线性代数ppt课件同济
线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在大学的数学课程中，线性代数通常是必修课之一。同济大学作为中国一流的
综合性大学，其线性代数课程自然也备受重视。为了更好地教授线性代数知识，同济大学设计了一套精美的PPT课件，本文将对其进行探讨和分析。
首先，同济大学的线性代数PPT课件在内容上非常全面，涵盖了线性代数的基
本概念、向量空间、矩阵和线性变换等核心内容。通过这些课件，学生可以系
统地学习线性代数的基础知识，并且能够逐步深入了解线性代数的各个方面。
课件中的每个章节都有明确的目标和重点，帮助学生更好地把握知识的重点和
难点。
其次，同济大学的线性代数PPT课件在形式上非常生动有趣。课件中使用了丰
富多样的图表、图像和动画，使得抽象的线性代数概念更加具象化和易于理解。例如，在讲解向量空间的概念时，课件中使用了几何图形来展示向量的加法和
数量乘法，帮助学生形象地理解向量空间的性质。此外，课件还使用了颜色、
字体和布局等设计元素，使得内容更加清晰明了，吸引学生的注意力。
此外，同济大学的线性代数PPT课件还采用了互动式教学的方式。在课件中，
设置了许多练习题和思考题，学生可以通过点击屏幕来进行答题和思考。这种
互动式教学方式可以激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的
能力。同时，通过课件中的答案解析，学生可以及时了解自己的错误，并进行
纠正和改进。
另外，同济大学的线性代数PPT课件还融入了一些实际应用的案例和问题。在
讲解线性变换时，课件中列举了一些与线性变换相关的实际应用，如图像处理、
数据压缩和密码学等。这些实际应用的案例和问题可以帮助学生将线性代数的概念和方法与实际问题相结合，提高学生的应用能力和创新思维。
最后，同济大学的线性代数PPT课件还提供了一些拓展资源和参考书目。在课件的最后几页，列举了一些相关的参考书目和学习资源，供学生进一步深入学习和研究。这些拓展资源的提供可以帮助学生拓宽知识面，提高学术水平。综上所述，同济大学的线性代数PPT课件在内容和形式上都非常出色。通过这套课件，学生可以系统地学习线性代数的基础知识，加深对线性代数的理解和应用。同时，课件的生动有趣和互动式教学方式可以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。希望同济大学的线性代数PPT课件能够继续发挥其优势，为学生提供更好的学习体验和知识传授。
第六章 二次型 本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识. §1 二次型及其矩阵 一、二次型及其矩阵 定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 + ++= 22 222 11121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122 222--++++ (1) 若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成 j i n j i ij n x x a x x x f ∑==1 ,21),,,( (2) 称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型. 记,2122221 11211 ?? ???? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ???? ? ?? ??=n x x x x 21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中 A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把 ),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型. 对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型 3231212 3222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵， 并求出二次型的秩. 解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,??? ? ? ??----=242422221A 因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩. ?? ?? ? ??---+????? ??----+????? ??----=140022022 14~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3. §2 化二次型为标准型 一、二次型合同矩阵 二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换
《线性代数》课程教学大纲 英文名称：Linear algebra 课程编码：0 总学时：40 学分：2.5 适用对象：本科各理工科专业 先修课程：高等数学 大纲主撰人：万冰蓉大纲审核人： 一、课程性质、目的和任务 1、本课程是本科各理工科专业的一门学科基础课。线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛适用于各个学科。 2、目的是使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养逻辑推理能力，抽象思维能力，计算能力和解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。 二、教学内容及要求 本课程内容按教学要求的不同分两个层次；对较高要求的必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用的概念理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述；对教学中必不可少的，但在要求上低于前者的概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 第1章：行列式 授课学时：6 基本要求： 1-1掌握二阶与三阶行列式的定义。 1-2了解全排列与逆序数。 1-3了解n阶行列式的概念。 1-4掌握行列式的性质，并会应用行列式的性质计算行列式。 1-5会用行列式按行（列）展开定理计算行列式。 1-6会用克莱姆（Cramer）法则。 重点：利用行列式的性质及行列式按行（列）展开定理计算行列式。
