证明等积式的等量代换法
姓名
一.等线代换
例1.（1997年吉林）已知，如图，⊿ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点F是AD 上一点，过C点作C G∥AB交BF的延长线于点G,BG交AG于点E.求证：BF2=FE·FG
二.等比代换
中，点E是AD延长线上一点，连结BE交AC于点F，交例2. 已知，如图，在ABCD
CD于点G。求证：FB2=F G·FE
三.等积代换
例3.已知，如图，A D、BE是⊿ABC的高线，D F⊥AB,垂足为F，A C、FD的延长线交于H，
B E、FD的交点为G。求证:FD2=F H·FG
练习：
1.（1997年河北）已知，如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P,
点E 为⊙O 上一点， AE AC ,DE 交AB 于点F 。
求证：P F ·PO=PA ·PB
2.(1997年重庆改编)已知，如图，⊿PCD 是等边三角形，∠APB=1200,
求证:CD 2=AC ·BD
3.(1997年南京)已知：如图，在⊿ABC 的外接圆中，D 是 BC
的中点，AD 交BC 于点E ， ∠ABC 的平分线交AD 于点F 。
(1) 若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并逐一写出；
（2）求证：FD 2=AD ·ED
4.(1999年内蒙古)如图，已知⊿ABC的∠BAC平分线AD的中垂线(垂直平分线)交BC的延长线于F. 求证:FD2=FB·FC
等量代换法习题 练习一： 1、如果1个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃的重量。问一个梨的重量等于几个桃的重量？ 2、如果1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，同时又等2根香蕉的重量。问一根香蕉的重量等于几个苹果的重量？ 3、如果1个足球相当于2个排球的重量，一个排球相当于20个乒乓球的重量，假设一个乒乓球重8克，那么一个足球重多少克？ 4、1只猴子等于2只兔子的重量，1只兔子的重量等于3只小鸡的重量。已知每只小鸡重200克。1只猴子重多少克？ 练习二： 1、1只兔子的重量＋1只猴子的重量＝8只鸡的重量 3只兔子的重量＝9只鸡的重量 1只猴子的重量＝（）只鸡的重量 2、1只松鼠的重量＋1只兔子的重量＝5只鸭的重量
2只松鼠的重量＝6只鸭的重量 1只兔子的重量＝（）只鸭的重量 3、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？ 4、20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 5、2头小猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？ 练习三： 1、1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＝630克 1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝730克 1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个梨的重量＝330克 1个苹果的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝800克 求这四种水果各多少克？ 2、1只鸡的重量＋1只猴的重量＝15千克 1只鸭的重量＋1只猴的重量＝18千克 1只鸡的重量＋1只鸭的重量＝13千克 求这三种动物各多少千克？ 3、1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量＝90千克 1筐香蕉的重量＋1筐橘子的重量＝140千克 1筐苹果的重量＋1筐香蕉的重量＝150千克 求这三种水果各多少千克/ 4、红气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝35只 白气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝43只 红气球的个数＋白气球的个数＋绿气球的个数＝33只 红气球的个数＋蓝气球的个数＋白气球的个数＝48只 求这四种气球各有多少只？ 1、3包巧克力的价钱等于两袋糖的价钱，12袋牛肉干的价钱等于3包巧克力的价钱，一袋糖的价钱等于几 袋牛肉干的价钱？ 2、一只小猪的重量等于8只鸡的重量，4只鸡的重量等于6只鸭的重量。2只鸭的重量等于6条鱼的重量。 问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 3、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根 香蕉的重量？
专题：比例式、等积式的常见证明方法 ◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG . (1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF . 2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F . (1)若FD ＝2FB ，求FD FC 的值； (2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值． ◆类型二 利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证： AB AE ＝AC AD . ◆类型三 找中间比利用等积式代换 4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE . 参考答案与解析 1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F
＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，???? ?AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝ ∠DCG ，AG ＝CG . (2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG ，∴AG 2＝GE ·GF . 2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2. (2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝????BD CD 2＝14， 即S △BDC S △FDC ＝3 4 .∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD . 4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴ CE BE ＝AE CE ，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AE DE ，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .
