书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
离子交换树脂的分类和基本性质
离子交换树脂是一种合成的有机高分子聚合物，是一种疏松的具有多孔网状结构的惰性固体，不溶于水，也不溶于电解质溶液。这种高聚物的主要特征是它带有许多可以在溶液中电离的离子基团－官能团（例如磺酸基－SO3－H ＋，羧基－COO－H＋，胺基R4N＋X－等），所以我们可以把离子交换树脂看成一种高分子电解质。
国产732 强酸性阳离子交换树脂是最常见的苯乙烯苯磺酸树脂，它是先由含有一个乙烯基的单体－苯乙烯和含有两个乙烯基的单体－二乙烯苯通过加成聚合反应形成共聚体，然后由硫酸磺化，即在聚合体内引进磺酸基－SO3H，反应如下：
这种离子交换树脂，具有三维空间的网状结构，在网状的骨架之间具有一定大小的空隙（“网眼”），可以允许游离的离子自由运动，树脂的可电离的离子基团均匀地分布在这个网状的空间内。
如果将树脂浸泡在水溶液中，这些官能团即开始电离，产生游离的离子在树脂相内形成一种类似高分子电解质的“溶液”。此时，如果外来离子扩散进入树脂相，置换了官能团中离解的离子，离子交换反应就发生了。例如带有磺酸基官能团的阳离子交换树脂中阳离子交换反应可以表示如下：
R－SO3－H＋＋M＋R－SO3M＋H＋
式中，M＋代表介质溶液中的一价阳离子；R 代表惰性有机网状骨架。
外来离子M＋自溶液中扩散进入树脂相与树脂中的官能团（－SO3H）上的H＋进行交换，于是M＋吸附在树脂上而H＋就离开树脂相进入溶液中，这就是所谓发生了离子交换，所以离子交换过程也可以看成是一个在树脂上进行的
相似三角形的判定练习 【知能点分类训练】 知能点1 角角识别法 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______． 4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________． 8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比． 10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 【综合应用提高】 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FN NE 的值．
离子交换树脂的种类和性能 离子交换树脂在现代制糖工业中起着很重要的作用。世界上许多糖厂制造精糖和高级食用糖浆，多数使用离子交换树脂将糖液脱色提纯，而过去传统用骨炭的精炼糖厂亦有逐渐转向使用离子交换树脂的趋势。 离子交换技术有相当长的历史，某些天然物质如泡沸石和用煤经过磺化制得的磺化煤都可用作离子交换剂。但是，随着现代有机合成工业技术的迅速发展，研究制成了许多种性能优良的离子交换树脂，并开发了多种新的应用方法，离子交换技术迅速发展，在许多行业特别是高新科技产业和科研领域中广泛应用。近年国内外生产的树脂品种达数百种，年产量数十万吨。 在工业应用中，离子交换树脂的优点主要是处理能力大，脱色范围广，脱色容量高，能除去各种不同的离子，可以反复再生使用，工作寿命长，运行费用较低(虽然一次投入费用较大)。以离子交换树脂为基础的多种新技术，如色谱分离法、离子排斥法、电渗析法等，各具独特的功能，可以进行各种特殊的工作，是其他方法难以做到的。离子交换技术的开发和应用还在迅速发展之中。 离子交换树脂的应用，是近年国内外制糖工业的一个重点研究课题，是糖业现代化的重要标志。膜分离技术在糖业的应用也受到广泛的研究。 离子交换树脂都是用有机合成方法制成。常用的原料为苯乙烯或丙烯酸(酯)，通过聚合反应生成具有三维空间立体网络结构的骨架，再在骨架上导入不同类型的化学活性基团(通常为酸性或碱性基团)而制成。 离子交换树脂不溶于水和一般溶剂。大多数制成颗粒状，也有一些制成纤维状或粉状。树脂颗粒的尺寸一般在0.3～1.2mm 范围内，大部分在0.4～0.6mm之间。它们有较高的机械强度(坚牢性)，化学性质也很稳定，在正常情况下有较长的使用寿命。 离子交换树脂中含有一种(或几种)化学活性基团，它即是交换官能团，在水溶液中能离解出某些阳离子(如H+或Na+)或阴离子(如OH－或Cl
离子交换树脂基础知识