难点：n阶行列式的概念，利用行列式的性质及行列式按行（列）展开定理计算行列式。 作业：课本32页，3，4（4），5（2）、（4）、（5），6，7（3）、（4）、（6），8（1），9 第2章：矩阵及其运算 授课学时：6 基本要求： 2-1理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵及其性质； 2-2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的行列式及其运算规律。 2-3理解逆矩阵的概念、逆矩阵存在的条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆。 2-4了解分块矩阵及其运算。 重点：矩阵的乘法、逆矩阵的定义及伴随矩阵算法。 难点：矩阵的乘法，分块矩阵的乘法。 作业：课本66页，2，3，5，6，8，9，10，11（4）、（6），12（3），13（2），16，18，19，20 第3章：矩阵的初等变换与线性方程组 授课学时：6 基本要求： 3-1掌握矩阵的初等变换，会用矩阵的初等行变换解线性方程组，了解初等矩阵的性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。 3-2理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，了解矩阵的秩的性质。 3-3理解齐次线性方程有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程有解的充分必分条件。 重点：求线性方程组通解的方法，矩阵的秩的概念和求逆矩阵的初等变换方法，线性方程组的相容性定理。 难点：矩阵的秩的概念，初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，线性方程组的相容性定理。作业：课本92页，2，3，4，5（1），6（1），7（1）、（3），8，10，11（1），12（2） 第4章：向量的线性相关性 授课学时：8 基本要求： 4-1理解n维向量的概念，向量的线性组合与线性表示，会用矩阵的秩判断向量的线性表示关系。 4-2理解向量组线性相关、线性无关的定义，会用矩阵的秩判别向量组的线性相关性，了解
同济大学线性代数教案第二章方阵的行列 式
线性代数教学教案第二章方阵的行列式 授课序号01
121212()12(1)n n n p p p p p np p p p a a a τ-∑L L L 称为由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =L 构成的n 阶行列式，记为 1112121 22212n n n n n nn a a a a a a D a a a = L L M M O M L ， 即： 1212121112121 222()1212(1)n n n n n p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑L L L L L M M O M L . 其中 12n p p p ∑ L 表示对所有的n 阶全排列12n p p p L 求和,数(),1,2,,ij a i j n =L 称为行列式的(),i j 元 素，其中第一个下标i 称为元素ij a 的行标，第二个下标j 称为元素ij a 的列标. 方阵A 的行列式: 记矩阵 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? = ? ? ?? L L M M O M L A ， 则行列式通常也称为方阵A 的行列式，记为A . 有时为了表明行列式是由元素ij a 构成的，也简记为det()ij a =A 、ij n n a ?或ij n a . 二阶行列式: 121212 1112 ()12112212212122(1)p p p p p p a a a a a a a a a a τ=-=-∑. 三阶行列式: 123123123 11 1213()21 222312331 32 33 (1)p p p p p p p p p a a a A a a a a a a a a a τ==-∑ 112233132132122331132231122133112332=++---a a a a a a a a a a a a a a a a a a . 二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆： 111221 22 a a a a
线性代数（同济大学第五版）行列式讲义例题线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题 第一章行列式 行列式就是研究线性方程组的一个有力工具,本章得出了行列式的定义、性质及其计 算方法. §1全排列及其逆序数 一、排序及其逆序数定义 对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序. 定义1由n个自然数1,2,?,n共同组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称作一个n元全排序,缩写为排序. 例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列. 定义2在一个排序里,如果某一个很大的数码排在在一个较小的数码前面,就说道这两个数码形成一个逆序（反序）,在一个排序里发生的逆序总数叫作这个排序的逆序数, 用?(i1,i2,?,in)则表示排序i1,i2,?,in的逆序数. 根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设于一个n级排序i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)小的且位列it前 第1页面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个 数之和就是这个排序的逆序数．即为 n?(i1i2?in)?t1?t2tn??ti. i?1基准1排序排序45321的逆序数. 解因为4排在首位,故其逆序数为0； 比5大且位列5前面的数有0个,故其OMO序数为0；比3大且位列3前面的数有2个,故其OMO序数为2；比2大且位列2前面的数有3个,故其OMO序数为3；比1大且位列1前面的数有4个,故其OMO序数为4．可知所求排序的逆序数为 (45321)002349． 定义3逆序数为偶数的排序叫作偶排序,逆序数为奇数的排序叫作奇排序.