《等量代换》三年级数学下册教学设计教学目标： 知识目标：使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。 能力目标：培养学生的推理能力和语言表达能力，发展学生的思维；借助简洁的图示或文字使学生理清数量关系，帮助其推理。 情感目标：渗透美育思想，培养学生有序地、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。 教学重点：使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。 教学难点：能够解决等量代换相关的实际问题。 教学方法：讲授法、小组合作交流。 教学用具：多媒体课件 教学过程： 1.创设情境、提出问题 师:（出示曹冲的图片）同学们，大家知道曹冲称象的故事吗？生：知道。 师：在这个故事里，曹冲是用什么方法得出了大象的体重？他为什么用这种方法？用其他的方法行吗？请大家带着这些问题，再来回顾一下这个故事。（播放Flash动画） 生1：他先称一下大象的重量，并在船上作一个记号；再放上石头直到船沉到记号处，然后称出石头的重量，就得到了大象的重量。 师：可是，曹冲为什么用这种方法来称象呢？ 生：古代没有这么大的称，只好用这种方法，主要是因为这些石头的重量和大象相等。
师：也就是因为它们的重量相等，曹冲才可以把大象的体重等量成石头的重量。再多一块石头可以吗？为什么？ 生：不行，再多一块石头或者少一块石头，它们两者之间的重量就不相等了。 师：是呀，只因为他们之间存在着相等的关系，所以，当我们无法直接获得大象的重量时，就可以通过称石头的重量的方法来获得。这种方法就是数学上常用到的“等量代换”。（板书：等量代换） 2.知识新授 （1）生活举例。 师：请大家仔细想想，在生活中你用过这种数学方法跟别人换东西吗？举个例子。生1：我们平时做作业时，如果得5个优+，就可以换一朵小红花。 师：那10个优+，可以换几朵xx？ 生：2朵。 师：反过来，我想换3朵小红花，需要得几个优+，为什么？ 生：15个，因为3×5=15（个）。 生2：有一次，妈妈给我买了一顶帽子，回家后感到不满意，就回去换了一顶价钱相等的帽子。 师：其他同学在生活中碰到过这样的例子吗？ 生：有。 师：那我们换到的东西跟我们原来的东西，在哪些方面存在着相等的关系？生：价钱是相等的。 师：可是如果碰到我们原有物品的价格比要换的东西的价格高或低这样的情况时，怎么办？
第八课时：等量代换法 知识点 1、等量代换的思想：相等的量可以互相代替。 2、运用等量代换法来解决生活中的实际问题。 3、在解决等量代换数学问题的过程中，初步体会等量代换数学题的思想方法。 教学目标 1．使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。 2．培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。 3、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌。 4、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。 教学内容 【典型例题】 例1、1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重。 1匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克？ 解题策略： 1匹马的体重是320千克，10匹马的体重就是320×10＝3200(千克) ，这也就是１只大象的体重。又知１只河马的体重等于2只大象的体重，用2只大象的体重代替1只河马，则这只河马体重是3200×2＝6400(千克) 【画龙点睛】 也可以这样想：1只大象的体重是10匹马的体重，即2只大象的体重就等于2个10匹马的体重，即20匹马的体重，因为2只大象的体重与1只河马的体重相等，所以1只河马的体重就是20匹马的体重。320×（2×10）＝6400(千克) 【举一反三】 1、已知1个=3个, 1个=5个。那么1个=（）个 2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。求△＝？□＝？ 3、一只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和。那么1只菠萝等于几只苹果的重量？ 4、一条鱼，鱼头重9千克，?ㄊ??鰊头重量等于鱼身一半加鱼尾的重量，而鱼身的重量等于鱼头加鱼尾的重量。问：这条鱼重几千克？ 同步练习
证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积
的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法 ——直接法、间接法—网搜罗类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．(虹口区模拟)如图，在△ABC中，△C＝90°，AD是△CAB的平分线，BE△AE，垂足为点E，求证：BE2＝DE·AE. 证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠C＝90°，AE⊥BE，∴∠ADC＋∠CAD ＝∠BDE＋∠DBE.∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE， ∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴BE DE＝AE BE，∴BE2＝DE·AE. 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且△BAC＝ △BDC＝△DAE.求证：AB AC＝AE AD. 证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠BDC，∠BF A＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BF A＝180°－∠BDC－∠CFD， 即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴AB AC＝AE AD. 证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝ ∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴AB AC＝AE AD.
