基于自适应遗传算法的SOR迭代
（华南理工大学理学院数学系计算数学牛海静）
摘要：对于确定逐次超松驰迭代法中的最佳松驰因子问题, 迄今, 人们还没有给出一可行实用的方法. 利用自适应遗传算法全局搜索性能、并行性及其遗传操作, 构造出近似确定最佳松驰因子的一种自适应进化方法, 并由此得到一近似确定w功能的自适应逐次超松驰迭代算法. 数值算例表明, 该算法在求解线性方程组中是可行的, 实用和快捷的.
关键词：逐次超松驰迭代法; 遗传算法; 最佳松驰因子; 线性方程组
1引言
在科学计算和工程设计中, 人们经常会遇到求解线性代数方程组问题, 而且在计算方法的其它分支的研究也往往归结为此类问题. 目前, 大型的线性方程组都是利用计算机进行数值求解, 归结起来, 主要有两类: 一类是直接解法, 就是指经过有限步运算求得方程组的解的一类方法, 此类方法比较适用于系数矩阵稠密的中、小型线性方程组; 另一类是迭代解法,适用于解大型、稀疏矩阵的线性方程组. 逐次超松驰迭代法(Successive Over-Relaxation) 是解线性方程组的一种迭代加速法, 是求解大型线性方程组的有效方法之一. 通过选择恰当的松驰因子w, 它能使收敛速度变得较快, 也使发散的可能变成收敛, 因此, 超松驰迭代法算法有着极高的应用价值. 本文利用自适应遗传算法全局搜索性能和并行性、及其遗传操作, 构造出一种近似确定最佳松驰因子的自适应进化算法, 并由此得到一个近似确定w功能的自适应遗传逐次超松驰迭代法(A daptive Genetic Algorithm Successive Over-Relaxation) 算法, 简称为A GA SOR.
2 逐次超松驰迭代法
超松驰迭代法简称为S O R 法, 是求解线性代数方程组的一种迭代加速法, 它是在-G auss Seidel 迭代法的基础上进行加速的, 将前一步的结果k
i x 与-G auss Seidel 迭代方法的迭代值(1)
+k i x 适当的加权平均, 期望获得更好的近
似值(1)
+k i
x .其迭代公式如下:
1
(1)()
(1)()1
(1)[],w
w -++===-+
--邋i n
k k k k i
i i ij
j
ij
j
j j i
ii
x
x b a x
a x
a
1,2,,;0,1,2,== i n k
其中：w 为松弛因子. S O R 法中w 取值对迭代公式的收敛速度影响很大, 它的好坏直接影响到收敛速度的快慢. 为了保证迭代过程的收敛, 必须要求02w <<，但是在0 和2 之间有很多的取值, 究竟如何取值至今没有较好的解决方法. 基于此目的, 文中提出一个可一般确定w 近似值的自适应数值进化方法, 该方法利用的是自适应遗传算法中全局性、并行性及其遗传操作, 使其快捷方便. 该算法适用于满足S O R 迭代方法的大型稀疏矩阵的线性方程组.
3 遗传算法原理与A GA SOR 算法
3.1 适应度函数与编码实现
若一个代数方程组, 它由n 个方程组组成, 涉及m 个变量:
1
1
()()()
()ì?=????????=蜦í?
??
????=
???
i
i
n
n
X X X X f A f A f
A
(1)
其中：1()f 可为除分段函数外的任意形式的函数表达式,
[],{|(,)}.=F = j i j X x x x X x a b 12m ，，...,
求解方程组(1)等价于求极值问题: 求一X ,以使式(2)取值最小.当最小值为0时,所对应的X ,即为方程之解; 当其最小值不为0 时, 则此方程组无解. 设适应
度函数: 1
()(),==
-
蜦
?
n
i
i
i F X X X f
A
(2)
本文是用遗传算法寻找S O R 法中的最佳松驰因子w , 确定w 在(0, 2) 区间的最优值. 对于w ,选定迭代初始值后, 它与方程组的解X 联系是比较紧密, 较好的w 可以在较少的迭代次数内得到较精确的解. 因而, 为了更好的平衡这种关系, 可以用式(2) 与迭代次数K 的平均值的负值做为适应度函数, 即:
1
()()(),2
2
w =-++=-=-蜦
?
