第五章 整数规划习题
5.1 考虑下列数学模型
且满足约束条件
（1）或，或；
（2）下列各不等式至少有一个成立：
（3）
或5或10
（4），
其中
=
将此问题归结为混合整数规划的模型。 解：
5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
)
()(min 2211x f x f z +=101≥x 102≥x ???
??≥+≥+≥+15
2151522
1
2121x x x x x x 0
21=-x x 0
1≥x 0
2
≥x )(11x f ??
?=>+0,0
0,520111x x x 如如=)(22x f ??
?=>+0,0
0,612222x x x 如如2
211612510min x y x y z +++=???????????????
?
????=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+?--≥?-≥?≤?≤），，＝（
或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i 3
3
322
1max x x x x z -+=??
?==≤++-）
，（或3,2,1103
32321j x x x x j
解：令
故有
，又
，
分别与，
等价，因此题中模型可转换为
5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。有关数据资料见表5-1
要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。试建立这个问题的数学模型。 解：
5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。若10个井位的代号为s 1 ，s 2,…s 10,相应的钻探费用为c 1 ，c 2,…,c 10,并且井位选择上要满足下列限制条件：
=y ??
?==否则
，当,01132x x y
x x =322
1
x 3
1
x 1x 3
x 3
1max x y x z -+=?????
??
??-+≤+≤≤≤++-变量
均为10,,,1
3323213
23
2321y x x x y x x x y x y x x x j
j j
x
c
z ∑==
6
1
max ???
??
??
?
?????????
?=
=≥+≤+≤≤∑∑==否则
仪器
安装,0,1116542316
16
1j j
j j j j j j A x x x x x x x W x w V x v
（1）或选择s 1和s 7，或选择钻探s 8；
（2）选择了s 3或s 4就不能选择s 5，或反过来也一样；
（3）在s 5,s 6,s 7,s 8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。 解：
5.5 用割平面法求解下列整数规划问题 （a ）
（b ）
（c ）
（d ）
解：（a ）不考虑整数约束，用单纯形法求解相应线性给华问题得最终单纯形表，见表5A-1。
∑==
10
1
min j j
j
x
c
z ??????
?
??
???????=≤+++≤+=+≤+=+=∑=，否则
井位
选择钻探第0s ,121
1
115j 876
55487538110
1j x x x x
x x x x x x x x x x j 2
197max
x x z +=?
??
??≥≤+≤+-且为整数
0,,357632
12121x x x x x x 21
5x
4x
minz
+=?????
?
?≥≥+≥+≥+且为整数0x ,x 2
x 3x 54x x 72x 3x 2
12121213
21264max
x x x z ++=??
???
?
?≥≤++-≤+-≤-且为整数0,,,5565443
213212121x x x x x x x x x x 2
1411max
x x z +=?????
?
?≥≤-≤+≤+-且为整数0,,4
216251422
1212121x x x x x x x x
从表中第1行得
由此
即 将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-2。
又得到一个新的约束
再将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-3。
2722122
7432=++
x x x 022
122
7213432≤-
-=-x x x 21
221
22
7
143-
=+--s x x )
7
44()761()710(141+
=+
-++
+s x x 74
76
7
1
214-
=+--
s s x
因此本题最优解为 x 1=4，x 2=3，z=55 （b ）本题最优解为x 1=2，x 2=1，z=13
（c ）本题最优解为x 1=2，x 2=1，x 3=6，z=26 （d ）本题最优解为x 1=2，x 2=3，z=34
5.6 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。每人完成各项任务时间如表5-2所。由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。试确定总花费时间为最少的指派方案。
加工假设的第五个人是戊，他完成各项工作时间去甲、乙、丙、丁中最小者，构造表为5A-4 总计需要131小时。