离子交换树脂的基础知识 一、离子交换树脂发展简史 离子交换剂是一类能发生离子交换的物质，分为无机离子交换剂和有机离子交换剂。有机离子交换剂又称离子交换树脂。无机离子交换剂（如沸石）早在一百多年前就已发现并应用，人类就已经会利用沙砾净水。而有机离子交换树脂是在1933年由英国人亚当斯（Hdams）和霍姆斯（Holms）首先用人工方法制造酚醛类型的阳、阴离子交换树脂。 在第二次世界大战期间，德国首先进行工业规模的生产。战后英、美、苏、日等国的发展很快。1945年美国人迪阿莱里坞（D’Alelio）发表了关于聚苯乙烯型强酸性阳离子交换树脂及聚丙烯酸型弱酸性阳离子交换树脂的制备方法。后来聚苯乙烯阴离子交换树脂、氧化还原树脂以及螯合树脂等也相继出现，在应用技术及其范围上也日益广大。到了上世纪五十年代后期，各种大孔型的树脂又相继发展起来，在生产及科学研究中，离子交换树脂起着越来越重要的作用。 解放前，我国的离子交换树脂的科研和生产完全空白，解放后，从五十年代初期开始，我国在北京、上海和天津的一些科研单位和高等学校分别开始了离子交换树脂的研究。1953年酚醛磺化树脂产生，1958年凝胶型苯乙烯树脂投入生产，1959年南开大学何炳林用苯乙烯做致孔剂合成孔径大、强度高和交换速度快的大孔型交联聚苯乙烯离子交换树脂。60年代我国生产了大孔型苯乙烯系、丙烯酸系离子交换树脂。到70年代中、后期又合成了多种吸附树脂、碳化树脂，并已先后投入生产。 经过50年的努力，我国的离子交换树脂的生产和工业应用得到了飞速
也属于功能高分子。 阳离子交换树脂是一类骨架上结合有磺酸（-SO3H）和羧酸（-COOH）等酸性功能基的聚合物。将此树脂浸渍于水中时，交换基部分可如同普通酸那样发生电离。以R表示树脂的骨架部分，阳离子交换树脂R-SO3H或R-COOH在水中的电离如下： RSO3H RSO3- + H+ RCOO-+ H+ RSO3H型的树脂易于电离，具有相当于盐酸或硫酸的强酸性，称为强酸性阳离子交换树脂。而RCOOH型的树脂类似有机酸，较难电离。具有弱酸的性质，因此称为弱酸性阳离子交换树脂。 阴离子交换树脂是一类在骨架上结合有季胺基、伯胺基、仲胺基、叔胺基的聚合物。其中以季胺基上的羟基为交换基的树脂具有强碱性，称为强碱性阴离子交换树脂。用R表示树脂中的聚合物骨架时，强碱性阴离子交换树脂在水中会发生如下的电离： R—N+（CH3）3OH-R—N+（CH3）3 + OH-- 具有伯胺、仲胺、叔胺基的阴离子交换树脂碱性较弱，称为弱碱性阴离子交换树脂。强碱性阴离子交换树脂一般以化学稳定的CL盐型出售，应用时要用N a OH溶液进行转型。 三、离子交换树脂的分类 按骨架结构不同，离子交换树脂可分为凝胶性和大孔型树脂两大类。 由苯乙烯和二乙烯苯混合物在引发剂存在下进行自由基悬浮聚合，得到具有交联网状结构的聚合体。这种聚合体一般是呈透明状态的，无孔的
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。
主要用于酒类去除，高级脂肪酸脂类等。 产品详细描述 离子交换树脂在现代制糖工业中起着很重要的作用。世界上许多糖厂制造精糖和高级食用糖浆，多数使用离子交换树脂将糖液脱色提纯，而过去传统用骨炭的精炼糖厂亦有逐渐转向使用离子交换树脂的趋势。 离子交换技术有相当长的历史，某些天然物质如泡沸石和用煤经过磺化制得的磺化煤都可用作离子交换剂。但是，随着现代有机合成工业技术的迅速发展，研究制成了许多种性能优良的离子交换树脂，并开发了多种新的应用方法，离子交换技术迅速发展，在许多行业特别是高新科技产业和科研领域中广泛应用。近年国内外生产的树脂品种达数百种，年产量数十万吨。 在工业应用中，离子交换树脂的优点主要是处理能力大，脱色范围广，脱色容量高，能除去各种不同的离子，可以反复再生使用，工作寿命长，运行费用较低(虽然一次投入费用较大)。以离子交换树脂为基础的多种新技术，如色谱分离法、离子排斥法、电渗析法等，各具独特的功能，可以进行各种特殊的工作，是其他方法难以做到的。离子交换技术的开发和应用还在迅速发展之中。 离子交换树脂的应用，是近年国内外制糖工业的一个重点研究课题，是糖业现代化的重要标志。膜分离技术在糖业的应用也受到广泛的研究。 离子交换树脂都是用有机合成方法制成。常用的原料为乙烯或丙烯酸(酯)，通过聚合反应生成具有三维空间立体网络结构的骨架，再在骨架上导入不同类型的化学活性基团(通常为酸性或碱性基团)而制成。 离子交换树脂不溶于水和一般溶剂。大多数制成颗粒状，也有一些制成纤维状或粉状。树脂颗粒的尺寸一般在0.3～1.2mm 范围内，大部分在0.4～0.6mm之间。它们有较高的机械强度(坚牢性)，化学性质也很稳定，在正常情况下有较长的使用寿命。 