n
i
i
i X K
F X K Fit X f
A
(3)
（或者可以选择适应度函数为 1
11
()()()w ==
=
+-
+?n
i
i
i Fit F X K
X K
f
A
也可
以吧，不知道效果怎么样）
求适应度函数时, 也要把迭代次数考虑进来. 如果比w 较差, 有可能达不到所要求的精度, 就会无限迭代下去. 因此, 给出一个限定条件, 如果迭代次数达到最大限定, 则k 取最大限, 适应度还按式(3) 进行处理. 同时为使算法能适用于任意的线性方程组, 必须根据用户输入的系数矩阵A 和常数项向量B , 还有选代初始值0X 和要求精度e , 用上述方法生成适应度函数.
对于染色体编码, 本文采用实数编码. 与二进制编码相比, 采用实数编码方式, 使算法具有较高的通用性. 同时, 为了更好地与实际问题相结合, 将方程组的解X 和迭代次数K 放在w 的后面, 一起组成一个染色体Pop , 即:
[].w =i i i Pop X K 其中的X
和K 都是采用实数表示, 即用原值表示. 这样更利于最
佳松驰因子w 寻优和方程求解.
3.2 遗传算子 3.2.1 选择算子
选择算子采用轮盘法、锦标赛选择法和几何规划排序选择法的结合. 轮盘法的基本精神是个体被选中的概率取决于个体的相对适应度:
=
?
i
i i
f p f (4)
其中: -i p 个体i 被选中的概率; -i f 个体i 的适应度; -?
i f 群体的累加适应
度.
显然, 个体适应度越高被选中的概率愈大. 但是, 适应度小的个体也有可能被选中, 以便增加下代群体的多样性. 而锦标赛选择法是随机地从种群中选一定数目的()Tour 个体, 然后将最好的个体选做父个体. 这个过程重复进行完成个体的选择. 锦标赛选择法的参数为竞赛规模T our , 其取值范围为 [ 2,N ind ] (其中N ind 是竞赛规模, 允许比2大的数) , 这里取T our 为3, 使多样化得到一定的损失. 几何规划排序选择法是基于几何规划排序进行选择,主要是对适应度进行排序, 较好的做为父个体, 这有利于防止较好个体的破坏. 综合各自的特点, 本算法选择是先利用几何规划排序选择法对初始群体进行选择, 然后用锦标赛选择法对几何规划排序选择法得到的父群体进行选择, 最后用轮盘法选择. 这样可以提高收敛速度和搜索范围, 更有利于交叉与变异的进行. 3.2.2
交叉算子
算术交叉算子是实数编码遗传算法中应用最广泛的一种算子, 其采用的交叉方法是线性插值. 比如在两个体1w ,2w 之间进行算术交叉, 则交叉运算所产
生出的两个新个体为 *1
12*
212(1)(1)w a w a w w a w a w ì?=+-?í?=-+??
(5)
其中a 是在[0,1] 区间内的参数, 它可以是一个常数, 也可以是由进化所决定的变量, 本文选择为[ 0, 1 ]区间上的随机数. 3.2.3
变异算子
本文采用均匀变异和边界变异两种变异算子. 对其说明如下:
均匀变异是指分别用符合某一范围内均匀分布的随机数, 以某一较小的概率替换个体编码串中各个基因座上的原有基因值. 其具体过程是: 假设有一个个
体为12= k l X X X X X .若k X 为变异点, 其取值范围为m in
m ax [,]k k U U (其中m in k
U 表示的是基因k X 可取值范围的最小值, 而m ax
k U 表示最大值) , 在该点以个体X 进行均匀变异后, 可得到一个新的个体''12,= k l X X X X X 其中变异点的新基
因值是: min
m min 'ax ().-=+k k k
k U r U U X 式中r 为范围内符合均匀分布的一个随机数. 边界变异是均匀变异操作的一个变形遗传算子. 在进行边界变异操作时, 随
机地取基因座的二个对应边界基因之一取代原有基因值. 在进行由
12= k l X X X X X
向''12= k l X X X X X 的边界变异时, 若变异点k X 处的
基因值取范围为m in
m ax [,]k k U U ,则新的基因'
k X 由下式确定: m i n m a x ,,1.ì??í???
k k U U 如果random(0,1)=0;如果random(0,1)= (6) 式中if random(0,1)表示以均匀等概率从0，1中任取其一.
