第2章控制系统的数学模型
2.1 引言
控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。
数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。
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温度控制系统研究背景与现状 1 研究背景 (1) 2 国内外现状 (1) 定值开关温度控制法 (1) PID线性温度控制法 (2) 智能温度控制法 (3) 国内外实例 (4) 1 研究背景 温度是生活及生产中最基本的物理量，它表征的是物体的冷热程度。自然界中任何物理、化学过程都紧密地与温度相联系。在很多生产过程中，温度的测量和控制都直接和安全生产、提高生产效率、保证产品质量、节约能源等重大技术经济指标相联系。自18世纪工业革命以来，工业过程离不开温度控制。温度控制广泛应用于社会生活的各个领域，如家电、汽车、材料、电力电子等。温度控制的精度以及不同控制对象的控制方法选择都起着至关重要的作用，温度是锅炉生产质量的重要指标之一，也是保证锅炉设备安全的重要参数。同时，温度是影响锅炉传热过程和设备效率的主要因素。基于此，运用反馈控制理论对锅炉进行温度控制，满足了工业生产的需求，提高了生产力。 2 国内外现状 温度控制技术按照控制目标的不同可分为两类：动态温度跟踪与恒值温度控制。动态温度跟踪实现的控制目标是使被控对象的温度值按预先设定好的曲线进行变化。在工业生产中很多场合需要实现这一控制目标，如在发酵过程控制，化工生产中的化学反应温度控制，冶金工厂中燃烧炉中的温度控制等。恒值温度控制的目的是使被控对象的温度恒定在某一数值上，且要求其波动幅度（即稳态误差）不能超过某一给定值。从工业温度控制器的发展过程来看，温度控制技术大致可分以下几种： 定值开关温度控制法 所谓定值开关控温法，就是通过硬件电路或软件计算判别当前温度值与设定目标温度值之间的关系，进而对系统加热源（或冷却装置）进行通断控制。若当前温度值比设定温度值高，则关断加热器，或者开动制冷装置；若当前温度值比设定温度值低，则开启加热器并同时关断制冷器。这种开关控温方法比较简单，在没有计算机参与的情况下，用很简单的模拟电路就能够实现。目前，采用这种控制方法的温度控制器在我国许多工厂的老式工业电炉中仍被使用。由于这种控制方式是当系统温度上升至设定点时关断电源，当系统温度下降至设定点时开通
第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=3 2 -T ML , [v ]=1 -LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3 -ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????????---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1 ，[ρ]=L -3 MT 0 ， [μ]=MLT -2 （LT -1L -1 ）-1L -2 =MLL -2T -2 T=L -1 MT -1 ，[g ]=LM 0T -2 ,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()() (210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
过程控制工程课程设计 课题名称空调温度控制系统的建模与仿真 学院 专业 班级 学生 学号 时间 6 月13日至 6月19日 指导教师(签字) 2011 年 6 月 19 日
目录 第一章设计题目及要求 (1) 1.1设计背景 (1) 1.2设计任务 (1) 1.3主要参数 (2) 1.3.1恒温室： (2) 1.3.2热水加热器ⅠSR、ⅡSR： (2) 1.3.3电动调节阀： (2) 1.3.4温度测量环节： (2) 1.3.5调节器： (2) 第二章空调温度控制系统的数学模型 (3) 2.1恒温室的微分方程 (3) 2.1.1微分方程的列写 (3) 2.1.2 增量微分方程式的列写 (5) 2.2 热水加热器对象的微分方程 (5) 2.3敏感元件及变送器的特性 (6) 2.3.1敏感元件的微分方程 (7) 2.3.2变送器的特性 (7) 2．3．3敏感元件及变送器特性 (8) 2.4 执行器的特性 (8) 第三章控制系统方案设计 (9) 3.1系统分析 (9) 3.2 单回路控制系统设计 (10) 3.2.1单回路控制系统原理 (10) 3.2.2单回路系统框图 (10) 3.3串级控制系统的设计 (11) 3.3.1串级控制系统原理 (11) 3.3.2串级控制系统框图 (12) 第四章单回路系统调节器参数整定 (13) 5.1.1、PI控制仿真 (16) 5.1.2 PID控制仿真 (17) 5.1.3、PI与PID控制方式比较 (17) 第六章设计小结 (18) 参考文献 (18)
第一章设计题目及要求 1.1设计背景 设计背景为一个集中式空调系统的冬季温度控制环节，简化系统图如附图所示。 系统由空调房间、送风道、送风机、加热设备及调节阀门等组成。为了节约能量，利用一部分室循环风与室外新风混合，二者的比例由空调工艺决定，并假定在整个冬季保持不变。用两个蒸汽盘管加热器1SR、2SR对混合后的空气进行加热，加热后的空气通过送风机送入空调房间。本设计中假设送风量保持不变。 1.2设计任务 设计主要任务是根据所选定的控制方案，建立起控制系统的数学模型，然后用MATLAB对控制系统进行仿真，通过对仿真结果的分析、比较，总结不同的控
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
