第四讲：整式的整体代换
例1：已知012=-+a a ，求：2007223++a a 的值；
例2：已知05322=--a a ，求：109124234-+-a a a 的值；
例3：已知关于x 的二次多项式()52)3(3223-++++-x x x b x x x a ，当2=x 时的值为17-；求当2-=x 时，该多项式的值；
1、若a a -2=2010，求：()201022--a a 的值；
2、若式子6432+-x x 的值是9，求：163
42+-x x 的值； 3、若实数a 满足122+-a a =0，求：542+-a a 的值；
4、已知012=-+m m ，求1997223++m m 的值；
5、若 012=-+m m ，求：2010223-+m m 的值。
6、已知代数式xy x +2=2，xy y +2=5，求：22352y xy x ++的值；
7、当代数式532++x x 的值为7时，求代数式2932-+x x 的值；
8、已知代数式2326y y -+的值为8，求：代数式
2312y y -+的值； 9、已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。
10、若0132=+++x x x ，求：2011321x
x x x +++++ 的值； 11、若0223=---x x x ，求：1542234---+x x x x ；
12、已知623,10222=+=+xy y xy x ，求：2
2984y xy x ++的值；
13、当2010=x 时，201013=++bx ax ，那么2010-=x 时，13++bx ax 的值是多少； 14、当2-=x 时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当2=x 时，代数式635-++cx bx ax 的值；
15、已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式3
1Px qx ++的值。
16、已知137+++cx bx ax ， 当2-=x 时，值为2010，则当2=x 时，求：137+++cx bx ax 的值； 17、已知2222539,822y xy x B x y xy A -+=+-=，求（1）B A -；（2）B A 23+-。
18、如果340m n -+=，求：()()233237321m n m m n m n -+---+()
33232m m n m n n +-+310m m --
的值。
作业
1、已知52=+-n m ，求：6036)2(52--+-m n n m 的值；
2、已知210x x --=，求321x x -+的值；
3、当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。
4、若代数式7322++y y 的值是2，求代数式9642-+y y 的值；
等量代换法习题 练习一： 1、如果1个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃的重量。问一个梨的重量等于几个桃的重量？ 2、如果1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，同时又等2根香蕉的重量。问一根香蕉的重量等于几个苹果的重量？ 3、如果1个足球相当于2个排球的重量，一个排球相当于20个乒乓球的重量，假设一个乒乓球重8克，那么一个足球重多少克？ 4、1只猴子等于2只兔子的重量，1只兔子的重量等于3只小鸡的重量。已知每只小鸡重200克。1只猴子重多少克？ 练习二： 1、1只兔子的重量＋1只猴子的重量＝8只鸡的重量 3只兔子的重量＝9只鸡的重量 1只猴子的重量＝（）只鸡的重量 2、1只松鼠的重量＋1只兔子的重量＝5只鸭的重量
2只松鼠的重量＝6只鸭的重量 1只兔子的重量＝（）只鸭的重量 3、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？ 4、20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 5、2头小猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？ 练习三： 1、1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＝630克 1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝730克 1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个梨的重量＝330克 1个苹果的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝800克 求这四种水果各多少克？ 2、1只鸡的重量＋1只猴的重量＝15千克 1只鸭的重量＋1只猴的重量＝18千克 1只鸡的重量＋1只鸭的重量＝13千克 求这三种动物各多少千克？ 3、1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量＝90千克 1筐香蕉的重量＋1筐橘子的重量＝140千克 1筐苹果的重量＋1筐香蕉的重量＝150千克 求这三种水果各多少千克/ 4、红气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝35只 白气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝43只 红气球的个数＋白气球的个数＋绿气球的个数＝33只 红气球的个数＋蓝气球的个数＋白气球的个数＝48只 求这四种气球各有多少只？ 1、3包巧克力的价钱等于两袋糖的价钱，12袋牛肉干的价钱等于3包巧克力的价钱，一袋糖的价钱等于几 袋牛肉干的价钱？ 2、一只小猪的重量等于8只鸡的重量，4只鸡的重量等于6只鸭的重量。2只鸭的重量等于6条鱼的重量。 问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 3、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根 香蕉的重量？