5.7 某航空公司经营A ，B ，C 三个城市之间的航线，这些航线每天班机起飞与到达时间如表5-3所示。
到下班起飞至少需要2小时准备时间，试决定一个使停留费用损失为最小的飞行方案。
解：把从某城市起飞的飞机当作要完成的任务，到达的飞机看作分配去完成任务的人。只要飞机到达后两个小时，即可分配去完成起飞的任务。这样可以分别对城市A，B，C各列出一个指派问题。各指派问题效率矩阵的数字为飞机停留的损失的费用。设飞机在机场停留一小时损失为a元，则停留2小时损失为4a元，停留3小时损失为9a，依次类推。
对A，B，C三个城市建立的指派问题得效率矩阵分别见表5A-6，表5A-7，表5A-8。
5-8 需制造2000件的某种产品，这种产品可利用A，B，C设备的任意一种加工，
已知每种设备的生产准备结束费用，生产该产品时的单件成本，以及每种设备的最大加工量如表5-4所示，试对此问题建立整数规划模型并求解。
最优解为x 1=0，x 2=800，x 3=1200，z=8100
5-9 运筹学中著名的旅行商贩（货郎担）问题可以叙述如下：某旅行商贩从某一城市出发，到其它几个城市去推销商品，规定每个城市均须到达而且只到达一次，然后回到原出发城市。已知城市i 和城市j 之间的距离为d ij ，问该商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程为最短。试对此问题建立整数规划模型。
解：设
由此可写出其整数规划模型为
5.10 有三个不同产品要在三台机床上加工，每个产品必须首先在机床1上加工，然后依次在机床2，3上加工。在每台机床上加工三个产品的顺序应保持一样，假定用t ij 表示在第j 机床上加工第i 个产品的时间，问应如何安排，使三个产
3
213215210200300100min x x x y y y z +++++=??
??
?
??
??=≤≤≤≤≤≤≥++10120008000600020003
21321或j y y
x y x y x x x x ???=，否则
直接去旅行商贩从0
j
i ,1ij
x ∑∑==
n
i n
j
ij
ij
x d
z 1
min ?
?????
?
?
???????≠==-≤+-====∑∑=j i n ...1j i n ...1i 1),...,1(1),...,1(11，，，，），也可取整数值，，为连续变量（i
ij j i n
j ij n
i ij u n nx u u n i x n j x
品总的加工周期为最短。试建立这个问题的数学模型。
解：用x ij 表示第i 中产品在j 机床上开始加工的时刻，则问题的数学模型可表示为：
5.11 某电子系统由三种元件组成，为使系统正常运转，每个元件都必须工作良好。如一个或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性。已知系统运转可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一元件的可靠性则是备用件数量的函数，具体数值见表5-5。
150元，重量限制为20千克，问每个元件各安装多少备用件（每个元件备用件不得超过5个），是系统可靠性为最大。试列出这个问题的整数规划模型。 用、重量的限制，元件1的备件最多安装5个，元件2备件最多5个，元件3的备件最多安装3个。故问题的数学模型可表示为：
{}333323231313,,max min t x t x t x z +++=互斥性约束或加工顺序约束??
?
????
?
?
?
??
??≥===-≤-+≤-+==≤+++++010;3,2,1;2,1)1()2,1;3,2,1(,1,1,11,ij i ij j i j i i j i ij ij j i ij ij x j i M x t x M x t x j i t t x δδδ)
9.07.0()95.075.06.0()9.08.07.06.05.0(max 13121110987654321y y y y y y y y y y y y y z ++?+++?
+++++=
5.12 用你认为合适的方法求解下述问题：
解：
将问题改写为
求解得x 1=0,x 2=0,x 3=10,y=1,z=50
5.13 下述线性规划问题
说明能否用先求解相应的线性规划问题然后凑整的办法来求得该整数规划的一个可行解。
解：当不考虑整数约束，求解相应线性规划得最优解为x 1=10/3,x 2=x 3=0。用凑整法时令x 1=3,x 2=x 3=0,其中第2个约束无法满足，故不可行。
5.14 某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5-7所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。
??
???????
??????
??===≥===≤++≤++∑∑∑===)
13,...,110)3,2,1(01112064215040302013
11
1076
1321321i y j x y y y x x x x x x i
j i i i i i i （或3
2152max x x x z ++=???
??≥≤++≥-+-0,,102153103
21321321x x x x x x x x x 3
2152max x x x z ++=?????
?
?==≥≤++-+-≤-+-+-≤+-10),3,2,1(0102)1(1531015310321
321321或y j x x x x M y x x x My x x x j
3
21101020max x x x z ++=?
??