2 发酵罐温度控制系统的数学模型 发酵罐温度控制系统实验平台是以一个7L 发酵罐为主体，罐壁设置有冷却套,相应的设立测温点和调节阀,通过阀门调节冷却套内冷却液的流量来实现对发酵罐内温度的控制，发酵罐示意图如图1所示。 图1 发酵罐示意图 在白酒发酵的过程中，发酵罐内由于酵母的作用，在发酵过程中会产生生化反应热，热量的逐渐释放导致发酵温度逐渐上升。在整个发酵过程中，发酵温度必须根据具体的生产工艺进行严格控制，罐内温度通过控制冷却夹套内的冷却水的流量进行降温，整套系统没有外部加热措施。罐内发酵反应热有一部分使罐内温度升高，一部分热量散失到罐壁和冷媒中，在此不考虑发酵体与罐壁之间的热量传递，罐内的热平衡方程为： ? =-Tdt mC Q Q 21 （2-1） 式中 1Q ：发酵过程产生的热量；2Q :发酵过程散失的热量；m ：反应物质量 C ：发酵罐内反应物的比热容；T 发酵罐温度。 公式1-1可以写成： ? =?Tdt MC Q （2-2） 式中 21Q Q Q -=? 对公式1-2求拉普拉斯变换得： s m C T Q S S )()(=? （2-3） 即可由罐内的热平衡方程式可以得到发酵罐内的传递函数为: m C s Q T G S S S 1 ) ()()(= ?= （2-4） 考虑到在实际的过程中的干扰因素,所以被控对象的数学模型中添加一个滞后环节。因此,用一阶惯性加纯滞后环节来表示,其传递函数为 mCs e Q T G s S S S τ-= ?= ) ()()( （2-5）
3 模糊预测控制器的设计及仿真结果 针对发酵罐中发酵对象大时滞、大时变、严格的非线性、多变量耦合等特点。采用了将模糊控制与预测控制结合的方法，利用模糊建模方法建立对象预测模型。将设定值与预测输入值之间的预测误差值及预测误差值的变化率作为模糊控制器的输入，模糊控制器再根据模糊规则来推理得到控制量，通过执行机构控制被控对象。其结构图如图2所示。 图2模糊控制系统结构图 3.1预测控制部分 预测控制算法与动态矩阵控制算法类似, 主要通过预测模型,利用系统的输入输出数据预测未来时刻系统输出,作为糊控制器的输入。 3.1.1预测模型 假设被控对象基于阶跃响应的预测模型向量为T N a a a a ],...,,[21=，N 为建模时域。则在k 时刻对系统施加一个控制增量Δu(k)时,即可算出在其作用下未来时刻N 个输出值的向量形式： )()()(k u a k y k y po m ??+= （3-1） 式中)(k y po 为k 时刻未加Δu(k)时的初始预测值,)(k y m 为k 时刻在Δu(k)作用下的模型预测值。 3.1.2在线校正 当k 时刻对系统施加控制u(k)时，利用预测模型即可得出未来时刻的输出预测值 )(k y m 。但是，由于实际存在的模型时变、非线性、环境干扰等因素的影响，预测值会偏离 实际值，故在k+l 时刻要利用系统的实际输出y (k+1)进行在线校正： )]|1()1([)()(k k y k y h k y k y m m p +-++= （3-2） 式中h 为N 维误差校正向量,这里取0.11=h ，9.0=i h ，i=2,3...,N 。)(k y p 为校正后的预测值，经过移位后即可作为k+1时刻的初始预测值，用向量形式可表示为： )()1(k y S k y p po ?=+ （3-3） 式中S 为位移阵。
基于单片机的温度控制 系统设计文献综述 前言 随着现代工业的发展，人们需要对工业生产中有关温度系统进行控制，如钢铁冶炼过程需要对刚出炉的钢铁进行热处理，塑料的定型及各种加热炉、热处理炉、反应炉和锅炉中温度进行实时监测和精确控制温度是日常生活、工业、医学、环境保护、化工、石油等领域最常遇到的一个物理量。而且，很多领域的温度可能较高或较低，现场也会较复杂，有时人无法靠近或现场无需人力来监控。如加热炉大都采用简单的温控仪表和温控电路进行控制, 存在控制精度低、超调量大等缺点, 很难达到生产工艺要求。且在很多热处理行业都存在类似的问题，所以，设计一个较为通用的温度控制系统具有重要意义。这时我们可以采用单片机控制，这些控制技术会大大提高控制精度，不但使控制简捷，降低了产品的成本，还可以和计算机通讯，提高了生产效率. 单片机是指芯片本身，而单片机系统是为实现某一个控制应用需要由用户设计的，是一个围绕单片机芯片而组建的计算机应用系统，这是单片机应用系统。单片机自问世以来，性能不断提高和完善，其资源又能满足很多应用场合的需要，加之单片机具
有集成度高、功能强、速度快、体积小、功耗低、使用方便、价格低廉等特点，因此，应用日益广泛，并且正在逐步取代现有的多片微机应用系统。 1.陈岩《基于ARM 的远程控制温控系统的设计》一个基于ARM的远程控制系统的设计.该系统以无线寻呼网络接收POCSAG编码的控制命令字,同时利用DIMF信号发送器将要反馈的数据通过公用电话网络以DTMF编码传送回去,从而实现了一个功能完整的远程控制系统,弥补了以往远程控制系统的不足同。 2．金凯鹏胡即明《基于模糊PID 算法远程温度控制系统的实现》针对实时温度控制对象,算法远程温度控制系统是一套远程控制系统,并结合了模糊PID控制算法,利用其电路组成和设计原理,实现了对远程温度系统的监视和控制功能.采集端主要实现温度采集、数码显示、温度设定、无线编码发射、加热开关控制等功能;监控部分主要实现无线解码接收、温度显示、报警等功能模块.本系统实现了实时控制与无线传输结合. 3.王晓员《基于单片机多点温度控制的硬件构建设计》针对目前许多塑料反应炉温度控制不准确的现状,进行了基于MCS-51系列单片机多点温度控制的硬件构建的设计.采用数字化温度传感器DS18820,TLC2543型号的12位开关电容运次逼近模数A/D转换器.成本低、可靠性高 4.王芳《利用单片机实现温度智能控制》温度控制系统是
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
： 远程与继续教育学院 本科毕业论文（设计） 题目：温控系统的设计及仿真(MATLAB) 、 学习中心： 学号： 姓名： 专业：机械设计制造及自动化 指导教师： " 2013 年 2 月 28 日
) 摘要 温度是工业对象中一个主要的被控参数，它是一种常见的过程变量，因为它直接影响燃烧、化学反应、发酵、烘烤、煅烧、蒸馏、浓度、挤压成形，结晶以及空气流动等物理和化学过程。温度控制不好就可能引起生产安全，产品质量和产量等一系列问题。温度控制是许多设备的重要的构成部分，它的功能是将温度控制在所需要的温度范围内，以利于进行工件的加工与处理。 一直以来，人们采用了各种方法来进行温度控制，都没有取得很好的控制效果。如今，随着以微机为核心的温度控制技术不断发展，用微机取代常规控制已成必然，因为它确保了生产过程的正常进行，提高了产品的数量与质量，减轻了工人的劳动强度以及节约了能源，并且能够使加热对象的温度按照某种指定规律变化。 实践证明，用于工业生产中的炉温控制的微机控制系统具有高精度、功能强、经济性好的特点，无论在提高产品质量还是产品数量，节约能源，还是改善劳动条件等方面都显示出无比的优越性。 本设计以89C51单片机为核心控制器件，以ADC0809作为A/D转换器件，采用闭环直接数字控制算法，通过控制可控硅来控制热电阻，进而控制电炉温度，最终设计了一个满足要求的电阻炉微型计算机温度控制系统。 关键词：1、单片机；2、PLC；3、MATLAB &