《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C 、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20； ④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算：x2?x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________ ． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。
9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n．12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 14、比较下列一组数的大小．8131，2741，961 15、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值．
第八课时：等量代换法 知识点 1、等量代换的思想：相等的量可以互相代替。 2、运用等量代换法来解决生活中的实际问题。 3、在解决等量代换数学问题的过程中，初步体会等量代换数学题的思想方法。 教学目标 1．使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。 2．培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。 3、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌。 4、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。 教学内容 【典型例题】 例1、1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重。 1匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克？ 解题策略： 1匹马的体重是320千克，10匹马的体重就是320×10＝3200(千克) ，这也就是１只大象的体重。又知１只河马的体重等于2只大象的体重，用2只大象的体重代替1只河马，则这只河马体重是3200×2＝6400(千克) 【画龙点睛】 也可以这样想：1只大象的体重是10匹马的体重，即2只大象的体重就等于2个10匹马的体重，即20匹马的体重，因为2只大象的体重与1只河马的体重相等，所以1只河马的体重就是20匹马的体重。320×（2×10）＝6400(千克) 【举一反三】 1、已知1个=3个, 1个=5个。那么1个=（）个 2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。求△＝？□＝？ 3、一只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和。那么1只菠萝等于几只苹果的重量？ 4、一条鱼，鱼头重9千克，?ㄊ??鰊头重量等于鱼身一半加鱼尾的重量，而鱼身的重量等于鱼头加鱼尾的重量。问：这条鱼重几千克？ 同步练习
. 《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2； （4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C 、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20； ④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算：x2?x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________ ． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 14、比较下列一组数的大小．8131，2741，961
幂的运算及整体代入（习题） 例题示范 例1：若213981x x +-4?=-，则x =__________． 【思路分析】 ①观察已知，对比确定幂的底数、指数之间的关系． 观察发现，前面的幂，底数为3，后面的幂，底数为9，9可以写成32，81也可以写成34． ②根据幂的运算法则对已知进行等价变形，使之成为同底数或同指数的幂． 由底数之间的关系，做等价变形： 21243(3)3x x +-4?=- 2124333x x +-4?=- 224333x x ?3-4?=- 2433x -=- 2433x = 24x = 2x = 例2：若2210a a +-=，则43244a a a ++=_________． 【思路分析】 ①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体． 这里我们把22a a +当作整体． 由已知2210a a +-=得，_____________________． ②对所求进行变形，找到整体，进行代入． ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． 【过程书写】 解：∵2210a a +-= ∴221a a += ∴原式=222(2)2(2)a a a a a a +++ =22a a + =1 巩固练习 1. 若32n a =，则2343(3)()n n a a -的值是（ ） A ．4- B ．92 C ．100 D ．200