离子交换树脂中含有一种(或几种)化学活性基团，它即是交换官能团，在水溶液中能离解出某些阳离子(如H+或Na+)或阴离子(如OH－或Cl－)，同时吸附溶液中原来存有的其他阳离子或阴离子。即树脂中的离子与溶液中的离子互相交换，从而将溶液中的离子分离出来。 树脂中化学活性基团的种类决定了树脂的主要性质和类别。首先区分为阳离子树脂和阴离子树脂两大类，它们可分别与溶液中的阳离子和阴离子进行离子交换。阳离子树脂又分为强酸性和弱酸性两类，阴离子树脂又分为强碱性和弱碱性两类(或再分出中强酸和中强碱性类)。离子交换树脂根据其基体的种类分为乙烯系树脂和丙烯酸系树脂，及根据树脂的物理结构分为凝胶型和大孔型。 离子交换树脂的品种很多，因化学组成和结构不同而具有不同的功能和特性，适应于不同的用途。应用树脂要根据工艺要求和物料的性质选用适当的类型和品种。 1、离子交换树脂的基本类型 (１) 强酸性阳离子树脂 这类树脂含有大量的强酸性基团，如磺酸基－SO3H，容易在溶液中离解出H+，故呈强酸性。树脂离解后，本体所含的负电基团，如SO3－，能吸附结合溶液中的其他阳离子。这两个反应使树脂中的H+与溶液中的阳离子互相交换。强酸性树脂的离解能力很强，在酸性或碱性溶液中均能离解和产生离子交换作用。 树脂在使用一段时间后，要进行再生处理，即用化学品使离子交换反应以相反方向进行，使树脂的官能基团回复原来状态，以供再次使用。如上述的阳离子树脂是用强酸进行再生处理，此时树脂放出被吸附的阳离子，再与H+结合而恢复原来的组成。
离子交换树脂的交换原理是什么 离子交换树脂的结构 离子交换树脂的内部结构，如下图所示。由三部分组成，分别是： (1)高分子骨架由交联的高分子聚合物组成； (2)离子交换基团它连在高分子骨架上，带有可交换的离子(称为反离子)的离子型官能团或带有极性的非离子型官能团； (3)孔它是在干态和湿态的离子交换树脂中都存在的高分子结构中的孔(凝胶孔)和高分子结构之间的孔(毛细孔)。在交联结构的高分子基体(骨架)上，以化学键结合着许多交换基团，这些交换基团也是由两部分组成：固定部分和活动部分。交换基团中的固定部分被束缚在高分子的基体上，不能自由移动，所以称为固定离子；交换基团的活动部分则是与固定离子以离子键结合的符号相反的离子，称为反离子或可交换离子。反离子在溶液中可以离解成自由移动的离子，在一定条件下，它能与符号相同的其他反离子发生交换反应。 离子交换的基本原理 离子交换的选择性定义为离子交换剂对于某些离子显示优先活性的性质。离子交换树脂吸附各种离子的能力不一，有些离子易被交换树脂吸附，但吸着后要把它 置换下来就比较困难；而另一些离子很难被吸着，但被置换下来却比较容易，这种性能称为离子交换的选择性。离子交换树脂对水中不同离子的选择性与树脂的交联度、交换基团、可交换离子的性质、水中离子的浓度和水的温度等因素有
关。离子交换作用即溶液中的可交换离子与交换基团上的可交换离子发生交换。一般来说，离子交换树脂对价数较高的离子的选择性较大。对于同价离子，则对离子半径较小的离子的选择性较大。在同族同价的金属离子中，原子序数较大的离子其水合半径较小，阳离子交换树脂对其的选择性较大。对于强酸性阳离子交换树脂来说，它对一些离子的选择性顺序为：Fe3+>A13+>Ca2+>Mg2+>K+>Na+>H+。离子交换反应是可逆反应，但是这种可逆反应并不是在均相溶液中进行的，而是在固态的树脂和溶液的接触界面间发生的。这种反应的可逆性使离子交换树脂可以反复使用。 （文档由洛阳宏昌工贸整理提供）
相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型
C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D
A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E
1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5.
A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.