（ 目录 1单片机在炉温控制系统中的运用 (6) 1、1系统的基本工作原理 (6) 2温控系统控制算法设计 (7) 温度控制算法的比较 (7) 数字PID算法 (11) 、 3 结论 (21) 致谢 (22) 参考文献 (23) [
第二章控制系统的数学模型 控制系统的数学模型 本章主要内容： 引言 微分方程模型 传递函数模型 脉冲响应模型 方框图模型 信号流图模型 频域特性模型 数学模型的实验测定方法（辨识） 2.0 引言 主要解决的问题： 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求 2.0.1 什么是数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。 亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式） 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型
动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。 2.0.2 为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此） 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱 系统辨识 2.0.3 对系统数学模型的基本要求 亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
第二章控制系统的数学模型 2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？ 答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对 数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几 何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空 间模型；等等。 2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？ 答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。 机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。 实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学 模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。 如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其 中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于 上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。 2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？ 答主要步骤有： ⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。 ⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要 因素。⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述 对象运动规律的原始微分 方程式（或方程式组）。 ⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。 ⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得 出无因次的、能够 描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段 线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。 2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。 答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条 件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。 如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述： 式中y为输出变量，x为输入变量，表示y(t) 的n阶导数，表示x(t)
黄淮学院电子科学与工程系 自动控制原理课程验证性实验报告 实验名称 用MATLAB 建立系统数学模型 实验时间 2012 年10月11日 学生姓名 实验地点 同组人员 专业班级 1、实验目的 1）熟悉MATLAB 实验环境，掌握MATLAB 命令窗口的基本操作。 2）掌握MATLAB 建立控制系统数学模型的命令及模型相互转换的方法。 3）掌握使用MATLAB 命令化简模型基本连接的方法。 4）学会使用Simulink 模型结构图化简复杂控制系统模型的方法。 2、实验主要仪器设备和材料： MATLAB 软件 3、实验内容和原理：（1）控制系统模型的建立 控制系统常用的数学模型有四种：传递函数模型（tf 对象）、零极点增益模型（zpk 对象）、结构框图模型和状态空间模型（ss 对象）。经典控制理论中数学模型一般使用前三种模型，状态空间模型属于现代控制理论范畴。 1）传递函数模型（也称为多项式模型）。连续系统的传递函数模型为 101101() ()() m m m n n n b s b s b num s G s n m a s a s a den s --++ += =≥++ +， 在MATLAB 中用分子、分母多项式系数按s 的降幂次序构成两个向量： 0101[] []m n num b b b den a a a ==，，，，，，，。 用函数tf( )来建立控制系统的传递函数模型，用函数printsys( )来输出控制系统的函数，其命令调用格式为 ()int ()sys tf num den pr sys num den =，，， Tips ：对于已知的多项式模型传递函数，其分子、分母多项式系数两个向量可分别用 .{1}sys num 与.{1}sys den 命令求出。这在MATLAB 程序设计中非常有用。 2）零极点增益模型。零极点模型是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原传递函数的分子、分母进行因式分解，以获得系统的零点和极点的表示形式。 1212()()() ()()()() m n K s z s z s z G s s p s p s p ---= ---，式中，K 为系统增益；12m z z z ， ，为系统零点；12m p p p ，，为系统极点。在MATLAB 中，用向量z p k ，，构成矢量组[]z p k ，，表示系统。
自动控制系统的数 学模型 1 2020年4月19日
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）经过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）经过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）经过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求 2 2020年4月19日
3 2020年4月19日 取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5） 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6） 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法 则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换； 求第K 条前向通道特记式的余子式k 。 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言
第二章 数学模型作业与习题解答 2-1 试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压1u 和位移1x 为输入量，电压2u 和位移2x 为输出量；k 、1k 和2k 为弹性系数；f 为阻尼器的阻尼系数。 解： 1212 2 211u idt u u i u C C u u iR i R ?=+?=+????=?=??? 2211 u u u RC + = 21()1()1U s s RCs U s RCs s RC == ++
221fx kx fx += 21()()1f s X s fs k f X s fs k s k ==++ 1111 ()()()1c R Cs U s I s U s R Cs ? =?++ 22()()U s R I s = 22111221()(1) ()U s R R Cs U s R R R R Cs +=++ 12212212121()R R u R R Cu R R Cu R u ++=+ 1222111211 R R u u u u R R R C ++ =+
22 2211 1121212121() (1) 1() 1 1U s R R R R Cs R U s R R R R Cs R R Cs R Cs R R Cs +=== ++? + ++ + 21222111fx k x k x k x fx ++=+ 112121112 12 1()()1k f s k k k x s fs k f x s fs k k s k k ??+ ? ++??= ++++＝ 22211212 1()1 1( )()1 R U s R Cs Cs U s R R Cs R R Cs + +== ++++
15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为 s 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车 获得的功率 P 与 v 、S 、 的关系 . 解: 设 P 、 v 、 S 、 的关系为 f ( P, v, s, ) 0 ， 其量纲表达式为 : [P]= ML 2T 3 , [ v ]= LT 1 ,[ s ]= L 2 ,[ ]= ML 3 , 这里 L, M ,T 是基本量纲 . 量纲矩阵为： 2 1 2 3 ( L) A= 1 0 0 1 ( M ) 3 1 (T ) ( P) (v) (s) ( 齐次线性方程组为： 2 y 1 y 2 2y 3 3y 4 y 1 y 4 0 3y 1 y 2 它的基本解为 y ( 1,3 ,1,1) 由量纲 P i 定理得 P 1v 3 s 1 1 ， P v 3s 1 1 ， 其中 是无量纲常数 . 16．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的定义 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比， 比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 . 解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0. 其量纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=L -3 MT 0， -2 -1 L -1 -1 -2 -2 -2 -1 -1 0 -2 , 其中 L ，M ， T 是基本量纲 . [ ]=MLT （ LT ） L =MLL T T=L MT ， [ g ]=LM T 量纲矩阵为 1 3 1 1 ( L) A= 0 1 1 0 ( M ) 1 0 1 2 (T ) (v) ( ) ( ) ( g) 齐次线性方程组 Ay=0 ，即 y 1 - 3y 2 - y 3 y 4 0 y 2 y 3 - y 1 - y 3 - 2y 4 的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲 P i 定理 得 v 3 1 g . v 3 g ，其中 是无量纲常数 .
