2005年上海市高中数学竞赛试卷
(2005年3月27日 星期日 上午8:30~10:30)
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空(前4小题每小题7分,后4小题每小题8分,供60分) 1.计算:0!1!2!100!i +i +i ++i = 95+2i .
(i 表示虚数单位) 2.设
θ是某三角形的最大内角,且满足sin8sin 2θθ=,则θ可能值构成的集合是
279,
,,,3321010πππππ??
????
.(用列举法表示) 3.一个九宫格如图,每个小方格内都填一个复数,它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等,则x 表示的复数是
11
22
i + .
4.如图,正四面体ABCD 的棱长为6cm ,在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ,若1AE =cm ,2CF =cm ,则线段EF
.
5.若关于x 的方程4(3)
250x x
a ++?+=至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a 的取值范围为
8.25,3?---? . 6.a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素(允许重复),则abcd e +为奇数的概率为
1794
3125
. 7.对任意实数x 、y ,函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--,若(1)1f =,则对负整数n ,()f n
的表达式 2322
n n +- .
8.实数x 、y 、z 满足0x y z ++=,且2
2
2
1x y z ++=,记m 为2x 、2
y 、2
z 中最大者,则m 的最小
值为
1
2
. i x 1
A B F
D E
二、(本题满分14分)
设()f x ,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正数b ,使()f x 的定义域和值域相同.
解:若a =0,则对每个正数b
,()f x =
[)0,+∞,
故a =0满足条件
若a >0,则对每个正数b
,()f x =的定义域
D ={
}
[)2
0,0,b x a x bx a ??+≥=-∞-+∞ ?
?
?
,但()f x =的值域A [)0,?+∞
故D ≠A ,即a >0不合条件
若a <0,则对每个正数b
,()f x =的定义域D =0,b a
??-???
?
,
由于此时(
)max 2b f x f a ??=-
= ???
,故()f x =
的值域为???
所以,04a b a a a
?-=
??=-?=-?? 综合所述,a 的值为0或-4
三、(本题满分14分)
已知双曲线22221x y a b
-=(a 、b ∈+R )的半焦距为c ,且2
b a
c =.,P Q 是双曲线上任意两点,M
为PQ 的中点,当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时,求PQ OM k k ?的值.
解:∵M 是PQ 的中点,设M (x 0,y 0),P (x 0+α,y 0+β-),Q (x 0-α,y 0-β) 于是00,OM PQ y k k x β
α
=
= ∵P 、Q 都在双曲线上,所以
()()()()2
2
2222002
2
2222
00220020220440
OM PQ
b x a y a b b x a y a b b x a y y b a
c c
k k x a a a
αβαβαββα+-+=---=-=∴?====相减得:
又由)222
2
12c a b
c a b ac
?=++??=?=??舍负根
∴12
OM PQ k k ?=
四、(本题满分16分)
设[]x 表示不超过实数x 的最大整数.求集合2|,12004,2005k n n k k ??????
=≤≤∈??????????
N 的元素个数. 解:由
()2
2121
11002200520052005
k k k k ++-=≤≤,解得
即当()()2222111,2,3,
,100212005200520052005k k k k k ????++????
===+???????????????
?????时或
22210021500,0,1,2,,1002,0,1,,500200520052005k k ????
??
==∴=????????????
当时能取遍
()()2
2
2222222211003,1004,
,2004,1,20052005
11003100420041,,,,2005200520052005200520041002100210031002501,200520052k k k k k k n n +=->??+??????
??≥+??????????????
??????
??-=???
?
>???
?????
=另外,当时由于
故即各不相同,这些数有个
注意到=就知集合,12004,50110021503005k k N ??????≤≤∈????
??????
共有+=个元素.
五、(本题满分16分)
数列{}n f
的通项公式为
n n
n f ????=-????????,n ∈+Z . 记1212C +C +C n
n n n n n S f f f =,求所有的正整数n ,使得n S 能被8整除.
解:记1122
αβ+-=
=则