2. 若662a =，553b =，444c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 3. 若512a =，1316b =，1032c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 4. 若22=n x ，13 =n y ，则2()n xy -=__________． 5. 若8562932??=?m n ，则2m n +=_________． 6. 若21525625+-4?=x x ，则x =__________． 7. 已知225x y -=，222x y xy -=-，求代数式 222222(23)(3)(2)x y x y xy y xy -+-+-的值． 8. 已知259x y z +=+=+，求代数式222()()()x y z x y z -+-+-的值． 9. 已知20x y z +-=，求代数式(2)()(2)2x y y z x z xyz +---的值． 10. 已知3220x x +-=，求代数式64223x x x x ++-的值．
代换法解题 教学目标： 1、使学生初步学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系，并能根据问题的特点确定合理的解题步骤。 2、使学生在对解决实际问题过程的不断反思中，感受“替换”策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理能力。 3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。 教学重、难点： 使学生掌握用“替换”的策略解决一些简单问题的方法。（重点） 使学生能感受到“替换”策略对于解决特定问题的价值。（难点） 教学过程: 一、复习导入 1、出示课件 指名回答橘子和苹果分别是多少千克,你是怎么想的。 指出：从这题中，我们可以看出，能把一个物体换成与之相等的另外一个物体。同学们可真了不起啊，刚才大家的做法中已经蕴涵了一种新的数学思想方法——代换法解题 2、板书课题。 3、联系以前的旧知，回顾我们知道、学过哪些用替换的方法解决的问题？ 4、口答题： （1）720毫升果汁倒入9个相同的小杯，正好都倒满，每个小杯的容量是多少毫升？ （2）720毫升果汁倒入3个相同的大杯，正好都倒满，每个大杯的容量是多少毫升？ 指出：这两题我们都是用果汁总量去除以杯子总数，就能得出所要求的问题。 二、新授 （一）教学例1 1、读题：720毫升的果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满，每个大杯的容
量是多少毫升？每个小杯的容量是多少毫升？ 谈话：这道题你还能解答吗？ 2、分析探索 提问：你认为要补充些什么？你想怎么解决这个问题？ 同桌先相互说说自己的想法。 3、交流 谈话：我们一起来交流一下，该怎么办？ 小结：哦！两位同学都是把两种不同的杯子换成相同的一种杯子，这样就可以解决问题啦！ 4、列式计算 A：把大杯换成小杯 提问：把一个大杯换成三个小杯（板书），这样做的依据是什么？ 追问：如果把720毫升果汁全部倒入小杯，一共需要几个小杯？（板书）能求出每个小杯的容量吗？每个大杯呢？（板书） 小结：在用这种方法解的时候，我们是把它们都看成了小杯，所以先求出来的也是每个小杯的容量，然后求出每个大杯的容量。 B：把小杯换成大杯 谈话：那反过来，把小杯换成大杯呢？（板书） 提问：如果把720毫升果汁全部倒入大杯，又需要几个大杯呢？你又是怎么知道的？ 指出：把三个小杯换成一个大杯，再把三个小杯换成一个大杯。 提问：这样做的依据又是什么？ 指出：如果把720毫升果汁全部倒入大杯，就需要3个大杯。（板书） 提问：能求出每个大杯的容量吗？每个小杯呢？（板书） 5、检验 谈话：求出的结果是否正确，我们还要对它进行检验。想一想可以怎么检验？指出：哦！把6个小杯的容量和1个大杯的容量加起来，看它等不等于720毫升。（板书）除此之外，我们还要检验大杯的容量是不是小杯容量的3倍。（板书）总之，检验时要看求出来的结果是否符合题目中的两个已知条件。
幂的运算及整体代入（讲义） ?课前预习 1.默写下面的法则、公式 幂的运算法则： （1）同底数幂相乘，_________，_________．即__________． （2）同底数幂相除，_________，_________．即__________． （3）幂的乘方，___________，_________．即___________． （4）积的乘方等于___________．即_____________． a0=_______（_________）； a-p=______=______（___________________）． 2.整体代入的思考方向 ①___________________，考虑整体代入； ②化简___________，对比确定________； ③_______________，化简． 3.若代数式2 238 a b ++的值为________． +的值是12，则代数式2 46 a b ?知识点睛 1.整体思想：整体思想就是通过研究问题的整体形式、结构、特征，从而对问 题进行整体处理的解题思想．如：整体代入、整体加减、整体代换、整体补
形等． 2. 幂的运算法则逆用 ①观察已知及所求，对比确定____________之间的关系； ②根据幂的运算法则对已知或所求进行等价变形，使之成为___________________________． 3. 降幂法整体代入 ①对比已知及所求，将已知中___________________当作整体； ②对所求进行变形，找到整体，进行代入； ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． ? 精讲精练 1. 若35m =，32n =，则2313m n +-=____________． 2. 已知34x =，32y =，求2927x y x y --+的值．