( 补充：由于本文中的染色体只有三个基因组成，且后面的两个基因X 和K 的值是随着基因w 的选取而相应变化的，所以我们本文的交叉和变异操作只针对于基因w 进行，这样X 和K 的值会根据适应度函数等相应产生新的值.) 3.2.4
终止条件
以设定的最大的遗传代数为终止条件 3.3 交叉概率c P 和变异概率m P
遗传算法的参数中交叉概率c P 和变异概率m P 的选择是影响遗传算法行为和性能的关键所在, 直接影响算法的收敛性. c P 越大, 新个体产生的速度就越快, 但过大时遗传模式被破坏的可能性也越大; 但是如果 c P 过小, 会使搜索过程缓慢, 以至停滞不前. 对于变异概率m P , 如果 m P 过小, 就不易产生新的个体结构; 如果m P 取值过大, 那么遗传算法就变成了纯粹的随机搜索算法. 针
对此问题, Srinvivas 等提出一种自适应遗传算法(Adaptive GA ,A GA ) , c P 和
m
P 能够随适应度自动改变. 本算法中,c P 和m P 根据式(7)式(8)来动态确定, 从
而增加算法的进化能力和收敛速度.
'12'1
max '1,()(),ì?
--?- ??-=í
???
c c avg c avg
avg c c avg
P P f f P f f f f P P f f (7)
12m ax 1m ax 1,()(),ì--?
?- ??-=í??
m m m avg
avg
m m avg P P f f P f f f f P P f f (8)
其中: 1212max 0.9,0.6,0.1,0.001,====c c m m P P P P f 为群体中最大的适应度值;
a vg
f 为每代群体的平均适应度值; 'f 为要交叉的两个个体中较大的适应度值; f
为要变异个体的适应度值.
3.4 次超松驰迭代(A GA SOR)描述 具体算法过程描述如下:
Step 1 参数接收: 接收用户输入线性方程组的系数矩阵A 、常数项b 、迭代初始值0X 和要求的精度e ; 确定种群规模N ;定出K 的最大限m ax K 的值和最大遗传代数T .
Step 2 群体初始化: 随机生成N 个w 代入S O R 的迭代公式, 根据系数矩阵 A 、常数项b 、迭代初始值 0X 和要求的精度e 生成适应度函数;
Step 3 计算适应度, 并保存迭代终止时的迭代次数k : 如果k 达到最大限, 则k 就等于最大限定次数; 否则按达到精度时的K 值保存;并产生N 个个体的初始种群S ;置代数计数器t 1=.
Step 4 寻找并保存当前代最优个体(也就是适应度值最大的个体); Step 5 进行以下遗传操作:(最初针对初始种群全体)
(a) 选择算子: 按几何规划排序选择法、锦标赛选择法、轮盘法(按选择概率i P 所决定的选中机会,每次从群体中随机选定一个染色体并将其复制,共做N 次,然后将复制所得的N 个染色体组成群体1S )进行选择;
(b) 交叉算子: 按式(7)计算c P 并决定出参加交叉的染色体数c ,从1S 中随机确定c 个染色体,随机配对并用算术交叉算子进行交叉,并用产生的新染色体代替原染色体,得群体2S ;
(c) 变异算子: 按式(8)计算m P 并决定变异次数m ，从2S 中随机确定m 个染
色体，分别进行均匀变异和边界变异两种算子，并用产生的新染色体代替原染色体,得群体3S ;
(d) 计算适应度: 并保存迭代次数k , 如果k 达到最大限, 则k 就为最大限定次数; 否则按原值保存;
(e) 寻找并保存最优个体, 并用前代最优个体代替当前代的最差个体，置t t 1=+;
Step 6 如果达到最大遗传代数, 则结束并输出所找到的最优松驰因子w , 然后转Step7; 否则转Step 5，;
Step 7 把w 代入S O R 公式 , 另取精度1e （使1e e <，原e 可以取略大一点，加快收敛速度），得出方程的解X 和迭代次数 k ,并结束.
