北大附中河南分校2013届高三年级第四次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．设a 是实数，且11ai
R i
+∈+，则实数=a （ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2-
【答案】B 【解析】因为
11ai R i +∈+，所以不妨设1,1ai
x x R i
+=∈+，则1(1)ai i x x xi +=+=+，所以有1
x a x =??=?
，所以1a =，选B.
2．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ?，则M 中的
运算“⊕”是 （ ）
A ．加法
B ．除法
C ．乘法
D ．减法
【答案】C
【解析】因为M P ?,所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合中的运算为乘法运算，
选C.
3．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则7112a a +的最小值
为（ ）
A ．16
B ．8
C ．22
D ．4
【答案】B
【解析】因为2
414(22)8a a ==，即2
41498a a a ==，所以922a =。则
2299711999222222228a a a a a q a q a q q +=
+≥?=?=，当且仅当2
9922a a q q
=，即42q =，时取等号，选B.
4．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，
如果
4
21<+x x 且
)2)(2(21<--x x ，则
)
()(21x f x f +的值
（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负
【答案】A
【解析】因为函数满足()(4)f x f x -=-+，所以函数关于点(2,0)对称，由
12(2)(2)0x x --<，知1222x x --与异号。不妨设122,2x x ><，则由124x x +<得1224x x <<-，而2222(4)[(4)](44)()f x f x f x f x -=--=--+=-，当2x >时，
函数单调递增，根据函数的单调性可知，12()(4)f x f x <-，即
122()(4)()f x f x f x <-=-，所以12()()0f x f x +<，选A.
5．定义行列式运算
12
34
a a a a =3241a a a a -．将函数sin 23()cos 21
x f x x
=
的图象向左平移
6
π
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π??
??? B ．,02π?? ???
C ．,03π??
???
D ．,012π??
???
【答案】B
【解析】根据行列式的定义可知()sin 23cos 2=2sin(2)3
f x x x x π
=--
，向左平移
6
π个单位得到()2sin[2()]2sin 263
g x x x π
π
=+
-=，所以()2sin(2)2sin 022g πππ=?==，所以(,0)2
π
是函数的一个对称中心，选B.
6．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15
152
211,,,a S a S a S 中最大的项为
A ．
6
6
a S B ．
77a S Ｃ．99a S Ｄ．88a S
【答案】D 【解析】由11515815()=1502a a S a +=
>，得80a >.由116981615()15()=022
a a a a S ++=<，得980a a +<，所以90a <，且0d <.所以数列{}n a 为递减的数列.所以18,a a 为正，
9,n a a 为负，且115,0S S > ，16,0n S S > ，则990S a <，10100S a < ，8
80S a >，又8118,S S a a >>，所以
81810S S a a >>，所以最大的项为88
S
a ，选D.
7．如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线
)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）
A ．]3,0(π
B ．)2,3[ππ
C ．]3
2,2(π
π D ．),3[ππ 【答案】B
【解析】由题意可设2
'()(1)3,(0)f x a x a =-+>，即函数切线的斜率为
2'()(1)33k f x a x ==-+≥，即tan 3α≥，所以
3
2
π
π
α≤<
，选B.
8．在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于1()n n a a n N +∈*的个位数，则2013a 的值是
（ ） A ．8 B ．6
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】122714a a =?=，所以3a 的个位数是4，4728?=，所以所以4a 的个位数是8，
4832?=，所以5a 的个位数是2，2816?=，所以6a 的个位数是6，7a 的个位数是2，
8a 的个位数是2，9a 的个位数是4，10a 的个位数是8，11a 的个位数是2，所以从第三
项起，n a 的个位数成周期排列，周期数为6，201333563=?+，所以2013a 的个位数和3a 的个位数一样为4，选C.
9．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为 （ ） A ．
32
9
B ．2ln 3-
C ．4ln 3+
D ．4ln 3-
【答案】D
【解析】由1xy =得1y x =
。当13y x ==，解得1
3B x =，由1xy y x =??=?，解得1C x =，由3y y x
=??=?得
3
D x =.所以
根
据
积
分的应用知所求面积为
1
31
23111133
1
11
(3)(3)(3ln )
(3)4ln 4ln 323
dx x dx x x x x x -+-=-+-
=+=-??.选
D.