3．如图，在△ABCD 中，AM △BC ，AN △CD ，M ，N 分别为垂足．求证：AM AB ＝MN AC . 证明：在?ABCD 中，∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，又∵∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴ AM AN ＝AB AD ＝AB BC .又∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB .∴∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠MAN ，∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MN AC . 类型二：利用等线段代换证明 4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，△ADB ＝△ACB .求证： AB AE ＝AC AD . 证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AC ＝AE AB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD . 5．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F .求证：DE 2＝BE ·CE . 证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC ，∴AE CE ＝BE AE ，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .
比例式与等积式 一、知识点分析： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 二、典例解析： 例1、如图，△ABC三内角平分线交于点D，过点D引DE⊥AO，分别交AB、AC于点D、E．求证：△BOD∽△BCO∽△OCE． 【随堂练习】 △ABC中，∠1=∠2=∠3，图中有相似三角形吗？请说明理由．
如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF ∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？ 例3、如图，已知：AP2=AQ?AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC． 例4、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
如图所示，已知Rt△ABC（AC＞BC）的斜边AB的中点D，过D作斜边的垂线交AC于E，交BC延长线于F，求证：DC2=DE·DF。 【随堂练习】 已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE． （1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC?AD=DE?AC．
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法 ——直接法、间接法一网搜罗 ◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. (1)若FD＝2FB，求 FD FC的值； (2)若AC＝215，BC＝15，求S△FDC的值．
◆类型二利用等线段代换 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB ＝∠ACB.求证： AB AE ＝ AC AD. ◆类型三找中间比利用等积式代换 4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.
参考答案与解析 1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F ＝∠FCD.在△ADG与△CDG中， ?? ? ?? AD＝CD， ∠ADG＝∠CDG， DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝ ∠DCG，AG＝CG. (2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴ AG FG＝ EG AG，∴AG 2＝GE·GF. 2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2. (2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝15∶215＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝53，∴ S△BDC S△BCA ＝ BC2 AB2＝ 1 5，∴S△BDC＝ 1 5× 1 2×215×15＝3.∵△BDF∽△DCF，∴ S△FBD S△FDC ＝???? BD CD 2 ＝ 1 4，即 S△BDC S△FDC ＝ 3 4.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4. 3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴ AB AE＝ AC AB.又∵AB＝AD，∴ AB AE＝ AC AD. 4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴ CE BE＝ AE CE，∴CE 2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴ PE BE＝ AE DE，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE 2＝PE·DE.