4 数值算例与分析
为了验证本文算法的有效性,在计算机上进行了数值模拟计算.选择参数为: 5 结论
本文的近似确定X 进化算法, 是基于遗传算法对X 的寻找而得到的, 因而, 不难把它平行地推广到对称超松驰迭代法(SSOR ) , 加速超松驰迭代法(AOR). 参考文献:
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线性代数与概率论课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：线性代数与概率论 所属专业：材料物理与材料化学 课程属性：必修 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 本课程将对线性代数和概率论里的一些常见概念和基础知识进行讲解。线性代数里所涉及到的对向量和矩阵的分析和操作，在科学研究和工程技术中均有着广泛的应用。从向量和矩阵中抽象出来的线性空间和线性变换的概念，将为学生以后更深入的学习和实践提供必要的背景和知识准备。概率论是统计方向的理论基础，对于将来实际工作中的数据分析和处理有着指导性作用。这门72学时的课把线性代数和概率论放在一起讲实际上强度是比较大的。 线性代数部分先从行列式讲起，接着介绍关于向量组和矩阵的一些基本概念和运算。有了这些知识储备后，在第三章对于线性方程组问题给出了一个完整的解答。第四章对向量和矩阵的数学抽象引入了线性空间与线性变换，并对空间的代数结构和变换性质作了讨论。最后两章是关于矩阵的比较实用部分，包括特征值与特征向量，矩阵对角化与二次型。概率论部分先定义了样本空间与随机事件，接着引入概率的概念，列举了一些计算简单概率的方法和例子。随后对随机事件的量化导致了随机变量的引入。从第四章到第七章均是关于随机变量和随机变量函数的内容，我们讨论了一些常见分布及其数字特征，包括期望值，方差和关联函数（协方差）等。对于独立的随机变量序列，我们运用切比雪夫不等式证明了大数律，最后介绍了中心极限定理。 希望学生通过本课程的学习，能够熟悉线性代数里的一些基本概念和思考问题的方法，培养数学抽象思维的能力，理解和熟练掌握向量和矩阵的一些性质和相关运算，对于随机过程和随机变量亦有一个初步的具体认识。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 所需要的先修知识储备为基本的微积分，代数方程和一些矢量分析。线性代数的知识，包括向量，矩阵和二次型，在以后的学习中都会用到。线性空间和线性变换的概念在后继的理论课例如量子力学和群论的学习中将扮演重要角色。概率论是后继数理统计
一、线性代数的定义 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重一般占到22%左右。 二、线性方程组简介 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。 解线性代数方程组是线性代数最主要的任务之一，行列式研究的便是线性方程组的一种特殊形式，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零，这时可以用克拉默法则。 三、线性方程组的解法 ①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。 关于未知量是一次的方程组，其一般形式为 ⑴ 式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的系数，bi(1≤i≤m）称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。 当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组。 方程组⑴的系数所构成的m行n列矩阵 线性方程组 称为方程组⑴的系数矩阵。在A中添加由常数项组成的列而得到一个m 行n+1列矩阵称为方程组⑴的增广矩阵。
华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日
摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写
了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。
《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容：
二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。
中国矿业大学银川学院机电动力与信息工程 线性代数论文 （2012-2013） 专业：电气及其自动化 班级:11级电气（2）班
姓名：薛成建 学号：120110516126 任课老师：马延福 日期：2012. 6.19 摘要 随着我国经济建设与科学技术的迅速发展，高等教育已进入了一个 飞速发展的时期，并且突破了以前的精英式教育模式，发展成为一种在终身学习的大背景下极具创造性和再创性的基础学科教育。高等学校教育教学观念不断更新，教学改革不断深入，办学规模不断扩大，数学课程开设的专业覆盖面不断增大。越来越需要一本高质量的高等学校非教学类专业的教材———《线性代数》。 为适应教学课程开设的专业覆盖面，逐渐引入了以求适应的知识点。n 阶行列式、矩阵、n 维向量与向量空间，应用数学模型等慢慢走进了专业覆盖面。在实际问题中，我们经常会碰到超过3个元素的数组，例如确定飞机的状态，需要以下几个参数：机身的仰角、机翼的转角、机身的水平转角、飞机重心在空间的位置参数等。因此，需要引入n 维向量的概念。n 个数组成的有序数组 （a a a n ,,,21 ）或 a a a n 2 1 称为一个 n 维向量，简称向量。其中只有一行的称 为行向量，只有一列的称为列向量。数a a a n ,,,21 称为这个向量的分量，a i 称为这个向量的第i 个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量，分量都是负数的向量称为负向量。