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
学习目标 （1）了解数学建模的方法和步骤以及数学模型的分类。 （2）具备数学建模常用思维方法及能力。 根据研究目的，对研究的过程和现象（称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构。所谓“数学化”，指的就是构造数学模型通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法，简称为MM方法。 数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学建模有广义和狭义两种解释。广义的说，数学概念，如数、几何、向量、方程都可称为数学模型；狭义的说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方式。数学模型大致可以分为两类：（1）描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是微分方程、积分方程和差分方程等；（2）描述客体或然现象的随机性模型。其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80m左右、体重70kg左右，100m成绩10s左右或更好等。 用字母、数字和其它数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内在联系或与外界联系的模型，它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有利工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。 知识链接 一、数学模型的分类 数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。例如： （1）按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。 （2）安研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、 经济模型、社会模型等。 （3）按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。 （4）按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。 （5）按应用离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。 （6）按人们对事物发展过程的了解程度分：黑箱模型、灰箱模型、白箱模型。 白箱模型指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的 工程技术问题。 灰箱模型指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程 度上都还有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。 黑箱模型指一些内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学 等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂、也可以简化为灰箱模型来研究。 二、数学建模的一般方法 建立数学模型的方法没有一定的模式，但一个理想的模型应该反映系统的全部 重要特征，模型应具有可靠和实用性。 建模的一般方法 1.机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机
第二章初等数学方法建模 数学建模的核心是力求对实际应用问题的解决，而不在于所采用方法的深奥程度。事实上，在对一个问题能够做到完好解决的前提下，朴素性简洁性恰好是构成一个完美的数学模型或数学建模过程的一个重要侧面。本章介绍的几个例子即能够用相对初等的方法得以很好地解决，这里强调选用怎样的工具通常是由问题本身内在决定的，切忌为了炫耀方法而使问题的解决变的烦琐——这正如在良医的眼里，各种药材的价值在其用并在行医中总能做到对症，而不在其名贵程度。 §2.1 公平的席位分配 问题：首先看一个小例子，讨论一个学校中学生代表席位在不同院系之间的公平分配问题。问题产生的原因在于人数是一个整型量，因此在通常情况下不能严格保证各个院系（团体）最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。也即说对一个席位分配方案不能要求其在任何情况下均能作到绝对公平，但却可要求其分配结果的整体不公平程度尽可能降低。 在下表中反映的是当总席位数分别为、时，参照惯例在人数分别为 的三个不同系的分配结果。“惯例”在这里是指首先计算各系按照比 例所应该分得的席位，然后取其整数部分作为各系第一阶段分到的席位，而在第二阶段将剩余的席位按照各系比例分配数的小数部分的大小取较大的几个系， 丙系分到的席位数反降为3席。这一“矛盾性结果”同样不符合我们对一个好的席位分配算法的预期：假定各系人数已确定，考虑总席位数增加时，一个席位分配算法的结果至少须保证对每一系所最终分得的席位数不减。要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。 一、A、B两方席位的公平分配： 双方人数分别记为，占有席位记为，分别代表的人数应为。