??≥=++≤++且取整数值
,0,,2042061542023
21321321x x x x x x x x x
解：令
答案为在A ，D ，E 三个备选校址建校。
5.15 已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如表5-8所示，试问如何从中选拔一个参加200米混合泳的接力队，使语气比赛成绩为最好。
泳，预期总成绩为126.2秒。
5-16 用匈牙利法求解下述指派问题，已知效率矩阵分别如下：
（a ）
（b ） 解：（a ）最优指派方案为x 13=x 22=x 34=x 41=1, 最优值为48； （b ）最优指派方案为x 15=x 23=x 32=x 44=x 51=1；最优值为21
5-17 从甲、乙、丙、丁、戊五人中挑选四人去完成四项工作。已知每人完成各项工作的时间如表5-9所示。规定每项工作只能由一个人去单独完成，每个人最多承担一项任务。又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因某种原因决定不同意
??
?=，否则
备选校址建校在第0i ,1x F
E D C B A x x x x x x z +++++=min ???????≥≥+≥+≥+≥+≥+++≥++1
1
1111
1A
F D
F E E C D B D C B A C B A x
x
x x x x x x x x x x x x x x ????????????161512111514161517161213121097???????
?
???????
?109
610953
2
4
85724679278310283
承担第4项任务。在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作总的花费时间为最少。
不分配工作。
5-18 设有m 个某种物资的生产点，其中第i 个点（i=1，…，m ）的产量为a i 。该种物资销往n 个需求点，其中第j 个需求点所需量为b j （j=1，…，n ）。已知。已知。又知从各生产点往需求点发运时，均需经过p 个中间编组站之一转运，若启用第k 个中间编组站，不管转运量多少，均发生固定费用f ，而第k 个中间编组站转运最大容量限制为q k （k=1，…，p ）。用c ik 和c kj 分别表示从i 到k 和从k 到j 的单位物资的运输费用，试确定一个使总费用为最小的该种物资的调运方案。
解： 设
则问题的数学模型可表述为：
∑∑≥
j
j
i
i
b
a
??
?=，否则
个编组站启用第0
k ,1k y ∑∑∑∑∑
+
?+
?=
j
kj
kj
k
k
ik ik
i
k k
k x c
x c
y f z min
???????????????=≥≥=?≤==
=≤===≤∑∑∑
∑∑∑1
00
,0),...,1(),...,1(),...,1(),...,1(),...,1(或k kj ik
i k ik i j
kj
ik i k ik k j kj k i ik y x x p k y M x p k x x p k q x n j b x m i a x
例1：机器负荷分配问题 某公司新购进1000台机床，每台机床都可在高、低两种不同的负荷下进行生产，设在高负荷下生产的产量函数为g(x )=10x （单位：百件），其中x 为投入生产的机床数量，年完好率为a =0.7；在低负荷下生产的产量函数为h(y)=6y （单位：百件），其中y 为投人生产的机床数量，年完好率为b=0.9。计划连续使用5年，试问每年如何安排机床在高、低负荷下的生产计划，使在五年内生产的产品总产量达到最高。 例2：某企业通过市场调查，估计今后四个时期市场对某种产品的需要量如下表： 时期(k) 1 2 3 4 需要量(d k ) 2（单位） 3 2 4 假定不论在任何时期，生产每批产品的固定成本费为3(千元)，若不生产，则为零；生产单位产品成本费为1(千元)；每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位，则任何时期生产x 个单位产品的成本费用为： 若 0＜x ≤6 ， 则生产总成本＝3十1·x 若 x ＝0 ， 则生产总成本＝0 又设每个时期末未销售出去的产品，在一个时期内单位产品的库存费用为0.5(千元)，同时还假定第1时期开始之初和在第4个时期之末，均无产品库存。现在我们的问题是；在满足上述给定的条件下，该厂如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？ 例3：设某企业在第一年初购买一台新设备，该设备在五年内的年运行收益、年运行费用及更换新设备的净费用如下表：（单位：万元） 年份(k) 役龄(t) 运行收益()k g t 运行费用()k r t 更新费用()k c t 第一年 0 22 6 18 第二年 0 1 23 21 6 8 19 22
第五章整数规划练习 题答案
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。( ) 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。( ) 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。( ) 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42132 510425 1042 4003B 13752102641015406241515130450203057470574704646111 -???? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5 l m 44213421324324315415452352346464646=<===???? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ? ?? ? ? ? ???????0 3102340031 15406020303535?? ? ? ? ? ? ??? 31234311546233535??? ?? ? ?→ ?? ? ??? m=5=n ，得最优解。解矩阵*00 01000100X 00 0010100010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题 线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。如： max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0 x y x y x y x y +≤??+≤??+≤??≥? 对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。 最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。 为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。 我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式： max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0x y x y ???????? ? ??≤? ? ? ???? ? ???????≥? 于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。 求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。 打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：