实际上，n 维行向量可以看成行矩阵，n 维列向量可以看成列矩阵。 如果两实向量相等，即称两个向量相等。 对于两个分量的各分量的和所组成的向量，称为两个向量的和。 一个数与向量的各分量相乘所组成的向量，称为向量e 与k 的数量乘积，简称数乘，记为k e 。 分量全为零的向量（000 ）称为零向量，记为0。 α与-1的数乘（-1）α称为α的负向量，记为-α。 向量的加法与数乘具有下列性质： （1） a +b =b +a ； （交换律） （2） （a +b ）+c =a +（b +c ）； （结合律） （3） a +0=a ； （4） a +（-a ）=0; （5） k （a +b ）=k a +k b ; (6) (k+i)a = k a +i a ; (7) k(i a )=(ki)a ; (8) i a = a ; (9) 0a =0; (10) k 0=0 在数学中，满足（1）～（8）的运算称为线性运算。我们还可以证明： （11） 如果k ≠0且a ≠0，那么k a ≠0. 由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。 例如一个mxn 矩阵A=) (a ij mxn 有n 个m 维列向量 a 1 = a a a m 1 21 11 ， a 2 = a a a m 2 22 12 ， ··· ，a n = a a a mn n n 21 ， 我们称向量组a a a n 2 1为矩阵A 的列向量组。 对于行向量组也同样。
线性代数论文 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 行列式的计算方法. 定义法 在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念. (1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列. (2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面 的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序 数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列. 在做好这些工作之后,来引入行列式的定义: 定义:n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积. a1j1a2j2a3j3………anj n <Ⅱ> 的代数和,这里j1,j2,j3,……j n为1,2,3,……,n的一个排列,每一项<Ⅱ> j1,j2,j3,……j n是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当都按下列规则带有符号,当
华北水利水电学院 题目：常见的矩阵及其计算 课程名称：线性代数（第二版） 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年10月20 日
常见的矩阵及其计算 摘要：矩阵是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。它在线性代数与数学的许多分支都有重要应用，许多实际问题都可以用有关理论得到解决。矩阵，是由个数组成行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母表示其元素，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。 关键词：常见矩阵计算方法 Common matrix and calculation Abstract:The matrix in linear algebra theory is extremely important part, of higher mathematics is a basic concept. It in linear algebra and mathematical many branches have important application, many practical problems can be solved with related theory. Matrix, consisting of a line list of regular form, Usually use capital letters said matrixes of each number, are called matrix elements, usually use lowercase said its elements, the subscript are all positive integer, they said the elements in the position of the matrix. Key words:Common matrix Calculation method
华北水利水电学院 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2011年11月6日
摘要:代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。 关键词：高等代数行列式矩阵向量 线性代数发展简史 1 代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中，字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时，还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也推广了，它不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。 行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。1764年，法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的
线性代数小论文 在学习了线性代数两个多月后，也算是对它有了一些了解。在此，我就从老师教学和我自身的学习方面谈谈我的体会，对教学改革提一些自己的意见。 首先，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。我使用的线性代数教材是科学出版社出版李小刚主编的《线性代数及其应用》。我比较了一下这本书和其他线代教材的区别，它有个很大的特点就是，别的教材第一章讲的是行列式，而它却直接通过介绍高斯消元法引入了矩阵的概念，在学习了矩阵后才介绍行列式的计算。这是这本教材的优越之处，它包含了一个循序渐进的过程。但是，它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是为了了解线性方程组的解的情况。在线性方程组的求解过程中，我们运用了矩阵的行变换来求基础解系，当然这就相当于求极大无关组。还有对线性相关和线性无关的讨论，这也关系到线性方程组的解。所以在改革中，应该拿线性方程组为应用的实例，来一步一步的解剖概念和定理。当然一些好的、典型的解题方法，也应该用具体的例子来讲解，这是一本教材必须具备的。 其次，老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，就像开尔文说的，数学只不过是常识的升华而已，所以如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面听得云里雾里的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。 然后，自己在学习的过程中，也应该能够整体把握老师的意思，注意各个章节的联系，R.斯根普说过个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，老师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。对于后来学的，应该多翻翻书看看前面是怎么说的，往往前面学习的内容是为后面做铺垫的，所以在学了后面的知识后，再看前面的知识，会对前面的知识有一个新的认识，会更
