新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不
等式
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
最新课程标准:(1)从函数观点看一元二次方程.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.(2)从函数观点看一元二次不等式.①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解
的对应关系
Δ>0Δ=0Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的
图象
ax2+bx+c=0(a>0)
的根有两个不相等的实数
根x1,x2(x1 有两个相等的实数根 x1=x2=- b 2a 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集{x|x b 2a }R ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 {x|x1 (1)图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分为三步: ①确定对应方程ax2+bx+c=0的解;②画出对应函数y=ax2+bx+c的图象简图;③由图象得出不等式的解集. 对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p p)(x-q)>0,则x>q或x [教材解难] 教材P50思考 能.可以从2个角度来看 ①函数的角度:一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围. ②方程的角度:一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. [基础自测] 1.下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A.a2x2+2≥0 B.1 x2 <3 C.-x2+x-m≤0 D.x3-2x+1>0 解析:选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合. 答案:C 2.不等式x(x+1)≤0的解集为( ) A.[-1,+∞) B.[-1,0) C.(-∞,-1] D.[-1,0] 解析:解不等式得-1≤x≤0,故选D. 答案:D 3.函数y= 1 7-6x-x2 的定义域为( ) A.[-7,1] B.(-7,1) C.(-∞,-7]∪[1,+∞) D .(-∞,-7)∪(1,+∞) 解析:由7-6x -x 2 >0,得x 2 +6x -7<0,即(x +7)(x -1)<0,所以-7 4.不等式1+2x +x 2≤0的解集为________. 解析:不等式1+2x +x 2 ≤0化为(x +1)2 ≤0,解得x =-1. 答案:{-1} 题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2 -5x +6>0的解集. (2)求不等式9x 2 -6x +1>0的解集. (3)求不等式-x 2+2x -3>0的解集. 【解析】 (1)对于方程x 2 -5x +6=0,因为Δ>0,所以它有两个实数根.解得x 1=2,x 2=3. 画出二次函数y =x 2 -5x +6的图象(图1),结合图象得不等式x 2 -5x +6>0的解集为{x |x <2,或x >3}. (2)对于方程9x 2 -6x +1=0,因为Δ=0,所以它有两个相等的实数根,解得x 1=x 2=13 . 画出二次函数y =9x 2 -6x +1的图象(图2),结合图象得不等式9x 2 -6x +1>0的解集 为??? x ? ???? ?x ≠13 (3)不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根. 画出二次函数y=x2-2x+3的图象(图3). 结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为?. 因此,原不等式的解集为?. 因为方程x2-5x+6=0的根是函数y=x2-5x+6的零点,所以先求出x2-5x+6=0的根,再根据函数图象得到x2-5x+6>0的解集. 教材反思 我们以求解可化成ax2+bx+c>0(a>0)形式的不等式为例,用框图表示其求解过程. 跟踪训练1 解下列不等式: (1)x2-7x+12>0; (2)-x 2 -2x +3≥0; (3)x 2 -2x +1<0; (4)-2x 2+3x -2<0. 解析:(1)因为Δ=1>0,所以方程x 2 -7x +12=0有两个不等实根x 1=3,x 2=4.再根据函数y =x 2 -7x +12的图象开口向上,可得不等式x 2 -7x +12>0的解集是{x |x <3或 x >4}. (2)不等式两边同乘-1,原不等式可化为x 2 +2x -3≤0.因为Δ=16>0,所以方程x 2 +2x -3=0有两个不等实根x 1=-3,x 2=1.再根据函数y =x 2 +2x -3的图象开口向上,可得不等式-x 2 -2x +3≥0的解集是{x |-3≤x ≤1}. (3)因为Δ=0,所以方程x 2 -2x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=1.再根据函数y = x 2-2x +1的图象开口向上,可得不等式x 2-2x +1<0的解集为?. (4)原不等式可化为2x 2 -3x +2>0,因此Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x 2 -3x +2=0无实根,又二次函数y =2x 2 -3x +2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R . 状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1,x 2――→ 函数 图象 结果 题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题] 例2 已知关于x 的不等式ax 2 +bx +c >0的解集为{x |2 +bx +a <0的解集. 【解析】 方法一 由不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |2 +bx +c =0的两根,由根与系数的关系可知b a =-5,c a =6.由a <0知c <0,b c =-56,故不等式cx 2+bx +a <0,即x 2+b c x +a c >0,即x 2 -56x +16>0,解得x <13或x >12,所以不等式cx 2 +bx +a <0的解集为? ????-∞,13∪? ?? ??12,+∞. 方法二 由不等式ax 2 +bx +c >0的解集为{x |2 2 +bx +c =0的两根,所以ax 2 +bx +c =a (x -2)(x -3)=ax 2 -5ax +6a ?b =-5a ,c =6a , 故不等式cx 2+bx +a <0,即6ax 2 -5ax +a <0?6a ? ????x -13? ????x -12<0,故原不等式的解集为 ? ????-∞,13∪? ?? ??12,+∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ,b ,c 的方程组→ 用a 表示b ,c →代入所求不等式→求解cx 2 +bx +a<0的解集 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中,直线m x y +- =65经过点()n A ,2-,??? ??21,1B ,抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . (1)求点A 的坐标。 (2)设点E 的坐标为??? ??0,25,若点C 、D 都在线段OE 上,求t 的取值范围。 (3)若该抛物线与线段AB 有公共点,求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线c bx ax y ++=2的开口向上,且经过点?? ? ?? 23,0A 。 (1)若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ,且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空:b = (用含a 的代数式表示)。 ②当2 EF 的值最小时,求抛物线的解析式。 (2)若2 1= a ,当10≤≤x ,抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时,求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ,当0=x 和2=x 时的函数值相等。 (1)求二次函数的解析式。 (2)若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -,求m 和k 的值。 (3)设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C (点B 在点C 的左侧),将二次函数的图像在B 、C 点间的部分(含点B 和点C )向左平移n (0>n )个单位后得到的图像记为G ,同时将(2)中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位,当平移后的直线与图像G 有公共点时,求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y (1>t )的图像为抛物线1C 。 (1)求证:无论t 取何值,抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 (2)已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线222)(:t x y C -=,平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ,),2(n m E +,求n 的值。 (3)在(2)的条件下,将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后,连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形,记为图形G 。若直线b x y +- =2 1(3 中考专题复习 二次函数与方程(组)或不等式 ◆知识讲解 (1)最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号:a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. (2)y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为(0,c ). (3)与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点(h ,ah 2+bh+c ). (4)抛物线与x 轴的交点. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交. ②有一个交点(顶点在x 轴上)?△=0?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离. (5)平行于x 轴的直线与抛物线的交点. 同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,?两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根. (6)一次函数y=kx+n (k≠0)的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像G 的交点,由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定:①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点;③方程组无解时?L 与G 没有交点. (7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x 轴的交点,?再根据交点坐标写出不等式的解集.注意:观察图像时不要看漏了其中的部分. 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x ,y 满足x 2 +3x +y -3=0,则x +y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣(k+1)x ﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A 、B 两点,且线段OA 与OB 的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y =ax 2 +bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c <0的解集是 . 例5. 已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线2 21y x bx =++上的两点. (1)求b 的值; (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有, 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2 -4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有一个交 点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 6.关于的方程有两个相等的实数根,则相应二次函数 与轴必然相交于 点,此时 . 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =O 【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个 数为() A.0个B.1个C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y=ax2+bx+c图 象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与 x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不 等式ax2+bx+c<0的解集 是 . 例5. 已知P(3,m -)和Q(1,m)是抛物线2 21 y x bx =++上的两点. (1)求b的值; 22 y mx x m =+-m x (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有 一个交点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=O 课题:一元二次函数、方程和不等式(衔接课) 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中,“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节,学生高二时才学习,导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时,有一定的障碍,达不到一定的深度,初高中数学内容衔接不连贯,对于这一部分内容,老师普遍认为应调整到《必修1》之前,或是安排在《必修1》的“集合”之后,“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因,但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课,也不是一节复习课,而是一节衔接课,以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式(后面称三个“二次”)三者之间的关系及其应用为核心内容,特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”(一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式)在知识上的延伸和发展,它是函数、方程、不等式问题的基础和核心,在高中数学中,许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如,解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题,导数中导函数为二次函数时的许多问题等,同时,此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材,本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生,华中师大一附中是湖北省示范高中,学生基础很好,一般而言,学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质,简单的一元二次不等式的解法,能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是,当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候,学生往往不能正确理解题意,不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化,不善于分类讨论,不善于归纳总结,对函数、方程、不等式的处理方法不够完整,没有形成基本的规律. 教学难点:含参数的二次方程、不等式,如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理,为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系; (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题,感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性; (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,能够在本主题的学习中,逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”,有其重要特点:一不能靠单纯的复习;二不宜上成新课;三,必须展示基本的套路,而又不可能一次到位;四,需要立足于函数、圆 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二次函数的图像; 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式; 2.能从函数图像上认识函数的性质; 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解; 1.能用二次函数解决简单的实际问题; 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题; 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c , . (2) 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++,. (3) 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定: ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0?=?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?时为例,二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下: 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合二次函数与方程、不等式综合问题
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