第四章 整数规划与分配问题 §4.1整数规划的特点及作用 用单纯形法求解线性规划的结果往往得到分数或小数解。但在很多实际问题中，全部或部分变量的取值必须是整数，如人或者机器设备不可分割。此外还有一些问题，如要不要在某地建设工厂，可选用一个逻辑变量x ，令1x =表示在该地建厂，0x =表示不在该地建厂，逻辑变量也只允许取整数值的一类变量。在一个整数规划中要求全部变量取整数值的，称纯整数线性规划或纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数（线性）规划；在纯整数规划问题中，若所有变量只允许取0，1两个值，则称其为0-1规划。 有人认为，对整数规划问题的求解可以先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时可用四舍五入或凑整数寻找最优解，其实这种方法是不可行的，原因有以下两点： 一、用凑整的方法计算量很大，而况还不一定能找到最优解。 如某线性规划问题的最优解为()()1 2 4.6 5.5x x =，用凑整数的方法时需比较与 12,x x 的上述数值最接近的四种组合：(4,5),(5,5),(4,6),(5,6)如果问题中有10个变量，就 要比较1021024=个整数解组合，而且最优解还不一定在这些组合中。 二、放松约束也无法求出其最优解 例 12 121212 max 322314 .0.5 4.5,0,z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥?整数 如果不考虑整数约束，称为上述线性规划问题的松弛问题，松弛问题的最优解为：
123.25, 2.5x x == 取整以后123,2x x ==是可行解，但1212123,3;4,2;4,3x x x x x x ======都不是可行解，而123,2x x ==对应的目标函数值123213z x x =+=却不是最优解，然而最优解是 12124,1,max 3214x x z x x ===+=。 直接对松弛问题进行求解都无法求得整数规划问题的最优解，这就需要对整数线性规划问题有特殊的求解方法。 此外，整数线性规划问题的数学模型的研究有着重要的意义，很多管理问题无法归纳为线性规划问题的数学模型，但却可以设置逻辑变量建立起整数规划问题的数学模型。下面举例说明逻辑变量在解决问题中的重要作用。 1.m 个约束条件中只有k 个起作用 设m 个约束条件可以表示为 1 ,(1,2,,)n ij j i j a x b i m =≤=∑L 定义 1 1,2,,)0 i i y i m i ?==??L 假设第个约束条件不起作用，（假设第个约束条件起作用 又M 为任意大的正数，则 11212 (1,2,,),,,01 n ij j i i j m m a x b My i m y y y m k y y y =?≤+=??? +++=-??=??? ∑L L L 或 因为若0i y =，则1n ij j i j a x b =≤∑条件起作用 若1i y =，则1 n ij j i j a x b M =≤+∑，1 n ij j i j a x b =≤∑条件不起作用 2.约束条件的右端项可能是r 个值12(,,,)r b b b L 中的某一个，即 121 n ij j r j a x b b b =≤∑L 或或或 定义 1 0 i i b y ?=??假定约束条件右端项为否则 由此，上述约束条件可以表示成：
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的
专业推广者推 广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a ?b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若 不行，考虑争取4 人。 §5.4 0—1型整数规划模型 1、 0—1型整数规划模型概述 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。 0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x +++= 2211)( 约束条件为： ???? ?? ?==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(2211222221211 1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21 这里，0 | 1表示0或1。 2、0—1型整数规划模型的解法
第四章 整数规划 1、用分枝界定法虬下列整数规划 （1） 12max 2z x x =+ （2） 12max z x x =+ 12x x +≤5 12x x -+≤0 1262x x +≤21 1x ，2x ≥0，整数 1x ，2x ≥0，整数 （3） 123max 45z x x x =++ （4） 12max 4090z x x =+ 1232x x +≤10 1297x x +≤56 124x x +≤11 12720x x +≤70 12333x x x ++≤1 1x ，2x ≥0，整数 1x ，2x ，3x ≥0，整数 2、用割平面法求下列整数规划 （1） 12max 32z x x =+ （2） 21max 79z x x =+ 1223x x +≤14 123x x -+≤6 s t ? 122x x +≤9 s t ? 127x x +≤35 1x ，2x ≥0，整数 1x ，2x ≥0，整数 （3） 2max 3z x = （4） 1232x x +≤7 s t ? 12x x -≥2- 1x ，2x ≥0，2x 整数 1x ，2x ，3x ，4x ≥0 1x ，2x ，3x 整数 3、解下列01-规划 （1） 12345max 2554z x x x x x =-+-+ 1234532754x x x x x -+-+≤6 12345242x x x x x -+-+≤0 0j x =或1，j =1，2，…，5 12 123 x x -+≤12951 1414x x + ≤ s t ?s t ?s t ?s t ?12341711928824x x x x ++-≤12313 15.5 44x x x -++≤123419 max 108118 z x x x x =++-s t ?s t ?