线性代数（B 类）课程教学大纲
理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其性质与求法。 理解相似矩阵的概念及性质以及n 阶方阵能相似于对角矩阵的充要条件。掌握求矩阵的相似对角矩阵的方法。 理解正交矩阵的概念及其性质。 了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。掌握实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法。 对于相似于对角矩阵的方阵，能由方阵的特征值与特征向量构造出对应的方阵。 6.第六章实二次型（学时数：2.5 次课5 学时，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、 B3、C1、C2、C4 ） 理解实二次型和它的矩阵、秩等概念。了解实二次型经非退化的线性代换仍为二次型且秩不变的性质。 知道矩阵的合同的概念及简单性质。 理解二次型的标准形与规范标准形的概念。熟练掌握用正交代换化二次型为标准形。会用配方法化二次型为标准形。能用非退化的线性代换化二次型的标准形为规范标准形。 了解惯性定理。理解正定二次型与正定矩阵的概念及其性质。掌握正定二次型的判别方法。 7.第七章线性变换（学时数：4 ～6，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、B3 C1、C2、C4 ）（由于课时所限，课堂教学不讲授该章的内容） 了解线性变换、变换的象与原象等概念。知道线性变换的简单性质。 了解线性变换与矩阵之间的关系，知道线性变换的矩阵。 掌握Ｒ^n 中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。 了解线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。掌握在Ｒ^n 中利用过渡矩阵求线性变换在不同基下的矩阵的方法。 了解在一般的线性空间中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。了解线性变换在不同基下的矩阵的求法。
摘要：分析了若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。 关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示 线性代数主要研究的是线性问题。一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。 向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。 1 线性相关性证明 设A =(α1,α2,··· ,αn )，αi ∈P m ，若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系。 证明：设A m ×n ，A 经过行初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A =(α1,α2,…,αn )，B=(β1, β2,···,βn )。由于对A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P ，使PA =B ，即P(α1,α2, ···,αn )=(β1, β2, ···,βn )，于是有i 1 βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) （1） 设A 和B 对应的列向量组为αi 1,αi 2, ···,αi r 和βi 1, βi 2,···,βi r (1≤i 1＜i 2＜···＜i r ≤n)，由(1)式得 βik = P αik (k=1,2,3, ···,r) 因此，如果αi 1,αi 2, ···,αi r 有线性关系式k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r =0(k r 为实数)，则k 1,k 2…k r 也必使得 k 1βi 1+k 2 βi 2+···+k r βi r =k 1(P αi 1)+ k 2(P αi 2)+ ···+ k r (P αi r ) =P (k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r )=P 0=0 反之，如果βi 1, βi 2,···,βi r 有线性关系式，得 λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0 则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有 λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r = P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0 这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性，证毕。 2 线性相关性在线性代数中的应用 2.1向量组的线性相关性与行列式的关系 若向量组α1,α2, ···,αn 的个数等于于向量的维数，即m=n 时，则
浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的 相通性 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 《高等数学》和《线性代数》这两门课的内容差异大，但也有不少知识点具有相同性，很多方法和结论相互渗透，本文探讨了《高等数学》与《线性代数》课程内容的一些相通性。 随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。
