基本体及其截断
教学目标
1．掌握平面立体的投影特征，三视图画法及表面取点。
2．掌握回转体的投影特征，三视图画法及表面取点。
3．了解截交线的概念、性质，掌握求作截交线的基本方法。
4．掌握基本体和截断体的尺寸标注。
4.2 平面与立体相交
截断体：形体被平面截断后分成两部分，
每部分均称为截断体。
截平面 —— 用来截断形体的平面。
截交线 —— 截平面与立体表面的交线
截断面 —— 由交线围成的平面图形。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
4.2.1 平面体的截交
★ 平面体截交线的性质：
平面立体的截交线一定是一个封闭的平面多边形，多边形的各顶点是截
平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条棱，那么截交线就是几边形。 截交线是截平面与立体表面的共有线。
★ 求平面体截交线的实质：
求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面的交线，然后依
次连接而得。
截交线
截断体
截断面
★ 求截交线的步骤：
1. 空间及投影分析
分析截平面与体的相对位置
2. 画出截交线的投影 依次连接各顶点成多边形，
3. 完善轮廓。
一、 棱柱的截断
例1：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。
1 2 3 4 5
例2：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。
二、棱锥的截断
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4.2.2 曲面体的截交
(1) 曲面体截交线的性质：
?截交线是截平面与回转体表面的共有线。
?截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
?截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。
(2) 求曲面体截交线的实质：
?求截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次光滑连接。
例1：圆柱被正垂面截断，求作其视图
一、分析:截交线的已知投影？
截交线的空间形状？
截交线的侧面投影是什么形状？
二、求截交线: ★找特殊点
★补充一般点
★光滑连接各点
三、完善轮廓
例2:结果和立体图
二、圆锥的截断
例1: 圆锥被正垂面截断，完成三视图。
例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。
分析：圆锥台切口由三个平面切割而成，分析各截交线的空间形状和投影特性。
例3：求半球体被截后的俯视图和左视图。
1.水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。
2.两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。
本节小结
1．截断体上的截交线
（1）平面体上的截交线，一般是由直线围成的封闭多边形。多边形的也是截平面与棱面的相交。
（2）回转体上的截交线，其形状取决于被截回转体的轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的共有线。
3．解题方法与步骤
（1）投影分析：
分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。
分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线
的投影特征。
（2）求截交线：
当截交线的投影为非圆曲线时，要先找全特殊点，再补充一
般点，最后光滑连接曲线，并完善轮廓的投影。
完整和不完整的基本体（柱，锥，球，环）是构成形体的基本组成部分，研究它们的投影是为后面学习组合体打基础。本章要求重点掌握。1．基本的三视图画法及表面取点
平面体表面取点——利用平面上取点的方法
圆柱表面取点——利用柱面投影的积聚法
圆锥表面取点——用素线法和辅助圆成
圆球表面取点——用辅助圆法（纬圆法）
第十章曲面立体的截交线 基本要求 §10-1 概述 §10-2 平面与圆柱相交 §10-3 平面与圆锥相交 §10-4 平面与圆球相交 §10-5 综合题
基本要求 1掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法； 2掌握回转体截交线的性质及求截交线的方法；3掌握曲面立体截交线的性质及求截交线的方法（截平面限特殊位置平面）。
§10-1 概述 一、截交线的性质 二、截交线的类型及形状 三、求作截交线的方法 四、截交线上的特殊点 五、作图步骤
一、曲面立体截交线的性质 1 曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由 曲线和直线所围成的平面图形或多边形； 2 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有 线； 3 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
二、截交线的类型及形状 1曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。 2截平面与复合回转体相交，其截交线是截平面与基本几何体截交线的组合。这种截交线之间的分界点，是复合回转体的相邻两立体表面分界线与截平面的交点，称为结合点。3多个截平面与立体相交所得的截交线是各截平面所得截交线的组合、截交线的结合点是相邻两截平面与立体表面的共有点，它是两截平面的交线与立体表面的交点。两截平面的交线是各截断面的分界线。