最全的运筹学复习题及 答案78213
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。
〈运筹学〉补充例题 例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。这两种产品在市场上是畅销产品。该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。 产品A 产品B 资源总量 机器（时） 6 8 120 人工（时） 10 5 100 产品售价（元） 800 300 MAX 800X1 +300X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 X1, X2 >=0 例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。产品A和B的价格调整为600元和400元。假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。 X 600X1 +400X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 X1, X2 >=0 例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。有关信息在下表中给出。 产品A 产品B 资源总量 机器（时） 6 8 120 人工（时） 10 5 100 原材料(公斤) 11 8 130 产品售价（元） 600 400 MAX 600X1 +400X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 11X1 +8X2 <= 130 X1, X2 >=0 例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。工厂的各种产品所需要的机时、人
练习4.9 连续投资问题 某公司现有资金10万元,拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限. 项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元. 项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元. 项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益. (1) x 为项目各年月初投入向量。 (2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。 (3) 向量c 中的元素 ij c 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。 (4) 矩阵A 中元素 ij a 为约束条件中每个变量ij x 的系数。 (5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。 因此目标函数为 4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++ 束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金. 第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有 11100000A D x x +=. 第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有 22211.06A C D D x x x x ++=. 第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有 333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+ 同理第4年、第5年有约束为 44231.15 1.06A D A D x x x x +=+, 5341.15 1.06D A D x x x =+
整数规划
若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S 1,S 2．…，S 10相应的钻探费用为C 1 ,C 2 ,… C 10，并且井位选择要满足下列限制条件： (1) 在s 1，s 2，S 4中至多只能选择两个； （2）在S 5，s 6中至少选择一个；（3）在s 3，s 6，S 7，S 8中至少选择两个。 试建立这个问题的整数规划模型 解：设x j （j=1,…,10）为钻井队在第i 个井位探油 minZ=j j j x c ∑=10 1 背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。 序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数 20 15 18 14 8 4 10 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I ?? ?==≤++++++++++++=7 ,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或 集合覆盖和布点问题 某市消防队布点问题。该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min 内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。 地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 0 10 16 28 27 20 10 0 24 32 17 10 16 24 0 12 27 21 28 32 12 0 15 25 27 17 27 15 0 14 20 10 21 25 14 0
1、单调递增最长子序列 描述 求一个字符串的最长递增子序列的长度 如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4 输入 第一行一个整数0 2、最长公共子序列 描述 如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。 tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。 输入 第一行给出一个整数N(0 3、括号匹配 时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB 描述 给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。 如： []是匹配的 ([])[]是匹配的 ((]是不匹配的 ([)]是不匹配的 输入 第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10) 每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符， S的长度不超过100 输出 对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组 测试输出占一行 样例输入 4 [] ([])[] ((] ([)] 样例输出 3 2 动态规划习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 动态规划专题分类视图数轴动规题： 题1.2001年普及组第4题--装箱问题 【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0 对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100; 对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20; 对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100; 对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000; 题3.石子归并-szgb.pas 【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。 【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。接下去的n行,为每堆石子质量。 【输出】输出文件szgb.out的只有一行,该行只有一个整数,表示最小的质量差. 【样例输入】 5 5 8 13 27 14 【样例输出】 3 题4.补圣衣 【问题描述】有四个人，每人身上的衣服分别有s1,s2,s3和s4处破损,而且每处破损程度不同,破损程度用需修好它用的时间表示 (A1...As1,B1...Bs2,C1...Cs3,D1...Ds4)。不过你可以同时修补2处破损。但是这2处破损，只能是同一件衣服上的。