10．ABC ?的外接圆圆心为O ,半径为2，0OA AB AC ++=
,且OA AB = ,CB CA 在方
向上的投影为 （ ）
A ．3-
B ．3-
C ． 3
D ．3
【答案】C
【解析】由0OA AB AC ++= 得OB AC CA =-=
，所以四边形OBAC 为平行四边形。又
OA AB =
，所以三角形OAB 为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形为边
长为2的菱形。所以6
ACB π
∠=，所以CA 在CB 的投影为3
cos 2362CA π=?= ，
选C.
11．已知函数
1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线
与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）
A ．－1
B ． 1－log 20132012
C ．-log 20132012
D ．1
【答案】A
【解析】函数的导数为'()=(1)n
f x n x +，所以在1x =处的切线斜率为'(1)=1k f n =+，所
以切线斜率为1(1)(1)y n x -=+-，令0y =得1
n n
x n =
+，所以1220121220121
=
2320132013x x x =??? ，所以2013120132201320122013
1
log log log log 12013
x x x ++==- ，选A. 12．设函数)2,(1)(≥∈-+=+n N n x x x f n
．则)(x f 在区间1(,1)2
内（ ） A ．存在唯一的零点n x ,且数列23,,,n x x x 单调递增 B ．存在唯一的零点n x ,且数列23,,,n x x x 单调递减
C ．存在唯一的零点n x ,且数列23,,,n x x x 非单调数列
D ．不存在零点
【答案】A
【解析】1
'()1n f x nx
-=+,因为12,(,1)2n x ≥∈，所以'()0f x >，所以函数在1
(,1)2
上单
调递增。(1)11110f =+-=>，11111
()()1()2
2
222
n
n f =+
-=-，因为2n ≥，所以111()()0222n f =-<，所以函数在1
(,1)2
上只有一个零点，选A.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 向量b a ,的夹角为120°，|5|,3||,1||b a b a -==则= ．
【答案】7
【解析】3
cos1202
a b a b ==- ，所以
2223
525102510()9492
a b a a b b -=-+=-?-+= ，所以57a b -= 。
14．已知函数?
??≥<+=0,0
,1)(x e x x x f x ，则=-)3)0((f f ．
【答案】1-
【解析】0
(0)1,(0)3132f e f ==-=-=-，所以((0)3)(2)211f f f -=-=-+=-。 15．已知正实数,x y 满足3x y x y ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有
2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】37(,
]6
-∞ 【解析】要使2
()()10x y a x y +-++≥恒成立，则有2
()1()x y a x y ++≥+，即
1()a x y x y ≤++
+恒成立。由3x y xy ++=得2
3()2
x y x y xy +++=≤，即2()4()120x y x y +-+-≥解得6x y +≥或2x y +≤-（舍去）设t x y =+，则6t ≥，
函数11()y x y t x y t =++
=++，在6t ≥时，单调递增，所以1
y t t
=+的最小值为137666+
=，所以376a ≤，即实数a 的取值范围是37(,]6
-∞。 16．设
()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠． 若()6f x f π??≤ ?
??
对一切
x R ∈恒成立，则以下结论正确的是___________（写出所有正确结论的编号）．
① 11012f π??
=
?
??
； ②)5()127(ππf f ≥； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,6
3k k k Z π
πππ??
+
+
∈???
?