三、求作截交线的方法 1素线法在曲面立体表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。 2纬圆法在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。 3辅助平面法用三面共点原理作适当数量的辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点，将这些点依次光滑连接即得所求截交线。 4求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。求作多个截平面与基本立体相交时，应按单一截平面求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。
基本体及其截断 教学目标 1．掌握平面立体的投影特征，三视图画法及表面取点。 2．掌握回转体的投影特征，三视图画法及表面取点。 3．了解截交线的概念、性质，掌握求作截交线的基本方法。 4．掌握基本体和截断体的尺寸标注。 4.2 平面与立体相交 截断体：形体被平面截断后分成两部分， 每部分均称为截断体。 截平面 —— 用来截断形体的平面。 截交线 —— 截平面与立体表面的交线 截断面 —— 由交线围成的平面图形。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。 4.2.1 平面体的截交 ★ 平面体截交线的性质： 平面立体的截交线一定是一个封闭的平面多边形，多边形的各顶点是截 平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条棱，那么截交线就是几边形。 截交线是截平面与立体表面的共有线。 ★ 求平面体截交线的实质： 求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面的交线，然后依 次连接而得。 截交线 截断体 截断面
★ 求截交线的步骤： 1. 空间及投影分析 分析截平面与体的相对位置 2. 画出截交线的投影 依次连接各顶点成多边形， 3. 完善轮廓。 一、 棱柱的截断 例1：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。 1 2 3 4 5
例2：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。 二、棱锥的截断 例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 4.2.2 曲面体的截交
(1) 曲面体截交线的性质： ?截交线是截平面与回转体表面的共有线。 ?截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ?截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。 (2) 求曲面体截交线的实质： ?求截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次光滑连接。 例1：圆柱被正垂面截断，求作其视图 一、分析:截交线的已知投影？ 截交线的空间形状？ 截交线的侧面投影是什么形状？ 二、求截交线: ★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 三、完善轮廓
3基本体投影 立体的形状是各种各样的，但任何复杂立体都可以分析成是由一些简单的几何体组成，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等，这些简单的几何体统称为基本几何体。 根据基本几何体表面的几何性质，它们可分为平面立体和曲面立体。立体表面全是平面的立体称为平面立体；立体表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体。 3.1平面立体投影 3.1.1平面立体的投影 平面立体的各个边都是平面多边形，用三面投影图表示平面立体，可归纳为画出围成立体的各个表面的投影，或者是画出立体上所有棱线的投影。注意作图时可见棱线应画成粗实线，不可见棱线应画成虚线。 （1）五棱柱 如图3-1-1所示，分析五棱柱： 五棱柱的顶面和底面平行于H面，它在水平面上的投影反映实形且重合在一起，而他们的正面投影及侧面投影分别积聚为水平方向的直线段。 五棱柱的后侧棱面EE1D1D为一正平面，在正平面上投影反映其实形，EE1 、D D1直线在正面上投影不可见，其水平投影及侧面投影积聚成直线段。 五棱柱的另外四个侧棱面都是铅垂面，其水平投影分别汇聚成直线段，而正面投影及侧面投影均为比实形小的类似体。 （a）立体图
（b）五棱柱的投影 （c）三面投影图 图3-1-1 投影图如图3-1-1所示，立体图形距离投影面的距离不影响各投影图形的形状及它们之间的相互关系。为了作图简便、图形清楚，在以后的作图中省去投影轴。 作图步骤如图3-1-2所示： 1.布置图面，画作图基线，如图3-1-2（a）所示； 2.画出反映真实形状的面，如图3-1-2（b）所示； 3.根据投影规律画出其他视图，如图3-1-2（c）所示； 4.检查整理底稿后，加深三视图的可见线，将不可见线绘制成虚线，如图3-1-2 （d）所示。
第4章立体的投影 一、本章重点： 1．平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影； 2．立体与平面相交其交线的画法，既求截交线； 3．两回转体轴线垂直相交其相贯线的画法。 二、本章难点： 1．圆球和圆环的投影及表面上点的投影； 2．圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法； 3．求作相贯线。 三、本章要求： 通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影， 能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线。 四、教学手段 多媒体教学、模型、CAD三维实体演示、习题集作业 五、本章内容： 4．1 基本体及其表面上的点 4.1.1 平面立体及其表面取点 1．棱柱 （1）投影分析 如图4.1（a）所示，正三棱柱的两端面（顶面和底面）平行于水平面，后 棱面平行于正面，另外两个棱面垂直于水平面。因此，三棱柱的投影特征是：