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12 a 21 a 22 |= a 11a 22 −a 12a 21 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！ 逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n! 2 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列， t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如 第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j 33 323123222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a +++n n n j n 2n 12n 2j 22 211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a +++n n n j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =
1.二阶行列 式--------对角线法则: 2.三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3.全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用表示，=n ！ 逆序数：对于排列 … ，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：是1,2,3的一个排列， t( )是排列 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6.行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等.（转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘此行列式。第i 行乘k ：xk 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如 第j 列的k 倍加到第i 列上： 7.重要性质：利用行列式的性质 或 ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。（P11页例7） 8.行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念： 余子式：在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去,剩下的(n?1)2个元素按原来的排法构 成的n?1阶行列式叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记A ij =(?1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即： 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 33 323123 2221131211 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 22 11n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 2 1 =O n 2 1 λ λλN n 212 1) n(n λλλ1)(ΛΛ--=in in i2i2i1i1A a A a A a D +++=ΛΛnj nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++=ΛΛ或
线性代数 课 程 教 案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45学时 实验学时 教材名称 年 月 日 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法 设12 n p p p 是1,2, ,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ；
再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =++ +。 2. n 阶行列式 其中12 n p p p 为自然数1,2, ,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 重点和难点：理解行列式的定义 行列式的定义中应注意两点：和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12 ()n p p p 的逆序数，即当12n p p p 是偶排列 时，对应的项取正号；当12n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。 综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一 半带正号，一半带负号。 例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。 解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。 例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。 解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665 a a a a a a 是6阶行列式中的项。 324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不 是6阶行列式中的项。 例：计算行列式0001 002003004000 D = 解：0123(1)123424D +++=-???= 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合 首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。 通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。 本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