九、数学广角 简单的等量代换 [教学目标] 1．知识与技能： 能根据已知条件寻找事物之间的相互等量关系，并能从中发现规律，获得结论。 2．过程与方法： （1）通过看一看、说一说、摆一摆等活动，培养学生的观察能力及初步的逻辑推理能力和语言表达能力； （2）通过对实验图的观察与分析，培养学生运用等量代换的数学思想解决一些简单的实际问题的能力。 3．情感、态度与价值观： 感受数学的价值和等量代换的数学思想。 [重点难点] 1．教学重点： 通过对实验图的观察和分析，学会根据已知条件寻找事物之间的相互等量关系，从中发现规律，获得结论。 2．教学难点： 事物之间等量代换关系的发现。 [教学过程] 一、创设情境，激发学生学习兴趣 1．出示大象的图片。
师：如果要称一称这头大象有多重，你会选择什么样的工具？怎么称？ （学生可能会联想到“曹冲称象”这个故事，说出曹冲称象的方法。） 2．播放“曹冲称象”动画片。 师：边看边思考，曹冲是如何称出大象的体重的？ 师：曹冲称象的这种解决问题的方法，在我们一会的数学学习中也会用得到。 [设计意图：根据儿童的年龄特点和已有的生活经验，由儿童喜闻乐见的故事引入，抓住了童心，激发了兴趣，使学生不知不觉地参与到学习新知的过程中。] 二、探究思考，合理推理 1．引导学生发现问题，合作探究解决方案。 出示天平的图片。 师：它叫什么？有什么用途？ （天平是称物体重量的一种工具，当天平平衡时，左右两边的物体一样重。我们可以从已知一种物体的重量来算出另一种物体的重量。） （1）称西瓜。 师：一个西瓜多重？你是怎么知道的？ 师说明：当天平平衡时，左右两边的物体一样重，所以西瓜重 4 千克。 （2）称苹果。 课件：4 个苹果的重＝1 千克
小学数学六下《等量代换和简单的几何证明复习课》教案 一、教学目标 （一）知识与技能 体会一些数学思想方法在解决问题中的作用，灵活掌握一些数学思想和数学方法，会灵活运用这些方法解决生活中的问题。 （二）过程与方法 引导学生经历并理解推理的过程，进一步发展解决问题的能力。 （三）情感态度和价值观 感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。 二、教学重难点 引导学生经历并理解推理的过程，进一步发展解决问题的能力。 三、教学准备 多媒体课件。 四、教学过程 （一）复习引入 上一节课我们学习了什么内容？（预设：找规律和列表推理，课件出示相关内容）今天这节课，一起来学习例3和例4，继续享受由数学思考带来的“思维盛宴”。 （二）自主探索 1．教学例3。 课件出示题目：△、□、○、☆、◎各代表一个数。 （1）已知△+□=24，△=□+□+□。求△和□的值。
教师：你能解决这道题吗？请在草稿本上试一试。 学生练习，指名回答。 预设：△=18，□=6。 教师追问：你是怎么想的？ 预设：因为一个△等于3个□，可以把第一个算式中的△换成三个□。这样，第一个算式就转化成了4个□相加等于24，□就等于6。接下来求△，用6×3=18就行了。 教师：大家听懂这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的是哪一步？（预设：把第一个算式中的△换成3个□）这样的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。 该怎样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看（课件出示）。 我们再来看第（2）小题：已知○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？ 想一想，你的结论是什么？（相等）能用什么方法证明你的结论呢？ 预设：两个等式中都有☆，只要把☆分别减去就可以知道○和◎是相等的。 教师追问：把☆分别减去的依据是什么？
《等量代换》教学设计 教材内容分析： 本节课内容是义务教育课程标准实验教科书三年级下册第109页例2的一节课，使学生初步体会等量代换的数学思想方法。等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a＝b,b＝c,那么a＝c。 等量代换的思想在教材中是第一次出现，也是学生第一次接触，而它又是一个非常抽象、非常难以理解的内容，它需要学生有一定的思维能力。等量代换的思想也是数学知识里一个非常重要的内容，在学生今后的学习当中经常要用到。教学中，通过解决一些简单的问题，使学生初步体会等量代换的思想方法，为以后学习简单的代数知识做准备。等量代换的理论是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里，只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这种思想方法，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。 教学目标： （1）使学生理解等量代换的意义，能根据实物代换，计算物体的数量，在解决实际问题的过程中，掌握等量代换的方法，体会等量代换的思想。 （2）通过培养学生的推理能力和语言表达能力，发展学生的思维。 （3）体会数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣，培养学生学习数学的自信心。 教学重点：利用天平或跷跷板的原理，使学生在解决实际问题的过程中初步体会等量代换的思想方法，为以后学习代数知识做准备。 教学难点:使学生学会运用等量代换这一数学思想方法来解决一些简单的实际问题或数学问题。 一、创设情景，引入新知 师：在上课之前，老师给大家布置了一项任务，要你们回家问问自己的父母是怎么认识的。我来统计一下，你们的父母有没有是经他人介绍认识的？请举手。生：由他人介绍认识的举手 师：你的父母是由谁介绍的？ 生：（并点三名学生起来回来）是我隔壁的邻居。 生：是我妈妈的同学。 生：是李大婶。 师：那么你们知道给这些人有一个特定的称谓，你们知道是什么吗？ 生：媒婆，红娘，介绍人（点二三个学生起来说说） 师：很好。在我们日常生活中，对这些李大婶、张大娘这样的介绍人传统的叫做红娘。但是我们现在把他们叫做——中介。 师：正是由于这些中介才得以使你们的父母相识相知，请你们对你们父母的介绍人说一句感谢的话。 生：我要谢谢李大叔，如果没有他，我的爸爸妈妈就不可能认识，就不可能组成家庭，就不可能有我了。 生：……. 生：…… 师：很好。有一对新婚夫妇通过介绍人认识了之后就成了家，新娘很想吃西瓜，
“千课万人”全国小学数学生本课堂教学研讨观摩课 2009年4月 T：你知道什么？ S：一只小猪=2只小狗一只小狗=3只小兔 T：我们把这种关系叫“等量”（板书：等量） T：你还能知道什么？ S：一只小猪的重量等于6只小兔的重量 T：怎么知道的？ S：一只猪的重量等于2只狗的重量，而1只狗的重量等于3只小兔的重量， 2只狗就等于6只小兔的重量，1只小猪的重量等于6只小兔的重量。 T：同学们，刚刚用到的方法，在我们数学上就“等量代换”（板书：代换）。出示课题：等量代换 T：“换”是什么意思？ S1：一只小狗用3只小兔换 S2：一只小狗用3只小兔换，小猪等于6只小兔的重量。 二、故事引入，明确感知等量代换的实际应用 1、曹冲称象故事。 T：说起等量代换，大家其实并不陌生，而且同学们也对它有了一定了解。距今1700年前就有一个聪明的小朋友用这种方法解决了当时连大人也没能解决的问题，知道这个故事的名字吗？ 一生简要叙述曹冲称象故事 T：小女孩很镇静地把故事娓娓道来，讲得多好。明明要称大象的体重，后来称的什么？ S：石头 T：他怎么知道石头和大象一样重呢？（一生讲） T：总之，他们用的是什么方法？（等量代换） 三、动手操作，探究等量代换的基本策略 T：回到古代，古代没有货币，是怎么买东西呢？ S：以物换物 T：听说过吗？ 1、课件出示图： （1）T：一头牛能换几只羊？（2）学生书写思考过程 T：看谁把自己的想法清楚明白地写出来，让我们大家能很容易地就看 “千课万人”全国小学数学生本课堂教学研讨观摩课 2009年4月 懂了。怎么想就怎么写，一会儿我们一起进行交流。学生书写思考过程，师巡视学生的写法。（挑选3名学生）
比例式、等积式证明的常用方法 一、三点定形法 例1 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于D ，E 为AC 的中点，ED 的延 长线交CB 的延长线于点P ，求证：PC PB PD ?=2 例 2 如图，在ABC ?中，AC AB ⊥，D 为BC 中点，BC DE ⊥交AC 于F ，交BA 延长线于E . 求证：DF DE AD ?=2 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： 1．先把等积式转化为比例式； 2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形； 3．再找这两个三角形相似所需的条件. 二、找相等的量（比、线段、等积式）替换 1、等线段替换 例１ 已知等腰ABC ?中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AB CG //，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ，求证：EG EF BE ?=2 1 D F A B C E 2
例2 如图，在ABC ?中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，BC EG ⊥于G ，L 是AF 的中点.求证：DL EG CD ?=2 2、等比替换 例３ 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ， 求证：.2OE OC OA ?= 例４ 如图，在ABC ?中，AC AB ⊥，BC AD ⊥，E 为AC 中点，ED 延长线交AB 延长线于F . 求证：DF AC AF AB ?=?