顶面和底面的水平投影重合，并反映实形—正三角形。三个棱面的水平投影 积聚为三角形的三条边。 （2）表面上取点 1）棱柱表面都处于特殊位置，其表面上的点可利用平面的积聚性求得； 2）求解时，注意水平投影和侧面投影的Y值要相等； 3）点的可见性的判断，面可见，点则可见，反之不可见。 (a) 图4.1 正三棱柱及其2、棱锥 （1）棱锥的投影
(a) 图4.2 四棱锥及其表面上点的投影 1）分析三棱锥各平面的投影； 2）作三棱锥的三面投影。 （2）棱锥表面上的点 棱锥表面上点的投影可在平面上作辅助线进行求解，如图4.2。 4.1.2 回转体及其表面取点 1、圆柱 （1）圆柱面的形成 有一母线绕与它平行的轴线旋转而成。 （2）圆柱体的投影对圆柱体的各个投影进行分 析。 （3）圆柱表面上的点 如图所示，圆柱表面上点的投影，在投影面为圆的投影中，其表面上点的投影都在该圆上。注意：Y值要相等。
课题6：平面立体的截交线 教学设计方案 一、教学目标与要求 1、知识与技能 知识目标：在深入理解截交线性质、特点的基础上，掌握并熟练绘制平面立体的截交线。在画图的过程中不断总结、体会，通过让学生画、量、讲的形式，使学生体会学习的乐趣，在学习中不断提高分析能力和综合素质。 能力目标： 1、熟练绘制平面立体的截交线。 2、培养学生的空间想象和思维能力，初步具备独立思考、独立绘图的能力。 2、情感与态度 激发学生的学习热情和兴趣，初步培养学生的空间想象力，主动探究、团结协作的意识。。 ； 二、教学重、难点 1、教学重点 教学重点一：熟练绘制平面立体（棱锥、棱柱）的截交线的三面投影 处理措施：在具体任务驱动下，借助多媒体演示，通过例题详细分析、作图以及讲练结合的方法，让学生掌握平面基本体（棱柱、棱锥）的三视图投影、作图步骤及其面上取点的方法。 2、教学难点 理解求截交线的实质就是求出截平面与基本体表面的一系列共有点。 处理措施：利用平面立体截切的空间立体结构辅助想象，读画结合，突破难点。 四、教学策略、教学方法与手段 教法：创设任务情境─引导自主探究─进行归纳总结 采用任务驱动法，精讲多练，充分将课堂交给学生，以完成一个具体的任务为线索，把教学内容有机贯穿在任务之中，让学生在任务的引领下，经过思考和教师的点拨，积极主动地参与学习，达成教学目标。 % （1）任务驱动法：采用任务驱动，带动每位学生参与活动，有利于学生掌握制图过程中各个环节。 （2）要求学生自己练习，自己分析讲解，让他们在实践的过程中去发现问题，解决问题。教师在学生练习过程和最后讲评中适当引导。 学法 （1）要求学生课前做好复习，需要学生充分回顾截交线的性质和点的投影规律。 （2）给出平面立体截切的立体图形，使学生能借助立体想象平面视图。
工程制图第三章习题答案 第三章基本形体——三视图的投影班级学号姓名 3-1、画三棱柱的投影图。 3-2、画出六棱柱的投影图。 3-3、画出右下图的投影图。 3-4、画出半圆拱的三面投影。 3-5、画出圆台的三面投影。 3-6、画半圆拱的三面投影。 44 第三章基本形体——补绘基本形体的第三投影班级学号姓名 3-7、补绘基本形体的第三投影 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 45 第三章基本形体——补绘基本形体的第三投影班级学号姓名 3-8、补绘基本形体的第三投影 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
46 第三章平面立体表面上的点班级学号姓名 3-9、已知平面立体的两投影，作出第三投影，并完成立体表面上的各点的三面投影。 3-10、已知平面立体的两投影，作出第三投影，并完成立体表面上的各点的三面3-11、画棱柱的侧面投影，并求现各工件表面上的点的其余投影。投影。 1'' 1' 2'2''(3')(3'') 3 1 2 47 第三章平面立体表面上的点班级学号姓名 3-12、画棱锥、棱柱的侧面投影，并求出表面上的点的其余投影。 (1) (2) (3')(3'')(2')1'(2'') 1''(3'')3'1'2'1''2'' 32 131' 2 3-13、画棱锥的侧面投影，并求现各形体表面上的点的其余投影。 3-14、画出三棱柱的V面投影，并补全三棱柱表面上的折线FACEDBF的H面投影及V面投影。 a'b'a"(b")
1''1'f" f ' d'e"c'e'c"(d")2'2'' 2cd 1 ab f(e) 48 第三章平面体的截交线班级学号姓名 3-15、画出五棱柱的H面投影，并补全五棱柱表面上的点A、B、C、D、E、F3-16、画出三棱锥的W面投影，并补全三棱锥表面上的折线FED的W面投影和的三面投影。 H面投影。 ;','c"(d") d'd''e'e'' ,',' f'e"(f")f'b''a'(b')a'' b fd,; (f)e(e) a 3-17、正六棱柱被正垂面P截断，补全截断体的H面投影，作出3-18、完成平面体被平面截切后的水平投影并作出侧面投影。截断体的W面投影及断面的真形。 49 第三章平面体的截交线班级学号姓名 3-19、补全有缺口的三棱柱的H面投影和V面投影。 3-20、补全平面切割体水平投影，侧面投影中所缺的图线。
建模案例：最优截断切割问题 一、 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 二、 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 三、 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工. 由此准则,只需考虑 P 66 22290!!!??=种切割方式.即在求最少加工费用时， 只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式. 1、 e=0 的情况