2019-2020 年中考数学《相似三角形的判定》专题练习含解析考点分类汇编 学习要求 1．掌握相似三角形的判定定理． 2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算． 课堂学习检测 一、填空题 1． ______三角形一边的______和其他两边 ______，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果两个三角形的______对应边的 ______，那么这两个三角形相似． 3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似． 5．在△ ABC 和△ A′B′ C′中，如果∠ A＝ 56°，∠ B＝28°，∠ A′＝ 56°，∠ C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是 ________________．6．在△ ABC 和△ A'B′ C′中，如果∠ A＝ 48°，∠ C＝102°，∠ A′＝ 48°，∠ B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是 ________________．7．在△ ABC 和△ A'B′ C′中，如果∠ A＝ 34°， AC＝ 5cm， AB＝ 4cm，∠ A′＝ 34°，A'C′＝ 2cm， A′B′＝ 1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________ ． 8．在△ ABC 和△ DEF 中，如果 AB＝ 4，BC＝ 3，AC＝6；DE＝ 2.4，EF＝ 1.2，FD ＝ 1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是 __________________．9．如图所示，△ABC 的高 AD ，BE 交于点 F，则图中的相似三角形共有______对． 第 9 题图第 10 题图 10．如图所示，□ABCD 中， G 是 BC 延长线上的一点， AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F ，此图中的相似三角形共有______对． 二、选择题 11．如图所示，不能判定△ ABC∽△ DAC 的条件是 ( ) A ．∠ B＝∠ DAC B．∠ BAC＝∠ ADC C． AC 2＝ DC· BC D． AD2＝ BD· BC 第 11 题第 12 题 12．如图，在平行四边形 ABCD 中， AB＝ 10， AD＝ 6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F ，使△ CBF ∽△ CDE ，则 BF 的长是 ( ) A ． 5 B ． 8.2 C． 6.4 D ． 1.8 13．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是 ( )
一. 离子交换树脂的结构 离子交换树脂的内部结构，如下图所示。由三部分组成，分别是： (1)高分子骨架由交联的高分子聚合物组成： (2)离子交换基团它连在高分子骨架上，带有可交换的离子(称为反离子)的 离子型官能团或带有极性的非离子型官能团； (3)孔它是在干态和湿态的离子交换树脂中都存在的高分子结构中的孔(凝胶 孔)和高分子结构之间的孔(毛细孔)。 在交联结构的高分子基体(骨架)上，以化学键结合着许多交换基团，这些交换基团也是由两部分组成：固定部分和活动部分。交换基团中的固定部分被束缚在高分子的基体上，不能自由移动，所以称为固定离子；交换基团的活动部分则是与固定离子以离子键结合的符号相反的离子，称为反离子或可交换离子。反离子在溶液中可以离解成自由移动的离子，在一定条件下，它能与符号相同的其他反离子发生交换反应。 三离子交换的基本原理 离子交换的选择性定义为离子交换剂对于某些离子显示优先活性的性质。离子交换树脂吸附各种离子的能力不一，有些离子易被交换树脂吸附，但吸着后要把它
置换下来就比较困难；而另一些离子很难被吸着，但被置换下来却比较容易，这种性能称为离子交换的选择性。离子交换树脂对水中不同离子的选择性与树脂的交联度、交换基团、可交换离子的性质、水中离子的浓度和水的温度等因素有关。离子交换作用即溶液中的可交换离子与交换基团上的可交换离子发生交换。一般来说，离子交换树脂对价数较高的离子的选择性较大。对于同价离子，则对离子半径较小的离子的选择性较大。在同族同价的金属离子中，原子序数较大的离子其水合半径较小，阳离子交换树脂对其的选择性较大。对于强酸性阳离子交换树脂来说，它对一些离子的选择性顺序为：Fe3+>A13+>Ca2+>Mg2+>K+>Na+>H+。