几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。 一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性 4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。 二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性 在《线性代数》中有一个重要的量——矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵
线性代数论文 一：行列式 学习线性代数最先接触的是行列式，行列式出现于线性方程组的求解，解一组线性方程组最基本的方法是消元，而行列式只是方程求解的一种速记表达式。由多代数学家研究和完善，给出了n 阶行列式的定义： ∑ -= n n n j j j nj j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121)(21 2222111211 )1(τ 因此在这之前必须提出逆序数的概念：在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序。一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记 为).(21n i i i τ一个排列逆序数为偶数则为偶排列，否则为奇排列。 有定义可以看出n 阶行列式表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号.由此则可推出行列式的几个性质： 1：行列互换行列式的值不变，行列地位是对称的； 2：用一个数乘行列式的某一行等于用这个数乘此行列式。因此相反的行列式的某一行有公因子可以提出来； 3：如果行列式中某一行是两组数的和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行，而其余各行与原行列式对应相同； 4：对换行列式中两行的位置，行列式反号； 5：如果行列式中有两行成比例饿，则行列式等于0； 6：把一行的某个倍数加到另一行，行列式的值不变； 有上述六条性质可以很好的对一些高阶行列式进行化简，进而求值。简化行列式计算的另一条途径则是降阶，即把高阶行列式的计算化为低低阶行列式运算。在这方面则是发现了行列式的展开公式。 首先为方便表达计算有如下定义： 在一个n 级行列式D 中,把元素aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij 的余子式，Mij 带上符号(-1)^(i+j)称为aij 的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mij 之后则有行列式展开公式：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 ： 最后则回到最原先的问题，用行列式表示方程的解： 由克拉默法则知：
关于线性代数的理解 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。 我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。 线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于中国古代数学名著《九章算术》）。 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养中国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。 数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。
对《线性代数》课程教学的认识 【摘要】本文针对《线性代数》课程的“抽象性”的特点，从线性代数的研究对象、研究思想、概念和方法以及应用等方面，通过一些实例，提出了如何使线性代数课程生动起来的几点认识。 【关键词】线性代数；抽象性；生动；实例 《线性代数》与《高等数学》是大学数学教学中的两个最基本的课程。相比于《高等数学》，《线性代数》课程有它独有的特点，比如：学时相对较少、概念和内容比较抽象等。但是，学生通常并没有因为它的内容少，定理、公式少而觉得容易学习，反而因为线性代数的抽象性而“望而生畏”，很难入门。教师的任务就是如何化“抽象”为“生动”，引领学生走进线性代数的奇妙世界，使学生理解并掌握线性代数的思想与精髓，并能很顺利的加以应用，同时提高学生的数学素养。 1 让线性代数的研究对象和思想生动起来 每一门课程都有它的主要研究对象，线性代数的研究对象是向量空间及线性变换的理论。线性代数以代数的方法在解决几何问题，体现了代数与几何的结合。而将代数与几何互相转换的方式融入教学中去，就使得教学过程生动、形象而又直观。 （1）在学习矩阵的运算时，矩阵乘法相对来说，会使学生觉得非常“不自然”，如果适当融入一些与空间相关的例子，会产生意想不到的效果！ 例1 计算cosφ sinφ-sinφ cosφ. 通过计算，我们得到：cosφ sinφ-sinφ cosφ= cos nφ sin nφ-sin nφ cos nφ. 事实上，我们知道，矩阵cosφ sinφ-sinφ cosφ可以表示二维空间，即平面上的旋转变换，指空间中的向量都旋转φ（弧度），是线性变换的一种。而cosφ sinφ-sinφ cosφ可以理解为空间做了n次这样的旋转变换，得到旋转nφ的变换，对应表示矩阵恰好为： cos nφ sin nφ-sin nφ cos nφ. 这样，我们就从几何空间的直观例子使矩阵乘法变得生动、形象。 （2）初等矩阵的理解也可以借助几何方法：如初等矩阵1 0 00 k 00 0 1可以理解为一个拉伸或压缩变换；1 0 00 1 00 c 1可以看做是一个投影平移变换等。 （3）利用正交变换使二次型化标准形，这是线性代数课程的一个难点，很多学生不理解为什么要化标准形？为什么要使用正交变换法？这样做有什么实际意义？下面我们举例说明。 例2 用正交变换法将二次型化为标准型：f=2x+3x+3x+4xx. 我们可以通过正交变换xxx=1 0 0 0 0 -yyy，使二次型化为标准形：f=2y+5y+y. 从几何角度理解，2x+3x+3x+4xx=1在三维线性空间中，表示什么样的曲面呢？我们知道正交变换保持正交性不变，即在变换后，在仍为空间直角坐标系的新坐标下，方程化为2y+5y+y=1，即表示的曲面是一个椭球！ 二次型标准化问题是矩阵理论的一个应用，是将一个有中心的二次曲线（面）方程化为标准方程，从而对其进行分类，线性代数中将它推广到n维空间中，并给予了解决。如果将这种方法用到解析几何中，它可以解决有心曲线（面）的分类问题. 这充分反映了利用矩阵这个线性代数的重要工具，去研究问题的价值体现。也使得线性代数研究对象和思想的应用灵活起来。