实用标准 线性代数 课程教案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称线性代数 课程学时45学时 实验学时 教材名称 年月日
线性代数 课程教案 授 型 理 授 3 授 目（教学章 或主 ） ：第一章 行列式 § 1 二 与三 行列式 § 2 全排列及其逆序数 § 3 n 行列式的定 § 4 本授 元教学目 或要求： 1. 会用 角 法 算 2 和 3 行列式。 2. 知道 n 行列式的定 。 本授 元教学内容（包括基本内容、重点、 点，以及引 学生解决重点 点的方法、例 等） ： 基本内容：行列式的定 1. 算排列的逆序数的方法 p 1 p 2 L p n 是 1,2,L , n n 个自然数的任一排列，并 定由小到大 准次序。 先看有多少个比 p 1 大的数排在 p 1 前面， t 1 ； 再看有多少个比 p 2 大的数排在 p 2 前面， t 2 ； ?? 最后看有多少个比 p n 大的数排在 p n 前面， t n ； 此排列的逆序数 t t 1 t 2 L t n 。 2. n 行列式 a 11 a 12 L a 1 n D a 21 a 22 L a 2n ( 1)t a 1p 1 a 2 p L a np M M M ( p 1 p 2 L p n ) 2 n a n1 a n 2 L a nn 其中 p 1 p 2 L p n 自然数 1,2,L , n 的一个排列， t 个排列的逆序数，求和符号∑是 所有排列 ( p 1 p 2 L p n ) 求和。 n 行列式 D 中所含 n 2 个数叫做 D 的元素，位于第 i 行第 j 列的元素 a D 的 (i , j) 元。 ij ，叫做 3. 角 法 ：只 2 和 3 行列式适用
第六章 线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1; 解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为 (A +B)∈S 1, kA ∈S 1, 所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?=00011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=01003ε, ?? ? ??=10004ε 是S 1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2; 解 设??? ??-=a c b a A , ??? ??-=d f e d B , A , B ∈S 2 . 因为 2 )(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈?? ? ??-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?-=10011ε, ??? ??=00102ε, ?? ? ??=01003ε 是S 2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B)T =A T +B T =A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T =kA T =kA , kA ∈S 3, 所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=0110 2ε, ?? ? ??=1000 3ε 是S 3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间. 3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？ （1）Ⅰ：1+x,x+x 2 ,1+x 3 ,2+2x+x 2 +x 3 （2）Ⅱ：-1+x,1-x 2 ,-2+2x+x 2 ,x 3
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/c719076086.html, 同济版《线性代数》[1][2][3][4][5]各版本比较分析和教学建议 作者：胡京爽 来源：《学习导刊》2013年第11期 【摘要】本文对同济版《线性代数》第一版到第五版各个版本进行了比较分析，给出了 各个版本一些突出特征分析。并结合教学实际，提出了教学建议。 【关键词】线性代数矩阵的秩向量组相关性线性方程组 1 引言 同济大学编写的《线性代数》教材在我国工科院校被广泛使用，自1982年至今已经使用32年了，现在用的已经是第五版。在教学过程中，不少老师反映现在的版本（三、四、五 版）好像不如以前的版本（第二版）容易进行教学，本人也从事了二十多年的线代课程教学，针对老师们的一些意见，进行了细致的分析对比，做了一些思考总结。本文就是针对这个问题的一些想法，希望能对从事该课程教学的老师有一定的参考作用。 2 第一版和第二版的比较分析 第一版和第二版的主要差异在于矩阵的秩与向量组的秩的定义以及相互之间关系的论述上。 2.1 在第一版中首先根据向量组的线性相关性定义了向量组的秩，然后利用向量组的秩定义矩阵的秩，即用矩阵的列向量组的秩作为矩阵的秩。而体现这两个秩之间关系的是下面的定理： 这个定理体现的是向量组的相关性与向量组形成的矩阵的非0子式的阶数的关系，就是说，如果A中最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵A的列向量形成的向量组的秩为r，即：最大无关组中的向量的个数为r。但是这里并没有证明：如果一个矩阵的列向量组的秩为r， 则该矩阵的最高阶非0子式的阶数也是r，这是第一版中的一个缺陷。 另外，实际上第一版中没有证明矩阵的列向量组秩和行向量组秩的相等关系。第一版中从定理6只是表明：如果一个矩阵的最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵的行向量组和列向量组的秩都是r，但是如果矩阵的列向量组的秩为r，从该定理得不到矩阵的最高阶非0子式的阶数也为r，从而也就无法得到矩阵的行向量组的秩为r。因此，只是在表面上好像看似乎体 现出三个秩相等，但是本质上没有论证清楚。因为在这里矩阵的秩是按照矩阵的列向量组的秩