； ⑤ 经过点(),a b 的所有直线均与函数()f x 的图象相交． 【答案】① ③ ⑤ 【解析】22()sin(2),f x a b x θθ=
++为参数。因为()()6f x f π≤，所以6
x π
=是三角
函数的对称轴，且周期为222T π
ππω
=
=
=，所以2,62
k k Z ππ
θπ?+=+∈，所 ,6
k k Z π
θπ=
+∈，所以
2222()sin(2)sin(2)66
f x a b x k a b x π
π
π=++
+=±++.①
22221111()sin(2)sin 2012126
f a b a b πππ
π=±+?+=±+=,所以正确。②2222743
(
)sin()1232
f a b a b ππ=±+=+，2222217()sin()sin()55630
f a b a b ππππ=±++=+，因为1723sin
sin 3032ππ>=，所以223()52f a b π>+，所以7()512
f ππ
>，所以②错
误。③函数既不是奇函数也不是偶函数，所以③正确。因为
2222()sin(2)sin(2)66
f x a b x k a b x π
π
π=++
+=±++，所以单调性需要分类讨
论，所以④不正确。假设使经过点（a ，b ）的直线与函数()f x 的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且22b a b >
+，即222b a b >+，所以矛盾，故不存在经过点（a ，
b ）的直线于函数()f x 的图象不相交故⑤正确。所以正确的是① ③ ⑤。 三、解答题（本大题6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）
已知B A ,是直线0y =与函数2
()2cos cos()1(0)23
x
f x x ωπ
ωω=++->图像的两个
相邻交点，且.2
||π
=
AB
（1）求ω的值；
（2）在锐角ABC ?中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ?=-=,3,2
3
)( 的面积为33，求a 的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12
1
=+n n a S )(*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设)1(log 13+-=n n S b )(*
∈N n ，求适合方程51
25
1...1113221=
++++n n b b b b b b 的正整数n 的值．
19．（本小题满分12分）
已知向量3(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-
．
（1）当//a b 时，求2
cos sin 2x x -的值；
（2）设函数
()2()f x a b b =+?
，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，
若3
6
sin ,2,3=
==B b a ,求()???
?
?+
+62cos 4πA x f （0,3x π??∈????
）的取值范围．
20．（本小题满分12分）
设正项等比数列{}n a 的首项11,2
a =前n 项和为n S ，且1010302010
2(21)0.S S S -++=
（1）求{}n a 的通项； （2）求{}n nS 的前n 项n T ．
21．（本小题满分12分）
已知函数
x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．
（1）讨论函数
)(x f 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，
求实数b 的取值范围；
（3）当1->>e y x 时，求证：)
1ln()
1ln(++>
-y x e y
x ．
22．（本小题满分12分） 已知,a b 是正实数，设函数()ln ,()ln f x x x g x a x b ==-+．
（Ⅰ）设()()()h x f x g x =
-，求()h x 的单调区间；
（Ⅱ）若存在0x ，使03[
,]45
a b a b
x ++∈且00()()f x g x ≤成立，求b a 的取值范围．
理科数学试题参考答案
一、选择题：1—5：BCBAB; 6—10：DBCDC; 11—12：AA 二、填空题：13．7 14．-1 15．??
?
??∞-637, 16．① ③ ⑤ 三、解答题：
17．解：（1）13()1cos cos sin 13sin()2
23
f x wx wx wx wx π
=++-
-=--…2分 由函数的图象及2
AB π
=
，得到函数的周期222
T w ππ
=
=?，解得2w = ………4分 （2）33
()3sin(2),sin(2)3232
f A A A π
π=--=-∴-=
又
是锐角三角形2223
3
3333
A A π
π
ππππ
-
<-
<
∴-=，，即A=，………6分 由133
sin 33222
ABC b S bc A =
=?= ，得b=4 …………8分 由余弦定理得2222212cos 4324313132
a b c bc A a =+-=+-???==，即…10分
18．（1） 当1n =时，11a s =，由111
12
s a +
=，得123a = ……………………1分
当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 111
12
n n s a --=-， …………………2分 ∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()11
2
n n n a a a -=- ∴)2(3
1
1≥=
-n a a n n …………………………………………3分 ∴{}n a 是以23
为首项，1
3为公比的等比数列．…………………………………4分
故1211
()2()333
n n n a -=
?=? )(*∈N n …………………………………………6分 （2）111()23n n n s a -=
=，13131
log (1)log ()13
n n n b s n ++=-==--……………8分 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-
++++ …………………………………………9分
1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++???+=-+-+???+-=-+++…11分
解方程1125
2251
n -=
+，得100n = …………………………………………12分
19．解： （1）33
//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-
…………2分
22
222cos 2sin cos 12tan 8
cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++ …………6分
（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+?=+ +3
2
由正弦定理得
2sin ,,sin sin 24a b A A A B π===可得所以或4
3π=A 因为a b
>，所以4
π
=
A …………9分
()??? ?
?++62cos 4πA x f =2sin(2)4x π+12-,0,3x π??
∈???? 112,4412x πππ??∴+∈????, 所以 ()21262cos 4123-≤??? ?
?
++≤-πA x f …………12分
20．解：（1）由
)12(21020103010=++-S S S 得
,
)(21020203010S S S S -=-…２分
即
,
)(220121*********a a a a a a +++=+++
可得
.