3、等积替换 例 5 如图，在ABC ?中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：EH EG DE ?=2. 例６ 如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上取一点P ，连结AP ，AP BG ⊥垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ?=2． 注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果. 三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化 例１ 已知在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且 AD AF 41=，CF EG ⊥，垂足为G ，求证：FG CG EG ?=2. A B C H D G E F
小专题(十) 等积式与比例式的证明 方法1 三点定型法 要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形． 1．已知：如图，∠ABC ＝∠ADE.求证：AB ·AE ＝AC ·AD. 2．(滨州中考)如图，△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC 交AC 于D.求证：AB ·BC ＝AC ·BD. 方法2 等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形． 3．已知：如图，?ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，DE 交AB 于F.求证：AD ·AB ＝AF ·CE. 4．如图，在△ABC 中，点D ，E 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC ＝120°，求证：DE 2 ＝BD ·CE. 5．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点．求证：PB 2 ＝PE ·PF. 方法3 等比代换法(找中间比) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡． 6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P.求证：DP BQ ＝PE QC .
7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AC 的中点，ED 、CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BC AC . 8．(选做)如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，交边AC 于点G ，连接CF. (1)求证：AE AC ＝EG CG ； (2)如果CF 2 ＝FG ·FB ，求证：CG ·CE ＝BC ·DE. 方法4 等积代换法(找中间积) 常用到基本图形的结论找中间积． 9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC. 10．(崇明中考)如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且∠BAD ＝∠BGD ＝∠C ，连接AG ，求证：BG AB ＝AB BE . 11．如图，在△ABC 中，AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 的延长线 于H ，求证：DE 2 ＝EG ·EH.
等量代换 教学内容：数学诊断思维训练 教学目标 1、知识与技能：通过画一画、摆一摆、说一说和算一算等活动，使学生在解决问题的过程中体会等量代换的思想,学会根据已知信息寻找事物间的等量关系,能解决日常生活中常见的简单问题。 2、过程与方法：通过学生动手实践、观察、思考、猜想、分析等过程，从中认识到“换”是按一定规则进行的，解决问题时应找出这个代换的规则。初步体会等量代换的数学思想，帮助学生了解等量代换的方法，会解决类似问题，提高学生解决问题的能力。 3、情感态度价值观：让学生初步体验等量代换给人们生产，生活带来的便利和现实价值，并通过教学活动增强合作意识和竞争意识，感受用数学的乐趣，享受成功的喜悦。 教学重点、难点与关键 教学重点：利用天平或跷跷板的原理，使学生理解等量代换的原则与算理，掌握解决等量代换问题的基本方法，能正确解决实际问题，为以后学习代数知识做准备。 教学难点：能在解决问题的过程中理清各数量之间的关系，并利用每两个量之间的相等关系，建立可传递的多个等式，从而解决等量代换问题。 教学关键：通过图文并茂、动画演示、动手操作等实践活动帮助学生理解量与量之间的关系。