高等代数与解析几何(同济版)文档 一、引言 《高等代数与解析几何》是同济大学教材系列中的一本重 要教材，涵盖了高等数学中的代数和几何两个重要分支。本文档将对该教材进行详细的介绍和概览。 二、教材概述 《高等代数与解析几何》是同济大学数学系编写的一本面 向工科类大学本科生的高等数学教材。该教材共分为四个部分，分别为代数初步、线性代数、解析几何和本原函数的级数展开。以下将对各个部分进行简要介绍。 1. 代数初步 代数初步部分主要介绍了集合论、关系、函数、复数、数 列和极限等基本概念，为后续内容的学习奠定基础。该部分重点讲解了集合的概念、集合之间的关系、函数的定义和性质，以及复数的运算规则和复平面的几何意义等内容。
2. 线性代数 线性代数部分是整本教材的核心内容，主要涉及向量、矩 阵和线性方程组等内容。该部分包括向量的代数运算、线性方程组的解法、矩阵的性质和运算规则，以及行列式和特征值等重要概念。此外，还介绍了向量空间、线性变换和二次型等高级内容。 3. 解析几何 解析几何部分主要介绍了二维和三维空间中的几何对象的 解析表示方法和几何属性。该部分涵盖了平面直角坐标系和空间直角坐标系的建立和运用，直线和平面的方程表示，以及曲线和曲面的参数化方程等内容。此外，还介绍了向量和平面的点、距离、夹角等几何性质。 4. 本原函数的级数展开 本原函数的级数展开部分主要介绍了常见函数在某一范围 内的级数展开。该部分主要讲解了函数的泰勒级数展开和幂级数展开，以及常见函数如指数函数和三角函数的级数展开形式。 三、教材特点 《高等代数与解析几何》具有以下几个特点：
1.结构严谨、逻辑清晰：教材按照代数和几何的顺序 组织，每个部分之间有明确的衔接，使得学生能够有系统 地学习代数和几何的相关知识。 2.理论与实践相结合：教材不仅注重理论的讲解，还 兼顾实际问题的应用。在教材中有大量的例题和习题，通 过实际问题的解析，加强对知识的掌握和应用。 3.重点突出、难点剖析：教材对于每个重点和难点内 容都进行了详细的讲解和剖析，引导学生深入理解和掌握。 4.数学思维培养：教材注重培养学生的数学思维能力，通过思考题和拓展题的设置，引导学生进行思维拓展和创新。 四、学习建议 针对《高等代数与解析几何》的学习，以下是一些建议： 1.理清基础知识：在学习本教材之前，先理清代数和 几何的基础概念和知识，为后续学习打下良好的基础。 2.注重实际应用：在学习教材时，要结合实际问题进 行思考和应用，将抽象的数学理论与实际问题相结合，加 深理解。
高等数学同济大学教材内容 高等数学作为大学数学教学中的一门重要课程，是为了培养学生的 数学思维能力和解决实际问题的能力而设置的。同济大学作为国内一 流的综合性大学，其高等数学教材内容被广泛认可和采用。本文将对 同济大学高等数学教材内容进行介绍。 同济大学高等数学教材内容主要包括以下几个方面：微积分、线性 代数、概率论与数理统计以及常微分方程。下面将分别对这几个方面 进行详细介绍。 微积分部分是高等数学教学的核心内容之一。同济大学高等数学教 材中的微积分部分涵盖了函数、极限、导数和积分等重要内容。教材 通过丰富的例题和习题，帮助学生理解和掌握微积分的基本概念和方法。同时，教材还引入了微分方程的初步内容，使学生能够初步了解 微分方程的解法和应用。 线性代数是数学中的一个重要分支，也是同济大学高等数学教材的 一部分。该部分涵盖了矩阵、向量、线性方程组和特征值等重要内容。教材通过具体的例子和应用案例，帮助学生理解线性代数的基本概念 和理论，并培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。 概率论与数理统计是数学的一个重要分支，同样也是同济大学高等 数学教材内容的一部分。该部分包括了概率的基本概念、条件概率、 随机变量、概率分布和统计推断等内容。教材通过大量的实例和应用 案例，帮助学生理解概率论与数理统计的基本原理和方法，并能够运 用数学的知识解决实际问题。
常微分方程也是同济大学高等数学教材内容的一部分。该部分主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用。教材通过典型的应用案例，帮助学生理解常微分方程的基本理论和方法，并能够运用常微分方程解决实际问题。 总的来说，同济大学高等数学教材内容全面、系统，注重理论与应用的结合，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。教材通过丰富的例题和应用案例，帮助学生加深对数学概念的理解，提高解题的能力。同时，教材内容的编排和排版整洁美观，语句通顺，使读者可以更好地理解和掌握数学知识。同济大学高等数学教材内容的采用，对培养学生的数学素养和创新能力具有重要意义。
同济版高等数学教材 同济版高等数学教材是国内高校广泛采用的一套教材，具有严谨性和系统性，给学生提供了全面的高等数学知识体系。本教材包括数学分析、线性代数、概率论与数理统计等几个主要内容。下面将分别介绍这些内容的特点和重要性。 1. 数学分析 数学分析作为高等数学的核心内容，是学生进入高等数学的重要门户。同济版高等数学教材关注数学分析的基本概念与性质，重点介绍微分学和积分学。在微分学中，重点讨论极限、导数和微分的概念，以及相关的运算法则和常用方法。在积分学中，介绍了不定积分、定积分和变限积分，以及这些积分的性质和应用。数学分析的学习对于培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力具有重要意义。 2. 线性代数 线性代数是研究线性方程组、向量空间和线性变换等内容的数学学科。同济版高等数学教材在线性代数的教学中，注重培养学生的抽象思维能力和运算技巧。主要内容包括矩阵与行列式、向量空间、线性变换和特征值与特征向量等。线性代数在多个领域都有广泛应用，如物理学、经济学、计算机科学等，对于学生的综合素质提高有着重要作用。 3. 概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现象的定量描述和推断方法的数学学科。同济版高等数学教材在概率论与数理统计的内容安排上，注重理论与应用的结合。在概率论的教学中，主要讲解概率的基本概念、概率的计算方法和概率模型等；在数理统计的教学中，主要介绍统计数据的描述性统计和推断性统计方法。学习概率论与数理统计可以帮助学生理解和应用概率知识，对于科学研究、决策分析和实际问题的解决具有重要意义。 总之，同济版高等数学教材是一套系统且完整的高等数学教材，涵盖了数学分析、线性代数和概率论与数理统计等多个方面的内容。通过学习这套教材，学生可以系统地了解和掌握高等数学的基本知识和方法，培养数学思维和解决实际问题的能力。因此，同济版高等数学教材在高等院校中得到了广泛应用，并为学生提供了优质的数学学习资源。
