+∞-∞?a b ，则)(x f 在],[a b 上满足拉格朗日子中值定理的条件 所以),(a b 内至少存在一点ξ，使)(11 arctan arctan 2 b a b a -+= -ξ ， 所以b a b a b a -≤-?+= -2 11 arctan arctan ξ ， 即b a b a -≤-arctan arctan 习题3-2（P70） 1、（1）1；（2）2；（3）a cos ；（4）53- ；（5）8 1 -； （6）0；（7）21-；（8）π 2；（9）0；（10）21 ； 2、（1）1，不能；（2）1，不能； 习题3-3（P77） 1、（1）)1,(-∞增加，),1(+∞减少；（2）),(+∞-∞减少； （3）)1,(--∞和),1(+∞增加，)1,1(-减少；（4）)2,0(减少，),2(+∞增加；
第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=??
2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
一、填空（每小题3分，共21分） 1、设22(,)f x y x y x y xy +-=--，则(),z f x y =在()1,1点的全微分1 1x y dz === 。 2、设(),z f x y =为连续函数，则20(,)lim D R f x y dxdy R →??= ，其中222:D x y R +≤。 3、已知322(sin )(2cos 1)y ay x dx bxy y x dy ++--是某函数(),f x y 的全微分， 则a = ，b = 。 4、已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行与平面:2210x y z π++-=， 则P 点的坐标为 。 5、已知()22,22f x y x ax xy y =+++在点()1,1-处取极值，则常数a = 。 6、交换积分次序2 4212(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +??= 。 7、设L 为取正向的圆周229x y +=，则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-=? 。 二、（9分）、设()222222221()sin 0,0 0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? ，判断(),f x y 在点()0,0处 （1）是否连续；（2）偏导是否存在；（2）是否可微。 二、计算（每小题6分，共36分） 1、已知()(),,, y z f x y u u x f ==其中具有二阶连续偏导数，求2z x y ???。 2、设z x y z e ++=，且tan ,cos x e t y t ==，求dz dt 。 3、设(),F u v 有连续的一阶偏导数，且()()3,11,3,11u v F F ''==-。曲面S ： (),0F x y x z +-=通过点()2,1,1，求曲面S 过该点()2,1,1的法线及与xoy 平面的夹角。 4、计算二重积分D σ，其中(){},2D x y y x =≤≤≤≤。 厦门大学《高等数学》课程试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：＿＿ 试卷类型：（A 卷/B 卷）
第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21 ,1))((>≤???=x x x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π=+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）6π.
发挥精品课程示范作用提升教学质量 林亚南林鹭杜妮谭绍滨 摘要：本文介绍了厦门大学高等代数课程组发挥国家精品课程示范作用，建设课程网站，组织福建省课程建设研讨，提升全省。高等代数?课程质量的思路与实践。 关键词：精品课程；高等代数；辐射；示范；网站；研讨会 厦门大学?高等代数?课程于2003年被评为福建省精品课程，2007年被评为国家级精品课程。在教学理念方面，坚持以人为本的教学理念并指导教学实践；在教学内容方面，不仅重视定理、概念的教学，更突出学科的思想和方法的教学；在教学方法方面，通过互动性的课堂教学激发学生的学习兴趣，通过探索性的专题讨论调动学生的主动性，通过总结性的专题报告培养学生的学习能力，通过攻关性的难题求解让学生享受理解和应用数学思想与方法的乐趣，在此过程中提高创新能力；在教学团队方面，坚持教学与科研互相结合、互相促进，将培养青年教师放在突出位臵。厦门大学的代数学教学团队2007年被评为福建省优秀教学团队，获得2009年福建省优秀教学成果一等奖。课程组各位成员均分别获得过校级教学奖励。课程负责人林亚南教授2004年获福建省首届高校教学名师奖，2008年获第四届高等学校国家级教学名师奖。谭绍滨教授获得2008年福建省高校教学名师奖。 ?高等代数?是大学数学各个专业的主干基础课程，?线性代数?是本科高校理、工、经、管类各专业的公共基础课程，是大专院校?高等数学?的主要组成部分。全国高校从事?高等代数?和?线性代数?课程教学的年轻教师居多，迫切需要得到优质教学指导，需要在交流中学习。特别是目前有相当部分高校是新增本科学校，师资水平亟待提高。学生也盼望共享优质教学资源。 厦门大学?高等代数?课程组充分发挥精品课程的示范作用，立足于提高同类课程的教学水平，精心建设课程网站，组织福建省全省范围的?高等代数?及?线性代数?课程系列研讨，实现了建设和辐射相结合，建设与示范相促进，为整体提高福建省?高等代数?及?线性代数?课程的师资水平和教学质量做出了突出贡献，并且辐射到全国其他高校。 一、建设特色网站，保证资源共享 我们精心建设福建省精品课程?高等代数?网站,网站内容丰富、全面。教学内容方面有全课程教案245页、全课程2/3的教学录像和全课程课件888页；课后训练方面有全部作业