线性代数教学大纲 一.课程基本要求 （一）矩阵 1. 理解矩阵概念。了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵等特殊矩阵。 2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其运算规律。 3. 了解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算。 4. 掌握克拉默(Cramer)法则。 5. 熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等矩阵的概念。 6. 熟练掌握矩阵秩的求法，了解满秩矩阵的性质。 7. 理解逆矩阵的概念及其存在条件，熟练掌握求逆的方法。 8. 掌握分块矩阵的运算并能利用矩阵分快法简化矩阵运算。 （二）n维向量 1. 理解n维向量的概念。掌握向量的线性运算。 2. 理解向量组线性相关，线性无关的定义。了解有关的定理结论。 3. 理解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念，熟练掌握向量组的的秩与极大无关组的求法。 4. 理解向量的内积及正交的定义，掌握线性无关向量组正交规范化的方法及正交矩阵的判定及性质。 5. 了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念。 （三）线性方程组 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。 2. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。熟练掌握其求法 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4. 熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。 （四）矩阵的特征值与特征向量 1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念及性质，熟练掌握特征值与特征向量的
求法。 2. 理解相似矩阵的概念、性质，掌握矩阵相似对角化的充要条件及求法。（五）二次型 1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形，规范形的概念及惯性定理。 2. 熟练掌握用正交变换法化二次型为标准型的方法。 3. 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其矩阵的正定性与判别法。 二. 课程内容 第一章矩阵(8-10学时) §1 矩阵的概念 §2 矩阵的线性运算 §3 方阵的行列式及其性质 §4 初等变换与矩阵的秩 §5 初等矩阵与逆矩阵 §6 分块矩阵 习题课 第二章 n维向量(7-8学时) §1 n维向量及其运算 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 向量空间 §5 向量组的正交性与正交矩阵 习题课 第三章线性方程组(3-4学时) §1 齐次线性方程组 §2 非齐次线性方程组 习题课 第四章矩阵的特征值与特征向量(4-6学时) §1 矩阵的特征值与特征向量
论文:线性代数的应用与心得体会班级： 姓名： 学号: 指导老师: 完成时间：2014年10月20日
目录 【摘要】 (2) 【关键词】 (2) 一、线性代数被广泛运用的原因 (2) 二、线性代数在实际中的应用 (2) 1. 用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列 式求平行六面面体 (2) 2. 希尔密码 (2) 3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实 现 (3) 4、在城市人们出行的应用——交通流的分析 (4) 5、马尔可夫链 (5) 6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5) 三、心得与体会 (7)
【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的应用都十分广泛。下面就是看一些具体实例应用，和一些心得体会。 【关键词】线性代数；实际生活；应用实例；心得体会； 。 一、线性代数被广泛运用的原因 为什么线性代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？ 原因之一，大自然的许多现象恰好是线性变化的，研究的是单个变量之间的关系。例如我们高中学过的物理学科中，物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，其实这又恰恰符合基本的线性微分方程。再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。 原因之二，之后随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而且由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。 原因之三，在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念变为抽象出来的公理化方法，对于强化人们的数学训练，增强科学性是非常有用的。 二、线性代数在实际中的应用 1.用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列式求平行六面面体 2.希尔密码 希尔密码（Hill Password）是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n 的矩阵相乘，再将得出的结果模26。注意用作加密的矩阵（即密匙）在\mathbb_^n必须是可逆的，否则就不可能译码。只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。 例题、 设明文为HPFRPAHTNECL,密钥矩阵为：