离子交换反应是可逆反应，但是这种可逆反应并不是在均相溶液中进行的，而是在固态的树脂和溶液的接触界面间发生的。这种反应的可逆性使离子交换树脂可以反复使用。 以001×7强酸阳离子交换树脂为例说明： 001×7强酸阳离子交换树脂是一种凝胶型离子交换树脂，其内部的网状结构中有无数四通八达的孔道，孔道里面充满了水分子，在孔道的一定部位上分布着可提供交换离子的交换基团。当原水当中的Ca2+，Mg2+等阳离子-扩散到树脂的孔道中时，由于该树脂对Ca2+，Mg2+等阳离子选择性强于对H+的选择性，，所以H+就与进入树脂孔道中的Ca2+，Mg2+等阳离子发生快速的交换反应，Ca2+，Mg2+等阳离子被固定到树脂交换基团上面，被交换下来的H+向树脂的孔道中-扩散，最终扩散到水中。 (1)边界水膜内的扩散水中的Ca2+，Mg2+等阳离子向树脂颗粒表面迁移，并扩散 通过树脂表面的边界水膜层，到达树脂表面； (2)交联网孔内的扩散(或称孔道扩散) Ca2+，Mg2+等阳离子进入树脂颗粒内部的交联网孔，并进行扩散，到达交换点； (3)离子交换 Ca2+，Mg2+等阳离子与树脂基团上的可交换的H+进行交换反应； (4)交联网孔内的扩散被交换下来的H+在树脂内部交联网孔中向树脂表面扩散。 (5)边界水膜内的扩散最终扩散到水中。 四离子交换树脂的再生 鉴于离子交换树脂反应的可逆性，反应后的树脂通过处理，重新转化为原来的离
D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B
2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D
相似三角形的判定 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 相似三角形的由来 两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答． 有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自
语起来． 想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！ 在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法． 例题精讲 模块一 相似三角形的判定 ?角对应相等、边对应成比例，三角形相似 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠， ''''''AB BC AC A B B C A C == ，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于” ． A ' B ' C ' C B A 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△． M F E D C B A
离子交换树脂分类 一、离子交换树脂的组成 离子交换树脂是一类带有功能基的网状结构高分子化合物，其结构由三部分组成：不溶性的三维空间网状骨架，连接在骨架上的功能基团和功能基团所带的相反电荷的可交换离子。 H)（强酸性阳离子交换树 阳离子交换树脂：骨架上结合有磺酸基(-SO 3 脂）或羧酸基(-COOH)(弱酸性阳离子交换树脂）。 阴离子交换树脂：骨架上结合有季铵基(强碱性阴离子交换树脂)，伯胺基、仲胺基、叔胺基（弱碱性阴离子交换树脂）。 二、离子交换树脂的分类 按骨架结构不同：凝胶型(干态无孔，吸水后产生微孔)和大孔型(树脂内部无论干、湿或收缩、溶胀都存在着比凝胶型树脂更大、更多的孔)。 根据所带的功能基团的特性：阳离子交换树脂（带酸性功能基，能与阳离子进行交换）、阴离子交换树脂（带碱性功能基，能与阴离子进行交换）和其它树脂。 三、离子交换树脂的命名方法 根据离子交换树脂的功能基的性质，将其分为强酸(0)、弱酸(1)、强碱(2)、弱碱(3)、螯合(4)、两性(5)和氧化还原(6)七类(各类后面的数字为其分类代号)。 离子交换树脂的骨架分为苯乙烯系(0)、丙烯酸系(1)、酚醛系(2)、环氧系(3)、乙烯吡啶系(4)、脲醛系(5)、氯乙烯系(6)七类(各类后面的数字为骨架分类代号)。
命名方法： D ¤△▼×■ D 大孔树脂在名称前加D ¤分类代号（阴、阳、酸、碱、强、弱） △骨架分类代号 ▼顺序号 ×■凝胶型树脂后加*并注明交联度 举例： 001×7强酸性苯乙烯系阳离子交换树脂 D001 大孔强酸性苯乙烯系阳离子交换树脂 D113 大孔弱酸性丙烯酸系阴离子交换树脂