厦门大学 2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析 考生须知： 1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ———————————————————————————————————————— 1.(20分)已知f (x )在[0,+∞)上单调递减,且lim x →+∞f (x )=0,证明 ∞∑n =1f (n )收敛的充分必要条件是∫+∞ 0f (x )dx 收敛. 2.(20分)设f ∈C 1[0,+∞],f (0)=1,f ′(x )=1x 2+f 2(x ).证明:(a)lim x →+∞ f (x )存在;(b)lim x →+∞f (x )≤1+π2.3.(15分)已知lim n →∞a n n =0,证明lim n →∞max {a 1···,a n }n =0.4.(20分)已知f (x )有界,且在R 上连续.设T >0,证明:存在数列{x n },使得 lim n →∞x n =+∞,lim n →∞ (f (x n +T )?f (x n ))=0.5.(20分)设f 在[a ,b ]上二阶可导,且?x ∈(a ,b )有f ′′(x )>0.证明:?x 1,x 2∈(a ,b ),有f (x 1+x 22)<12 [f (x 1)+f (x 2)].6.(15分)设f 在[a ,b ]上可积,且有 ∫x a f (t )dt ≥0, ∫b a f (x )dx =0.证明:∫b a x f (x )dx ≤0. 7.(20分)设B 为单位球x 2+y 2+z 2≤1的区域,?B 为其球面.已知f 为k 次齐次函数,即f (ax ,ay ,az )=a k f (x ,y ,z ).证明:∫∫ ?B f (x ,y ,z )dS = ∫∫∫B △f dxdydz ,其中△f =?2f ?x 2+?2f ?y 2+?2f ?z 2.8.(20分)设有一张长方形纸片,要在上面涂颜色.长方形纸片内部涂颜色的面积为A cm 2，边缘有空隙:上下边宽度之和为r cm,左右宽度为h cm.意思是:在长方形纸片上给矩形求:当长方形纸片长(y cm)和宽(x cm)为多少时,长方形纸片面积最小? 注：感谢数学人才小基地群(342767800)Veer 提供的真题. 考试科目：数学分析第1页共1页
习题8.1 1. 解 2. 解 3.解 4.解设 则 5. 解 A: Ⅴ B : Ⅳ C: Ⅶ D : Ⅲ 6. A点在XOY 面上，点 B在 YOZ 面上， C点在 Z轴上，点D 在Y轴上。 7. (1) A点关于 xOy 平面的对称点是（2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（a，b，-c） A点关于 yOz 平面的对称点是（-2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（-a，b，c） A点关于 xOz 平面的对称点是（2，3，-1） B点关于 xOz 平面的对称点是（a，-b，c） A点关于x轴、y轴、z轴的对称点分别是（2,3,1）（-2，-3,1）（-2,3，-1） B点关于 x轴、y轴、z轴的对称点分别是（a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) A点关于原点的对称点为（-2,3-1） B点关于原点的对称点为（-a,-b,-c) 8. 9.解 所以△M1M2M3为等腰三角形。 10.解
11. 解 12. 解 13. 解 14. 解 15. 解（1） 16. 解 17. 解 18 解 19. 解 习题8.2 1. 解（1）
（2） （3） 2. 解（1）（2）（3） (4) (5) 3. 解 4. 解 5. 解 6. 解利用向量积的几何意义 7. 解（1） （2） 8. 解 (1)
(2) (3) 10. 解（1） （2） 13. 解 习题8.3 1. 解 2. 解 3. 解（1）（2） 4~8见课本P317
9. 10. 解习题 8.4 1. 解
2. 解（1）平面中表示点（-6，-8），空间中表示一条直线； （2）平面中表示点（2,0），空间中表示一条直线； （3）平面中表示点（1,0），（0,1），空间中表示两条直线； 3. 解 4. （1）解 （2）解 （3） 解 5. （1）解 （2） 解 6. 解由参数方程得于是 于是得到在xOy坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为