)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++? …………４分
因为0>n a ，所以
,121010=q 解得21
=
q ， …………５分
因而
.,2,1,21
11 ==
=-n q a a n n n ……………………６分 （2）因为
}
{n a 是首项
21
1=
a 、公比
21=
q 的等比数列，故 .2,211211)
21
1(21n n n n n n n nS S -=-=--= ……………………8分
则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n n
n T +++-+++=
).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n
n n T
前两式相减，得 1
22)212121()21(212
+++++-+++=n n n n
n T 12211)
21
1(214)1(++---
+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T ……12分
21．解：（1）x
ax x a x f 1
1)(-=
-
='， 当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，
函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 当0>a 时，()0f x '<得1
0x a
<<
，()0f x '>得1x a >，
∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a
+∞上递增，即)(x f 在a
x 1
=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，
当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． …………4分 （注：分类讨论少一个扣一分．）
（2）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， …………5分 ∴b x
x x bx x f ≥-+?-≥ln 112)(， 令x
x
x x g ln 11)(-
+
=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)
+∞,2e 上递增， ∴2
2m in 11)()(e e g x g -==，即21
1b e
≤-
． …………8分 （3）证明：)
1ln()1ln()1ln()1ln(+>+?++>-y e x e y x e
y x y
x ， 令)
1ln()(+=x e x g x
，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，………9分
又∵)
1(ln 11)1ln()(2+??????
+-
+=
'x x x e x g x ，
显然函数1
1
)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴01
1)(>-
>e
x h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)
1ln()1ln(+>+y e x e y
x ，
∴当1->>e y x 时，有)
1ln()
1ln(++>
-y x e y
x ． ………………12分
22．解：（1）ln ln 0()=-+,(,+)h x x x x b a x ∈∞ln 1ln '()=+-h x x b ∴ 由0'()>h x 得>b x e ，()(0)b h x e ∴在，上单调递减，(+)b e
∞在，上单调递增．…………4分 （2）由
354>
++a b a b 得7 a …………………5分 （i ）当 345++a b b a b e ≤≤，即345--e b e e a e ≤≤ 时，min ()=()=-+b b h x h a e e 由0- +b a e ≤得b e a ≥，35-b e e a e ∴≤≤ …………………7分 （ii ）当 4+e a b e 345 ++()[ ,]a b a b h x ∴在上d 单调递增． min 4330 44444 4-3-++++--()=( )=(ln -lnb)+(ln -lnb)+=>=>e b b a b a b a b a b b a b e e h x h a a b e e ? ≥∴不成立 ………………………9分 （iii ）当 35+>b a b e ，即35>-b e a e 时，53- a b e 345 ++()[ ,]a b a b h x ∴在上d 单调递减． min 53333223055555 53-2-++++--()=( )=(ln -lnb)+<(ln -lnb)+=<= b b a b a b a b a b b a b e e h x h a a b e e ? ∴当35> -b e a e 时恒成立 ……………………11分 综上所述，≤<7b e a ……………………12分 解法二：由 354 > ++a b a b 得7 a ． 由00000 000004 3354 5ln ln ln a b x x a b a b x a b x x x x a x b b a x x ?+≤??++??≤≤??+≥????≤-+??≥??0 00000 435a x a b x x a b x x b e x ??+≤??? ?+≥????≥?? 令 00,,a b x y x x ==则b y a x =，题目转化为： 已知x y ，满足35 4 00x x y x y y e x >y >+≥??+≤? ?≥??? ，，求y x 的取值范围． 作出（x y ，）所在平面区域（如图）．求出=x y e 的过原点的切 线． 设过切点()00P x y ，的切线为0 00()x x y e e x x -=-， 因为过原点，故有0 00,x x e x e -=-即01,(1,)x P e =， ∴ y x 的最小值在()00P x y ，处，为e ．此时，点(1,)P e 在=x y e 上,A B 之间． 当（x y ，）对应点C 时，由142537 2 x y x y x y ?=? =-?????=-??=??，即17(,)22C ∴y x 的最大值在C 处，为7． ∴y x 的取值范围为[] 7e ， ，即b a 的取值范围是[),7e ． 银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案
2018年高三数学模拟试题理科
高三数学第一次月考数学(理)试题