相似三角形的判定的习题分类编选 一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似. 1．如图，（1）当∠C=_________时，△OAC∽△OBD．（2）当∠B=_________时，△OAC∽△ODB。 (3）当∠A=_____________，△OAC与△OBD相似． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_____,_∽△_______，△_____∽△______． 3．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 4．如图3，已知A（2，0），B（0，4），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________ 5．如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC相似的三角形有______个 图1 图2 图3 图4 图5 图 6 6在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有_____条．7．如图5，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有_______对． 8．如图6，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，图中有______对相似三角形 9．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上， 则图中与△DBE相似的三角形是________． 10、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． 写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；并证明这两对三角形相似． 11、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。 (2)求证：⊿AEF∽⊿BEA (3)求证：BD2=AD·DF。 12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. （1）求证：△ADF∽△DEC。（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长. 13如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD?于点E． 求证：△CDE∽△FAE．
知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：
BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若
相似三角形分类整理 (超全)
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。
一．氢型与钠型阳离子交换树脂是什么? 氢型阳离子交换树脂（有时简称氢型树脂）是一种人造有机聚合物产品。最常用的原料是：苯乙烯或丙烯酸（酯），先经过聚合反应生成具有三度空间立体网状结构的聚合物骨架（树脂母体），再于骨架上导入不同的「化学活性基」而成。由于它的活性基，如磺酸基（-SO3H）、羧基（-COOH）等，都含有活性氢离子，可在水中解离出来，用于与其它阳离子进行交换，所以特别在阳离子树脂名称之前再冠上“氢型”两字，以与同一系统的“钠型”种类有所区别。不过“钠型”可以利用强酸处理成为“氢型”，“氢型”也可以用氢氧化钠或食盐水溶液处理成为“钠型”，即二者可以互相转换。氢型阳离子交换树脂不溶于水和一般溶剂。和其它离子交换树脂一般，常被制成颗粒状，外观看起来有些像鱼卵，粒径大约在0.3-1.2 mm之间，但大部分在0.4-0.6 mm范围内。化学性质相当稳定，摸起来硬而有弹性，机械强度也足够承受相当压力，颜色由白色至近乎黑色都有，颜色浅时呈透明状，深时呈半透明状，都有光鲜亮丽的树脂光泽。