教、学具准备 多媒体课件、磁性贴片苹果若干个，一个西瓜，砝码若干个等。 教学过程 一、观看片段，情景导入 1、同学们，你们听过《曹冲称象》的故事吗？（听过） 我们一起来看看曹冲是用什么办法称出了大象的重量的。 （出示课件：《曹冲称象》的片段） 2、师：为什么曹冲称出了石头的重量也就知道了大象的重量？ 3、生：因为石头和大象的重量是相等的。 4、师：是呀！因为当时没有那么大的秤能直接称出大象的重量，所以聪明的曹冲就用称石头重量的方法来代换大象的重量，这里蕴含着一种重要的数学思想，叫着等量代换（板书课题），我们在“代换”的过程中要注意到相等关系的量！等量代换的例子在生活中有很多，比如说：一个一元的硬币可以换两个五角的硬币，一盒3元牛奶可换3瓶一元矿泉水等等。今天这节课我们就来学习等量代换的有关知识。[设计意图：借助学生熟悉的历史故事，建构了数学模型，使等量代换这个抽象的数学思想方法，变为学生自己可感受的形式呈现出来，感知等量代换在解决实际问题时存在的价值。] 二、自主探究，获取新知 师：我这儿有几个问题，想请我们班的小朋友开动脑筋，帮帮我，可以吗？ 1、教学思维训练，初步感知
比例式、等积式证明的常用方法 一、三点定形法 例1如图，在Rt △ ABC 中， ACB 90 ° , CD AB 于D , E 为AC 的中点，ED 的延 长线交CB 的延长线于点P ,求证：PD 2 PB PC 例2如图，在 ABC 中，AB AC , D 为BC 中点, 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： 1.先把等积式转化为比例式； 2 .观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形; 3 .再找这两个三角形相似所需的条件 . 二、找相等的量（比、线段、等积式）替换 1等线段替换 例1 已知等腰 ABC 中，AB AC , AD BC 于D , 于 E 、F ，求证：BE 2 EF EG 长线于E .求证：AD 2 DE DF DE BC 交AC 于F ，交BA 延 CG//AB ，BG 分别交 AD 、AC
例2如图，在ABC中，AB AC , AD BC 于D , BE AC 于E , EG BC 于G , L是AF的中点.求证：CD2EG DL 2、等比替换 例3 求证: 已知梯形ABCD中，AB/ OA2 OC OE. CD , AC、BD交于点O, BE// AD交AC的延长线于点E, S' / AC , AD 长线于F .求证：AB AF AC DF 如图，在ABC中，AB BC , E为AC中点, ED延长线交AB延
3、等积替换 例5如图，在 ABC 中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ,交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：DE 2 EG EH . 例6如图，已知 CE 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，在 EC 的延长线上取一点 P ,连结AP , BG AP 垂足为G ,交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE ? P / / / ■- 2 注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可 以用相等的比、 等积式来替换相应的量， 明又一村”的效果. 三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化 1 例1 已知在正方形 ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且 AF - AD 4 相等的线段、相等的 把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花
M H F D C B A 相似三角形的判定——等积式、比例式证明技巧导学单 一、预备知识: １、“双垂直”指:“Ｒt△ABC中,∠BCA=900，CD⊥AＢ于D”， 结论: (1)△AＤC∽△ＣDＢ∽△AＣB （２)由△ADC∽△ＣDＢ得CD2=AD·BD （3)由△ＡDC∽△ＡCＢ得AC2=AD·ＡB (4)由△CDB∽△ACB得BC２=BD·AB （5）由面积得ＡＣ·BC=ＡＢ·CD （６)勾股定理…… 二、等积式、比例式证明的一般技巧 相关题：如图，M是平行四边形ABCＤ的对角线ＢD上的一点，射线AM 交BC于F,交DC的延长线于点H。求证：AM２=MＦ·MH 思路:根据基本图形寻找“中间比” (一)遇到等积式(或比例式)时,直接利用“左看、右看、上看、下看”,看是否能找到相似三角形。 1、已知:如图,△ABＣ中,DA平分∠BＡＣ＝,CD=CE。求证：ＡB·AＥ＝AＣ·AＤ。 策略1:先把等积式转化为比例式;再观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;最后找这两个三角形相似所需的条件. (二)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似。如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。 2.如图,已知:在△ＡBC中，∠BAＣ＝９00，ＡＤ⊥ＢＣ,E是AＣ的中点,ED交AB的延长线于Ｆ。求证: 。 A E D C B
F 策略2：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似,可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路,柳暗花明又一村”的效果． （三)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换. 3、如图,⊿ＡBC 中,AB ＝ＡC ，ＡD 是中线，P 是AD 上一点,过Ｃ作ＣF ∥AB 交ＢＰ延长线于F,求证:ＢP 2=ＰＥ·PF. 若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角不相似，也没有等线段代换或等比代换.则需要添加适当的辅助