第七讲用代换法解应用题 一、学法指导 代换法是解应用题常用的一种思维方式，在有些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，可以先分析这些未知量之间的关系，根据他们之间的关系，用一种量代替另一种量，这种解题方法叫做代换法，用代换法解题时，先要分析两个量之间的关系，再进行等量代换。 二、例题选讲 例1、5张桌子和18把椅子的总价是396元，已知一张桌子的价钱相当于3把椅子的价钱，求每张桌子和每把椅子各多少元？ 思路点拨：1张桌子的价钱相当于3把椅子的价钱，根据这个条件，即可用椅子替换桌子，也可能桌子换成椅子，然后把题中两个未知量转化成一个未知量，求出题中要求的问题。 例2、文体商店购进排球80个，足球70个，共用去成本5200元，已知每个足球的进价比每个排球多10元，每个排球和每个足球的进价各是多少元？ 思路点拨：如果把80个排球都换成足球，成本应是多少元？如果把70个足球换成排球，成本又应是多少元？ 例3、运一批砖如果两2辆汽车和20辆拖拉机一次可以运完，如果用4辆汽车和10辆拖拉机也可一次运完，现在5辆汽车和多少辆拖拉机可一次运完？ 思路点拨：一辆汽车与多少辆拖拉机运的红砖数相等。
例4、张师傅带了两个徒弟小李和小王，已知张师傅1小时的工作量小李要做2个小时，而小李4小时的工作量小王要做5小时，现在张师傅做了8个小时，小李做了12个小时，小王做了10个小时，三人共加工零件1080个，他们每小时的工作量各是多少？ 思路点拨：由题意可知，张师傅做1小时的工作量小李要做2小时，而小李做4小时的工作量，小王要做5小时。把张和李用王代换得张做8小时=王做（8÷2）×5小时，李做12小时=王做（12÷4）×5小时，这样可求出王做1080个零件需多少小时，从而求出小王每小时做多少个？ 例5、有红、黄、蓝三色笔共20支，已知红色笔比黄色笔的2倍少2支，黄色笔比蓝色笔的2倍少2支，求三色笔各多少支？ 思路点拨：不仿将蓝色笔的支数看作一份数，则黄色笔的支数比这样的2份少2支，若使黄色笔支数正好是蓝色笔的2倍，则总数要加以上2支黄色笔（20+2）支；然而红色笔又是黄色笔的2倍少2支，则红色笔的支数应该比蓝色笔的（2×2）倍还少（2×2）支，再少2支，这样可以求出蓝色的笔的支数。 三、练习： 1、小明到文具店买了2支钢笔和6本练习笔，共用去了11元，已知2支钢笔的价钱与16本练习本的价钱相同，每支钢笔多少元？
幂的运算及整体代入（习题） ?例题示范 例1：若32x+1-4?9x=-81，则x=__________． 【思路分析】 ①观察已知，对比确定幂的底数、指数之间的关系． 观察发现，前面的幂，底数为3，后面的幂，底数为9，9可以写成32，81也可以写成34． ②根据幂的运算法则对已知进行等价变形，使之成为同底数或同指数的幂． 由底数之间的关系，做等价变形： 32x+1-4?(32)x=-34 32x+1-4?32x=-34 32x?3-4?32x=-34 -32x=-34 32x=34 2x=4 x=2 例2：若a2+2a-1=0，则a4+4a3+4a2=_________． 【思路分析】 ①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体． 这里我们把a2+2a当作整体． 由已知a2+2a-1=0得，_____________________． ②对所求进行变形，找到整体，进行代入． ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． 【过程书写】 解：∵a2+2a-1=0 ∴a2+2a=1 ∴原式=a2(a2+2a)+2a(a2+2a) =a2+2a =1 ?巩固练习 1.若a3n=2，则(3a2n)3-(a4)3n的值是（） A．-4B．92C．100D．200 1
3，则(-xy)2n=__________． 2.若a=266，b=355，c=444，则a，b，c的大小关系是（） A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 3.若a=251，b=1613，c=3210，则a，b，c的大小关系是（） A．b>a>c B．a>c>b C．c>b>a D．b>c>a 4.若x2n=2，y n= 1 5.若6m?2?9n=38?25，则2m+n=_________． 6.若52x+1-4?25x=625，则x=__________． 7.已知x2-y2=5，x2y-xy2=-2，求代数式 (2x2-3y2)+(3x2y-xy2)+(y2-2x y2)的值． 8.已知x+2=y+5=z+9，求代数式(x-y)2+(z-x)2+(y-z)2的值． 9.已知2x+y-z=0，求代数式(2x+y)(y-z)(2x-z)-2x yz的值． 2
代换法解题 例1、 1个菠萝的重量等于两个梨的重量，也等于3个香蕉的重量，还等于1个梨、1个香蕉和1个桃的重量和。那么1个菠萝等于多少个桃的重量？ 例2 买一套书共用去31元，已知上册比中册便宜1.5元，下册比中册贵2.5元，上、中、下册各多少元？ 例3 一批石油，如果用甲种油车装运需要20辆，如果用乙种油车装运需要25辆。已知甲种油车比乙种油车每辆多装2吨，求这批石油重多少吨。 例4 5只同样的小猪和18只同样的小羊总价是3960元，已知1只小猪和3只小羊的价钱相等，求每只小猪和每只小羊各值多少元。
例5 6千克荔枝和8千克桂圆共计312元，已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱，求两种物品的单价各是多少。 例6 某小学教师和学生共100人去植树，教师每人植3棵树，学生平均每3人植1棵树，一共植了100棵树。教师和学生各有多少人？ 例7 有红、黄、蓝三种彩色笔共20支，已知红色笔比黄色笔的2倍少2支，黄色笔比蓝色笔的2倍少2支，三种彩色笔各多少支？ 练习 1、2只红球与4只黑球的重量相等，3只黑球的重量等于1只红球加1只篮球，那么几只篮球的重量等于3只红球加4只黑球？ 2、一号楼三家住户一次性存款2700元，李家比王家少存2500元，王家比张家多存80元，三家各存多少元？