高等数学教材同济第四版 同济大学高等数学教材第四版 同济大学高等数学教材第四版是一本经典的数学教材，深受广大学生和教师的喜爱。它是中国高等数学教育领域的瑰宝，为学生提供了系统、完整的数学知识，有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力。本文将对同济大学高等数学教材第四版进行全面评述。 第一部分：导论 同济大学高等数学教材第四版的导论部分是整本教材的起点，它对高等数学的基本概念和定义进行了概述，为学生奠定了坚实的数学基础。在导论中，教材以简明易懂的语言解释了数学的起源、发展和应用领域，引导学生从宏观上认识数学的重要性和普适性。 第二部分：微积分 同济大学高等数学教材第四版的微积分部分是整本教材的核心内容之一。它系统介绍了微积分的基本概念、性质和应用，包括极限、导数、微分、积分等内容。教材在讲解过程中注重理论与实践的结合，通过大量的例题和习题，帮助学生更好地理解和掌握微积分的原理和方法。 第三部分：数学分析 同济大学高等数学教材第四版的数学分析部分是对微积分理论的深入拓展和应用。它涵盖了一元函数的级数、一元函数的多项式逼近和
一元函数的傅里叶级数等内容。教材以简洁明了的语言，结合具体的例子和图表，帮助学生理解和掌握数学分析的基本概念和方法。 第四部分：高等代数 同济大学高等数学教材第四版的高等代数部分是对线性代数的全面介绍和拓展。它包括矩阵与行列式、线性方程组、向量空间、线性变换等内容。教材通过丰富的例题和习题，培养学生的抽象思维和分析问题的能力，为学生进一步学习和研究高等代数奠定基础。 第五部分：常微分方程 同济大学高等数学教材第四版的常微分方程部分介绍了常微分方程的基本理论和解法，包括一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程等内容。教材通过具体的应用问题，引导学生理解和掌握常微分方程的求解方法和应用技巧。 总结： 同济大学高等数学教材第四版以其系统、完整的内容，深入浅出的讲解方式，成为了广大学生学习高等数学的重要参考资料。它不仅帮助学生建立数学思维和解决问题的能力，还为学生打下坚实的数学基础，为今后的学习和研究提供了有力支持。同济大学高等数学教材第四版是一本不可或缺的数学经典，相信在未来的数学教育领域仍然会保持其重要地位。
线性代数教学教案第五章线性空间与线性变换 授课序号01 是一个非空集合， 对于 ββ +=+ ) αβγ ++
就称为实数域是实数域 上线性空间，上线性空间0a 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间. ()[]} ,b x a 为上的连续函数是定义在区间[,a 12m m mn a a a a ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 是非空的， ()m n M ⨯对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间
12n m nn a a a a ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎭ +++10,,,n n x a x a a a a ( ) =∈,,,,,,T x x x x x x R ( ) =0, ,0T ，在其中定义加法及乘数运算为 ⊕=a b ab ) ,验证对上述加法与乘数运算构成线性空间在实数域 上线性空间 12n m nn a a a a ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 11nn a a a ⎫⎪ ⎪⎪⎪⎭ 的加法和数乘是封闭的，所以
授课序号02 个元素,,,ααα满足,,,ααα总可由12,,,n ααα那么，12,, ,n ααα就称为线性空间,, ,ααα是线性空间,,,x x x ，使12,, ,n x x x 这组有序数就称为元素12,, ,n ααα下的坐标，并记作) T ,x .
12,, ,n ααα与12,,,n βββ12,,,n ααα12,,,n βββ12,, ,n ααα12,,,n βββ12,,,n βββ在基,, ,ααα下的坐标为，在基,,,βββ，且由基12,,,n ααα到基,, ,βββn n x y ⎪ ⎪⎭⎝⎭ n n y y x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ a ⎫ ⎪⎭()有 11122122a a a a ⎛= ⎝
第五章 矩阵的特征值与特征向量 §1矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值与特征向量 定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量. 由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式. 设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知： nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλ A ii n =λλλ 21)( 例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 648 23-=∴-=∴A A λ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ 例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩. 解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2. 定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量. 证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为 t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ 的特征向量。则有 ),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ 所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法： 第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.