氢型阳离子交换树脂最常应用的地方，就是硬水的软化，即让硬水流过树脂层，把硬水中的硬度离子，如钙、镁等离子吸收在树脂中，就变成不带硬度离子的软水了，这也是阳离子交换树脂最初被制造的主要目的，但它在工业上应用没有「钠型」来的多，因为在软化过程中，它会直接释出氢离子，使水质呈酸性，可能会因此腐蚀相关金属设备。依需要的不同，它也可以应用到水质预处理工艺中，用作软化水质及降低pH值之用。 二离子交换树脂的结构 离子交换树脂的内部结构，如2．1所示。由三部分组成，分别是： (1)高分子骨架由交联的高分子聚合物组成： (2)离子交换基团它连在高分子骨架上，带有可交换的离子(称为反离子)的 离子型官能团或带有极性的非离子型官能团； (3)孔它是在干态和湿态的离子交换树脂中都存在的高分子结构中的孔(凝胶 孔)和高分子结构之间的孔(毛细孔)。 在交联结构的高分子基体(骨架)上，以化学键结合着许多交换基团，这些交换基团也是由两部分组成：固定部分和活动部分。交换基团中的固定部分被束缚在高
相似三角形的基本类型总结 类型一 平行线型 相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC . E D C B A 图（1） E D C B A 图（2） 1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=?DBCE ADE S S 四边形,则 =AC AE 【 】 （A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）2 1 2. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3 2 =OC BO ,10=AD ,则 =AO _________. 图（3） E D C B A 图（4） O D C B A F E D C B A 图（5） 3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .
类型二 相交型 如图（6）所示,由D B ∠=∠或 AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似. 图（6） E D C B A E D C B A 图（7） 图（8） E D C B A 4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG DF AC AD = . （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若 21=AC AD ,求 FG AF 的值. G F E D C B A 图（9）
各种类型离子交换树脂常用再生剂及其用量 离子交换树脂性能降解原因 树脂在长期使用中，性能会逐渐下降，表现为出水（即产品）质量降低。影响树脂性能降解的因素很复杂，如树脂体积减少，交换能力下降，球粒裂纹增多，破碎流失等，造成上述现象的原因不外是：（1）胀缩内应力不均。在使用中树脂内部由于溶胀及收缩变化的不均匀，局部结构中应力不平衡，造成断链裂解。 （2）氧化破坏。体系中的氧化剂，包括酸、碱、溶剂等对树脂骨架及功能基的破坏。 （3）杂质污染。水中杂质堵塞了树脂的内部孔道，阻挡交换吸附。
离子交换树脂如何进行预处理 （1）阳离子交换树脂的预处理步骤 首先用清水对树脂进行冲洗（最好为反洗）洗至出水清澈无混浊、无杂质为止。而后用4~5%的HCl和NaOH在交换柱中依次交替浸泡2~4小时，在酸碱之间用大量清水淋洗（最好用混合床高纯度去离子水进行淋洗）至出水接近中性，如此重复2~3次，每次酸碱用量为树脂体积的2倍。最后一次处理应用4~5%的HCl溶液进行，用量加倍效果更好。放尽酸液，用清水淋洗至中性即可待用。 （2）阴离子交换树脂的预处理步骤 首先用清水对树脂进行冲洗（最好为反洗），洗至出水清澈无混浊、无杂质为止。而后用4 ~5%的NaOH和HCl在交换柱中依次交替浸泡2 ~4小时，在碱酸之间用大量清水淋洗（最好用混合床高纯度去离子水进行淋洗）至出水接近中性，如此重复2~3次，每次酸碱用量为树脂体积的2倍。最后一次处理应用4~5%的NaOH溶液进行，用量加倍效果更好。放尽碱液，用清水淋洗至中性即可待用。 （3）应用于医药、食品行业的树脂，预处理最好先用乙醇浸泡，而后再用酸碱进行交替处理，大量清水淋洗至中性待用。 （4）预处理中最后一次通过交换柱的是酸还是碱，决定于使用时所要求的离子型式。 （5）为了保证所要求的离子型式的彻底转换，所用的酸、碱应是过量的。