3、3米花布的价钱与4米白布的价钱相等，小红的妈妈买了2米花布和5米白布，共付款46元，两种布每米各多少元？ 4、甲乙丙三人，甲的年龄比乙的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍少2岁，三人的年龄之和是109岁，三人各几岁？ 5、甲乙丙丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘4，丁数除以4后，四个数就相等了，求这四个数。
《等量代换》教学设计 教材内容分析： 本节课内容是义务教育课程标准实验教科书三年级下册第109页例2的一节课，使学生初步体会等量代换的数学思想方法。等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a＝b,b＝c,那么a＝c。 等量代换的思想在教材中是第一次出现，也是学生第一次接触，而它又是一个非常抽象、非常难以理解的内容，它需要学生有一定的思维能力。等量代换的思想也是数学知识里一个非常重要的内容，在学生今后的学习当中经常要用到。教学中，通过解决一些简单的问题，使学生初步体会等量代换的思想方法，为以后学习简单的代数知识做准备。等量代换的理论是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里，只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这种思想方法，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。 教学目标： （1）使学生理解等量代换的意义，能根据实物代换，计算物体的数量，在解决实际问题的过程中，掌握等量代换的方法，体会等量代换的思想。 （2）通过培养学生的推理能力和语言表达能力，发展学生的思维。 （3）体会数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣，培养学生学习数学的自信心。 教学重点：利用天平或跷跷板的原理，使学生在解决实际问题的过程中初步体会等量代换的思想方法，为以后学习代数知识做准备。 教学难点:使学生学会运用等量代换这一数学思想方法来解决一些简单的实际问题或数学问题。 一、创设情景，引入新知 师：在上课之前，老师给大家布置了一项任务，要你们回家问问自己的父母是怎么认识的。我来统计一下，你们的父母有没有是经他人介绍认识的？请举手。生：由他人介绍认识的举手 师：你的父母是由谁介绍的？ 生：（并点三名学生起来回来）是我隔壁的邻居。 生：是我妈妈的同学。 生：是李大婶。 师：那么你们知道给这些人有一个特定的称谓，你们知道是什么吗？ 生：媒婆，红娘，介绍人（点二三个学生起来说说） 师：很好。在我们日常生活中，对这些李大婶、张大娘这样的介绍人传统的叫做红娘。但是我们现在把他们叫做——中介。 师：正是由于这些中介才得以使你们的父母相识相知，请你们对你们父母的介绍人说一句感谢的话。 生：我要谢谢李大叔，如果没有他，我的爸爸妈妈就不可能认识，就不可能组成家庭，就不可能有我了。 生：……. 生：…… 师：很好。有一对新婚夫妇通过介绍人认识了之后就成了家，新娘很想吃西瓜，
学生做题前请先回答以下问题 问题1：幂的运算法则逆用： ①观察已知及所求，对比确定_____________________之间的关系； ②根据____________对已知或所求进行等价变形，使之成为_____________． 问题2：降幂法整体代入： ①对比已知及所求，将已知中__________或__________当作整体； ②__________，找到整体，进行代入； ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． 问题3：已知，则的值为__________． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：幂的运算法则逆用： ①观察已知及所求，对比确定之间的关系； ②根据对已知或所求进行等价变形，使之成为． 答：幂的底数或指数，幂的运算法则，同底数或同指数的幂． 问题2：降幂法整体代入： ①对比已知及所求，将已知中或当作整体； ②，找到整体，进行代入； ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． 答：最高次项，含字母的项；对所求进行变形． 问题3：已知，则的值为． 答：求值困难，考虑整体代入，对比已知和所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体；对所求进行变形，找到整体，代入进行计算；降幂化简，重复上述过程，直至最简． 方法一：把当作整体
∵ ∴ 方法二：把当成一个整体，观察已知中和系数之比是2:(-1)， 指数之差是2，在中找系数之比是2:(-1)， 指数之差是2的两项分为一组，然后找整体，代入求解． ∵ 幂的运算及整体代入（综合测试）（人教版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.已知，，则的值为( ) A.72 B.1 C. D.17
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：整体代入 2.已知，则的值为( ) A.12 B.81 C.6561 D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：整体代入 3.已知，则的值为( ) A.833 B.1225 C.3283 D.2891