《等量代换和简单的几何证明复习课》教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能 体会一些数学思想方法在解决问题中的作用，灵活把握一些数学思想和数学方法，会灵活运用这些方法解决生活中的问题。 （二）过程与方法 引导学生经历并明白得推理的过程，进一步进展解决问题的能力。 （三）情感态度和价值观 感受数学的魅力，增强数学学习的爱好。 二、教学重难点 引导学生经历并明白得推理的过程，进一步进展解决问题的能力。 三、教学预备 多媒体课件。 四、教学过程 （一）复习引入 上一节课我们学习了什么内容？（预设：找规律和列表推理，课件出示相关内容）今天这节课，一起来学习例3和例4，连续享受由数学摸索带来的“思维盛宴”。 （二）自主探究 1．教学例3。 课件出示题目：△、□、○、☆、◎各代表一个数。 （1）已知△+□=24，△=□+□+□。求△和□的值。 教师：你能解决这道题吗？请在草稿本上试一试。 学生练习，指名回答。 预设：△=18，□=6。 教师追问：你是如何想的？ 预设：因为一个△等于3个□，能够把第一个算式中的△换成三个□。如此，第一个算式就转化成了4个□相加等于24，□就等于6。接下来求△，用6×3=18就行了。 教师：大伙儿听明白这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的是哪一步？（预设：把第一个算式中的△换成3个□）如此的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。 该如何样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看（课件出示）。 【设计意图】学生有能力独立解决这一问题，应让学生把代换的过程（思路）讲清晰，通过教师的提问明白得关键步骤是该环节的教学重点。在解题过程的表述上，充分发挥教师的引领作用，通过多媒体课件逐步出现过程，使学生体会数学证明的方法，感受数学语言的严谨性。 我们再来看第（2）小题：已知○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？ 想一想，你的结论是什么？（相等）能用什么方法证明你的结论呢？ 预设：两个等式中都有☆，只要把☆分别减去就能够明白○和◎是相等的。 教师追问：把☆分别减去的依据是什么？ 预设：等式的性质：在等式的左右两边同时减去一个数，两边依旧相等。 教师：你能用第（1）题的方法表述那个过程吗？ 学生练习，教师强调每一步都要写清晰依据。
相似三角形的判定 分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题： 一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明: 困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 字母，就可找岀相似三角形。 /F 就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明）提示：D 为直角三角形斜边 AB 的中点，所以AD=DC,则/ DCE 2 A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或 等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 相似三角形的知识与圆有着密切的联系, 所以我们一定要把这部分知识学好， 为学习圆这部 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。 因为这种问题变化很多，同学们常常感到 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式, 在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的 因为/ CDE 是公共角，只需证明/ DCE= 例 求证: 分 △ EDC 这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。
例2.如图，已知△ ABC中，AB=AC AD是BC边上的中线, 于E点。 求证：B P=PE- PF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形, 他方法，因为AB=AC D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连 结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC只需证明^ PEC^A PCF,问题就能解决了。 证明：连结PC 在^ ABC中，??? AB=AC D 为BC中点, ??? AD垂直平分BC, ??? PB=PC ???/ 1 = / 2, ??? AB=AC ???/ ABC=/ ACB ???/ ABC-/ 1 = / ACB-/ 2, ???/ 3=/ 4, ?/ CF/ AB,.../ 3= / F, ?/ 4=/ F, 又???/ EPC=/CPE ?△PCE^A PFC CF// BA, BF 交AD于P 点，交AC 所以必须考虑等线段代换等其