就是说你只能同时修补一件衣服，修好了，才能修补下一件。 【输入】本题包含5行数据：第1行，为s1,s2,s3,s4(1≤s1,s2,s3,s4≤20) 第2行，为A1...As1共s1个数，表示第一件衣服上每个破损修好它所需的时间 第3行，为B1...Bs2共s2个数，表示第二件衣服上每个破损修好它所需的时间 第4行，为C1...Cs3共s3个数，表示第三件衣服上每个破损修好它所需的时间 第5行，为D1...Ds4共s4个数，表示第四件衣服上每个破损修好它所需的时间 (1≤A1...As1,B1...Bs2,C1...Cs3,D1...Ds4≤60) 【输出】输出一行,为修好四件衣服所要的最短时间。 【样例输入】 1213 5 43 6 243 【样例输出】 20 题5.光光的作业homework.pas/homework.exe 【问题描述】光光上了高中，科目增多了。在长假里，光光的老师们都非常严厉，都给他布置了一定量的作业。假期里，光光一共有的时间是k小时。在长假前，老师们一共给光光布置了n份作业，第i份作业需要的时间是ti小时。但是由于老师们互相不 §5.4 0—1型整数规划模型 1、 0—1型整数规划模型概述 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。 0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++=ΛΛ2211)( 约束条件为： ???? ?? ?==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(2211222221211 1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,2 1ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 这里，0 | 1表示0或1。 2、0—1型整数规划模型的解法 0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量 n x x x , , ,21ΛΛ的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中 求出最优解。这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n 2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也 几乎是不可能的。隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。此时，就只能用穷举法了。 3. 应用实例 例1 工程上马的决策问题 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A & B C D E 甲 9 4 6 8 5 \ 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 ' 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 ； 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 64 10 154062415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ?? ? 31234311546233 5 3 5? ?? ?? ? ?→ ?? ? ?? ? m=5=n ，得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101 00010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。 第五章 整数规划习题 5.1 考虑下列数学模型 )()(m in 2211x f x f z += 且满足约束条件 （1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立： ??? ??≥+≥+≥+15 215152212121x x x x x x （3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中 )(11x f =?? ?=>+0,0 0,520111x x x 如如 =)(2 2x f ?? ?=>+0,00,612222x x x 如如 将此问题归结为混合整数规划的模型。 解：2211612510m in x y x y z +++= ? ? ?????????????? ????=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+?--≥?-≥?≤?≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(1 11105503215215152)1(1010102111 1098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i 5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题 3 3 3221max x x x x z -+= ?? ?==≤++-） ，（或3,2,110332321j x x x x j 解：令=y ???==否则，当,01132x x 故有y x x =32，又21x ，3 1x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为 31m ax x y x z -+= ? ???? ?? ??-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,1 3 323213 23 2321y x x x y x x x y x y x x x 5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。有关数据资料见表5-1 要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。试建立这个问题的数学模型。 解： j j j x c z ∑==6 1 max ??? ?? ?????????????==≥+≤+≤≤∑∑==否则 仪器安装,0,111 654231 6 1 6 1j j j j j j j j A x x x x x x x W x w V x v 5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。若10个井位的代号为s 1 ，s 2,…s 10,相应的钻探费用为c 1 ，c 2,…,c 10,并且井位选择上要满足下列限制条件： 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A B C D E 甲 9 4 6 8 5 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 6410 1540 62 415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ??? 动态规划练习题 [题1] 多米诺骨牌（DOMINO） 问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。顶行和底行的差值是2。这个差值是两行点数之和的差的绝对值。每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。 现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。 输入格式： 文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。 输出格式： 只有一个整数在文件的第一行。这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。 [题2] Perform巡回演出 题目描述: Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出). 由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表. 输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去. 每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d 个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没动态规划习题完整版
01型整数规划模型
第五章 整数规划练习题答案
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动态规划练习试题和解答1
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