第七讲代换法解题 在一些较繁复的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未知量，从而使繁复的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。 例题选讲 例1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格? 【分析与解答】这道题条件比较多，我们把条件摘录如下，列出等式：1个足球：2个篮球，1个足球=3个排球，一个足球=1个篮球+1个排球+1个垒球，由此可以推出2个篮球=3个排球，即1个篮球：1．5个排球，又1个篮球：1个排球+1个垒球，所以1个垒球一O．5个排球，即2个垒球=1个排球，因此1个足球=2×3=6(个)垒球。 例2:5只同样的红球和18只同样的绿球共重396克，已知1只红球和3只绿球的重量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克? 【分析与解答】摘录条件：(1)5只红球+18只绿球=396，(2)1只红球=3只绿球，由(2）可得5只红球=15只绿球，因此用15只绿球代替（1）中5只红球可得15只绿球+18只绿球=396，即33只绿球=396，所以每只绿球 =396÷(15+18)=12(克)，每只红球的重量=12×3=36(克)。 同学们想一想用几只同样的红球可以代换18只绿球，又如何计算呢? 例3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2倍大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三人年龄之和是109岁。问：三人各几岁? 【分析与解答】摘录条件(1)甲=2乙+3，(2)乙=2丙-2，由(2)可得2乙=4丙-4，又根据(1)可得甲=4丙=1，如果甲凑巧是丙的4倍，乙凑巧是丙的2倍，那么年龄和应是(109+l+2)=112(岁)，也就相当于丙的(4+2+1)倍，因此丙的年龄 =112÷7=16(岁)。乙的年龄：16X2—2=30(岁)，甲的年龄=30×2+3=63(岁)。
替换法解题 有些应用题，已给的条件常出现两种或更多种不同属性的量，并且在不同量之间存在有换算关系。这时，暂用其中的一种量去替换另一种量，有时候往往会给题目的解答，带来不少方便。 例:工地用5辆大车和4辆小车一次共运来水泥42.5吨，已知每辆大车比每辆小车多运4吨，每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨？ 题目中有两个未知数，解答起来有一定困难。但运用替换方法，把4辆小车换成大车，题目的解答就变得比较容易： 设每辆小车都多运4吨，那么小车运的吨数就和大车同样多了（也就是将小车都转换为大车了）。这时，4辆小车就会共增加运量4×4=16（吨）总共运的吨数就会增加到42.5＋16=58.5（吨）。这58.5吨便是（5＋4）辆大车运的水泥数，所以，每辆大车运来的水泥便是58.5÷（5＋4）=58.5÷9=6.5（吨）每辆小车运来的水泥便是6.5-4＝2.5（吨）显然，将大车转换为小车（即将小车去替换大车解题），也是可以的。 练一练： 1、王老师买了4个足球和10枝毛笔作为三好学生的奖品，共用去360元。已知每个足球的价钱是毛笔的2.5倍，每个足球和每枝毛笔各是多少元？ 2、大队部买了12支钢笔和18支圆珠笔，共付57.60元。乙知2支钢笔的价钱和3支圆珠笔一样多，每支钢笔和每支圆珠笔各多少钱？ 3、5千克香蕉与4千克苹果价钱相等，1千克苹果比1千克香蕉贵0.40元。香蕉每千克多少元？ 4、在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 5、在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。
等量替换法解题常见的五种途径 等量替换法能够架起未知和已知之间的桥梁，使生疏的求证变化为熟悉的需证，迅速收到激活解题的思路的的效果，下面举例分析： 1、等线段替换法 （1）、轴对称法 例1、 如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点， 过C 作C E ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证BP 2=P E ·PF 。 分析：三条线段BP 、P E 、PF 在同一条直线上，无法通过相似法直接 求证，但考虑到AD 垂直平分BC ，连结PC ，则BP=PC ， 可转化为证PC 2=P E ·PF ，这样，只需证△PC E ∽△PFC 即可。 (2)平移法 例2、如图2，在梯形ABCD 中,，AD ∥BC ，对角线 A C ⊥BD 于点O ，且AC=5cm ，BD=12cm ， 则梯形的中位线等于 。（2007年天津市中考题） 分析：对角线A C 、BD 比较分散， 故此，考虑将其中的一条对角线平移 到梯形外，见图2，这样，对角线A C 、 BD 集中在一个Rt △ＢＤＥ中。 答案：6．5cm 。 （3）中心对称法（亦称中线加倍法） 例3、如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB=8，AC=6，则AD 的取值范围是 。 分析：考虑到D 是BC 边的中点，因此， 作出△ABD 关于点D 的中心对称△ECD ， 将AB 、AC 集中在△ACE 中。答案：1＜AD ＜7。 2、等角替换法 例4、在△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 边 上的高，若AB ：BC=13：10，则tanCBD = 。 分析：求tanCBD 的值，而∠CBD 的对边与 邻边都是未知的，此时，根据同一角的正切 三角函数值相等，用一个和它相等的角去替换， 问题就解决了。 解：如图4，作A E ⊥BC 于点E ，则BE=CE 。∵BD 是 AC 边上的高，∴∠CBD=∠CAE 。在Rt △ACE 中，设AC=13k ， CE=5k ，则AE=12k ，tanCBD=tanCAE= 512。 3、全等形替换法 例5、已知：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ：A ′B ′=AC ： A ′C ′=BC ： B ′ C ′，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′。 分析：这是教材中相似的判定定理，它是在学了预备定理（平行于三角形一边的直线截其
幂的运算总结及方法归纳
幂的运算 一、知识网络归纳 二、学习重难点 学习本章需关注的几个问题： ●在运用n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n a a 1 = -（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。 ◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。 ◆注意上述各式的逆向应用。如计算20052004425.0?，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004?，再逆用积的乘方法则计算 11)425.0(425.02004200420042004==?=?，由此不难得到结果为1。 ◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘
法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。 ◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。 一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：() m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1：计算列下列各题 （1） 3 4 a a ?； （2） 2 3 b b b ?? ； （3）
四、代换法解题 知识点拨： 代换法是解答数学题非常有效的方法。有些应用题问题较复杂或存在两个及两个以上的未知条件，我们可以根据知识间的内在联系，恰当地转化题中的数量关系，把一种条件转化成另一种条件，也可以把一种问题转化成另一种问题，往往能使题目化难为易。这种方法经常与其他解题方法巧妙结合于解题过程中。 精讲精练： 例1：3个苹果的重量加1个梨的重量等于10个橘子的重量，6个橘子 的重量加1个苹果的重量等于1个梨的重量，那么1个梨的重量等于几个橘子的重量？ 练习： 1、一个菠萝的重量等于二个苹果的重量，也等于三个香蕉的重量，还等于一个苹果加一个香蕉和一个桃的重量。那么一个菠萝等于多少个桃的重量？ 2、20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛。那么5头牛可换几只兔？
例2：一批货物，如果用大卡车装运需要20辆，如果用小卡车装运需要25辆，已知大卡车比小卡车每辆多装2吨，求这批货物有多少吨？ 练习： 1、修一条公路，计划15天修完，由于修路队每天少修2.5米，结果20 天才完成任务，实际每天修多少米？ 2、小红做寒假作业,原计划每天做6道,可以在开学前做完.实际每天做 10道,结果提前4天完成.寒假作业一共有多少道? 例3:幼儿园买活动用品,5个小足球和18个小篮球总价396元,已知1个 小足球和3个小篮球价钱相等.求每个小足球和每个小篮球的单价各是多少元? 练习： 1、新星小学买2张办公桌和6把椅子，共用252元，1张桌子的价钱是 一把椅子价钱的3倍。一张桌子和一把椅子的价钱各是多少元？
2、买8个书包和6个文具盒，共计312元，已知5个文具盒的价钱等于 2个书包的价钱。求两种物品的单价各是多少？ 例4：甲、乙、丙三人加工一批机器零件，已知甲1小时的工作量乙要 做2小时，而乙4小时的工作量丙要做5小时，现在甲做了8小时，乙做了12小时，丙做了10小时，三人一共做了1080个零件，求他们每小时的工作量各是多少？ 练习： 1、学校买来大、中、小三种跳绳共用600元，其中大跳绳50根，中跳绳60根，小跳绳60根。已知1根大跳绳可换2根中跳绳，4根中跳绳可换6根小跳绳。求每一种跳绳单价各是多少元？ 2、新化小区的三家住户一次性为灾区捐款2700元，李家比王家少捐250元，王家比张家多捐80元，三家各捐款多少元？
幂的运算 知识点归纳及典型题练习 【知识方法归纳】 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂：底数相同的幂。如：32与52或32)(b a 与52)(b a 等 同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=? ，即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 【典型例题】 1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ） A ．22015 B ．22007 C ．－2 D ．－22008 2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m － 1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数． 知识点2 逆用同底数幂的法则 逆用法则为：n m n m a a a ?=+（m 、n 都是正整数） 即指数相加，幂相乘。 【典型例题】1．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ． （2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；（3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n+m ．
知识点3 幂的乘方的意义及运算法则（重点） 幂的乘方指几个相同的幂相乘。 幂的乘方的法则：()m n mn a a = (m 、n 是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘 逆用法则为：m n ）（）（n m mn a a a ==（m 、n 都是正整数） 即指数相乘，幂乘方。 【典型例题】 1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ） A ．0 B ．2a 10 C ．-2a 10 D ．2a 7 2．下列各式成立的是（ ） A ．（a 3）x =（a x ）3 B ．（a n ）3=a n+3 C ．（a+b ）3=a 2+b 2 D ．（-a ）m =-a m 3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．已知x 2+3x+5的值为7，那么3x 2+9x-2的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 6.计算： （1）233342)(a a a a a +?+? （2）22442)()(2a a a ?+? 知识点4 积的乘方意义及运算法则 积的乘方指底数是乘积的形式的乘方。 积的乘方运算法则：()n n n ab a b = (n 是正整数) 即：积的乘方，等于各因式乘方的积。 逆用法则为：n n a a ）（b b n = ?（m 、n 都是正整数） 即指数相同，底相乘。 注：三个或者三个以上因数的积得乘方，也具备这一性质。 【典型例题】 1．化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。 2．( )5=(8×8×8×8×8)(a·a·a·a·a) 3．如果a≠b ，且(a p )3·b p+q =a 9b 5 成立，则p=______________，q=__________________。 4．若()() b a b a b a m n n m 5321221=-++，则m+n 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．-3 5．()23220032232312??? ??-?-???? ??--y x y x 的结果等于（ ）
学生做题前请先回答以下问题 问题1：降幂法整体代入： ①对比已知及所求，将已知中__________或__________当作整体； ②__________，找到整体，进行代入； ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． 问题2：单项式×单项式：_____乘以_____，______乘以_____． 单项式÷单项式：_____除以_____，_____除以_____． 问题3：单项式×多项式：根据________________，转化为_________． 多项式×多项式：根据________________，转化为_________． 问题4：多项式÷单项式：借用____________，转化为_________． 幂的运算及整体代入（整体代入一）（人教版）一、单选题(共9道，每道11分) 1.已知，则的值是( ) A.0 B. C.4 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入 2.若，则的值为( ) A.4 B.2 C.8 D.1 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入 3.若，则代数式的值为( ) A.6 B.3 C.-3 D.-6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：整体代入
4.若，则的值为( ) A.-64 B.-24 C.24 D.64 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：整体代入 5.已知，则的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入 6.若，则以上横线处依次所填正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：整式的乘除 7.若，则以上横线处依次所填正确的是( )
数学解题方法与技巧 一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y 或者把题中某一变量如x ，用新变量t 的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y 或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y 或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。 例1 分解因式：(x 2-x-3)(x 2-x-5)-3 例2 在实数集上解方程：4141433=-++x x 例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy 的取值范围. 例4 设x,y ∈R ，且14 22 =+y x ，求函数f(x,y)=x 2+2xy+y 2+x+2y 的最小值和最大值。 二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。 例1 解方程组： 11 514=+--y x x+1=y x-y-z=6 例2 解方程组： y-z-x=0 z-x-y= -12 例3、设a,b,c 均为不等于1的正数，若 a x =b y =c z ① 0111=++z y x ② 求证： abc=1